上海初二年级下学期数学函数压轴题
完整)上海八年级数学压轴题
完整)上海八年级数学压轴题1.在三角形ABC中，AD和BE是高，F是AB的中点，FG垂直于DE，G是垂足。
证明：G是DE的中点。
2.在三角形OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，23），AB垂直于y轴，点A为垂足，OH垂直于BC，点H为垂足。
动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度。
设点P的运动时间为t 秒。
1）证明：OB=CB；2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；3）当PQ垂直于OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值。
3.在三角形ABC中，AB=AC，点P是BC边上的一点，PD垂直于AB于点D，PE垂直于AC于点E，CM垂直于AB于点M。
探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。
4.在直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90°，O为BC中点。
1）写出点O到△ABC三个顶点的距离之间的关系；2）如果点M、N分别在边AB、AC上移动，且保持AN=BM。
请判断△XXX的形状，并证明你的结论。
5.点A的坐标为（3,0），点C的坐标为（0,4），OABC为矩形，反比例函数y=k/x的图像过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12，CF=13.1）求反比例函数y=k/x和直线OE的函数解析式；2）求四边形OAFC的面积。
6.已知：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）。
试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？3）在直线y=x上取一点P，它是反比例函数图象上的一动点，其中OP=3.过点P作直线与x轴交于点Q，与y轴交于点R。
过点Q作直线与y轴交于点S。
当四边形PQRS的面积为6时，请判断线段PS和线段QR的大小关系，并说明理由。
7.在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF垂直于AB，垂足为F。
上海初中八年级数学试卷压轴题
图④图③图②图①P NMAC BBCAACBBCA上海初中八年级数学试卷压轴题28．已知一直角三角形纸片ABC （如图①），∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4。
折叠该纸片，使点B 落在边AC上，折痕与边BC 交于点M ，与边AB 交于点N 。
（1）若折叠后，点B 与点C 重合，试在图②中画出大致图形，并求点C 与点N 的距离； （2）若折叠后，点B 与点A 重合，试在图③中画出大致图形，并求CM 的长；（3）若折叠后点B 落在边AC 上的点P 处（如图④），设CP ＝x ，CM ＝y ，求出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。
26．已知：如图，正比例函数ax y =的图像与反比例函数xky =的图像交于点A (3,2)． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的解析式；（2）根据图像回答：在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值?（3）)(n m M ，是反比例函数图像上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．AM BC OD xy26、小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．图1中，90,30,5cm B A BC ∠=︒∠=︒=；图2中，90,45,3cm D E DE ∠=︒∠=︒=．图3是小刘同学所做的一个实验：他将DEF ∆的直角边DE 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在DEF ∆沿AC 方向移动的过程中，小刘同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐_______； （填“不变”、“变大”或“变小”）（2）小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：问题①：当DEF ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当D E F ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?请你分别完成上述两个问题的解答过程．ABC图1图2 FDEAB CFDE图3第26题图27、如图：在直角坐标平面内，正比例函数直线x y 3=与一反比例函数图像交于第一象限内A 点，x AB ⊥轴于B ，6=AB①求反比例函数的解析式。
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题一(解析版)
例2020年上海市宝山区初二下学期期末第24题如图1，反比例函数4yx=的图像与过原点的直线y＝kx（k≠0）相交于点A、B，点A的横坐标是－4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．（1）求k的值和点B的坐标；（2）若点P的坐标是(1, 4)，且以点P、A、B、C为顶点的四边形为矩形时，写出点C 的坐标以及此时的矩形面积；（3）设点Q是动点P关于x轴的对称点，直线P A、PB与x轴分别交于点M、N，试用数学方法判断四边形PMQN是怎样的特殊四边形．图1动感体验打开几何画板文件名“20宝山24”，拖动点P在双曲线上运动，可以体验到，当点P的坐标为(1, 4)时，以A、P、B、Q为顶点的矩形只存在一种情况．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点P在双曲线上运动，可以体验到，四边形PMQN始终保持菱形的形状．满分解答（1）将x＝－4代入4yx=，得y＝－1．所以A(－4,－1)．将A(－4,－1)代入y＝kx，得－1＝－4k．解得k＝14．因为点B与点A关于原点对称，所以B(4, 1)．（2）如图2，已知A(－4,－1)、B(4, 1)、P(1, 4)，所以AP2＝52＋52＝50，BP2＝32＋32＝18，AB2＝82＋22＝68．所以AP2＋BP2＝AB2．所以△ABP是直角三角形，∠APB＝90°．因此以点P、A、B、C为顶点的矩形，只存在一种情况，点C与点P关于原点对称，所以C(－1,－4)．所以S矩形P ACB＝AP∙PB＝5232＝30．图2（3）如图3，设P(m,4m)，那么Q(m,4-m)．设MN与PQ交于点G．由P(m,4m)、A(－4,－1)，得直线AP的解析式为141=+-y xm m．所以M(m－4, 0)．由P(m,4m)、B(4, 1)，得直线AP的解析式为141=-++y xm m．所以N(m＋4, 0)．所以MG＝NG＝4．所以PQ垂直平分MN．又因为P、Q两点关于x轴对称，所以MN垂直平分PQ．所以四边形PMQN是菱形．图3例2020年上海市宝山区初二下学期期末第25题如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，如果AD＝4，BC＝10，点E在线段AB上，将△BCE沿CE翻折，线段CB恰好和线段CD重合．（1）求梯形ABCD的高以及点E与点B之间的距离；（2）如图2，EF⊥CE交CD的延长线于点F，过点F作FG⊥BA于点G，求梯形ADFG 的中位线的长度；（3）动点M在线段CE上，当△DEM为等腰三角形时，求线段CM的长．图1 图2动感体验打开几何画板文件名“20宝山25”，可以体验到，△BCE与△DCE全等，△GEF与△DEF 全等．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点M在EC上运动，可以体验到，△DEM 的三个顶点各有一次机会落在对边的垂直平分线上．满分解答（1）如图3，过点D作DH⊥BC于H．在Rt△DHC中，DC＝BC＝10，CH＝BC－AD＝10－4＝6，所以DH＝8．如图4，在Rt△AED中，AD＝4，设AE＝x，那么ED＝EB＝AB－AE＝8－x．由勾股定理，得AE2＋AD2＝ED2．所以x2＋42＝(8－x)2．解得x＝3．所以EB＝8－x＝5．图3 图4（2）如图5，因为EF⊥CE，所以∠2＋∠3＝90°．所以∠1＋∠4＝90°．又因为∠1＝∠2，根据等角的余角相等，得∠3＝∠4．又因为∠FGE＝∠FDE＝90°，EF＝EF，所以△GEF≌△DEF．所以EG＝ED＝5．所以GA＝GE－AE＝5－3＝2．如图6，过点F作FN⊥BC于N．在Rt△FNC中，FN＝GA＋AB＝2＋8＝10，设FD＝FG＝m，那么FC＝FD＋DC＝m＋10，NC＝BC－FG＝10－m．由勾股定理，得FN2＋NC2＝FC2．所以102＋(10－m)2＝(10＋m)2．解得m＝52．所以梯形ADFG的中位线＝1()2FG AD+＝15(4)22⨯+＝134．图5 图6（3）如图7，在Rt△BCE中，BE＝5，BC＝10，所以CE＝55．分三种情况讨论等腰三角形DEM．①如图7，当EM＝ED＝5时，CM＝CE－EM＝555．②如图8，当MD＝ME时，可证得DM是Rt△DEC斜边上的中线．所以CM＝EM＝12CE＝55．③如图9，当DE＝DM时，可证得DN//AN，CM是Rt△MNC的斜边．在Rt△MNC中，MN＝DN－DM＝8－5＝3，NC＝BC－AD＝10－4＝6，所以CM＝35．图7 图8 图9上面第②、③两种情况的解题过程如下：如图8，当MD＝ME时，∠MDE＝∠MED．根据等角的余角相等，得∠MDC＝∠MCD．所以DM＝CM．所以CM＝EM＝12CE55．如图9，当DE＝DM时，∠2＝∠5．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠5．所以DM//AB．所以∠MNC＝∠B＝90°．在Rt△MNC中，MN＝DN－DM＝8－5＝3，NC＝BC－AD＝10－4＝6，所以CM＝35例2020年上海市崇明区初二下学期期末第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(2, 0)、B(0, 4)，点C为线段AB的中点，点D为x轴上的动点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）当直线CD与直线AB互相垂直时，求点D的坐标；（3）以A、C、D三点为顶点的三角形能否成为等腰三角形？若能，请直接写出D点的坐标；若不能，请说明理由．图1动感体验打开几何画板文件名“20崇明24”，拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△ACD的顶点C、D各有一次机会落在对边的垂直平分线上，顶点A有两次机会落在对边的垂直平分线上．满分解答（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx＋4（k≠0）．将A(2, 0)代入，得2k＋4＝0．解得k＝－2．所以直线AB的函数表达式为y＝－2x＋4．（2）如图2，因为CD垂直平分AB，所以DA＝DB．设点D(x, 0)，根据DA2＝DB2列方程，得(x－2)2＝x2＋42．解得x＝－3．所以D(－3, 0)．（3）如图3，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，所以AB＝25．图2因为点C为线段AB的中点，所以AC＝5，C(1, 2)．分三种情况讨论等腰三角形ACD．①如图3，当AD＝AC＝5时，点D坐标为(2＋5, 0)或(2－5, 0)．②如图4，当DA＝DC时，根据DA2＝DC2列方程，得(x－2)2＝(x－1)2＋22．解得x＝12-，所以D(12-, 0)．③如图5，当CA＝CD时，点C在AD的垂直平分线上，所以D(0, 0)，此时点D与点O重合．图3 图4 图5例2020年上海崇明区初二下学期期末第25题如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为边AD上一动点，把△ABP沿BP翻折后得到△EBP．