上海初二下学期数学函数压轴题.
2020-2021学年下学期沪教版八年级数学压轴题集第十一讲动点求函数解析式
第十一讲动点求函数解析式【要点导航】函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想.由于某--个点或某图形有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系.这种变化关系就是动点问题中的函数关系.这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系,并根据实际情况确定自变量的取值范围.【典型例题】【例1】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，在射线AC、CB上分别有两个动点M、N，且AM= BN，联结MN交AB于点P。
(1)如图1所示，当点M在边AC(与点A、C不重合)上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论。
(2)当点M在射线AC上，若设AM=x，BP=y，求y与x的函数关系式及定义域。
(3)过点M作直线AB的垂线，垂足为Q，随着点M、N的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定.请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由。
图1利用线段和差建立函数关系式.【例2】如图2所示, 在长方形ABCD中，AB= 8，AD= 6，点P、Q分别是AB边和CD 边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP= CQ，设AP= x，BE= y.(1)线段PQ的垂直平分线与BC边相交，设交点为点E，求y与x的函数关系式及x取值范围.(2)在(1)的条件下，是否存在x使△PQE为直角三角形? 若存在，请求出x的值；若不存在,请说明理由.图2方法点晴应用勾股定理建立函数解析式.1. (★★)如图3所示，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC交BC边于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点为E、F 两点，延长EB、FC相交于点G ，证明四边形AEGF是正方形。
初中数学中考压轴题及答案详解(上海篇)
专题训练125．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若1tan3BPD∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用)参考答案：（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=12EP=12（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴AD AQ AB AC=即113ax=+，∴31 ax=+∵在RT△ADQ中2222328111x x DQ AD AQx x+-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB=∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似，∴AE ADAC AF=，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP ==(3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =-∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++ ∴5533,44x xAB BC ++==∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0专题训练21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，1=2tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值．参考答案：解：（1）二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），∴，解得。
上海初中八年级数学试卷压轴题
图④图③图②图①P NMAC BBCAACBBCA上海初中八年级数学试卷压轴题28．已知一直角三角形纸片ABC （如图①），∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4。
折叠该纸片，使点B 落在边AC上，折痕与边BC 交于点M ，与边AB 交于点N 。
（1）若折叠后，点B 与点C 重合，试在图②中画出大致图形，并求点C 与点N 的距离； （2）若折叠后，点B 与点A 重合，试在图③中画出大致图形，并求CM 的长；（3）若折叠后点B 落在边AC 上的点P 处（如图④），设CP ＝x ，CM ＝y ，求出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。
26．已知：如图，正比例函数ax y =的图像与反比例函数xky =的图像交于点A (3,2)． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的解析式；（2）根据图像回答：在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值?（3）)(n m M ，是反比例函数图像上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．AM BC OD xy26、小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．图1中，90,30,5cm B A BC ∠=︒∠=︒=；图2中，90,45,3cm D E DE ∠=︒∠=︒=．图3是小刘同学所做的一个实验：他将DEF ∆的直角边DE 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在DEF ∆沿AC 方向移动的过程中，小刘同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐_______； （填“不变”、“变大”或“变小”）（2）小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：问题①：当DEF ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当D E F ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?请你分别完成上述两个问题的解答过程．ABC图1图2 FDEAB CFDE图3第26题图27、如图：在直角坐标平面内，正比例函数直线x y 3=与一反比例函数图像交于第一象限内A 点，x AB ⊥轴于B ，6=AB①求反比例函数的解析式。
上海初二下学期数学函数压轴题
1在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1） 由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2） 联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3） 如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．CBP（供操作实验用）（供证明计算用）（第2题图）D ABB3．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，CE =AE ，F 是AE 的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF 的长．4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5．（1）求点C 的坐标；为常数，且（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、bk <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ， （1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（2）AC = 2DG ．AB CDOEF（第3题图）（第4题图）A BFDEG第6题图7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。
初二下学期数学压轴题
