边界层换热微分与积分方程
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层流边界层流动和换热的相似解(一)18页PPT
即
dp p
dx x
其中 ddpxuddux若 dd ux0，d d则 p x0
带入化简后的动量方程式得
（ u u xv u y) 1d d p x y 2u 2
（3）边界层能量方程，经类似分析有： u xt v yt a y2t2
（4）综上，经数量级分析简化后的控制方程为：
uv0 x y
法则： （1）明确数量级分析得区域空间； （2）任何方程至少有两个数量级相等的主要控制项； （3） C=A+B,若○(A)>> ○(B),则○(C)= ○(A)；
若○(A) ~○(B),则 ○(C)~○(A) ~○(B)； （4） P=AB, ○(P)~○(A)·○(B) （5）R=A/B， ○(R)~○(A)/○(B)
可忽略分母为平也可以通过下法分析简化压力项考虑边界层内任一点的压力全微分dy除以dx得到dxdydxdp从动量方程的数量级分析考虑压力项和摩擦项平衡如方程1有分析过程类似地由方程2得dxdydxdp一致即边界层的压力主要在x方向换言之在任意x处边界层的压力与边界层外缘处压力相同dxdpdxdp带入化简后的动量方程式得3边界层能量方程经类似分析有
连续性方程
uv0 x y
（ u u x v u y) 1 p x ( x 2 u 2 y 2 u 2)
动量方程
能量方程
边 界 条 件
u x tv y ta( x 2T 2 y 2T 2)
u|y00,v|y00,t|y0tw u|yu,t|yt uconst
2、利用数量级分析对控制方程进行化简
层流边界层流动和换热的相似解(一)
幽默来自智慧，恶语来自无能
层流边界层流动和换热的相似解（一）
第二版 8—3 P161
第四章 对流换热_2
粘性扩散能力 热扩散能力
体分子和流体微团的动量和
热量扩散的深度.
边界层型对流传热问题的数学描写
热边界层与流动边界层的关系
两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度与热扩散率的相对大小; 运动粘度反映流体动量扩散的能力，其值越大流动边界层越厚 。 热扩散率反映物体热量扩散的能力，在其它条件相同的情况下，其值越大 ，热边界层越厚。 称为普朗特数 Pr 令 其物理意义为流体的动量扩散能力与热量扩散能力之比。 a 对于层流边界层，当 Pr
速度边界层
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流 体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁 面处的零速度逐步变化到来流速度。
u y
t∞ u
δ 0
t
δ
tw x
垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为 速度边界层（流动边界层）。
边界层型对流传热问题的数学描写
2 13 Nu x 0.332 Re1 Pr x
hx x u x
努塞尔(Nusselt)数
Re x
Pr
a
雷诺(Reynolds)数
普朗特数
注意：特征尺 度为当地坐标x
与 t 之间的关系
u const,
dp 0 dx
动量传递 热量传递 规律相似 =t
边界层型对流传热问题的数学描写
热（温度）边界层 Thermal boundary layer
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在
壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时， 即 (t w t ) /(t w t ) 0.99 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面
体分子和流体微团的动量和
热量扩散的深度.
边界层型对流传热问题的数学描写
热边界层与流动边界层的关系
两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度与热扩散率的相对大小; 运动粘度反映流体动量扩散的能力，其值越大流动边界层越厚 。 热扩散率反映物体热量扩散的能力，在其它条件相同的情况下，其值越大 ，热边界层越厚。 称为普朗特数 Pr 令 其物理意义为流体的动量扩散能力与热量扩散能力之比。 a 对于层流边界层，当 Pr
速度边界层
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流 体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁 面处的零速度逐步变化到来流速度。
u y
t∞ u
δ 0
t
δ
tw x
垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为 速度边界层（流动边界层）。
边界层型对流传热问题的数学描写
2 13 Nu x 0.332 Re1 Pr x
hx x u x
努塞尔(Nusselt)数
Re x
Pr
a
雷诺(Reynolds)数
普朗特数
注意：特征尺 度为当地坐标x
与 t 之间的关系
u const,
dp 0 dx
动量传递 热量传递 规律相似 =t
边界层型对流传热问题的数学描写
热（温度）边界层 Thermal boundary layer
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在
壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时， 即 (t w t ) /(t w t ) 0.99 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面
高等热值交换技术 边界层的流动和换热
w f x
平均
1 L tw t f tw t f L 0 温差
1 Lq q L x x dx L 0 h dx L 0 Nu dx x x
qL 平均努塞尔数: Nu tw t f Nu 0.680Re1/ 2 Pr1/ 3 偏差2.4％ 1/ 2 1/3 Nu 0.664Re Pr
第三章 层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联 式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量 之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
1. 布拉修斯无量纲参数得到外掠平壁的层流边界层流 动的相似解； 2. 戈尔德斯坦研究在什么条件下，可实现相似变量的 变换而求得相似解； 3. 赛比西和布雷德肖 应用龙格-库塔法求得同样问题 的解； 4. 豪沃思用数值积分得到的结果如下表：
由上述计算得到的外掠 平壁层流边界层 流动的速度分布:
(1) 流动边界层厚度
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ 用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局 部努谢尔特数为：
Nu
1
Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热， 若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证 明：
对有限控制容积建立动量热量平衡方程 对边界层微分方程进行积分
积分方程 25
平均
1 L tw t f tw t f L 0 温差
1 Lq q L x x dx L 0 h dx L 0 Nu dx x x
qL 平均努塞尔数: Nu tw t f Nu 0.680Re1/ 2 Pr1/ 3 偏差2.4％ 1/ 2 1/3 Nu 0.664Re Pr
第三章 层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联 式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量 之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
1. 布拉修斯无量纲参数得到外掠平壁的层流边界层流 动的相似解； 2. 戈尔德斯坦研究在什么条件下，可实现相似变量的 变换而求得相似解； 3. 赛比西和布雷德肖 应用龙格-库塔法求得同样问题 的解； 4. 豪沃思用数值积分得到的结果如下表：
由上述计算得到的外掠 平壁层流边界层 流动的速度分布:
(1) 流动边界层厚度
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ 用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局 部努谢尔特数为：
Nu
1
Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热， 若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证 明：
对有限控制容积建立动量热量平衡方程 对边界层微分方程进行积分
积分方程 25
第5章边界层的积分方程
第五章边界层的积分方程对于几乎任何种类的边界条件，边界层微分方程的特解总是可以得到。
某些类型的问题，已经得到精确的解析解。
对于更一般的问题，数值解常常是必要的。
值得寻求近似解法，例如积分解。
边界层的积分方程提供了许多近似解法赖以建立的基础，但它们本身是精确的，至少是在边界层近似的范畴内是这样。
特别注意本章中的排量厚度、动量厚度和焓厚度之定义所涉及的控制体，必须满足以下条件，① 控制体的左端取自物体与流体发生作用的地方，右端止于流动充分发展处；下端为物体表面，上端至少为势流与粘流交界处。
② 控制体置于层流区，而非湍流区。
§5.1排量厚度和动量厚度图：P57-Fig.5-3 推导边界层排量厚度与动量厚度的控制体 关于质量：● 体积内：()()BC AB ⋅∂∂θρ● 流过控制体表面的质量：⏹ 左端：⎰∞∞=Y dy u AB 0ρ⏹ 右端：⎰=Yudy CD 0ρ⏹ 下端：0=AD ⏹ 上端：?=BC ● 应用控制体的质量守恒原理()()000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅∂∂⎰⎰∞∞BC udy dy u BC AB Y Y ρρθρ在定常条件下：0=∂∂θρ，有， ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∞∞∞∞∞∞YYYdy u u u udy dy u BC 0001ρρρρρ 令∞→Y ，以使得整个边界层均包括在积分之内，定义排量厚度1δ，使得，⎰⎰∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010111dy u u dy u u u u ρρδρρρρδ 物理解释：1δ是由于边界层的存在所引起的主流排量的度量。