（1）当点E恰好落在矩形对角线BD上时，求线段AP的长；（2）当直线PE与边BC相交于点F时，△FBP是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论；（3）当直线PE与边BC相交于点F，且点E在线段PF上时，设AP＝x，BF＝y，求y 关于x的函数解析式，并写出函数定义域．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20崇明25”，拖动点P在AD上运动，观察左图，可以体验到，当点E落在矩形对角线BD上时，△DPE是直角三角形．观察中间图，可以体验到，△FBP 始终保持等腰三角形的形状不变．观察右图，可以体验到，当点E、F两点重合时，四边形ABFP是正方形．满分解答（1）如图2，在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8，所以BD＝10．在Rt△DPE中，DE＝BD－BE＝10－6＝4，设AP＝EP＝x，那么PD＝8－x．由勾股定理，得EP2＋DE2＝PD2．所以x2＋42＝(8－x)2．解得x＝3．所以AP＝3．（2）△FBP一定是等腰三角形．理由如下：如图3，因为AD//BC，所以∠1＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3．所以PF＝BF，△FBP是等腰三角形．（3）如图4，在Rt△BEF中，BE＝AE＝6，BF＝y，EF＝PF－PE＝y－x，由勾股定理，得BE2＋EF2＝BF2．所以62＋(y－x)2＝y2．整理，得y＝2362+xx．定义域是827-≤x≤6．当F、C两点重合，y＝8，解得x＝827-；当E、F两点重合时，x＝6．图2 图3 图4例2020年上海市奉贤区初二下学期期末第25题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－3x＋15交x轴于点A，交y轴于点B，点C在直线AB上，点D与点C关于原点对称，联结AD，过点C作CE∥AD交x轴于点E．（1）求点A、B坐标；（2）当点C的横坐标为2时，求点E坐标；（3）过点B作BF∥AD交直线DE于点F，如果四边形ABFD是矩形，求点C的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20奉贤25”，拖动点C在直线AB上运动，可以体验到，四边形ACED和四边形ABFD始终保持平行四边形的形状不变，矩形ABFD只存在一种情况，此时△ACD是直角三角形．满分解答（1）由y＝－3x＋15，当x＝0时，y＝15；当y＝0时，x＝5．所以A(5, 0)，B(0, 15)．（2）如图2，因为点D与点C关于原点对称，所以OC＝OD．因为CE∥AD，所以∠OCE＝∠ODA．又因为∠COE＝∠DOA，所以△COE≌△DOA．所以OE＝OA＝5．所以E(－5, 0)．也就是说，不论点C在直线AB上什么位置，点E 的位置都是确定的．（3）如图2，因为OC＝OD，OE＝OA，所以四边形ACED是平行四边形．所以AC//ED．如图3，又因为BF∥AD，所以四边形ABFD是平行四边形．如果四边形ABFD是矩形，那么∠CAD＝90°．所以AO是Rt△ACD斜边上的中线，所以OA＝OC＝OD＝5．设C(m,－3m＋15)，那么OC2＝m2＋(－3m＋15)2＝52．整理，得m2－9m＋20＝0．解得m1＝4，或m2＝5（此时点C与点A重合，舍去）．所以点C的坐标为(4, 3)．图2 图3例2020年上海市奉贤区初二下学期期末第26题如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝4，DC＝5，过点C作CE∥BD 交AD延长线于点E，联结BE交CD于点F．（1）当AB＝AD时，求BC的长；（2）设BC＝x，四边形BCED的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△BDF为直角三角形时，求BC的长．图1动感体验打开几何画板文件名“20奉贤26”，拖动点C运动，可以体验到，点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为5的圆，四边形BCED始终保持平行四边形的形状不变．点击按钮“∠DFB＝90°”，可以体验到，四边形BCED是菱形．点击按钮“∠BDF＝90°”，可以体验到，△BDC 是直角三角形．满分解答（1）如图2，作DH⊥BC于H，得到矩形ABHC和直角三角形DHC．在Rt△DHC中，DH＝AB＝AD＝4，DC＝5，所以HC＝3．所以BC＝BH＋HC＝AD＋HC＝4＋3＝7．（2）如图2，在Rt△DHC中，DC＝5，HC＝BC－BH＝x－4．由勾股定理，得DH2＝DC2－HC2＝52－(x－4)2．整理，得DH＝289-++x x．如图3，因为AE∥BC，CE∥BD，所以四边形BCED是平行四边形．所以y＝S四边形BCED＝BC∙DH＝289-++x x x．定义域是0＜x＜9．当点C落在AD的延长线上时，A、B两点重合，此时x＝BC＝AD＋DC＝4＋5＝9．图2 图3（3）分两种情况讨论直角三角形BDF．①如图4，当∠BFD＝90°时，BE垂直DC．所以四边形BCED是菱形．所以BD＝BC＝x．在Rt△DBH中，DH2＝DB2－BH2＝x2－42．在Rt△DCH中，DH2＝DC2－CH2＝52－(x－4)2．所以x2－42＝52－(x－4)2．整理，得2x2－8x－25＝0．解得1466+=x，或2466-=x（舍去）．所以BC 466+．②如图5，当∠BDC＝90°时，△BDC也是直角三角形．在Rt△DBH中，DB2＝DH2＋BH2＝52－(x－4)2＋42．在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC2＝DB2＋DC2．所以x2＝52－(x－4)2＋42＋52．整理，得x2－4x－25＝0．解得1229 =+x，或2229 =-x（舍去）．所以BC＝229+．图4 图5例2020年上海市虹口区初二下学期期末第24题如图1，一次函数y＝2x＋4的图像与x、y轴分别相交于点A、B，以AB为边作正方形ABCD，点C、D在直线AB的下方．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）设直线CD与x轴交于点E，点F为直角坐标平面xOy内一点，当四边形AECF 为等腰梯形时，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20虹口24”，可以体验到，四个直角三角形都全等，正方形ABCD 的外接矩形MNPQ也是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，以A、E、C、F为顶点的四边形为等腰梯形存在三种情况．满分解答（1）由y＝2x＋4，得A(－2, 0)，B(0, 4)．如图2，构造正方形ABCD的外接正方形MNPQ．因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3．又因为∠M＝∠N＝90°，AB＝BC，所以△ABM≌△BCN．所以CN＝BM＝OA＝2，BN＝AM＝OB＝4．所以C(4, 2)．（2）因为CD//AB，设直线CD的表达式为y＝2x＋b．代入点C(4, 2)，得8＋b＝2．解得b＝－6．图2所以直线CD的表达式为y＝2x－6．（3）由y＝2x－6，得E(3, 0)．分两种情况讨论四边形AECF为等腰梯形．①如图3，当FC//AE时，设等腰梯形的对称轴与x轴交于点H，与FC交于点G．由A(－2, 0)、E(3, 0)，得对称轴GH为直线x＝12．所以点C(4, 2)关于直线x＝12的对称点F的坐标为(－3, 2)．②如图4，当AF//CE时，点F在直线AB上．设F(m, 2m＋4 )．根据FC2＝AE2列方程，得(m－4)2＋(2m＋4－2)2＝52．解得m1＝1，或m2＝－1（此时四边形AECF为平行四边形，舍去）．所以F(1, 6)．图3 图4 图5拓展延伸第（3）题，问题若改为以A、E、C、F为顶点的四边形为等腰梯形，则还有一种情况．如图5，EF//AC．由A(－2, 0)、C(4, 2)，得直线AC的表达式为1233=+y x．设直线EF的解析式为13=+y x b，代入E(3, 0)，得1＋b＝0．解得b＝－1．所以直线EF的解析式为113=-y x．设F(n,113-n)．根据AF2＝CE2列方程，得(n＋2)2＋(113-n)2＝12＋22．整理，得2101093+=n n．解得n1＝0，或n2＝－3（此时四边形AECF为平行四边形，舍去）．所以F(0,－1)．例2020年上海市虹口区初二下学期期末第25题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，点D是射线CB上一点（点D与点C不重合），以AD为边作等边△ADE，且点E与点C在直线AD的异侧，过点E作EF⊥AB于点F．（1）求证：△ACD≌△AFE；（2）联结BE，设CD＝x，BE＝y，当点D在线段CB上时，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△ADB为等腰三角形时，求△ADB的面积．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20虹口25”，拖动点D在CB上运动，可以体验到，△ACD与△AFE 始终保持全等．点击屏幕左下方按钮“第（3）题”，拖动点D在射线CB上运动，可以体验到，△ADB是等腰三角形存在两种情况．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，所以AC＝2，∠BAC＝60°．因为△ADE是等边三角形，所以AD＝AE，∠DAE＝60°．所以∠BAC＝∠DAE．所以∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠1＝∠2．又因为EF⊥AB，所以∠AFE＝∠C＝90°．所以△ACD≌△AFE（AAS）．图2（2）如图2，由△ACD≌△AFE，得AF＝AC＝2，FE＝CD＝x．所以FB＝AB－AF＝4－2＝2．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2＝FE2＋FB2．所以y2＝x2＋22．整理，得24y x．=+定义域是0＜x≤23．（3）分两种情况讨论等腰三角形ADB．①如图3，当点D在线段CB上时，∠ADB是钝角，只存在DA＝DB的情况，所以∠3＝∠B＝30°．因此∠1＝30°．在Rt△ACD中，AC＝2，设CD＝m，那么AD＝2m．由勾股定理，得m2＋22＝(2m)2．解得m＝23±（舍去负值）．所以BD＝CB－CD＝2323-＝43．此时S△ADB＝12⋅BD AC＝43．②如图4，当点D在线段CB的延长线上时，∠ABD是钝角，只存在BA＝BD＝4的情况．此时S△ADB＝12⋅BD AC＝4．图3 图4。
沪教版数学八年级第二学期期末压轴题(答案)
1、已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5分）/2、如图，直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y =相交于点P . (1) 求点P 的坐标.(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由. |(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式.3、已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q（如图）.（1）试证明：AP =PQ ； （2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当APQ AOQ S S ∆∆=32时，求点P 的坐标.…DA 《ED CA B|FH G4、（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ， （1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．《…5、（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分, 第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积；（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式； （3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）.B图1图2，6、如图已知一次函数y =－x +7与正比例函数y =x 34的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O ﹣C ﹣A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒)0( t ．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是QA=QP 的等腰三角形若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．!7、已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合）， 过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），O ABC Pxy① 求证：PB=PE ；② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；[（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断 上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．\（1） 8、如图，已知在梯形ABCD 中，AD 60B ∠=︒120EMF ∠=︒A B C D A→→→→求证：∠A =2∠CBD ；（2） ？（3）当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示．试求CD 的长；（4） 在（2）的情况下，点P 从点A B C D A →→→→移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值；若不能，请说明理由．\*DCB|AE P 。