初二下学期数学压轴题(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除21在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=CD=AD=5cm ，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值； （3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论； （2）（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （4） 如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．3AC的中点，AB = 4，BC = 84x AOBC 的边AC = 5．（1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y=kx+b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C（供证明计算用）（第2题图）G D AB （第3（第4题图）3与点E 在y 轴上，且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ， （1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（2）AC = 2DG ．7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P作PF ⊥CD 于点F ，作PE⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。
沪教版数学八年级第二学期期末压轴题(答案)
1、已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5分）/2、如图，直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y =相交于点P . (1) 求点P 的坐标.(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由. |(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式.3、已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q（如图）.（1）试证明：AP =PQ ； （2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当APQ AOQ S S ∆∆=32时，求点P 的坐标.…DA 《ED CA B|FH G4、（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ， （1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．《…5、（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分, 第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积；（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式； （3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）.B图1图2，6、如图已知一次函数y =－x +7与正比例函数y =x 34的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O ﹣C ﹣A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒)0( t ．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是QA=QP 的等腰三角形若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．!7、已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合）， 过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），O ABC Pxy① 求证：PB=PE ；② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；[（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断 上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．\（1） 8、如图，已知在梯形ABCD 中，AD 60B ∠=︒120EMF ∠=︒A B C D A→→→→求证：∠A =2∠CBD ；（2） ？（3）当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示．试求CD 的长；（4） 在（2）的情况下，点P 从点A B C D A →→→→移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值；若不能，请说明理由．\*DCB|AE P 。
专题12 一次函数解答题压轴训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题12 一次函数解答题压轴训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，定义如下：点M 与点N 的“直角距离”为1212x x y y -+-，记作MN d ．例如：点()1,5M 与()7,2N 的“直角距离”17529MN d =-+-=．（1）已知点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则在这四个点中，与原点O 的“直角距离”等于1的点是__________；（2）如图，已知点()()1,0,0,1A B ，根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O 的“直角距离”都等于1．若点P 与原点O 的“直角距离”1OP d =．请在图中将所有满足条件的点P 组成的图形补全； （3）已知直线2y kx =+，点(),0C t 是x 轴上的一个动点．①当3t =时，若直线2y kx =+上存在点D ，满足1CD d =，求k 的取值范围；①当2k =-时，直线2y kx =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上任意一点H 都满足14CH d ≤≤，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）P 1，P 4；（2）见解析；（3）①-1≤k ≤13-；①-2≤t≤0或t=2 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；（2）根据“直角距离”的定义得|x |+|y |=1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）①先根据题意可得点C 的坐标为（3，0），根据d CD =1，并由（2）可得：点D 在正方形EFMN 边上，如图2，通过观察图2可得：k 的最大值是过点E 的直线，k 的最小值是过F ，M 的直线，代入可得结论；①根据k =-2可得直线EF 的解析式为：y =-2x +2，计算点E 和F 的坐标，设H （m ，-2m +2），根据点H 在线段EF 上，可得0≤m ≤1，根据“直角距离”的定义列式得d CH =|t -m |+|-2m +2|=|t -m |-2m +2，列不等式后分两种情况进行讨论可得结论． 【详解】解：（1）①点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①d P 1O =|-1|+0=1，d P 2O =31222-+=，d P 3O =113244-+-=，d P 4O =11122-+-=， ①与原点O 的“直角距离”等于1的点是P 1，P 4； 故答案为：P 1，P 4； （2）设P （x ，y ），①点P 与原点O 的“直角距离”d OP =1， ①|x |+|y |=1，当x ＞0，y ＞0时，x +y =1，即y =-x +1， 当x ＞0，y ＜0时，x -y =1，即y =x -1， 当x ＜0，y ＞0时，-x +y =1，即y =x +1， 当x ＜0，y ＜0时，-x -y =1，即y =-x -1， 如图1所示，（3）①当t =3时，点C 的坐标为（3，0），由（2）可得：d CD =1，则点D 在正方形EFMN 边上，如图2，①F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），又①点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k 的最小值是过F，M的直线，把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=13 -，把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，故k的取值范围是：-1≤k≤13 -，①当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，①E（1，0），F（0，2），设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），d CH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，①1≤d CH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，又0≤-2m+2≤2，即-1≤|m-t|≤4，当t≤m时，有-1≤m-t≤4，①0≤m≤1，①-4≤t≤2，又t≤m，①-4≤t≤1，当t＞m时，有-1≤t-m≤4，①0≤m≤1，①-1≤t ≤5， 又t ＞m ， ①1≤t ≤5，当-4≤t ＜-2时，d CH ＞4，不符合题意， 当0＜t ＜2时，d CH ＜1，不符合题意， 当2＜t≤5时，d CH ＞4，不符合题意， 综上，t 的取值范围为：-2≤t≤0或t=2． 