八年级下数学压轴题和答案解析.docx

八年级下数学压轴题1．已知，正方形 ABCD中，∠MAN=45°，∠ MAN绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、 N， AH⊥ MN于点 H．（ 1）如图①，当∠MAN 绕点 A 旋转到BM=DN时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠ MAN绕点 A 旋转到 BM≠ DN时，（ 1）中发现的 AH与 AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN=45°， AH⊥ MN于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH的长．（可利用（2）得到的结论）2．如图，△ ABC是等边三角形，点 D 是边 BC上的一点，以AD为边作等边△ ADE，过点C 作 CF∥ DE交 AB 于点 F．（ 1）若点 D 是 BC边的中点（如图①），求证： EF=CD；（ 2）在（ 1）的条件下直接写出△AEF和△ ABC的面积比；（3）若点 D 是 BC边上的任意一点（除 B、C 外如图②），那么（ 1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．（ 1）如图 1，在正方形 ABCD中， E 是 AB上一点， F 是 AD延长线上一点，且DF=BE．求证： CE=CF；（2）如图 2，在正方形 ABCD中，E 是 AB上一点， G是 AD上一点，如果∠ GCE=45°，请你利用（ 1）的结论证明： GE=BE+GD．（3）运用（ 1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC（ BC＞ AD），∠ B=90°， AB=BC， E 是 AB 上一点，且∠ DCE=45°， BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．4．如图，正方形 ABCD中，E 为 AB边上一点，过点 D 作 DF⊥ DE，与 BC延长线交于点F．连接EF，与 CD边交于点 G，与对角线 BD交于点 H．（1）若 BF=BD= ，求 BE 的长；（2）若∠ ADE=2∠ BFE，求证： FH=HE+HD．5．如图，将一三角板放在边长为 1 AC上滑动，直角的一边始终经过点的正方形ABCD上，并使它的直角顶点B，另一边与射线DC相交于 Q．P 在对角线探究：设A、P 两点间的距离为x．（1）当点 Q在边 CD上时，线段 PQ与 PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想；（2）当点 Q在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并写出函数自变量 x 的取值范围；（3）当点 P 在线段 AC上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．6． Rt △ ABC与 Rt △ FED是两块全等的含30°、 60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起， CB与 DE重合．（1）求证：四边形 ABFC为平行四边形；（2）取 BC中点 O，将△ ABC绕点 O顺时钟方向旋转到如图（二）中△ A′B′C′位置，直线 B'C' 与 AB、 CF 分别相交于P、 Q两点，猜想OQ、 OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（ 3）在（ 2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形（不要求证明）7．如图，在正方形ABCD中，点 F 在 CD边上，射线AF 交 BD于点 E，交 BC的延长线于点 G．（1）求证：△ ADE≌△ CDE；（2）过点 C 作 CH⊥ CE，交 FG于点 H，求证： FH=GH；（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使△ ECG为等腰三角形若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．8．在平行四边形ABCD中，∠ BAD的平分线交直线BC于点 E，交直线DC于点 F．（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2）若∠ ABC=90°， G是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠ BDG的度数；（3）若∠ ABC=120°， FG∥ CE，FG=CE，分别连接 DB、 DG（如图 3），求∠ BDG的度数．9．如图，已知? ABCD中， DE⊥ BC于点 E， DH⊥ AB于点 H， AF 平分∠ BAD，分别交DC、DE、 DH于点 F、G、 M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB与 DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．10．如图，在正方形ABCD中， E、 F 分别为 BC、AB 上两点，且B E=BF，过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G，过点 G作 CF的垂线交BC于点 H延长线段AE、 GH交于点 M．