注意，排量厚度1δ只是一种定义，并不能实际应用，因为：① 被积函数中的u ρ项无法知晓；② 关于“∞”的积分上限无法实现。
后面的动量厚度之定义也存在着同样的问题。
关于动量● 体积内：()()BC AB u⋅∂∂θρ ● 流过控制面的动量⏹ 左端：⎰∞∞=Y dy u AB 02ρ⏹ 右端：⎰=Ydy u CD 02ρ⏹ 下端：0=AD ⏹ 上端：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞∞∞∞∞dy u u u u BC Y1ρρρ——Y 足够大，以至于∞→u u 。
对流传热理论与计算3边界层理论
5
普朗特
❖ 1904年海德堡国际数学大会上宣读关于边界层的论文 （全名是《论粘性很小的流体的运动》），受到哥廷根 大学数学F．克莱因教授（德国数学家，在非欧几何、 群论、函数论中有贡献）的赏识
❖ 克莱因推荐他担任哥廷根大学应用力学系主任，后又支 持他建立并主持空气动力实验所和威廉皇家流体力学研 究所
❖ 特点：依靠宏观涡旋来传递动量，传递能力强，边界层 明显增厚
19
❖ 湍流边界层的三层结构假说
❖ ——层流底层（laminar sublayer）
❖ ——缓冲层（ buffer layer ）
❖ ——湍流核心（turbulent region）
20
❖ 紧贴壁面：速度梯度极高，粘性力占主导，保持层流特 性——层流底层，也称为粘性底层
Tw
29
❖ （3）热边界层厚度沿流动方向也不断增加 ❖ （4）热边界层内的传热机理取决于层内的流动状态
Tw
30
❖ ——层流：导热占主导地位
边界层（laminar boundary layer）
❖ 特点：层状、有秩序的滑动状流动，各层之间互不干扰
17
❖ 随x的增加，δ逐渐增加，粘性力和惯性力的大小对比要 发生变化
❖ 在xc后，边界层内惯性力相对强大，使边界层变得不稳
定起来——过渡流边界层
18
❖ 随x继续增加，惯性力起主要作用，旺盛湍流边界层
Tw
27
❖ 引入过余温度比定义热边界层厚度
tw t tw tf 0.99
Tw
❖ 热边界层外缘—过余温度比为0.99的位置
❖ 热边界层厚度—外缘至壁面间的距离
28
2 热边界层的特点
❖ （1）热边界层区和主流区 ❖ ——热边界层区：温度变化非常剧烈 ❖ ——主流区：等温流动区域 ❖ （2）热边界层厚度也是一个小量
普朗特
❖ 1904年海德堡国际数学大会上宣读关于边界层的论文 （全名是《论粘性很小的流体的运动》），受到哥廷根 大学数学F．克莱因教授（德国数学家，在非欧几何、 群论、函数论中有贡献）的赏识
❖ 克莱因推荐他担任哥廷根大学应用力学系主任，后又支 持他建立并主持空气动力实验所和威廉皇家流体力学研 究所
❖ 特点：依靠宏观涡旋来传递动量，传递能力强，边界层 明显增厚
19
❖ 湍流边界层的三层结构假说
❖ ——层流底层（laminar sublayer）
❖ ——缓冲层（ buffer layer ）
❖ ——湍流核心（turbulent region）
20
❖ 紧贴壁面：速度梯度极高，粘性力占主导，保持层流特 性——层流底层，也称为粘性底层
Tw
29
❖ （3）热边界层厚度沿流动方向也不断增加 ❖ （4）热边界层内的传热机理取决于层内的流动状态
Tw
30
❖ ——层流：导热占主导地位
边界层（laminar boundary layer）
❖ 特点：层状、有秩序的滑动状流动，各层之间互不干扰
17
❖ 随x的增加，δ逐渐增加，粘性力和惯性力的大小对比要 发生变化
❖ 在xc后，边界层内惯性力相对强大，使边界层变得不稳
定起来——过渡流边界层
18
❖ 随x继续增加，惯性力起主要作用，旺盛湍流边界层
Tw
27
❖ 引入过余温度比定义热边界层厚度
tw t tw tf 0.99
Tw
❖ 热边界层外缘—过余温度比为0.99的位置
❖ 热边界层厚度—外缘至壁面间的距离
28
2 热边界层的特点
❖ （1）热边界层区和主流区 ❖ ——热边界层区：温度变化非常剧烈 ❖ ——主流区：等温流动区域 ❖ （2）热边界层厚度也是一个小量
建立边界层动量积分方程复习课程
控制体积abcd
udmx
y dmx b
Px px
Mx mx
a
pd x
c
PxdP x
Mx dMx
mxdmx
d
x
dx
wdx
mx xudy Mxxu2dy
0
0
dp ud u
(2) 分析控制体界面上的质量流量、动量流量及受力情况
(3) 建立边界层动量积分方程:
dMxF合力
经过推导 d u d 2 x 1 0 U 1 U d Y d d u u x 1 0 1 U d Y w
数量级分析简化后的微分方程组为： u v 0 x y
uuvu1p2u x y x y2
uva2
x y y2
外掠平板层流边界层微分方程精确解 由量级分析得到的微分方程组，可求出速度场，温度场及局
部表面传热系数：
x
5.0Rex1/2
x
Cf ,x 2
0.33R2 ex1/
2
t Pr 1/3
t x
Cf,x 2
uw 2 0.32R3ex1/2
4.2 边界层能量积分方程
cptf dmx
y
d mx
c
b
t Ex mx
a
Ex dEx
ttw
mx dmx
dx
d
x
qwdx
t
mt ,x udy
0
(1) 分析控制体的热平衡
t
Ex cptudy
3.1 流动边界层
边界层厚度: 0. 99 u 处离壁的距离
u y
0.99u
u
x
流场划分： 主流区与边界层区；层流、过度流与紊流(利用临界距离
5.34边界层型对流传热解析
对流传热的理论基础
5.3 边界层型对流传热问题数学描写 5.4流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