【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．2．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，4OA =，2OC =，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点．（1）若四边形OABC 为长方形，如图1，①若点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上中点，求直线PQ 的解析式； ①若BQ BP =，且点1B 落在AC 上，求点1B 的坐标；（2）若四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC AC ⊥，过点1B 作1//B F x 轴，与对角线AC ，边OC 分别交于点E ，点F ．若11:1:3B E B F =，点1B 的横坐标为m ，求点1B 的纵坐标（用含m 的代数式表示）【答案】（1）①132y x =-+；①8(3，2)3；（2）5或2 【分析】（1）①根据A 、C 坐标和中点的定义得到P 、Q 坐标，再利用待定系数法求解． ①求出直线AC 的解析式，利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，分别求解即可解决问题． 【详解】 解：（1）①4=OA ，2OC =，四边形OABC 是矩形，①BC =4，AB =2， ①B （4，2），又点P 和点Q 是BC 和AB 中点，①P （2，2），Q （4，1），设PQ 的解析式为y kx b =+，则2214k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①PQ 的解析式为132y x =-+； ①设BP BQ a ==，则1(4,2)B a a --，如图1，设直线AC 的解析式是12y k x =+，把(4,0)A 代入，得1042k =+，解得112k =-，∴直线AC 的解析式是122y x =-+， 把1(4,2)B a a --代入上式，得12(4)22a a -=--+，解得43a =．18(3B ∴，2)3；（2）4=OA ，2OC =，OC AC ⊥，30OAC ∴∠=︒，C ．11:1:3B E B F =，∴有以下两种情况：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，由题意可知1(0)B G m m =>，设GF b =，则OG =，2OF b =， 22CF b ∴=-，2(22)44FE b b =-=-，11222B E EF b ∴==-，(44)(22)b b b m ∴+-+-=，解得65mb -=．∴点1B①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，同理可求得1B综上所述，满足条件的1B 的纵坐标为5或2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，且ABO 的面积为9．（1）如图1，求k 的值；（2）如图2，若点P 是线段AO 上的一动点，过点P 作PC ①AB ，交y 轴于点C ，设点P 的横坐标为t ，线段BC 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点D 为线段AB 的延长线上一点，连接DO ，DO 与PC的延长线交于点E ，若①BPC ＝2①BOD ，BP ﹣PE ，求点D 的坐标． 【答案】（1）k ＝12；（2）d ＝12t +3；（3）(1，72) 【分析】（1）根据题意先求出点A ，B 的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；（2）先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC 的解析式，进而求出点C 的坐标，即可得到答案；（3）在y 轴的负半轴上取一点F ，使FO ＝BO ＝3，连接PF ，延长DO 交PF 于点G ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ，证明①BHD 和①FGO ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），根据题意建立方程求解． 【详解】解：（1）①直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，①A（﹣3k，0），B（0，3），①OA＝|﹣3k|，OB＝3，①S①ABO＝12•OA•OB＝12×|﹣3k|×3＝92|1k|，①S①ABO＝9，①92|1k|＝9，解得：k＝±12，①由题图知k＞0，①k＝12；（2）①PC//AB，P（t，0），设直线PC的解析式为y＝12x+n，则0=12t+n，①n=-12t，①直线PC的解析式为y＝12x﹣12t，令x＝0，得y＝﹣12t，①C（0，﹣12 t），①BC＝3﹣（﹣12t）＝12t+3，①线段BC的长为d，①d＝12t+3；（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，①BF ①PO ，FO ＝BO ， ①BP ＝PF ，设①BOD ＝α，①PBO ＝β， ①①BPC ＝2①BOD ，①①BPC ＝2α，①OFG ＝①PBO ＝β，①GOF ＝①BOD ＝α， ①PGE ＝①PFO +①GOF ＝α+β，①①BCE ＝①PBO +①BPC ＝①BOD +①PEO ， ①β+2α＝α+①PEO ， ①①PEO ＝α+β， ①①PEO ＝①PGE ， ①PE ＝PG ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ， ①①BHD ＝①PGE ，①BHO ＝①FGO ， ①PC //AB ， ①①BHD ＝①PEO ， ①①BHD ＝①BDH ， ①BD ＝BH ，在①BHO 和①FGO 中，BOH FOG BHO FGO BO FO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①BHO 和①FGO （AAS ），①GF ＝BH ＝BD ，①BP ﹣PE ，BP ＝PF ，PE ＝PG ，①PF ﹣PG ，即GF ，①BD ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），且m ＞0，则TD ＝m ， TB ＝TO ﹣BO ＝12m +3﹣3＝12m ， 在Rt ①BTD 中，TD 2+BT 2＝BD 2，即m 2+（12m ）2）2， 解得：m 1＝1，m 2＝﹣1， 当m ＝1时，12m +3＝12×1+3＝72， ①D (1，72)． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．4．一次函数y x +2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边①ABC ．（1）求C 点的坐标；（2）在第二象限内有一点M （m ，1），使S ①ABM ＝S ①ABC ，求M 点的坐标；（3）将①ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将①ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ①y 轴于G ．求①EFG 的面积．【答案】（1）(-4)；（2）(-1)；（3）2【分析】（1）先求得A 、B 的坐标，然后可得到30BAO ∠=︒，依据含30直角三角形的性质可得到24AB OB ==，则90CAO ∠=︒，然后依据勾股定理求得AB 的长，从而可得到点C 的坐标；（2）过点C 作//CM AB ，则ABM ABC S S ∆∆=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C 的坐标代入求得b 的值，然后将1y =代入MC 的解析式可求得点M 的横坐标；（3）先求出30FHG ∠=︒，进而表示出FG ，EG ，用勾股定理建立方程求出2a ，最后用面积公式即可得出结论．【详解】解：（1）当0x =时，2y =，(0,2)B ∴．当0y =时，x =-(A ∴-，0)．2OB ∴=，=OA30BAO ∴∠=︒，24AB OB ==．ABC ∆为等边三角形，60ACB ∠=︒∴．90CAO ∴∠=︒．(C ∴-4)．（2）如图，过点C 作//CM AB ．//CM AB ，ABM ABC S S ∆∆∴=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C (4b -+=，解得6b =．∴直线CM 的解析式为6y x =+．