（1）求证：∠ BFC=∠ BEA；（2）求证： AM=BG+GM．11．如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy 中，使 OA、 OC分别落在x、y 轴的正半轴上，连接AC，且 AC=4，（1）求 AC所在直线的解析式；（2）将纸片 OABC折叠，使点 A 与点 C 重合（折痕为 EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求 EF 所在的直线的函数解析式．12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点（如图），AE平分∠ BAO，交 x 轴于点 E．（1）求点 B 的坐标；（2）求直线 AE的表达式；（3）过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F，连接 OF，试判断△ OFB的形状，并求△ OFB的面积．（4）若将已知条件“ AE 平分∠ BAO，交 x 轴于点E”改变为“点 E 是线段OB 上的一个动点（点 E 不与点 O、 B 重合）”，过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为F．设 OE=x，BF=y，试求y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．13．如图，直线 l 1的解析表达式为：y=﹣ 3x+3 ，且 l 1与 x 轴交于点D，直线 l 2经过点 A，B，直线 l 1， l 2交于点 C．（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 l 2的解析表达式；（3）求△ ADC的面积；（4）在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ ADP与△ ADC的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．14．如图 1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点 A、 B 分别在 x 轴与y 轴上，已知OA=6，OB=10．点 D 为y 轴上一点，其坐标为（0， 2），点P 从P 与点 B 重合时点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段AC﹣ CB的方向运动，当点停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP的函数解析式；（2）①求△ OPD的面积 S 关于 t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点 B 的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．（ 3）点 P 在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形， A、B、C 的坐标分别是A（﹣ 5，1）， B（﹣ 2， 4），C（ 5， 4），点 D在第一象限．（1）写出 D 点的坐标；（2）求经过 B、 D 两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（ 3）将平行四边形ABCD先向右平移1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少并求出平行四边形ABCD与四边A1B1C1D1重叠部分的面积．16．如图，一次函数的图象与x 轴、 y 轴交于点A、B，以线段 AB为边在第一象限内作等边△ABC，（ 1）求△ ABC的面积；（ 2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a 的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值；（ 3）在 x 轴上，是否存在点M，使△ MAB为等腰三角形若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2018 年 06 月 17 日梧桐听雨的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共16 小题）1．已知，正方形 ABCD中，∠MAN=45°，∠ MAN绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、 N， AH⊥ MN于点 H．（ 1）如图①，当∠MAN绕点 A 旋转到 BM=DN时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：AH=AB ；（2）如图②，当∠ MAN绕点 A 旋转到 BM≠ DN时，（ 1）中发现的 AH与 AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN=45°， AH⊥ MN于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH的长．（可利用（2）得到的结论）【解答】解：（ 1）如图① AH=AB．（ 2）数量关系成立．如图②，延长CB至 E，使 BE=DN．