对流换热微分方程组:(常物性、无内热源、二维、稳态、不可压 缩牛顿流体，受迫流动忽略重力场)
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
在层流范围内求解上述边界层方程组可得
5.0 x Re x
0.664 cf 1 2 Re x u 2
w
Pr1 3 t
局部表面传热系数的表达式
u hx 0.332 x a
1 x 2 1 3
hx x
u 0.332 a
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
du dp u dx dx
hx
t y w, x
t
算例：对于主流场均速 u 、均温 t ，并给定恒定壁温的 情况下的流体纵掠平板换热，即边界条件为
y 0 u 0, v 0, t t w y u u , t t
可视为边界层的又一特性
边界层内任一截面压力与 y 无关而 等于主流压力
p dp x dx
2
u u dp u （u v ) 2 x y dx y
dp du 由上式： u dx dx
du dp 若 0，则 0 dx dx
t t t t u v a( 2 2 ) x y x y
j 称为 j因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广
5.3 边界层型对流传热问题数学描写 5.4流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
对流换热微分方程组:(常物性、无内热源、二维、稳态、不可压 缩牛顿流体，受迫流动忽略重力场)
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y v v p 2v 2v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
在层流范围内求解上述边界层方程组可得
5.0 x Re x
0.664 cf 1 2 Re x u 2
w
Pr1 3 t
局部表面传热系数的表达式
u hx 0.332 x a
1 x 2 1 3
hx x
u 0.332 a
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件，则可以求解
du dp u dx dx
hx
t y w, x
t
算例：对于主流场均速 u 、均温 t ，并给定恒定壁温的 情况下的流体纵掠平板换热，即边界条件为
y 0 u 0, v 0, t t w y u u , t t
可视为边界层的又一特性
边界层内任一截面压力与 y 无关而 等于主流压力
p dp x dx
2
u u dp u （u v ) 2 x y dx y
dp du 由上式： u dx dx
du dp 若 0，则 0 dx dx
t t t t u v a( 2 2 ) x y x y
j 称为 j因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广
04-3(边界层积分解)
Note : no shear force in bd
2019/4/15 13
0
b
u
d
于是动量定律可表达为
u
dy
pl l
dp p dxl dx
d l2 dl u ( u dy ) dx u dx udy wdxdx 0 0 dx dx y y0 dp wdx l dx (c) 由于存在以下关系： dx
2019/4/15 5
A m
b
u
l
d
l
0
udy
u
dy
c
l 0
udy
a
Asurface
d l 0 udy dx dx
dx
m 0
mass flow mass flow mass flow through through through ab bd cd
2019/4/15
22
d du ( u u ) udy ( u u ) dy (1) w 0 0 dx dx
在本问题中，u∞为常数，动量积分方程式（1） ) 左边的第二项为0。再引入 w (du dyy0，式（1） 为 d du
( u u ) udy 0 dx dy
c
p 0
b
d
tudy
l
u
l
t
(f)
单位时间内穿过cd面带 出控制容积的热量为
d l c tudy c ( tudy ) dx (g) a p 0 p0 dx
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由于速度在壁面法线方向的变化出现了流动 边界层，同样，当流体与壁面之间存在温度差时，
将会产生热边界层，如上图所示。
在 y 处0 ，流体温度等于壁温 t ， tw
ttw0
.
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▪ 当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不 相等时，在壁面上方形成的温度发生显著变化的薄层，
u
流进平板前缘后，边界层逐渐增厚，但在
某一距离 以x 前c 会保持层流。
(2) 但是随着边界层厚度的增加，必然导致壁面粘滞力对
边界层外缘影响的减弱。自x
处起，层流向湍流过渡（过
c
渡区），进而达到旺盛湍流，故称湍流边界层。
.
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根据牛顿粘性定律，流体的剪应力与
垂直运动方向的速度梯度成正比，即：
x
u y
式中：
Байду номын сангаас
——
x
向x 的粘滞应力；
— — 动力粘度
。
kg m•s
N m2
.