将1y =代入MC 的解析式得：16x =+，解得：x =-，(M ∴-1)． （3）如图，由（1）知(A -0)，(0,2)B ，4AB ∴=，ABC ∆为等边三角形，4BC AB ∴==，由折叠知，4BE BC ==，由旋转知，4EF BE ==，15BEF ∠=︒，取EG 上取一点H 使，EH FH =，连接FH ，30FHG ∴∠=︒，设FG a =，HG ∴=，2FH a =，2EH a ∴=，2(2EG EH HG a a ∴=+==，在Rt EFG △中，根据勾股定理得，22[(2]16a a +=，2a ∴=211(2222EFG S EG FG a a ∆∴=⨯=+⨯== 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．5．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4．点P 从点A 出发，沿A →D →C →D 运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点 A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度． P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）．连结PQ 、AC 、CP 、CQ ．（1）点P 到点C 时，t = ； 当点Q 到终点时，点P 的运动路程为 ； （2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）设①CPQ 的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式；（4）如图①，当点P 在线段DC 上运动时，将①APQ 沿PQ 折叠，点A 落在平面内的点A ′ 处，PQ 与AC 交于点E ．当QA '与①ACD 的边DC 、AC 平行时，直接写出t 的值．【答案】（1）6，16（2）当0＜t ≤2时，PD = 4－2t ，当2＜t ≤6时PD = 2t －4，当6＜t ≤8时，PD = 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s t t =-+210，当2＜t ≤6时，s t =-+424，当6＜t ≤8时，s t =-424；（4）,,t t t t ===-=+12342041243【分析】（1）计算AC 的长，除以速度即可；计算点Q 的运算时间AB ÷速度，得到的时间乘以点P 的速度即可；（2）根据t 的运动特点，分0＜t ≤2，2＜t ≤6，6＜t ≤8三种情形计算；（3）根据（2）的情形，对应计算三角形的面积即可；（4）在2＜t ≤6，6＜t ≤8两种情形下，分别计算QA '∥DC 和QA '∥AC 计算．【详解】解：（1）当点P 到点C 时 ， t =122=6， ①点Q 的运动时间为：8÷1=8，故答案为：6,16；①点P 的运动路程为2×8=16（2）当0＜t ≤2时，①P A =2t ，P A +PD =AD =4，①PD = 4－2t ；当2＜t ≤6时，①P A =2t ，AD +PD =P A ，AD =4，①PD = 2t －4；当6＜t ≤8时， ①2t =AD +CD +PC ，PC +PD =CD ，AD =4，①PD =8-(2t -12)= 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s =111482(42)8(8)4222t t t t ⨯-⨯⨯--⨯--⨯ 210t t =-+；当2＜t ≤6时，1(122)44242s t t =-⨯=-+； 当6＜t ≤8时， 1(212)44242s t t =-⨯=-； （4）当2＜t ≤6，且QA '∥AC 时，如图1，根据折叠的意义，得①AQP =①A 'QP ，①四边形ABCD 是矩形，①AB∥CD ，①①AQP =①CPE ，①QA '∥AC ,①①A 'QP =①CEP ，①①AEQ=①CEP，①①AQP=①CPE=①A'QP =①CEP=①AEQ，①AE=AQ，CP=CE，①四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4①BC=4,①ABC=90°，AC=设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①CP=12-P A=12-2t，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①12-2t+t=①t=12-当2＜t≤6，且QA'∥DC时，如图2，根据折叠的意义，得①AQP=①A'QP=90°，①四边形ABCD是矩形，①①DAQ=90°，①AD∥PQ，①四边形AQPD是矩形，①PD=AQ，设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①PD=2t-4，①2t-4=t,①t=4；当6＜t≤8，且QA'∥AC时，如图3，根据前面的证明，得到AC=CP=CE,AQ=AE，设点Q运动时间为t，则AQ=t, CP=2t-12，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①2t-12+t=①t=4+；3当6＜t≤8，且QA'∥DC时，如图4，根据前面的证明，得到AQ=PD，设点Q运动时间为t，则AQ=t, DP=20-2t，①20-2t =t ,①t =203；综上所得，t 的值为,,t t t t ===-=+12342041243 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，函数的表达式，分类思想，灵活运用分类思想，适当分割图形表示面积是解题的关键． 6．某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元． （1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？【答案】（1）购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）200400a ≤≤；（3）购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低【分析】（1）设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得； （2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，即可得出W 关于a 的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．【详解】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x 元，乙种树苗的单价为y 元．依题意得： 5020500030102800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：x 60y 100=⎧⎨=⎩， 答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意得，60100(500)4200015004a a a a +-≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩， 解得，200400a ≤≤．①甲种树苗数量a 的取值范围是200400a ≤≤．（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，①60100(500)5000040W a a a =+-=-．①400-<，①W 值随a 值的增大而减小，①200400a ≤≤，①当400a =时，W 取最小值，最小值为500004040034000-⨯=元．即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，不等式组的解法，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．7．如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合．①求点G 、点E 的坐标；①若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；①-15≤n ≤-4；（2）5 【分析】（1）①根据折叠的性质求出OG ，根据勾股定理计算求出GN ，得到点G 的坐标，设CE =x ，根据勾股定理求出x ，求出点E 的坐标；①利用待定系数法求出OE 所在直线的解析式，根据平行的性质求出m ，分别把点M 、点A 的坐标代入解析式求出n ，得到答案；（2）连接OB ，OG ，求出BC =OC =OG =5，推出当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，从而计算．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=，①点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ，①GN =4，①GM =5-4=1，在Rt ①EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+， 解得：x =53， ①点E 的坐标为（53，5）； 设OE 所在直线的解析式为：y =kx ， 则53k =5， 解得，k =3，①OE 所在直线的解析式为：y =3x ，①直线l ：y =mx +n 平行于直线OE ，①m =3，即直线l 的解析式为y =3x +n ，当直线l 经过点M （3，5）时，5=3×3+n ，解得，n =-4，当直线l 经过点A （5，0）时，0=3×5+n ，解得，n =-15，①直线l 与长方形ABMN 有公共点时，-15≤n ≤-4；（3）连接OB ，OG ，①OC =BC =5，①OCB =90°，①BC =①点C 关于直线OE 的对称点为点G ，①OC =OG =5，①BG ≥OB -OG ，①当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，①BG 的最小值为5．