∵ ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ D=∠ABE=90°，在 Rt △ AEB和 Rt △AND中，，∴Rt △ AEB≌ Rt △ AND，∴AE=AN，∠ EAB=∠NAD，∵∠DAN+∠BAN=45°，∴∠EAB+∠BAN=45°，∴∠ EAN=45°，∴∠ EAM=∠NAM=45°，在△ AEM和△ ANM中，，∴△ AEM≌△ ANM．∴S△AEM=S△ANM， EM=MN，∵AB、 AH是△ AEM和△ ANM对应边上的高，∴ AB=AH．（ 3）如图③分别沿 AM、 AN翻折△ AMH和△ ANH，得到△ ABM和△ AND，∴BM=2，DN=3，∠ B=∠ D=∠BAD=90°．分别延长 BM和 DN交于点 C，得正方形 ABCD，由（ 2）可知， AH=AB=BC=CD=AD．设 AH=x，则 MC=x﹣ 2， NC=x﹣ 3，在 Rt △MCN中，由勾股定理，得222 MN=MC+NC∴52=（ x﹣ 2）2+（ x﹣ 3）2（ 6 分）解得 x1=6，x2=﹣ 1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．2．如图，△ ABC是等边三角形，点 D 是边 BC上的一点，以AD为边作等边△ ADE，过点C 作 CF∥DE交 AB于点 F．（ 1）若点 D 是 BC边的中点（如图①），求证： EF=CD；（ 2）在（ 1）的条件下直接写出△AEF和△ ABC的面积比；（3）若点 D 是 BC边上的任意一点（除 B、 C 外如图②），那么（ 1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ ABC是等边三角形， D 是 BC的中点，∴ AD⊥ BC，且∠ BAD= ∠BAC=30°，∵△ AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ ADE=60°，∴∠ EDB=90°﹣∠ ADE=90°﹣ 60°=30°，∵ED∥ CF，∴∠ FCB=∠EDB=30°，∵∠ ACB=60°，∴∠ ACF=∠ ACB﹣∠ FCB=30°，∴∠ ACF=∠BAD=30°，在△ ABD和△ CAF中，，∴△ ABD≌△ CAF（ASA），∴AD=CF，∵ AD=ED，∴ED=CF，又∵ ED∥CF，∴四边形 EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（ 2）解：△ AEF和△ ABC的面积比为： 1： 4；（易知AF=BF ，延长EF交AD于H，△AEF的面积=? EF? AH= ? CB ? AD= ? ? BC? AD，由此即可证明）（3）解：成立．理由如下：∵ ED∥FC，∴∠ EDB=∠ FCB，∵∠ AFC=∠ B+∠BCF=60° +∠ BCF，∠ BDA=∠ ADE+∠EDB=60° +∠ EDB∴∠ AFC=∠ BDA，在△ ABD和△ CAF中，∴△ ABD≌△ CAF（AAS），∴AD=FC，∵ AD=ED，∴ED=CF，又∵ ED∥CF，∴四边形 EDCF是平行四边形，∴EF=DC．3．（ 1）如图 1，在正方形ABCD中，E 是 AB上一点， F 是 AD延长线上一点，且 DF=BE．求证： CE=CF；（ 2）如图 2，在正方形ABCD中， E 是 AB上一点， G是 AD上一点，如果∠ GCE=45°，请你利用（ 1）的结论证明：GE=BE+GD．（ 3）运用（ 1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC（ BC＞ AD），∠ B=90°， AB=BC，E 是 AB上一点，且∠ DCE=45°， BE=4， DE=10，求直角梯形ABCD的面积．【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ B=∠ CDF=90°，∵∠ ADC=90°，∴∠FDC=90°．∴∠B=∠FDC，∵ BE=DF，∴△ CBE≌△ CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）证明：如图 2，延长 AD至 F，使 DF=BE，连接 CF．由（ 1）知△ CBE≌△ CDF，∴∠ BCE=∠ DCF．∴∠ BCE+∠ ECD=∠DCF+∠ ECD，即∠ ECF=∠BCD=90°，又∠ GCE=45°，∴∠ GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，GC=GC，∴△ ECG≌△ FCG．∴ GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．（ 3）解：如图3，过 C作 CG⊥ AD，交 AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥ BC，∴∠ A=∠B=90°，又∵∠ CGA=90°， AB=BC，∴四形ABCG正方形．∴AG=BC．⋯（ 7 分）∵∠ DCE=45°，根据（ 1）（ 2）可知， ED=BE+DG．⋯（ 8 分）∴10=4+DG，即DG=6．AB=x， AE=x 4， AD=x 6，在Rt △AED中，222222∵ DE=AD+AE，即 10 =（ x 6） +（ x 4）．解个方程，得：x=12 或 x= 2（舍去）．⋯（ 9 分）∴ AB=12．∴ S 梯形ABCD=（ AD+BC） ? AB= ×（ 6+12）× 12=108．即梯形 ABCD的面108．⋯（ 10 分）4．