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6. 掠过平板时边界层的形成和发展
(1)
流体以速度
的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去 那些量级小的项，方程大大简化。
例：二维、稳态、强制对流、层流、 忽略重力
.
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2. 5个基本量的数量级： 主流速度： u~0(1); 温度： t ~ 0(1); 壁面特征长度：l ~ 0(1);
Building Energy Efficiency is the Wave of the Future !
Heat Transfer
传热学
建筑环境与设备工程专业主干课程之一 !
§5 对流换热分析
Chapter5 The Analysis of Convection Heat Transfer
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u 0 .4 m / s l 1 .1m 3cm
.
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(3) 边界层分： ❖ 层流边界层——速度梯度较均匀地分布于全层。 ❖ 湍流边界层——在紧贴壁面处，仍有一层极薄层保持层
流状态，称为层流 底层。 ❖ 速度梯度主要集中在层流底层。
0 y
0 x
（d） vt
t 0
vdyt
y
0
udy x
.
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将（d）式代入（c）式：
0 tv y tdy0 tt u xdy0 tt u xdy （e）
对式（b）中的扩散项积分：
0 ta y 2 t2d y a y t 0 t a y t y t y t y 0 a y t y 0（f）
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其中：
0 tv y td y v t 0 t0 tt y vd y v tt 0 tt y vd y（c）
为了导出仅包括速度的方程，把（c）式中
的 v 项及
y
项v t 通过连续性方程进行转换
t vdy t udy
11 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 2
.
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2t 2t
由于 《x 2 = 因y 2 而可以把主流方向的二阶导数
项 略 去2 t 于是得到二维、稳态、无内热源
x2
的边界层能量方程为：
u
t x
v
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4.上述方程的定解条件：
y0时u0, v0, ttw y uu, tt
对于平板，分析求解上述方程组（此时
dp dx
)0可得局部表面传热系数的表达式（层
流范围）：
.
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❖1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积 分方程。
❖近似解，简单容易。
.
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用边界层积分方程求解对流换热问题的基本 思想:
(1)建立边界层积分方程 针对包括固体边界及 边界层外边界在内的有限大小的控制容积；
(4) 在边界层内，粘滞力与惯性力数量级相同。
.
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9. 热边界层
y
u ,t
等温流动区
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x
温度边界层
t
ttw, 0
.
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.
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§5-2 程 一、边界层概念
边界层换热微分与积分方
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层流
u
过渡流
湍流
y
x
xc
层流底层 过渡层
.
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式中：
Nux
hxx
Rex
ux
Pr a
努塞尔(Nusselt)数
雷诺(Reynolds)数
注意：特征尺 度为当地坐标
x 普朗特数
.
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5. 与 t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动:
uco,n
s t
u 及t yy0 yy0
cf 和Nu
.
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2. 边界层积分方程的推导
将边界层能量微分方程式对如图5-15所 示的任意截面做y 0 到 y 的积分：
t
t
2t
u dy
0 x
0
v dy
y
0
ay2dy
❖ 对管内流动：Rec 2300为层流
反之 为湍流
❖ 对纵掠平板：一般取
Rec 5105
.
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8. 小结 综上所述，流动边界层具有下列重要特性 (1) 流场可以划分为两个区：
(a)边界层区——必须考虑粘性对流动的影
(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设， 常用的函数形式为多项式；
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(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的 常数，然后将速度分布和温度分布带入
积分方程，解出 和 的t 计算式；
(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固 体边界上的：
t y
a
2t y2
.
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于是得到二维、稳态、无内热源的边界层换热微分 方程组：
连续性方程
u v 0 x y
动量守恒方程 uxt vyt 1ddpxy2u2
能量守恒方程
u
t x
v
t y
a
2t y2
.
处的1 m边界层厚
.
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5.物理意义 在这样薄的一层流体内，其速 度梯度是很大的。在 5的mm薄层中，气流速 度从 0 变到 ，16其m法/s向平均变化率高 达 。3200m /s
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速度场与无量纲温度场将完全相似，这是 Pr=1的另一层物理意义：表示流动边界 层和温度边界层的厚度相同。
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三、 边界层积分方程组的求解
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1. 边界层积分方程
❖1921年，冯·卡门提出了边界层动量积 分方程。
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(3) 湍流边界层包括湍流核心、缓冲层、层流底层。在层 流底层中具有较大的速度梯度。
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7. 临界雷诺数