【点睛】本题考查的是一次函数的知识、折叠的性质、最短路径问题，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤，得到O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值是解题的关键． 8．如图，正方形ABCD 边长10AB =cm ，点E 在边AD 上，且4AE =cm ，点N 从点A 出发，以5cm/s 的速度在A 、B 之间往返匀速运动，同时，点M 从点E 出发，以2cm/s 的速度沿路径E D C →→匀速运动，当点M 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t （单位：s ）．在运动过程中AMN 的面积S （单位：2cm ）随运动时间t 的变化而变化．（1）当点N 运动到点B 时，求t 值及此时AMN ∆的面积．（2）在整个运动过程中，求S 与t 的关系式．【答案】（1）t =2，此时AMN ∆的面积=402cm ；（2）见解析【分析】（1）先根据点N 的运动速度得出时间，再得出AM 的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案；（2）分①当0＜t ≤2时，①当2＜t ≤3时，①当3＜t ≤4时，①当4＜t ≤6时，①当6＜t ≤8时，五种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）①当点N 运动到点B 时，10AB =cm ，点N 的速度为5cm /s ， ①t=2s 5=AB ， ①点M 的速度为2cm /s ，①EM =2×2=4cm ，①AM =AE +EM =4+4=8，①AMN ∆的面积=21181040cm 22⨯⨯=⨯⨯=AM AB ． （2）①当点M 运动到点C 时，两点都停止运动， ①20-4t=8s 2=， ①当0＜t ≤2时，AN =5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()2115t 4+2t 5t +10t 22⨯⨯=⨯⨯=AM AN ； ①当2＜t ≤3时，AN =20-5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()()21120-5t 4+2t -5t +10t+4022⨯⨯=⨯=AM AN ； ①当3＜t ≤4时，AN =20-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110520-5t -25t+1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当4＜t ≤6时，AN =5t -20，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()11055t-2025t-1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当6＜t ≤8时，AN =40-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110540-5t 25t+2002⨯⨯=⨯=-AN ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积计算，分类讨论的数学思想，确定点M 、N 所在的位置，是解决本题的关键．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴相交于()6,0A 、()0,2B 两点，动点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90︒得到CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上时，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．（1）求证：BOC CED ≌；（2）求经过A 、B 两点的一次函数表达式．如图2，将BCD △沿x 轴正方向平移得B C D '''∠，当直线B C ''经过点D 时，求点D 的坐标及B C D '''∠的面积；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）123y x=-+，()3,1D，2.5；（3）存在，)1,0P，)1,0P，()5,0P．【分析】(1)由“”AAS即可证明Rt BOC Rt CED≅；(2)由B C D'''∠的面积BCD=∆的面积2BCOBOEDS S=-梯形，即可求解；(3)分PC PD=、PC CD=、PD CD=三种情况，分别求解即可．【详解】解：()190BOC BCD CED∠=∠=∠=︒，①90OCB DCE∠+∠=︒，90DCE CDE∠+∠=︒，①BCO CDE∠=∠，BC CD=，①()Rt BOC Rt CED AAS≅；()2设直线AB解析式为y kx b=+，把()6,0A，()0,2B代入上式得062k bb=+⎧⎨=⎩，解得132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AB的解析式为123y x=-+，由BOC CED≅得：CO DE=，设CO DE m==，而2OB CE==，()2,D m m∴+，点D在直线123y x=-+上，把()2,D m m+代入上式并解得1m=，()3,1D ∴，点()1,0C ，B C D '''∠的面积BCD =∆的面积()112123221 2.522BCO BOED S S =-=⨯+⨯-⨯⨯⨯=梯形； ()3存在，理由：设点P 的坐标为(,0)t ，而点C 、D 的坐标分别为()1,0、()3,1，由点P 、C 、D 的坐标得：22(1)PC t =-，22(3)+1PD t =-，22215CD =+=，当PC PD =时，则22(1)(3)1t t -=-+， 解得：94t =， 当PC CD =时，则2(1)5t -=，解得：1t =当PD CD =时，则2(3)15t -+=，解得：1t =(舍去)或5，故点P 的坐标为9,04⎛⎫⎪⎝⎭或)1,0或()1或()5,0． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等和面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．10．已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家，图中x 表示时间（单位是分钟），y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：（2）填空：①小明在文化宫停留了________min ；①小明从家到体育场的速度为________km/min ；①小明从文化宫回家的平均速度为_________km/min ；①当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_______min ．（3）当045x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）23，1，0.5；（2）①25；①115；①160①9或42；（3）1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩ 【分析】（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数，利用待定系数法解得该正比例函数，再依次代入x =10，x =15解题，从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ，据此计算填表；（2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，将二者时间相减即可解题；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，根据速度公式解题；①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，根据速度公式解题；①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤令0.6y =，解得他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数，利用待定系数法解得此函数，再计算当0.6y =时，x 的值即可解题；（3）由（1）（2）中的解析式解题．