如，正方形 ABCD中，E AB上一点，点 D 作 DF⊥ DE，与 BC延交于点F．接EF，与 CD交于点 G，与角 BD交于点 H．（ 1）若 BF=BD= ，求 BE的；（ 2）若∠ ADE=2∠BFE，求： FH=HE+HD．【解答】（ 1）解：∵四边形ABCD正方形，∴∠ BCD=90°， BC=CD，222∴ Rt △ BCD中， BC+CD=BD，222即 BC=（）﹣（BC），∴ BC=AB=1，∵ DF⊥ DE，∴∠ ADE+∠EDC=90°=∠ EDC+∠ CDF，∴∠ ADE=∠ CDF，在△ ADE和△ CDF中，∵，∴△ ADE≌△ CDF（ASA），∴ AE=CF=BF﹣ BC=﹣1，∴ BE=AB﹣ AE=1﹣（﹣1）=2﹣；（2）证明：在 FE 上截取一段 FI ，使得 FI=EH，∵△ ADE≌△ CDF，∴ DE=DF，∴△ DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°=∠ DBC，∵∠ DHE=∠ BHF，∴∠ EDH=∠ BFH（三角形的内角和定理），在△ DEH和△ DFI 中，∵，∴△ DEH≌△ DFI （SAS），∴DH=DI，又∵∠ HDE=∠ BFE，∠ ADE=2∠ BFE，∴∠ HDE=∠ BFE= ∠ ADE，∵∠ HDE+∠ADE=45°，∴∠ HDE=15°，∴∠ DHI=∠ DEH+∠HDE=60°，即△ DHI 为等边三角形，∴DH=HI，∴FH=FI+HI=HE+HD．5．如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P 在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于 Q．探究：设A、 P 两点间的距离为x．（1）当点 Q在边 CD上时，线段 PQ与 PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想；（2）当点 Q在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并写出函数自变量 x 的取值范围；（3）当点 P 在线段 AC上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置．并求出相应的 x 值，如果不可能，试说明理由．【解答】解：（ 1）PQ=PB，（1 分）过P 点作 MN∥ BC分别交 AB、 DC于点 M、 N，在正方形ABCD中，AC为对角线，∴ AM=PM，又∵ AB=MN，∴ MB=PN，∵∠ BPQ=90°，∴∠ BPM+∠NPQ=90°；又∵∠ MBP+∠BPM=90°，∴∠ MBP=∠ NPQ，在 Rt △ MBP≌ Rt △NPQ中，∵∴Rt △ MBP≌ Rt △ NPQ，（ 2 分）∴PB=PQ．（2）∵ S 四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，∵AP=x，∴ AM= x，∴CQ=CD﹣ 2NQ=1﹣ x，又∵ S△PBC= BC? BM= ? 1? （ 1﹣x） =﹣x，S△PCQ= CQ? PN= （ 1﹣x） ? （ 1﹣x），=﹣+，∴ S 四边形PBCQ=﹣x+1．（ 0≤x≤）．（4分）（ 3）△ PCQ可能成为等腰三角形．①当点 P 与点 A 重合时，点Q与点 D重合，PQ=QC，此时， x=0．（ 5 分）②当点 Q在 DC的延长线上，且CP=CQ时，（ 6 分）有： QN=AM=PM= x， CP=﹣x，CN=CP=1﹣x， CQ=QN﹣CN=x﹣（ 1﹣x）=x﹣1，∴当﹣ x=x﹣ 1 时， x=1．（7 分）．6． Rt △ABC与 Rt △ FED是两块全等的含30°、 60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起， CB与 DE重合．（1）求证：四边形 ABFC为平行四边形；（2）取 BC中点 O，将△ ABC绕点 O顺时钟方向旋转到如图（二）中△ A′B′C′位置，直线 B'C' 与 AB、CF分别相交于 P、Q两点，猜想 OQ、 OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（ 3）在（ 2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形（不要求证明）【解答】（ 1）证明：∵△ABC≌△ FCB，∴AB=CF， AC=BF．∴四边形 ABFC为平行四边形．（2）解： OP=OQ，理由如下：∵OC=OB，∠ COQ=∠ BOP，∠ OCQ=∠ PBO，∴△ COQ≌△ BOP．∴OQ=OP．（3）解： 90°．理由：∵ OP=OQ， OC=OB，∴四边形 PCQB为平行四边形，∵ BC⊥ PQ，∴四边形 PCQB为菱形．7．如图，在正方形ABCD中，点 F 在 CD边上，射线 AF 交 BD于点 E，交 BC的延长线于点G．（1）求证：△ ADE≌△ CDE；（2）过点 C 作 CH⊥ CE，交 FG于点 H，求证： FH=GH；（ 3）设 AD=1， DF=x，试问是否存在x 的值，使△ ECG为等腰三角形若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ 1=∠2=45°， DE=DE，∴△ ADE≌△ CDE．（2）证明：∵△ ADE≌△ CDE，∴∠ 3=∠4，∵ CH⊥ CE，∴∠ 4+∠5=90°，又∵∠ 6+∠5=90°，∴∠ 4=∠6=∠ 3，∵AD∥ BG，∴∠ G=∠3，∴∠ G=∠6，∴ CH=GH，又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°，∴∠ 5=∠7，∴ CH=FH，∴ FH=GH．