初二下学期压轴题(数学)
人教版八年级下册数学 第19章 一次函数 综合(压轴题)示范
人教版八年级下册数学第19章 一次函数 综合（压轴题）示范1．如图，直线l 1的解析式为y =12x+1，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过定点A 、B ，直线l 1与l 2交于点C ．（1）求直线的解析式； （2）求△ADC 的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使△BCE 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l 2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C 的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； （3）求得C 关于y 轴的对称点，然后求得经过这个点和B 点的直线解析式，直线与x 轴的交点就是E ． 【解析】（1）设l 2的解析式是y ＝kx+b ，根据题意得：{4k +b =0−k +b =5，解得{k =−1b =4，则函数的解析式是：y ＝﹣x+4；（2）在y =12x+1中令y ＝0，即y =12x+1＝0，解得：x ＝﹣2，则D 的坐标是（﹣2，0）． 解方程组{y =−x +4y =12x +1，解得{x =2y =2，则C 的坐标是（2，2）．则S △ADC =12×AD ×y C =12×6×2＝6；（3）存在，理由：设C （2，2）关于y 轴的对称点C ′（2，﹣2），连接BC ′交x 轴于点E ，则点E 为所求点， △BCE 的周长＝BC+BE+CE ＝BC+BE+C ′E ＝BC+BC ′为最小，设经过（2，﹣2）和B 的函数解析式是y ＝mx+n ，则{2m +n =−2−m +m =5，解得：{m =−73n =83， 则直线的解析式是y =−73x +83，令y ＝0，则y =−73x +83=0，解得：x =87．则E 的坐标是（87，0）．【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E 的位置是本题的关键． 2、矩形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），BC ＝2AB ，直线经过点B ，交AD 边于点P 1，此时直线l 的函数表达式是y ＝2x ＋1． （1）求BC ，AP 1的长；（2）沿y 轴负方向平移直线l ，分别交AD ，BC 边于点P ，E ． ①当四边形BEPP 1是菱形时，求平移的距离；②设AP ＝m ，当直线l 把矩形ABCD 分成两部分的面积之比为3:5时，求m 的值．解：（1）∵直线y ＝2x ＋1经过y 轴上的B 点，∴B （0，1），又∵A 的坐 标为（0，3）；∴AB=2;BC=2AB=4；P 1（1，3）；AP 1=1；（2）①当四边形BEPP 1是菱形时，BP 1=BE=5；∴E （5，1）；设平移之后的直线解析式为：y ＝2x ＋b ，将点E 代入；b=1-25； 与y 轴的交点B ’（0，1-25），∴沿y 轴负方向平移距离为25；②∵AP=m ；AP 1=1；PP 1=BE=m-1；而S 梯形ABEP =83S 矩形ABCD 或S 梯形ABEP =85S 矩形ABCD ； ∴53m 1-m 221或）（=+⨯；m=2或3. 3、如图，一次函数y 1=54x+n 与x 轴交于点B ，一次函数y 2=−34x+m 与y 轴交于点C ，且它们的图象都经过点D （1，−74）．（1）则点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 ；（2）在x 轴上有一点P （t ，0），且t ＞125，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值；（3）在（2）的条件下，在y 轴的右侧，以CP 为腰作等腰直角△CPM ，直接写出满足条件的点M 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y ＝0和x ＝0，可得B 、C 点坐标； （2）根据面积的和差，可得关于t 的方程，根据解方程，可得答案；（3）分情况讨论，注意是在y 轴的右侧，有三个符合条件的点M ，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M 的坐标．【解析】（1）将D （1，−74）代入y =54x+n ，解得n ＝﹣3，即y =54x ﹣3，当y ＝0时，54x ﹣3＝0．解得x =125，即B 点坐标为（125，0）； 将（1，−74）代入y =−34x+m ，解得m ＝﹣1，即y =−34x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1．即C 坐标为（0，﹣1）； （2）如图1，S △BDP =12（t −125）×|−74|=78t −2110，当y ＝0时，−34x ﹣1＝0，解得x =−43，即E 点坐标为（−43，0）， S △CDP ＝S △DPE ﹣S △CPE =12（t +43）×74−12×（t +43）×|﹣1|=38t +12，由△BDP 和△CDP 的面积相等，得：78t −2110=38t +12，解得t ＝5.2；（3）以CP 为腰作等腰直角△CPM ，有以下两种情况： ①如图2，当以点C 为直角顶点，CP 为腰时，点M 1在y 轴的左侧，不符合题意，过M 2作M 2A ⊥y 轴于A ， ∵∠PCM 2＝∠PCO+∠ACM 2＝∠PCO+∠OPC ＝90°，∴∠ACM 2＝∠OPC ，∵∠POC ＝∠CAM 2，PC ＝CM 2，∴△POC ≌△CAM 2（AAS ），∴PO ＝AC ＝5.2，OC ＝AM 2＝1， ∴M 2（1，﹣6.2）；②如图3，当以点P 为直角顶点，CP 为腰时，过M 4作M 4E ⊥x 轴于E ，同理得△COP ≌△PEM 4，∴OC ＝EP ＝1，OP ＝M 4E ＝5.2，∴M 4（6.2，﹣5.2）， 同理得M 3（4.2，5.2）；综上所述，满足条件的点M 的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．【小结】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t 的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键．4、如图，已知直线y ＝2x+2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，点C 的坐标为（﹣3，1）． （1）直接写出点A 的坐标 ，点B 的坐标 ． （2）求证△ABC 是等腰直角三角形．（3）若直线AC 交x 轴于点M ，点P （−52，k ）是线段BC 上一点，在线段BM 上是否存在一点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）作CD ⊥x 轴于点D ，证明△CDB ≌△BOA （SAS ）即可解决问题． （3）求出点P 的坐标，利用面积法求出BN 的长即可解决问题．【解答】（1）对于直线y ＝2x+2，令x ＝0，得到y ＝2，令y ＝0，得到x ＝﹣1，∴A （0，2），B （﹣1，0）． （2）证明：作CD ⊥x 轴于点D ，由题意可得CD ＝1，OD ＝3，OB ＝1，OA ＝2，∴CD ＝OB ＝1，BD ＝OA ＝2， ∵∠CDB ＝∠AOB ＝90˚，∴△CDB ≌△BOA （SAS ），∴BC ＝BA ，∠CBD ＝∠BAO ，∵∠ABO+∠BAO ＝90˚，∴∠ABO+∠CBD ＝90˚，即∠ABC ＝90˚，∴△ABC 是等腰直角三角形． （3）∵P （−52，k ）在直线BC ：y =−12x −12上，∴P (−52，34)，∵直线AC ：y =13x +2交x 轴于M ，∴M （﹣6，0），∵S △BCM =12×5×1=52，假设存在点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积，则S △BPN =12⋅BN ⋅34=12×52，∴BN =103，∴ON ＝BN+OB =103+1=133，∴N(−133，0)．【小结】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx+8分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知A 点坐标（6，0），点C 在直线AB 上，横坐标为3，点D 是x 轴正半轴上的一个动点，连结CD ，以CD 为直角边在右侧构造一个等腰Rt △CDE ，且∠CDE ＝90°．（1）求直线AB 的解析式以及C 点坐标；（2）设点D 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示点E 的坐标；（3）如图2，连结OC ，OE ，请直接写出使得△OCE 周长最小时，点E 的坐标． 【分析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，即可求解； （2）证明△CDF ≌△DEG （AAS ），则CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，OG ＝4+m ，则E （4+m ，m ﹣3）； （3）过点O 作直线l 的对称点O ′，连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，即可求解． 【解析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，∴y =−43x +8，把x ＝3代入，得y ＝4，∴C （3，4）； （2）作CF ⊥x 轴于点F ，EG ⊥x 轴于点G ，∵△CDE 是等腰直角三角形，∴CD ＝DE ，∠CDE ＝90°， ∴∠CDF ＝90°﹣∠EDG ＝∠DEG ，且∠CFD ＝∠DGE ＝90°，∴△CDF ≌△DEG （AAS ）∴CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，∴OG ＝4+m ，∴E （4+m ，m ﹣3）； （3）点E （4+m ，m ﹣3），则点E 在直线l ：y ＝x ﹣7上，设：直线l 交y 轴于点H （0，﹣7），过点O 作直线l 的对称点O ′， ∵直线l 的倾斜角为45°，则HO ′∥x 轴，则点O ′（7，﹣7）， 连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，OC 是常数，△OCE 周长＝OC+CE+OE ＝OC+OE ′+CE ′＝OC+CE ′+O ′E ′＝OC+CO ′为最小，由点C 、O ′的坐标得，直线CO ′的表达式为：y =−114x +494联立{y =x −7y =−114x +494，解得：{x =7715y =−2815，故：E(7715，−2815)． 【小结】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．6．如图①，直线y ＝x ＋1交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，OB ＝30A ，M 在直线AC 上，AC ＝CM ． （1）求直线BM 的解析式；（2）如图①，点N 在MB 的延长线上，BN ＝AC ，连CN 交x 轴于点P ，求点P 的坐标；（3）如图②，连接OM ，在直线BM 上是否存在点K ，使得∠MOK ＝45°，若存在，求点K 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）利用A(-1,0)；C （0,1）；AC=AM;∴M （1,2）；B （3,0）；∴BM ：y ＝-x ＋3．（2）过C 作CS ∥MN 交x 轴与S 点，可证△PCS ≌△PNB ，可证P 为BS 的中点，可证OA=OS=1; 则BS=2；则P （2,0）。