【详解】解：（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数， 设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的关系式为：(0,015)y kx k x =≠≤≤ 把(15,1)代入得，115k = 1(015)15y x x ∴=≤≤ 当x =10时，1210153y =⨯=， 当x =15时，115115y =⨯=， 从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ， 故答案为：23；1；0.5； （2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，故小明在文化馆停留了：70-45=25min ；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，则速度为：11/min 15min 15km km =； ①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，回到家中，则速度为：0.51/min (10070)min 60km km =-； ①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤当0.6y =时，即10.615x =， 9x ∴=，则小明第一次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数， 则设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的函数关系式为：(0,3045)y kx b k x =+≠≤≤将(30,1),(45,0.5)代入得，301450.5k b k b +=⎧⎨+=⎩ 1302k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩12(3045)30y x x ∴=-+≤≤ 则当0.6y =时，即120.630x -+= 42x ∴=则小明第二次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为42min ，故答案为：①25；①115；①160①9或42； （3）由图可知，在15min 到30min 之间小明离家的距离不变1km,由（1）（2）1,(015)15y x x =≤≤和12(3045)30y x x =-+≤≤知， 当045x ≤≤时，1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩．【点睛】本题考查函数的图象与性质、待定系数法解一次函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条可以从南京——镇江——扬州——淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁最高速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为y1千米，图①中的折线O—A—B—C—D—E表示在整个行驶过程中y1与x的函数图像．（1）甲车速度为千米/分；（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发多久后与甲车相遇？（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为．【答案】（1）3；（2）乙车出发30分钟后与甲相遇；（3）307＜v乙＜5或278＜v乙＜154【分析】（1）根据线段OA段然后利用速度=路程÷时间求解即可；（2）首先求出乙车的速度，然后表示出乙车行驶的路程，然后根据甲乙的路程相等即可求出时间；（3）分别求出三种临界状态：①甲、乙两车在镇江站之前相遇；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小；①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，然后即可得出乙车的速度的范围．【详解】解：（1）根据线段OA段，30分钟行驶了90千米，①甲车的速度为90303÷=千米/分；（2）①乙车行驶1小时到达淮安，①乙车的速度为27060 4.5÷=千米/分，①y乙＝4.5（x－20），y BC＝90+3（x－35），当y乙＝y BC时，4.5（x－20）＝90+3（x－35）解得：x＝50，50－20＝30．所以，乙车出发30分钟后与甲相遇．（3）①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小，则v乙909 3020>=-，由题意得v乙5≤，故不符合题意；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小，则150 5520<-v乙903520<-，即307<v乙6<，①v乙5≤，①307<v乙6<①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，则270 10020<-v乙1506020<-，即278<v乙154<，综上所述，307＜v乙＜5或278＜v乙＜154．【点睛】本题主要考查一次函数与行程问题，利用方程的思想解题是关键．12．问题提出（1）如图①，在Rt①ABC中，①A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将①ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图①，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a①b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断①AOM与①BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图①，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）图见解析，52；（2）S①AOM＝S①BON，理由见解析；（3）存在，549y x=-+【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将①ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出①AOM与①BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则①OBG的面积等于①AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为①BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【详解】（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，①BC25AC+=，①点D为BC的中点，①AD＝12BC＝52．（2）S①AOM＝S①BON，理由如下：由图可知，S①AOM＝S①ABM﹣S①AOB，S①BON＝S①ABN﹣S①AOB，如图①，过点M作MD①AB于点D，过点N作NE①AB于点E，①MD①NE，①MDE＝90°，又①MN①DE，①四边形MDEN是矩形，①MD＝NE，①S①ABM＝12AB MD⋅⋅，S①ABN＝12AB NE⋅⋅，①S①ABM＝S①ABN，①S①AOM＝S①BON．（3）存在，直线BP的表达式为：y＝59-x+4．如图①，连接AB，过点O作OF①AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，由（2）的结论可知，S ①OBG ＝S ①AFG ，①S 四边形OACB ＝S ①BCF ，取CF 的中点P ，作直线BP ，直线BP 即为所求．①A (4,0)，B (0,4)，C (6,6)，①线段AB 所在直线表达式为：y ＝﹣x +4，线段AC 所在直线的表达式为：y ＝3x ﹣12，①OF ①AB ，且直线OF 过原点，①直线OF 的表达式为：y ＝﹣x ，联立312y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， ①F （3，﹣3），①点P 是CF 的中点，①P 93(,)22，①直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．13．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．05a <（1）若印制2千册，则共需多少元？（2）该校先印制了x 千册纪念册，后发现统计失误，补印了y （5y ）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x 的代数式表示y ．①若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？【答案】（1）28600元；（2）①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩；①101200元． 【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．（2）①分05x <≤和5x ≥两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；①先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可．