八年级下册数学期末压轴题专辑(含解析-Word版)

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【勾股定理期末压轴题训练】2022-2023学年八年级数学下册(人教版)含解析

，在ABC 中，BAC ∠(1)求证：ABE CAD ∠=∠；(2)过点C 作CF BE ∥交AD 的延长线于点F ，试探索AE 与CF (3)如图2，若6AD BD AB ==，，求CE 的长．2．【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD B =∠+∠，3．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．Rt ACB的直角边，，，BG GE，在ABC中，在整个运动过程中，当BCP是等腰三角形时，求，在平面直角坐标系中，点AQ CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，(1)如图1，连接,（填“会”或“不会”）；(2)如图1，当PBQ是直角三角形时，求点P的坐标；在ABC中，．在等腰直角ABC中，，延长BC∠=∠；(1)求证：MQB PAC(2)若22，，求DQ DH==(3)用等式表示线段MB与CP．在ABC中，(2)如图2，若点D在线段AB上，取．在ABC 中，(1)如图1，当ABC 为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想BAE ∠与BCD ∠之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE ，CE ，DE 的数量关系，并证明．(2)如图2，当ABC ∠为钝角时，直接写出线段问题解决：(1)先考虑特殊情况：①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，AE “>”，“<”或“=”）；形ABC和△⊥BC AD正方形的三个顶点，可得ABC ，则，在ABC 中，是BC ．如图，ABC 是等腰直角三角形，上一点．时，求DEF 的面．和CDE 中，AC 上，连接(1)如图1，若30EDC ∠=︒，6EF =，求AEF △的面积；(2)如图2，若BD AE =，求AF 、AE 、BC 之间的数量关系；(3)如图3，移动点D ，使得点F 是线段AB 的中点时，3DB =，4AB =别是线段AC ，BC 上的动点，且AP CQ =，连接DP ，FQ ，求DP FQ +(1)如图1，若45CBD ∠=︒①求BCG ∠的度数；②求证：CE DG =；(2)如图2，若60CBD ∠=︒，当6AC DE −=时，求CE 的值(2)如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点D ．求证：AD 是ABC ∆的一条双腰分割线；(3)如图3，已知ABC ∆中，AD 是三角形ABC 的双腰分割线，且AB AD =．①若64B ∠=︒，求C ∠的度数；②若3AB =，5AC =，求BC 的长．参考答案：1．(1)见解析(2)AE CF =【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角的和差定义解决问题即可．（2）如图1中，在AF 上截取AJ ，使得AJ BE =．证明SAS ABE CAJ ≌（），推出AE CJ =，再证明CF CJ =即可解决问题．（3）如图2中，过点B 作BK AD ⊥于K ，作CF BE ∥交AD 的延长线于F ，过点C 作CQ DF⊥于Q ．首先证明BE BD =， CD DF =，再证明EK DK =，DQ FQ =，2DK DQ =，2BK CQ =，AE DE CD CF ===，利用参数构建方程解决问题即可．【解析】（1）证明：∵BED ABE BAE BAC BAE CAD ∠=∠+∠∠=∠+∠，，又∵BED BAC ∠=∠，∴ABE BAE BAE CAD ∠+∠=∠+∠，∴ABE CAD ∠=∠．（2）解：结论：AE CF =．理由：如图1中，在AF 上截取AJ ，使得AJ BE =．∵BA AC ABE CAJ BE AJ =∠=∠=，，，∴SAS ABE CAJ ≌（），∴AE CJ AEB AJC =∠=∠，，∴BED CJF ∠=∠，∵BE CF ∥，∴BEJ F ∠=∠，∴CJF F ∠=∠，∴CJ CF =，∴AE CF =．（3）如图2中，过点B 作BK AD ⊥于K ，作CF BE ∥交AD 的延长线于F ，过点C 作CQ DF ⊥于Q ．设ABE CAD x CBE y ∠=∠=∠=，，∵AB AC DB DA ==，，∴DBA DAB ACB x y ∠=∠=∠=+，∴22BED ABE DAB x y BDE ACB CAD x y ∠=∠+∠=+∠=∠+∠=+，，∴BED BDE ∠=∠，∴BE BD =，∵AB CA ABE CAD =∠=∠，，∴AAS ABE CAD ≌（），∴AE CD BE AD ==，，∵CF BE ∥，∴F BED ∠=∠，∴F CDF ∠=∠，∴CD CF =，∵BE BD BK DE CD CF CQ DF =⊥=⊥，，，，∴EK KD DQ QF ==，，∵CQ BK ∥，∴:::1:2DQ DK CD BD CQ BK ===，∴可以假设2DQ m DK m ==，，∵222BD BE AD CD CF AE =====，∴48AE DE m AD BD m ====，，∴BK ==，∴CQ =，在Rt ABK △中，∵222AB AK BK=+，∴()()22266m =+，∴m， ∴DQ =，CQ ，5EQ m ==，∵90CQE ∠=︒，∴CE =．