专题12 一次函数解答题压轴训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题12 一次函数解答题压轴训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，定义如下：点M 与点N 的“直角距离”为1212x x y y -+-，记作MN d ．例如：点()1,5M 与()7,2N 的“直角距离”17529MN d =-+-=．（1）已知点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则在这四个点中，与原点O 的“直角距离”等于1的点是__________；（2）如图，已知点()()1,0,0,1A B ，根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O 的“直角距离”都等于1．若点P 与原点O 的“直角距离”1OP d =．请在图中将所有满足条件的点P 组成的图形补全； （3）已知直线2y kx =+，点(),0C t 是x 轴上的一个动点．①当3t =时，若直线2y kx =+上存在点D ，满足1CD d =，求k 的取值范围；①当2k =-时，直线2y kx =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上任意一点H 都满足14CH d ≤≤，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）P 1，P 4；（2）见解析；（3）①-1≤k ≤13-；①-2≤t≤0或t=2 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；（2）根据“直角距离”的定义得|x |+|y |=1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）①先根据题意可得点C 的坐标为（3，0），根据d CD =1，并由（2）可得：点D 在正方形EFMN 边上，如图2，通过观察图2可得：k 的最大值是过点E 的直线，k 的最小值是过F ，M 的直线，代入可得结论；①根据k =-2可得直线EF 的解析式为：y =-2x +2，计算点E 和F 的坐标，设H （m ，-2m +2），根据点H 在线段EF 上，可得0≤m ≤1，根据“直角距离”的定义列式得d CH =|t -m |+|-2m +2|=|t -m |-2m +2，列不等式后分两种情况进行讨论可得结论． 【详解】解：（1）①点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①d P 1O =|-1|+0=1，d P 2O =31222-+=，d P 3O =113244-+-=，d P 4O =11122-+-=， ①与原点O 的“直角距离”等于1的点是P 1，P 4； 故答案为：P 1，P 4； （2）设P （x ，y ），①点P 与原点O 的“直角距离”d OP =1， ①|x |+|y |=1，当x ＞0，y ＞0时，x +y =1，即y =-x +1， 当x ＞0，y ＜0时，x -y =1，即y =x -1， 当x ＜0，y ＞0时，-x +y =1，即y =x +1， 当x ＜0，y ＜0时，-x -y =1，即y =-x -1， 如图1所示，（3）①当t =3时，点C 的坐标为（3，0），由（2）可得：d CD =1，则点D 在正方形EFMN 边上，如图2，①F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），又①点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k 的最小值是过F，M的直线，把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=13 -，把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，故k的取值范围是：-1≤k≤13 -，①当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，①E（1，0），F（0，2），设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），d CH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，①1≤d CH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，又0≤-2m+2≤2，即-1≤|m-t|≤4，当t≤m时，有-1≤m-t≤4，①0≤m≤1，①-4≤t≤2，又t≤m，①-4≤t≤1，当t＞m时，有-1≤t-m≤4，①0≤m≤1，①-1≤t ≤5， 又t ＞m ， ①1≤t ≤5，当-4≤t ＜-2时，d CH ＞4，不符合题意， 当0＜t ＜2时，d CH ＜1，不符合题意， 当2＜t≤5时，d CH ＞4，不符合题意， 综上，t 的取值范围为：-2≤t≤0或t=2． 【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．2．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，4OA =，2OC =，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点．（1）若四边形OABC 为长方形，如图1，①若点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上中点，求直线PQ 的解析式； ①若BQ BP =，且点1B 落在AC 上，求点1B 的坐标；（2）若四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC AC ⊥，过点1B 作1//B F x 轴，与对角线AC ，边OC 分别交于点E ，点F ．若11:1:3B E B F =，点1B 的横坐标为m ，求点1B 的纵坐标（用含m 的代数式表示）【答案】（1）①132y x =-+；①8(3，2)3；（2）5或2 【分析】（1）①根据A 、C 坐标和中点的定义得到P 、Q 坐标，再利用待定系数法求解． ①求出直线AC 的解析式，利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，分别求解即可解决问题． 【详解】 解：（1）①4=OA ，2OC =，四边形OABC 是矩形，①BC =4，AB =2， ①B （4，2），又点P 和点Q 是BC 和AB 中点，①P （2，2），Q （4，1），设PQ 的解析式为y kx b =+，则2214k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①PQ 的解析式为132y x =-+； ①设BP BQ a ==，则1(4,2)B a a --，如图1，设直线AC 的解析式是12y k x =+，把(4,0)A 代入，得1042k =+，解得112k =-，∴直线AC 的解析式是122y x =-+， 把1(4,2)B a a --代入上式，得12(4)22a a -=--+，解得43a =．18(3B ∴，2)3；（2）4=OA ，2OC =，OC AC ⊥，30OAC ∴∠=︒，C ．11:1:3B E B F =，∴有以下两种情况：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，由题意可知1(0)B G m m =>，设GF b =，则OG =，2OF b =， 22CF b ∴=-，2(22)44FE b b =-=-，11222B E EF b ∴==-，(44)(22)b b b m ∴+-+-=，解得65mb -=．∴点1B①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，同理可求得1B综上所述，满足条件的1B 的纵坐标为5或2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，且ABO 的面积为9．（1）如图1，求k 的值；（2）如图2，若点P 是线段AO 上的一动点，过点P 作PC ①AB ，交y 轴于点C ，设点P 的横坐标为t ，线段BC 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点D 为线段AB 的延长线上一点，连接DO ，DO 与PC的延长线交于点E ，若①BPC ＝2①BOD ，BP ﹣PE ，求点D 的坐标． 【答案】（1）k ＝12；（2）d ＝12t +3；（3）(1，72) 【分析】（1）根据题意先求出点A ，B 的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；（2）先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC 的解析式，进而求出点C 的坐标，即可得到答案；（3）在y 轴的负半轴上取一点F ，使FO ＝BO ＝3，连接PF ，延长DO 交PF 于点G ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ，证明①BHD 和①FGO ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），根据题意建立方程求解． 【详解】解：（1）①直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，①A（﹣3k，0），B（0，3），①OA＝|﹣3k|，OB＝3，①S①ABO＝12•OA•OB＝12×|﹣3k|×3＝92|1k|，①S①ABO＝9，①92|1k|＝9，解得：k＝±12，①由题图知k＞0，①k＝12；（2）①PC//AB，P（t，0），设直线PC的解析式为y＝12x+n，则0=12t+n，①n=-12t，①直线PC的解析式为y＝12x﹣12t，令x＝0，得y＝﹣12t，①C（0，﹣12 t），①BC＝3﹣（﹣12t）＝12t+3，①线段BC的长为d，①d＝12t+3；（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，①BF ①PO ，FO ＝BO ， ①BP ＝PF ，设①BOD ＝α，①PBO ＝β， ①①BPC ＝2①BOD ，①①BPC ＝2α，①OFG ＝①PBO ＝β，①GOF ＝①BOD ＝α， ①PGE ＝①PFO +①GOF ＝α+β，①①BCE ＝①PBO +①BPC ＝①BOD +①PEO ， ①β+2α＝α+①PEO ， ①①PEO ＝α+β， ①①PEO ＝①PGE ， ①PE ＝PG ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ， ①①BHD ＝①PGE ，①BHO ＝①FGO ， ①PC //AB ， ①①BHD ＝①PEO ， ①①BHD ＝①BDH ， ①BD ＝BH ，在①BHO 和①FGO 中，BOH FOG BHO FGO BO FO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①BHO 和①FGO （AAS ），①GF ＝BH ＝BD ，①BP ﹣PE ，BP ＝PF ，PE ＝PG ，①PF ﹣PG ，即GF ，①BD ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），且m ＞0，则TD ＝m ， TB ＝TO ﹣BO ＝12m +3﹣3＝12m ， 在Rt ①BTD 中，TD 2+BT 2＝BD 2，即m 2+（12m ）2）2， 解得：m 1＝1，m 2＝﹣1， 当m ＝1时，12m +3＝12×1+3＝72， ①D (1，72)． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．4．一次函数y x +2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边①ABC ．（1）求C 点的坐标；（2）在第二象限内有一点M （m ，1），使S ①ABM ＝S ①ABC ，求M 点的坐标；（3）将①ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将①ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ①y 轴于G ．求①EFG 的面积．【答案】（1）(-4)；（2）(-1)；（3）2【分析】（1）先求得A 、B 的坐标，然后可得到30BAO ∠=︒，依据含30直角三角形的性质可得到24AB OB ==，则90CAO ∠=︒，然后依据勾股定理求得AB 的长，从而可得到点C 的坐标；（2）过点C 作//CM AB ，则ABM ABC S S ∆∆=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C 的坐标代入求得b 的值，然后将1y =代入MC 的解析式可求得点M 的横坐标；（3）先求出30FHG ∠=︒，进而表示出FG ，EG ，用勾股定理建立方程求出2a ，最后用面积公式即可得出结论．【详解】解：（1）当0x =时，2y =，(0,2)B ∴．当0y =时，x =-(A ∴-，0)．2OB ∴=，=OA30BAO ∴∠=︒，24AB OB ==．ABC ∆为等边三角形，60ACB ∠=︒∴．90CAO ∴∠=︒．(C ∴-4)．（2）如图，过点C 作//CM AB ．//CM AB ，ABM ABC S S ∆∆∴=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C (4b -+=，解得6b =．∴直线CM 的解析式为6y x =+．将1y =代入MC 的解析式得：16x =+，解得：x =-，(M ∴-1)． （3）如图，由（1）知(A -0)，(0,2)B ，4AB ∴=，ABC ∆为等边三角形，4BC AB ∴==，由折叠知，4BE BC ==，由旋转知，4EF BE ==，15BEF ∠=︒，取EG 上取一点H 使，EH FH =，连接FH ，30FHG ∴∠=︒，设FG a =，HG ∴=，2FH a =，2EH a ∴=，2(2EG EH HG a a ∴=+==，在Rt EFG △中，根据勾股定理得，22[(2]16a a +=，2a ∴=211(2222EFG S EG FG a a ∆∴=⨯=+⨯== 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．5．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4．点P 从点A 出发，沿A →D →C →D 运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点 A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度． P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）．连结PQ 、AC 、CP 、CQ ．（1）点P 到点C 时，t = ； 当点Q 到终点时，点P 的运动路程为 ； （2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）设①CPQ 的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式；（4）如图①，当点P 在线段DC 上运动时，将①APQ 沿PQ 折叠，点A 落在平面内的点A ′ 处，PQ 与AC 交于点E ．当QA '与①ACD 的边DC 、AC 平行时，直接写出t 的值．【答案】（1）6，16（2）当0＜t ≤2时，PD = 4－2t ，当2＜t ≤6时PD = 2t －4，当6＜t ≤8时，PD = 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s t t =-+210，当2＜t ≤6时，s t =-+424，当6＜t ≤8时，s t =-424；（4）,,t t t t ===-=+12342041243【分析】（1）计算AC 的长，除以速度即可；计算点Q 的运算时间AB ÷速度，得到的时间乘以点P 的速度即可；（2）根据t 的运动特点，分0＜t ≤2，2＜t ≤6，6＜t ≤8三种情形计算；（3）根据（2）的情形，对应计算三角形的面积即可；（4）在2＜t ≤6，6＜t ≤8两种情形下，分别计算QA '∥DC 和QA '∥AC 计算．【详解】解：（1）当点P 到点C 时 ， t =122=6， ①点Q 的运动时间为：8÷1=8，故答案为：6,16；①点P 的运动路程为2×8=16（2）当0＜t ≤2时，①P A =2t ，P A +PD =AD =4，①PD = 4－2t ；当2＜t ≤6时，①P A =2t ，AD +PD =P A ，AD =4，①PD = 2t －4；当6＜t ≤8时， ①2t =AD +CD +PC ，PC +PD =CD ，AD =4，①PD =8-(2t -12)= 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s =111482(42)8(8)4222t t t t ⨯-⨯⨯--⨯--⨯ 210t t =-+；当2＜t ≤6时，1(122)44242s t t =-⨯=-+； 当6＜t ≤8时， 1(212)44242s t t =-⨯=-； （4）当2＜t ≤6，且QA '∥AC 时，如图1，根据折叠的意义，得①AQP =①A 'QP ，①四边形ABCD 是矩形，①AB∥CD ，①①AQP =①CPE ，①QA '∥AC ,①①A 'QP =①CEP ，①①AEQ=①CEP，①①AQP=①CPE=①A'QP =①CEP=①AEQ，①AE=AQ，CP=CE，①四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4①BC=4,①ABC=90°，AC=设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①CP=12-P A=12-2t，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①12-2t+t=①t=12-当2＜t≤6，且QA'∥DC时，如图2，根据折叠的意义，得①AQP=①A'QP=90°，①四边形ABCD是矩形，①①DAQ=90°，①AD∥PQ，①四边形AQPD是矩形，①PD=AQ，设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①PD=2t-4，①2t-4=t,①t=4；当6＜t≤8，且QA'∥AC时，如图3，根据前面的证明，得到AC=CP=CE,AQ=AE，设点Q运动时间为t，则AQ=t, CP=2t-12，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①2t-12+t=①t=4+；3当6＜t≤8，且QA'∥DC时，如图4，根据前面的证明，得到AQ=PD，设点Q运动时间为t，则AQ=t, DP=20-2t，①20-2t =t ,①t =203；综上所得，t 的值为,,t t t t ===-=+12342041243 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，函数的表达式，分类思想，灵活运用分类思想，适当分割图形表示面积是解题的关键． 6．某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元． （1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？【答案】（1）购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）200400a ≤≤；（3）购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低【分析】（1）设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得； （2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，即可得出W 关于a 的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．【详解】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x 元，乙种树苗的单价为y 元．依题意得： 5020500030102800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：x 60y 100=⎧⎨=⎩， 答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意得，60100(500)4200015004a a a a +-≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩， 解得，200400a ≤≤．①甲种树苗数量a 的取值范围是200400a ≤≤．（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，①60100(500)5000040W a a a =+-=-．①400-<，①W 值随a 值的增大而减小，①200400a ≤≤，①当400a =时，W 取最小值，最小值为500004040034000-⨯=元．即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，不等式组的解法，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．7．如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合．①求点G 、点E 的坐标；①若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；①-15≤n ≤-4；（2）5 【分析】（1）①根据折叠的性质求出OG ，根据勾股定理计算求出GN ，得到点G 的坐标，设CE =x ，根据勾股定理求出x ，求出点E 的坐标；①利用待定系数法求出OE 所在直线的解析式，根据平行的性质求出m ，分别把点M 、点A 的坐标代入解析式求出n ，得到答案；（2）连接OB ，OG ，求出BC =OC =OG =5，推出当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，从而计算．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=，①点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ，①GN =4，①GM =5-4=1，在Rt ①EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+， 解得：x =53， ①点E 的坐标为（53，5）； 设OE 所在直线的解析式为：y =kx ， 则53k =5， 解得，k =3，①OE 所在直线的解析式为：y =3x ，①直线l ：y =mx +n 平行于直线OE ，①m =3，即直线l 的解析式为y =3x +n ，当直线l 经过点M （3，5）时，5=3×3+n ，解得，n =-4，当直线l 经过点A （5，0）时，0=3×5+n ，解得，n =-15，①直线l 与长方形ABMN 有公共点时，-15≤n ≤-4；（3）连接OB ，OG ，①OC =BC =5，①OCB =90°，①BC =①点C 关于直线OE 的对称点为点G ，①OC =OG =5，①BG ≥OB -OG ，①当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，①BG 的最小值为5．