【详解】解：（1）①印制的册数为2千册，①彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页，①需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一种情况当05x <≤时， 2.1410000.86100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，13200220011000x y +=，即 1.20.2y x =+，①5y ≥，①1.20.25x +≥即45x ≤<；第二种情况当5x ≥时，2410000.56100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，11000220011000x y +=即0.2y x =+，①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩， ①设两次一共需要印刷的册数为m ，需要的钱数为W ，则m x y =+，()()2410000.5610002200W x y x y =⨯⨯++⨯⨯++，①()110002200W x y =++，①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()242004400452200044005x x W x x ⎧+≤<⎪=⎨+≥⎪⎩， 故()()24200444001012004522000544001144005x W x ⎧⨯+=≤<⎪=⎨⨯+=≥⎪⎩最小， 故当4x =，5y =时所需要的的钱数最少为101200元．【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解．14．太湖龙之梦动物世界车行区全程总长7200米，某一时刻一辆私家车和一辆观光车同时驶入车行区，行驶过程中均为匀速行驶，私家车在最后一站骆驼观赏区停车投喂后快速离开．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，线段OA 和折线O B C A ---分别为观光车，私家车行驶的路程12,y y （米）和行驶时间x （分）的函数关系的图象．请结合图象解答下列问题：。
二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
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2013年上海初二数学函数压轴题 2013.2.111. 在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．CB2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．(1)由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；(2)联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．（供操作实验用）（供证明计算用）（第2题图）D ABB3．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，CE =AE ，F 是AE 的中点，AB = 4，BC = 8．求线段OF 的长．4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5． （1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y 轴上，且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ，（1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．（第4题图）ABC DOEF（第3题图）6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（2）AC = 2DG ．7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。
（2分）ABFDEG第6题图第26题图DCB AE FP。
O8．已知一条直线b kx y +=在y 轴上的截距为2，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，且△ABO 的面积为4．（1）求点A 的坐标；（2）若0<k ，在直角坐标平面内有一点D ，使四边形ABOD 是一个梯形，且AD ∥BO ，其面积又等于20（平方单位），试求点D 的坐标.9．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，另一个正方形OHIG 绕点O 旋转（如图），设OH 与边BC 交于点E （与点B 、C 不重合），OG 与边CD 交于点F. （1）求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，四边形OECF 的面积是否会变化？若没有变化，求它的面积；若有变化，请简要说明理由；（3）联结EF 交对角线AC 于点K ，当△OEK 是等腰三角形时，求∠DOF 的度数.DCBA 备用图O 。
10 如图，已知矩形ABCD，过点C作∠A的角平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB、MD．求证：MB = MD．11．如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，E是AB边上的一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M、DC于点N．（1）请判断△DMF的形状，并说明理由；（2）设EB = x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x取何值时，S△DMF = 3 ．12．如图1，在ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、AC 和BE 相交于点O ．（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由． （2）如图2，P 是线段BC 上的一动点（图2），（点P 不与B 、C 重合），连PO 并延长交线段AE 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为R ．① 四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积．② 当P 在线段BC 上运动时，是否有△PQR 与△BOC 全等？若全等，求BP 的长；若不全等，请叙述理由．13,已知：如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，点P 是射线BC 上的一个动点，∠P AQ =60°，交射线CD 于点Q ，设点P 到点B 的距离为x ，PQ =y ． （1）求证：△APQ 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD ⊥AQ ，求BP 的值．14．如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，且CE CA ，联结AE ，过点C 作图１备用图图２DCF AE ⊥，垂足为点F ，联结BF 、FD .（1）求证：FBC ∆≌FAD ∆；（2）联结BD ，若35FB BD =，且10AC =，求FC 的值.FEDCBA15,A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．（1）请填写下表后分别求出A B y y ，与x 之间的函数关系式，并写出定义域；解：（2）试讨论A B ，两地中，哪个运费较少； 解：16.,已知：正方形ABCD 的边长为28厘米，对角线AC 上的两个动点E F ，，点E 从点A 、点F 从点C 同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E 作EH ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于H ；过F 作FG ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于G ，连接HG ，EB ．设HE ，EF ，FG ，GH 围成的图形面积为1S ，AE ，EB ，BA 围成的图形面积为2S （这里规定：线段的面积为0）．E 到达C F ，到达A 停止．若E 的运动时间为x 秒，解答下列问题：（1）如图①，判断四边形EFGH 是什么四边形，并证明； （2）当08x <<时，求x 为何值时，12S S =；（3）若y 是1S 与2S 的和，试用x 的代数式表示y ．（图②为备用图） （1）解：17,如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点)3,2(-A ，与x 轴交于点B ，且与直线383-=x y 平行。
(1)求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；(2)如直线l 上有一点)6,(-a M ，过点M 作x 轴的垂线，交直线383-=x y 于点N ，在线段MN 上求一点P ，使PAB ∆是直角三角形，请求出点P 的坐标。