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．阅读材料：见解析；解决问题：少370m【分析】阅读材料：延长CB 到点M ，使BM DF =，连接AM ，如图，利用已知条件可得D ABM ∠=∠，进而可证明ABM ADF ≅，可得,AM AF MAB DAF =∠=∠，再证明AEM AEF ≅，可得=ME EF ，进而可得结论；解决问题：如图，作辅助线，构建阅读材料的图形，先根据四边形的内角和定理证明90G ∠=︒ ，分别计算,,,CG DG AD AG 的长，由线段的和与差可得,AM AN 的长，最后由阅读材料的结论可得MN 的长，计算AM AN MN +−可得答案．【解析】阅读材料：证明：延长CB 到点M ，使BM DF =，连接AM ，如图，∵180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABM ∠+∠=︒，∴D ABM ∠=∠，∵,,AB AD ABM D BM DF =∠=∠=，∴ABM ADF ≅，∴,AM AF MAB DAF =∠=∠，∵2BAD EAF ∠∠=，∴BAE DAF BAE BAM EAM EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠，又∵,AM AF AE AE ==，∴AEM AEF ≅，∴=ME EF ，∴EF MB BE BE DF =+=+；解决问题：解：如图，延长DC AB ，交于点G ，连接CN CM ，，∵60120150D ABC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒，，，∴3606012015030A ∠=︒−︒−︒−︒=︒，∴90G ∠=︒，∴2AD DG =，在Rt CGB △中，18015030BCG ∠=︒−︒=︒，∴1502BG BC CG ===，∴100DG CD CG =+=+∴2200150AD DG AG ==+==+∵100DM =，∴200100100AM AD DM =−=+=+∵)50501BG BN ==，，∴)150********AN AG BG BN =−−=+−=+GN BG BN =+= ∵60CD DM D =∠=︒，，∴DCM △ 是等边三角形，∴60DCM ∠=︒，∵GC GN ==∴CGN 是等腰直角三角形，∴45GCN ∠=︒，∴453015BCN ∠=︒−︒=︒， ∴11506015752MCN BCD ∠=︒−︒−︒=︒=∠，由【阅读材料】的结论得：)10050150MN DM BN =+=+=+∵()10015050200370AM AN MN +−=++=+≈（m ）． ∴路线M→N 的长比路线M→A→N 的长少370m ．【点评】此题主要考查了含30︒的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30︒的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算．3．(1)是，见解析(2)2222AD BC AB CD ++＝，见解析【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解析】（1）如图2，四边形ABCD 是垂美四边形．证明：连接AC BD 、交于点E ，∵AB AD =，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB CD =，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC BD ⊥，即四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论2222AD BC AB CD ++＝．如图1，已知四边形ABCD 中，∵AC BD ⊥，∴90AOD AOB BOC COD ∠=∠=∠=∠=︒，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO DO CO +=+++，∴2222AD BC AB CD ++＝；（3）如图3，连接CG BE 、，∵90CAG BAE ∠=∠=︒，∴CAG BAC BAE BAC ∠+∠=∠+∠，即GAB CAE ∠∠＝，在GA B 和CAE V 中，AG AC GAB CAEAB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS GAB CAE V V ≌， ∴ABG AEC ∠=∠，又90AEC AME ∠+∠=︒，∴90ABG BMN ∠+∠=︒，∴90BNC ∠=︒，即CE BG ⊥，∴四边形CGEB 是垂美四边形，由（2）得，2222CG BE CB GE +=+，∵810AC AB ==，，∴6BC CG ==，BE =∴((22222226292GE CG BE CB =+−=+−=，∴GE ==【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．4．