【点睛】本题考查的是一次函数的知识、折叠的性质、最短路径问题，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤，得到O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值是解题的关键． 8．如图，正方形ABCD 边长10AB =cm ，点E 在边AD 上，且4AE =cm ，点N 从点A 出发，以5cm/s 的速度在A 、B 之间往返匀速运动，同时，点M 从点E 出发，以2cm/s 的速度沿路径E D C →→匀速运动，当点M 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t （单位：s ）．在运动过程中AMN 的面积S （单位：2cm ）随运动时间t 的变化而变化．（1）当点N 运动到点B 时，求t 值及此时AMN ∆的面积．（2）在整个运动过程中，求S 与t 的关系式．【答案】（1）t =2，此时AMN ∆的面积=402cm ；（2）见解析【分析】（1）先根据点N 的运动速度得出时间，再得出AM 的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案；（2）分①当0＜t ≤2时，①当2＜t ≤3时，①当3＜t ≤4时，①当4＜t ≤6时，①当6＜t ≤8时，五种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）①当点N 运动到点B 时，10AB =cm ，点N 的速度为5cm /s ， ①t=2s 5=AB ， ①点M 的速度为2cm /s ，①EM =2×2=4cm ，①AM =AE +EM =4+4=8，①AMN ∆的面积=21181040cm 22⨯⨯=⨯⨯=AM AB ． （2）①当点M 运动到点C 时，两点都停止运动， ①20-4t=8s 2=， ①当0＜t ≤2时，AN =5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()2115t 4+2t 5t +10t 22⨯⨯=⨯⨯=AM AN ； ①当2＜t ≤3时，AN =20-5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()()21120-5t 4+2t -5t +10t+4022⨯⨯=⨯=AM AN ； ①当3＜t ≤4时，AN =20-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110520-5t -25t+1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当4＜t ≤6时，AN =5t -20，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()11055t-2025t-1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当6＜t ≤8时，AN =40-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110540-5t 25t+2002⨯⨯=⨯=-AN ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积计算，分类讨论的数学思想，确定点M 、N 所在的位置，是解决本题的关键．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴相交于()6,0A 、()0,2B 两点，动点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90︒得到CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上时，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．（1）求证：BOC CED ≌；（2）求经过A 、B 两点的一次函数表达式．如图2，将BCD △沿x 轴正方向平移得B C D '''∠，当直线B C ''经过点D 时，求点D 的坐标及B C D '''∠的面积；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）123y x=-+，()3,1D，2.5；（3）存在，)1,0P，)1,0P，()5,0P．【分析】(1)由“”AAS即可证明Rt BOC Rt CED≅；(2)由B C D'''∠的面积BCD=∆的面积2BCOBOEDS S=-梯形，即可求解；(3)分PC PD=、PC CD=、PD CD=三种情况，分别求解即可．【详解】解：()190BOC BCD CED∠=∠=∠=︒，①90OCB DCE∠+∠=︒，90DCE CDE∠+∠=︒，①BCO CDE∠=∠，BC CD=，①()Rt BOC Rt CED AAS≅；()2设直线AB解析式为y kx b=+，把()6,0A，()0,2B代入上式得062k bb=+⎧⎨=⎩，解得132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AB的解析式为123y x=-+，由BOC CED≅得：CO DE=，设CO DE m==，而2OB CE==，()2,D m m∴+，点D在直线123y x=-+上，把()2,D m m+代入上式并解得1m=，()3,1D ∴，点()1,0C ，B C D '''∠的面积BCD =∆的面积()112123221 2.522BCO BOED S S =-=⨯+⨯-⨯⨯⨯=梯形； ()3存在，理由：设点P 的坐标为(,0)t ，而点C 、D 的坐标分别为()1,0、()3,1，由点P 、C 、D 的坐标得：22(1)PC t =-，22(3)+1PD t =-，22215CD =+=，当PC PD =时，则22(1)(3)1t t -=-+， 解得：94t =， 当PC CD =时，则2(1)5t -=，解得：1t =当PD CD =时，则2(3)15t -+=，解得：1t =(舍去)或5，故点P 的坐标为9,04⎛⎫⎪⎝⎭或)1,0或()1或()5,0． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等和面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．10．已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家，图中x 表示时间（单位是分钟），y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：（2）填空：①小明在文化宫停留了________min ；①小明从家到体育场的速度为________km/min ；①小明从文化宫回家的平均速度为_________km/min ；①当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_______min ．（3）当045x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）23，1，0.5；（2）①25；①115；①160①9或42；（3）1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩ 【分析】（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数，利用待定系数法解得该正比例函数，再依次代入x =10，x =15解题，从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ，据此计算填表；（2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，将二者时间相减即可解题；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，根据速度公式解题；①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，根据速度公式解题；①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤令0.6y =，解得他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数，利用待定系数法解得此函数，再计算当0.6y =时，x 的值即可解题；（3）由（1）（2）中的解析式解题．【详解】解：（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数， 设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的关系式为：(0,015)y kx k x =≠≤≤ 把(15,1)代入得，115k = 1(015)15y x x ∴=≤≤ 当x =10时，1210153y =⨯=， 当x =15时，115115y =⨯=， 从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ， 故答案为：23；1；0.5； （2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，故小明在文化馆停留了：70-45=25min ；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，则速度为：11/min 15min 15km km =； ①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，回到家中，则速度为：0.51/min (10070)min 60km km =-； ①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤当0.6y =时，即10.615x =， 9x ∴=，则小明第一次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数， 则设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的函数关系式为：(0,3045)y kx b k x =+≠≤≤将(30,1),(45,0.5)代入得，301450.5k b k b +=⎧⎨+=⎩ 1302k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩12(3045)30y x x ∴=-+≤≤ 则当0.6y =时，即120.630x -+= 42x ∴=则小明第二次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为42min ，故答案为：①25；①115；①160①9或42； （3）由图可知，在15min 到30min 之间小明离家的距离不变1km,由（1）（2）1,(015)15y x x =≤≤和12(3045)30y x x =-+≤≤知， 当045x ≤≤时，1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩．【点睛】本题考查函数的图象与性质、待定系数法解一次函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条可以从南京——镇江——扬州——淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁最高速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为y1千米，图①中的折线O—A—B—C—D—E表示在整个行驶过程中y1与x的函数图像．（1）甲车速度为千米/分；（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发多久后与甲车相遇？（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为．【答案】（1）3；（2）乙车出发30分钟后与甲相遇；（3）307＜v乙＜5或278＜v乙＜154【分析】（1）根据线段OA段然后利用速度=路程÷时间求解即可；（2）首先求出乙车的速度，然后表示出乙车行驶的路程，然后根据甲乙的路程相等即可求出时间；（3）分别求出三种临界状态：①甲、乙两车在镇江站之前相遇；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小；①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，然后即可得出乙车的速度的范围．