图①图②18, 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90，∠C =45º，AB =8，BC =14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF //AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF =90º， PE =PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE =x ，MN =y ．（1） 求边AD 的长；（2） 如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．（第18题）BDA CEFN MP19, 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF //BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．20, 如图，一次函数42+=x y 的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形．（1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）求直线BD 的表达式．21, 有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球， （1） 用树形图或列表法展现可能出现的所有结果； （2） 求摸到一个红球和一个白球的概率．AB C DEF （第19题）22,已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点（如图2）.求证：（1）MN ∥BC ；（2）)(21AD BC MN -=.23,已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，联结BP 、DP .（1）若将AD 顺时针旋转︒30至AP ，如图3所示，求BPD ∠的度数.（2）若将AD 顺时针旋转α度)900(︒<<︒α至AP ，求BPD ∠的度数.（3）若将AD 逆时针旋转α度)1800(︒<<︒α至AP ，请分别求出︒<<︒900α、︒=90α、︒<<︒18090α三种情况下的BPD ∠的度数（图4、图5、图6）.A B C DPM 图4 A BC DM N图2A BC D P图324, A B C D P图6 A CDPB 图525、某公路上一段道路的维修工程准备对外招标，现有甲、已两个工程队前来竟标，竟标资料显示：若由甲乙两队合作6天可以完成，共需工程费7800元，若单独完成此项工程甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费比乙队多300元。
（1）甲、乙两队单独完成各需多少天？（2）从节约资金的角度上考虑，应选哪个队单独完成？并说明理由26.如图,在△ABC 中,E 是AB 的中点,CD 平分∠ACAB,AD ⊥CD 于带点D.求证:(1)DE=BC;(2)DE=21(BC-AC).BC DE A27.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC,点P 为BC 边上一点,PE ⊥AB,BG ⊥CD,垂足分别为E,F,G. 求证:PE+PF=BG28.如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.(1)求证:四边形MENF 是菱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论.29,.已知如图,在△ABC 中∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交BC 于D, CH ⊥AB 于H 交AD 于F,DE ⊥AB 于E.求证:四边形CDEF 为菱形.CAB H ED FEF BN C AD M A B PE CFG D30.如图.点P 是等腰直角三角形ABC 底边BC 上的一点,过P 作BA,AC 的垂线,垂足为E,F 设D 为BC 的中点.(1)求证:DE ⊥DF;(2)若点P 在BC 的延长线上是DE ⊥DF 吗?试证明你的结论.31,.如图,CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,AE 平分∠BAC 交C,D 于E, EF ∥AB,交AB 于点F,求证:CE=BF.32.如图, Rt △ABC 中∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AE 平分∠BAC 交CD 于F,过F 作FH ∥AB 交BC 于H.求证:CE=BH.33.如图,梯形ABCD 中AD ∥BC,AB=AD=DC,点E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB,试判断△ABC 的形状,并 给出证明.34.如图,已知□ABCD 中,E 为AD 的中点,CE 的延长线交BA 的延长线于点F.(1)求证:CD=FA;(2)若使∠F=∠BCF, □ABCD 边长之间还需要再添加一个什么条件?请补上这个条件,并进行证明.(不再添辅助线).B D PC AE FC AD BF E C AD B HF EB ECD A EC D35.如图所示,已知矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 为BC 上一动点(点E 不与B,C 两点重合), EF ∥BD 交AC 于点F,EC ∥AC 交BD 于点G.求证:四边形EFOG 的周长等于2OB.36,.已知一个六边形的六个内角都是120°,其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是多少厘米?37,.矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB,CD 的延长线分别交于E,F;(1)求证:△BOE ≌△DOF;(2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 是棱形,并证明你的结论?BBC M N AD O 1cm9cm 9cm5cm38,.等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.求证: (1)四边形MENF 是棱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论?39,.如图在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.(1) 试猜想AE 与BF 有何关系?说明理由;(2) 若△ABC 的面积为23cm ,求四边形ABFE 的面积;(3) 当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由?40. 如图:棱形ABCD 中,AB=4,E 为BC 中点,AE ⊥BC,AF ⊥CD 于点F,CG ∥AE,CG 交AF 于点H,交AD 于点G.(1)求棱形ABCD 的度数.(2)求∠GHA 的度数.41,.已知:如图,正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N.(1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.乙甲 CF E B D A N M F E C B A C F D E B A GH42. 如图:∠MON=90°,在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A,C 分别在射线OM,ON 上,点1B 是ON 上的任意一点,在∠MON 的内部作正方形D C AB 11.(1) 连接D D 1,求证: 901=∠ADD ;(2) 连接C C 1,猜一猜, CN C 1∠的度数是多少?并证明你的结论;(3) 在ON 上再任取一点2B ,以2AB 为边,在∠MON 的内部作正方形D C AB 22,观察图形,并结合(1),(2)的结论,请你再做出一个合理的判断.43. 已知:如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边AB,CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G.(1)求证:△ADE ≌△CBF;(2)若四边形BEDF 是棱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.44.已知:如图, □ABCD 中,AB ⊥AC,AB=1,BC=5,对角线AC,BD 交于点0,将直线AC 绕0顺时针旋转,分别交BC,AD 于点E,F.(1) 证明:当旋转角为 90时,四边形ABEF 是平行四边形;(2) 试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;(3)试说明在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由.并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.M A O D C N1B 1D 1C A45. 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形。