（ 3）解：存在符合条件的x 值此时，CE=CG，∵∠ ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须∴∠ G=∠8，又∵∠ G=∠ 4，∴∠ 8=∠4，∴∠ 9=2∠ 4=2∠ 3，∴∠ 9+∠3=2∠ 3+∠3=90°，∴∠ 3=30°，∴x=DF=1×tan30 °= ．8．在 ? ABCD中，∠ BAD的平分线交直线BC于点 E，交直线DC于点 F．（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2）若∠ ABC=90°， G是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠ BDG的度数；（3）若∠ ABC=120°， FG∥CE， FG=CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求∠ BDG的度数．【解答】（ 1）证明：如图1，∵AF 平分∠ BAD，∴∠ BAF=∠ DAF，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥ BC， AB∥ CD，∴∠ DAF=∠ CEF，∠ BAF=∠F，∴∠ CEF=∠ F．∴CE=CF．（ 2）解：连接GC、 BG，∵四边形 ABCD为平行四边形，∠ ABC=90°，∴四边形 ABCD为矩形，∵AF 平分∠ BAD，∴∠ DAF=∠BAF=45°，∵∠ DCB=90°， DF∥ AB，∴∠ DFA=45°，∠ ECF=90°∴△ ECF为等腰直角三角形，∵G为 EF中点，∴EG=CG=FG， CG⊥EF，∵△ ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠ CEF=∠GCF=45°，∴∠ BEG=∠DCG=135°在△ BEG与△ DCG中，∵，∴△ BEG≌△ DCG，∴BG=DG，∵ CG⊥ EF，∴∠ DGC+∠DGA=90°，又∵∠ DGC=∠ BGA，∴∠ BGA+∠DGA=90°，∴△ DGB为等腰直角三角形，∴∠ BDG=45°．（3）解：延长 AB、 FG交于 H，连接 HD．∵ AD∥ GF， AB∥ DF，∴四边形 AHFD为平行四边形∵∠ ABC=120°， AF 平分∠BAD∴∠ DAF=30°，∠ ADC=120°，∠ DFA=30°∴△ DAF为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ ADH，△ DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠ BHD=∠GFD=60°∵ FG=CE， CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△ BHD与△ GFD中，∵，∴△ BHD≌△ GFD，∴∠ BDH=∠ GDF∴∠ BDG=∠ BDH+∠HDG=∠ GDF+∠HDG=60°9．如图，已知? ABCD中， DE⊥ BC于点 E， DH⊥AB 于点 H， AF 平分∠ BAD，分别交DC、DE、 DH于点 F、 G、M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB 与 DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．【解答】证明：（ 1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD， AD∥ BC，∴∠ BAF=∠ DFA，∵ AF 平分∠ BAD，∴∠ DAF=∠ DFA，∴AD=FD，∵DE⊥ BC， DH⊥ AB，∴∠ ADG=∠FDM=90°，在△ ADG和△ FDM中，，∴△ ADG≌△ FDM（ASA）．（2） AB=DG+EC．证明：延长GD至点 N，使 DN=CE，连接 AN，∵DE⊥ BC， AD∥ BC，∴∠ADN=∠DEC=90°，在△ ADN和△ DEC中，，∴△ ADN≌△ DEC（SAS），∴∠ NAD=∠ CDE，AN=DC，∵∠ NAG=∠ NAD+∠DAG，∠ NGA=∠ CDE+∠ DFA，∴∠ NAG=∠ NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．10．如图，在正方形ABCD中， E、 F 分别为 BC、AB 上两点，且B E=BF，过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G，过点 G作 CF 的垂线交BC于点 H 延长线段AE、GH交于点 M．（1）求证：∠ BFC=∠ BEA；（2）求证： AM=BG+GM．【解答】证明：（ 1）在正方形ABCD中， AB=BC，∠ ABC=90°，在△ ABE和△ CBF中，，∴△ ABE≌△ CBF（SAS），∴∠ BFC=∠ BEA；（2）连接 DG，在△ ABG和△ ADG中，，∴△ ABG≌△ ADG（SAS），∴BG=DG，∠ 2=∠ 3，∵ BG⊥ AE，∴∠ BAE+∠2=90°，∵∠ BAD=∠ BAE+∠4=90°，∴∠ 2=∠3=∠ 4，∵ GM⊥ CF，∴∠ BCF+∠1=90°，又∠ BCF+∠BFC=90°，∴∠ 1=∠BFC=∠ 2，∴∠ 1=∠3，在△ ADG中，∠ DGC=∠ 3+45°，∴∠ DGC也是△ CGH的外角，∴D、 G、M三点共线，∵∠ 3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴ AM=BG+GM．11．如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy 中，使 OA、 OC分别落在 x、y 轴的正半轴上，连接AC，且 AC=4，（1）求 AC所在直线的解析式；（2）将纸片 OABC折叠，使点 A 与点 C 重合（折痕为 EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求 EF 所在的直线的函数解析式．【解答】解：（ 1）∵=，∴可设 OC=x，则 OA=2x，在 Rt △AOC中，由勾股定理可得222 OC+OA=AC，∴x2+（ 2x）2=（ 4 ）2，解得 x=4（ x= ﹣4 舍去），∴OC=4，OA=8，∴A（ 8，0）， C（ 0， 4），设直线 AC解析式为 y=kx+b ，∴，解得，∴直线 AC解析式为y=﹣x+4；（2）由折叠的性质可知 AE=CE，设 AE=CE=y，则 OE=8﹣ y，在 Rt △ OCE中，由勾股定理可得222 OE+OC=CE，∴（ 8﹣ y）2+42=y2，解得 y=5，∴ AE=CE=5，∵∠ AEF=∠ CEF，∠ CFE=∠AEF，∴∠ CFE=∠ CEF，∴ CE=CF=5，∴ S△CEF=CF? OC= × 5× 4=10，即重叠部分的面积为10；（3）由（ 2）可知 OE=3，CF=5，∴ E（ 3，0）， F（ 5， 4），设直线 EF 的解析式为 y=k′x+b′，∴，解得，∴直线 EF 的解析式为y=2x﹣ 6．12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点（如图），AE平分∠ BAO，交 x 轴于点 E．（1）求点 B 的坐标；（2）求直线 AE的表达式；（3）过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F，连接 OF，试判断△ OFB的形状，并求△ OFB的面积．（4）若将已知条件“ AE 平分∠ BAO，交 x 轴于点 E”改变为“点 E 是线段 OB上的一个动点（点 E 不与点 O、 B 重合）”，过点 B 作 BF⊥AE，垂足为F．设 OE=x，BF=y，试求y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【解答】解：（ 1）对于 y=﹣x+6，当x=0 时， y=6；当 y=0 时， x=8，∴OA=6，OB=8，在Rt △AOB中，根据勾股定理得： AB=10，则 A（ 0， 6）， B（8， 0）；（ 2）过点 E 作 EG⊥ AB，垂足为 G（如图 1 所示），∵ AE 平分∠ BAO，EO⊥ AO， EG⊥ AG，∴ EG=OE，在Rt △AOE和 Rt△ AGE中，，∴Rt △ AOE≌ Rt △ AGE（ HL），∴AG=AO，设OE=EG=x，则有 BE=8﹣ x， BG=AB﹣AG=10﹣ 6=4，在Rt △ BEG中， EG=x， BG=4， BE=8﹣x，根据勾股定理得：222x+4 =（ 8﹣ x），解得： x=3，∴ E（ 3，0），设直线 AE的表达式为y=kx+b （ k≠ 0），将A（ 0，6）， E（3， 0）代入 y=kx+b 得：，解得：则直线，AE的表达式为y=﹣2x+6；（3）延长 BF 交 y 轴于点 K（如图 2 所示），∵ AE平分∠ BAO，∴∠ KAF=∠ BAF，又BF⊥ AE，∴∠ AFK=∠AFB=90°，在△ AFK和△ AFB中，∵，∴△ AFK≌△ AFB，∴FK=FB，即F 为KB 的中点，又∵△ BOK为直角三角形，∴OF= BK=BF，∴△ OFB为等腰三角形，过点 F 作 FH⊥ OB，垂足为 H（如图 2 所示），∵OF=BF， FH⊥ OB，∴OH=BH=4，∴F 点的横坐标为 4，设F（ 4， y），将 F（ 4， y）代入 y= ﹣2x+6，得： y= ﹣ 2，∴ FH=| ﹣2|=2 ，则 S△OBF= OB? FH= ×8× 2=8；（4）在 Rt △ AOE中， OE=x， OA=6，根据勾股定理得：AE==，又BE=OB﹣ OE=8﹣x， S△ABE= AE? BF= BE? AO（等积法），∴ BF==（0＜x＜8），又BF=y，则 y=（0＜x＜8）．13．如图，直线 l 1的解析表达式为：y=﹣ 3x+3 ，且 l 1与 x 轴交于点D，直线 l 2经过点 A，B，直线 l 1， l 2交于点 C．（1）求点 D的坐标；（2）求直线 l 2的解析表达式；（3）求△ ADC的面积；（4）在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ ADP与△ ADC的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．【解答】解：（ 1）由 y=﹣3x+3，令 y=0，得﹣ 3x+3=0，∴x=1，∴D（ 1，0）；（ 2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，由图象知： x=4， y=0； x=3，，代入表达式y=kx+b ，∴，∴，∴直线 l 2的解析表达式为；（ 3）由，解得，∴ C（ 2，﹣ 3），∵ AD=3，∴ S△ADC=× 3×|﹣3|=；（ 4）△ ADP与△ ADC底边都是A D，面积相等所以高相等，△ADC高就是点 C 到直线 AD 的距离，即 C 纵坐标的绝对值=| ﹣ 3|=3 ，则 P 到 AD距离 =3，∴ P 纵坐标的绝对值=3，点 P 不是点 C，∴点 P 纵坐标是3，∵ y=﹣ 6， y=3，∴﹣ 6=3x=6，所以 P（6， 3）．