【详解】解：（1）根据线段OA段，30分钟行驶了90千米，①甲车的速度为90303÷=千米/分；（2）①乙车行驶1小时到达淮安，①乙车的速度为27060 4.5÷=千米/分，①y乙＝4.5（x－20），y BC＝90+3（x－35），当y乙＝y BC时，4.5（x－20）＝90+3（x－35）解得：x＝50，50－20＝30．所以，乙车出发30分钟后与甲相遇．（3）①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小，则v乙909 3020>=-，由题意得v乙5≤，故不符合题意；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小，则150 5520<-v乙903520<-，即307<v乙6<，①v乙5≤，①307<v乙6<①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，则270 10020<-v乙1506020<-，即278<v乙154<，综上所述，307＜v乙＜5或278＜v乙＜154．【点睛】本题主要考查一次函数与行程问题，利用方程的思想解题是关键．12．问题提出（1）如图①，在Rt①ABC中，①A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将①ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图①，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a①b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断①AOM与①BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图①，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）图见解析，52；（2）S①AOM＝S①BON，理由见解析；（3）存在，549y x=-+【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将①ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出①AOM与①BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则①OBG的面积等于①AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为①BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【详解】（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，①BC25AC+=，①点D为BC的中点，①AD＝12BC＝52．（2）S①AOM＝S①BON，理由如下：由图可知，S①AOM＝S①ABM﹣S①AOB，S①BON＝S①ABN﹣S①AOB，如图①，过点M作MD①AB于点D，过点N作NE①AB于点E，①MD①NE，①MDE＝90°，又①MN①DE，①四边形MDEN是矩形，①MD＝NE，①S①ABM＝12AB MD⋅⋅，S①ABN＝12AB NE⋅⋅，①S①ABM＝S①ABN，①S①AOM＝S①BON．（3）存在，直线BP的表达式为：y＝59-x+4．如图①，连接AB，过点O作OF①AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，由（2）的结论可知，S ①OBG ＝S ①AFG ，①S 四边形OACB ＝S ①BCF ，取CF 的中点P ，作直线BP ，直线BP 即为所求．①A (4,0)，B (0,4)，C (6,6)，①线段AB 所在直线表达式为：y ＝﹣x +4，线段AC 所在直线的表达式为：y ＝3x ﹣12，①OF ①AB ，且直线OF 过原点，①直线OF 的表达式为：y ＝﹣x ，联立312y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， ①F （3，﹣3），①点P 是CF 的中点，①P 93(,)22，①直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．13．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．05a <（1）若印制2千册，则共需多少元？（2）该校先印制了x 千册纪念册，后发现统计失误，补印了y （5y ）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x 的代数式表示y ．①若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？【答案】（1）28600元；（2）①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩；①101200元． 【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．（2）①分05x <≤和5x ≥两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；①先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可．【详解】解：（1）①印制的册数为2千册，①彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页，①需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一种情况当05x <≤时， 2.1410000.86100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，13200220011000x y +=，即 1.20.2y x =+，①5y ≥，①1.20.25x +≥即45x ≤<；第二种情况当5x ≥时，2410000.56100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，11000220011000x y +=即0.2y x =+，①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩， ①设两次一共需要印刷的册数为m ，需要的钱数为W ，则m x y =+，()()2410000.5610002200W x y x y =⨯⨯++⨯⨯++，①()110002200W x y =++，①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()242004400452200044005x x W x x ⎧+≤<⎪=⎨+≥⎪⎩， 故()()24200444001012004522000544001144005x W x ⎧⨯+=≤<⎪=⎨⨯+=≥⎪⎩最小， 故当4x =，5y =时所需要的的钱数最少为101200元．【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解．14．太湖龙之梦动物世界车行区全程总长7200米，某一时刻一辆私家车和一辆观光车同时驶入车行区，行驶过程中均为匀速行驶，私家车在最后一站骆驼观赏区停车投喂后快速离开．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，线段OA 和折线O B C A ---分别为观光车，私家车行驶的路程12,y y （米）和行驶时间x （分）的函数关系的图象．请结合图象解答下列问题：。
八年级数学一次函数压轴题练习题
一次函数典型例题题型一、A卷压轴题一、A卷中涉及到的面积问题例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数122 3y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线2 (0)y kx b k=+≠经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．（1）求△ABO的面积；（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。
练习1、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （4，0），直线2l ：121+=x y与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。
（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。
二、A 卷中涉及到的平移问题例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。
①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.ABCODxy1l 2l练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：x y 34=与直线2l ：b kx y += 相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴于点B ，且OB OA 21=。
（1）试求直线2l 函数表达式。
（6分）（2）若将直线1l 沿着x 轴向左平移3个单位，交 y 轴于点C ，交直线2l 于点D ；试求 △BCD 的面积。
（4分）。
题型二、B 卷压轴题 一、一次函数与特殊四边形例1、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A<OB)是方程组⎩⎨⎧=+-=632y x yx 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD=52(1)求点C 的坐标； (2)求直线AD 的解析式；(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．练习1、.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA 是一次函数y=x+m (m>0)的图象,直线PB 是一次函数n n x y (3+-=>m )的图象,点P 是两直线的交点,点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。
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1. 在梯形ABCD中， AD∥BC，cmADCDAB5===，BC=11cm，点P从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度移动（当点P到达点A时，点P与点Q同时停止移动），假设点P移动的时间为x（秒），四边形ABQP的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP的面积与四边形QCDP的面积相等时x的值；（3）在移动的过程中，是否存在x使得PQ=AB，若存在求出所有x的值，若不存在请说明理由．2. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E 作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．(1)由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；(2)联结DF，如果正方形的边长为2，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果正方形的边长为2，FG的长为25，求点C到直线DE的距离．3AC，F是AE的中点，OF（供操作实验用）（供证明计算用）（第2题图）DA BGDA4已知一次函数421+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC的边AC = 5． （1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y 轴上，且E为OC 中点，BCABF D EG第6题图（第4题图）ABCDOEF （第3题图）b kx y +=y x y<k9．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，另一个正方形OHIG 绕点O 旋转（如图），设OH 与边BC 交于点E （与点B 、C 不重合），OG 与边CD 交于点F. （1）求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，四边形OECF 的面积是否会变化？若没有变化，求它的面积；若有变化，请简要说明理由；（3）联结EF 交对角线AC 于点K ，当△OEK 是等腰三角形时，求∠DOF 的度数.10 如图，已知矩形ABCD ，过点C 作∠A 的角平分线AM 的垂线，垂足为M ，AM 交BC 于E ，连接MB 、MD ．求证：MB = MD ．11．如图，在菱形ABCD 中，∠A = 60°，AB = 4，E 是AB 边上的一动点，过点E 作EF ⊥AB 交AD 的延长线于点F ，交BD 于点M 、DC 于点N ． （1）请判断△DMF 的形状，并说明理由；I第26题图 DC B A E F P。
O D CBA备用图O 。
（2）设EB = x ，△DMF 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当x 取何值时，S △DMF = 3 ．12．如图1，在ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、AC 和BE 相交于点O ．（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由．（2）如图2，P 是线段BC 上的一动点（图2），（点P 不与B 、C 重合），连PO 并延长交线段AE 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为R ．① 四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积．② 当P 在线段BC 上运动时，是否有△PQR 与△BOC 全等？若全等，求BP 的长；若不全等，请叙述理由．13,已知：如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，点P 是射线BC 上的一个动点，∠PAQ =60°，交射线CD 于点Q ，设点P 到点B 的距离为x ，PQ =y ． （1）求证：△APQ 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD ⊥AQ ，求BP 的值．图备用图图14．如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，且CE CA =，联结AE ，过点C 作CF AE ⊥，垂足为点F ，联结BF 、FD .（1）求证：FBC ∆≌FAD ∆；（2）联结BD ，若35FB BD =，且10AC =，求FC 的值. 15,A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．（1）请填写下表后分别求出A B y y ，与x 之间的函数关系式，并写出定义域；解：（2）试讨论A B ，两地中，哪个运费较少； 解：16.,已知：正方形ABCD 的边长为28厘米，对角线AC 上的两个动点E F ，，点E 从点A 、点F 从点C 同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E 作EH ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于H ；过F 作FG ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于G ，连接HG ，EB ．设HE ，EF ，FG ，GH 围成的图形面积为1S ，AE ，EB ，BA 围成的图形面积为2S （这里规定：线段的面积为0）．E 到达C F ，到达A 停止．若E 的运动时间为x 秒，解答下列问题：（1）如图①，判断四边形EFGH 是什么四边形，并证明； （2）当08x <<时，求x 为何值时，12S S =；（3）若y 是1S 与2S 的和，试用x 的代数式表示y ．（图②为备用图）CD（1）解：17,如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点)3,2(-A ，与x 轴交于点B ，且与直线383-=x y 平行。
(1)求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；(2)如直线l 上有一点)6,(-a M ，过点M 作x 轴的垂线，交直线383-=x y 于点N ，在线段MN 上求一点P ，使PAB ∆是直角三角形，请求出点P 的坐标。
18, 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =ο90，∠C =45o ，AB =8，BC =14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF x y y x42+=x y xyABCD AD BC M N BD AC 求证：（1）MN ∥BC ；ABCD EF （第19题） （第18题）B DA CEFNMPBA图B A图（2）)(21AD BC MN -=.23,已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，联结BP 、DP . （1）若将AD 顺时针旋转︒30至AP ，如图3所示，求BPD ∠的度数.（2）若将AD 顺时针旋转α度)900(︒<<︒α至AP ，求BPD ∠的度数. （3）若将AD 逆时针旋转α度)1800(︒<<︒α至AP ，请分别求出︒<<︒900α、︒=90α、︒<<︒18090α三种情况下的BPD ∠的度数（图4、图5、图6）.ABCDPM图4 ABC D P图3 ABCD M N图224,25、某公路上一段道路的维修工程准备对外招标，现有甲、已两个工程队前来竟标，竟标资料显示：若由甲乙两队合作6天可以完成，共需工程费7800元，若单独完成此项工程甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费比乙队多300元。
（1）甲、乙两队单独完成各需多少天？（2）从节约资金的角度上考虑，应选哪个队单独完成？并说明理由26.如图,在△ABC 中,E 是AB 的中点,CD 平分∠ACAB,AD ⊥CD 于带点 D.求证:(1)DE=BC;(2)DE=21(BC-AC).27.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC,点P 为BC 边上一点,PE ⊥AB,BG ⊥CD,垂足分别为E,F,G. 求证:PE+PF=BGBC DE AACDP图6ACDPB图5A BPE CF G D28.如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.(1)求证:四边形MENF 是菱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论.29,.已知如图,在△ABC 中∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交BC 于D, CH ⊥AB 于H 交AD 于F,DE ⊥AB 于E.求证:四边形CDEF 为菱形.30.如图.点P 是等腰直角三角形ABC 底边BC 上的一点,过P 作BA,AC 的垂线,垂足为E,F 设D 为BC 的中点.(1)求证:DE ⊥DF;(2)若点P 在BC 的延长线上是DE ⊥DF 吗?试证明你的结论.31,.如图,CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,AE 平分∠BAC 交C,D 于E, EF ∥AB,交AB 于点F,求证:CE=BF. 32.如图, Rt △ABC 中∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AE 平分∠BAC 交CD 于F,过F 作FH ∥AB 交BC 于H.求证:CE=BH.C AB HE D FE F BN C A D MBD PCAEF CA DB FE CADBH F E33.如图,梯形ABCD 中AD ∥BC,AB=AD=DC,点E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB,试判断△ABC 的形状,并 给出证明.34.如图,已知□ABCD 中,E 为AD 的中点,CE 的延长线交BA 的延长线于点F.(1)求证:CD=FA; (2)若使∠F=∠BCF, □ABCD 边长之间还需要再添加一个什么条件?请补上这个条件,并进行证明.(不再添辅助线).35.如图所示,已知矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 为BC 上一动点(点E 不与B,C 两点重合), EF ∥BD 交AC 于点F,EC ∥AC 交BD 于点G. 求证:四边形EFOG 的周长等于2OB.36,.已知一个六边形的六个内角都是120°,其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是多少厘米? B ECDA B A F E C D B CM N A D O 1cm9cm9cm5cm37,.矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB,CD的延长线分别交于E,F;(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是棱形,并证明你的结论?BE38,.等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点. 求证: (1)四边形MENF 是棱形;(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论?39,.如图在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.(1)试猜想AE 与BF 有何关系?说明理由; (2) 若△ABC 的面积为23cm ,求四边形ABFE 的面积; (3) 当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由?40. 如图:棱形ABCD 中,AB=4,E 为BC 中点,AE ⊥BC,AF ⊥CD 于点F,CG ∥AE,CG 交AF 于点H,交AD 于点G.(1)求棱形ABCD 的度数.(2)求∠GHA 的度数.41,.已知:如图,正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N. (1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.42. 如图:∠MON=90°,在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A,C 分别在射线OM,ON 上,点1B 是ON 上的任意一点,在∠MON 的内部作正方形D C AB 11. (1) 连接D D 1,求证: ο901=∠ADD ;(2) 连接C C 1,猜一猜, CN C 1∠的度数是多少?并证明你的结论;(3) 在ON 上再任取一点2B ,以2AB 为边,在∠MON 的内部作正方形D C AB 22,观察图形,并结合(1),(2)的结论,请你再做出一个合理的判断.43. 已知:如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边AB,CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延AM B E乙AM B E 甲C F E B DA N M FE C B ACFDE B AGH MD长线于G.(1)求证: △ADE ≌△CBF;(2)若四边形BEDF 是棱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.44.5,对角线AC,BD 交于点0,将直线AC 绕0顺E,F. ABEF 是平行四边形; AF 与EC 总保持相等; BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由.并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形。