14．如图 1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点 A、 B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知OA=6， OB=10．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0， 2），点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段AC﹣ CB的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（ 1）当点 P 经过点 C 时，求直线DP的函数解析式；（ 2）①求△ OPD的面积 S关于 t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点 B 的对应点 B′恰好落在AC边上，求点 P 的坐标．（ 3）点 P 在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）∵ OA=6，OB=10，四边形OACB为长方形，∴C（ 6，10）．设此时直线DP解析式为 y=kx+b ，把（ 0，2）， C（ 6， 10）分别代入，得，解得则此时直线DP解析式为 y= x+2；（ 2）①当点P 在线段 AC上时， OD=2，高为 6， S=6；× 2×（ 16﹣ 2t ）=﹣ 2t+16 ；当点 P 在线段 BC上时， OD=2，高为 6+10﹣ 2t=16 ﹣ 2t ，S=②设 P（m， 10），则 PB=PB′=m，如图2，∵OB′=OB=10， OA=6，∴AB′==8，∴B′C=10﹣ 8=2，∵ PC=6﹣m，∴m2=22+（ 6﹣ m）2，解得 m=则此时点 P 的坐标是（， 10）；（ 3）存在，理由为：若△ BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当 BD=BP1=OB﹣ OD=10﹣ 2=8，在Rt △ BCP1中， BP1=8， BC=6，根据勾股定理得： CP1==2，∴ AP1=10﹣2，即 P1（ 6， 10﹣ 2）；②当 BP2=DP2时，此时 P2（ 6， 6）；3③当 DB=DP=8时，在Rt △ DEP3中， DE=6，根据勾股定理得：P E==2，3∴ AP3=AE+EP3=2+2，即 P3（6， 2+2），综上，满足题意的P 坐标为（ 6， 6）或（ 6， 2+2）或（ 6， 10﹣ 2）．15．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、 B、C 的坐标分别是A（﹣ 5， 1）， B（﹣ 2，4）， C（ 5， 4），点 D 在第一象限．（ 1）写出 D 点的坐标；（2）求经过 B、D 两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形 ABCD先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度所得的四边形 A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．【解答】解：（ 1）∵ B（﹣ 2， 4）， C（ 5， 4），∴BC=5﹣（﹣ 2）=5+2=7，∵ A（﹣ 5， 1），∴点 D 的横坐标为﹣ 5+7=2，∴点 D 的坐标为（ 2， 1）；（ 2）设直线 BD的解析式为 y=kx+b ，将 B（﹣ 2， 4）、D（ 2， 1）代入得：，解得，∴经过 B、 D两点的直线的解析式为y=﹣x+，过 B 点作 AD的垂线，垂足为E，则 BE=4﹣ 1=3，DE=2﹣（﹣ 2） =2+2=4，在 Rt △BDE中， BD===5；（ 3）∵ ? ABCD向右平移1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，∴A1（﹣ 4， 0）， B1（﹣ 1， 3），C1（ 6， 3）D1（ 3，0），∴重叠部分的底边长 7﹣ 1=6，高为 3﹣1=2，∴重叠部分的面积S=6× 2=12．16．如图，一次函数的图象与 x 轴、 y 轴交于点 A、B，以线段 AB为边在第一象限内作等边△ ABC，（ 1）求△ ABC的面积；（ 2）如果在第二象限内有一点P（ a，）；试用含有 a 的代数式表示四边形 ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值；（3）在 x 轴上，是否存在点 M，使△ MAB为等腰三角形若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）分别令 y=0 和 x=0，得一次函数y=x+1 的图象与x 轴．y 轴的交点坐标分别是A（，0），B（0，1），即OA=，OB=1，∴ AB==2∵△ ABC为等边三角形，△ ABC∴ S =；（ 2）如图 1， S =， S =， S = |a| ? OB=﹣．△ AOB△ AOP△BOP∴ S 四边形ABPO=S△AOB+S△BOP=，而S△ABP=S 四边形ABPO﹣ S△APO，∴当 S△ABP=S△ABC时，=，解得 a=﹣；。