(1)4,4t − (2)52t = (3)1或535或9.5或10【分析】（1）利用勾股定理求出AC ，利用CP AC AP =−，求出CP ；（2）过点P 作PD AB ⊥，交AB 于点D ，利用勾股定理列式求解即可；（3）分,,BC CP BP CP BC BP ===，三种情况进行讨论求解即可．【解析】（1）解：∵90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，∴4AC =；∵点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线A C B A →→→运动，∴当点P 在AC 上时，AP t =，∴4CP AC AP t =−=−；故答案为：4,4t −；（2）解：点P 作PD AB ⊥，交AB 于点D ，则：90PDA PDB ∠=∠=︒，∵点P 在ABC ∠的角平分线上，90ACB ∠=︒，∴90ACB PDB ∠=∠=︒，PD PC =，又∵BP BP =，∴()HL PBD PBC ≌，∴3BD BC ==，∴2AD AB BD =−=，由（1）知,4AP t CP t ==−，∴4PD PC t ==−，在Rt ADP 中，222AP PD AD =+，即：()22242t t =−+，解得：52t =；（3）解：P 点运动的总时间为：()543112++÷=秒，当BCP 是等腰三角形时： ①当BC CP =，点P 在AC 上时：如图，此时：43t −=，解得：1t =；当BC CP =，点P 在AB 上时：如图，过点C 作CE AB ⊥，交AB 于点E ，则：72BP t AC BC t BE =−−=−=， ∵1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅，即：435CE ⨯=， ∴125CE =，∴95BE ==， ∴1875BP t =−=， ∴535t =； ②当BP CP =时，如图：由①可知：912,7,55BE BP t CE ==−=， ∴97,75PE t CP t =−−=−，在Rt PEC 中，222CP PE CE =+，即：()2224412755t t ⎛⎫⎛⎫−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：9.5t =；③当BC BP =时，如图：此时：73BP t =−=，解得10t =；综上：当BCP 是等腰三角形时，t 的值为：1或535或9.5或10．【点评】本题考查三角形上的动点问题．熟练掌握勾股定理，以及等腰三角形的定义是解题的关键．注意，分类讨论．5．(1)不会(2)当PBQ 是直角三角形时，点P的坐标为43⎛ ⎝⎭或23⎛ ⎝⎭(3)(1,P −，120CMQ ∠=︒【分析】(1)先利用SAS 证明ABQ CAP ≌，得BAQ ACP ∠=∠，利用外角的性质并进行等量代换可得60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒(2)分90,90PQB BPQ ︒∠=︒∠=两种情况，利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半列式求解（3）作PM x ⊥轴，先根据30度角的性质和勾股定理求出1MB =cm和MP =cm ，进而求出(1,P −，再根据SAS 证明ACQ CBP ≌，最后根据外角的性质并进行等量代换作答即可【解析】（1）解：在等边三角形ABC 中,60AB AC CBA CAP ︒=∠=∠=且点A 、点Q 同时出发，且它们的速度都为1cm/s AP =BQ ∴(SAS)ABQ CAP ∴≌BAQ ACP ∴∠=∠60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：不会（2）解：设运动时间为t 秒，则,4AP BQ t PB t ===−①当90PQB ∠=︒时60ABC ∠=︒30BPQ ∠=︒∴12BQ PB ∴=，即1(4)2t t =− 解得43t = 即48433BP =−= 60ABC ∠=︒∴43P ⎛ ⎝⎭ ②当90BPQ ∠=︒时60ABC ∠=︒30PQB ∴∠=︒12PB BQ ∴=，即142t t −= 解得83t = 即84433BP =−=60ABC ∠=︒∴23P ⎛ ⎝⎭ ∴当PBQ 是直角三角形时，点P的坐标为43⎛ ⎝⎭或23⎛ ⎝⎭ （3）∵12BP BC =∴2BP =cm作PM x ⊥轴∵60ABC ∠=︒∴60PBM ∠=︒∴60PBM ∠=︒∴30MPB ∠=︒∴1MB =cm由勾股定理得MP =cm∴(1,P −在等边三角形ABC 中,60BC AC ABC ACB ︒=∠=∠=∵点A 、点Q 同时出发，且它们的速度都为1cm/sBP CQ ∴=，120PBC ACQ ∠=∠=︒(SAS)ACQ CBP ∴≌CMQ APM PAM APM PAC CAQ AQB PAC CAQ ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠180AQB PAC CAQ ABC ∠+∠+∠+∠=︒，60ABC ∠=︒18060120CMQ ∴∠=︒−︒=︒【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．(1)见解析(2)(1）是，证明见解析；(2）存在，66013CP =.【分析】（1）根据阅读材料给出的定义结合已经学过的三角形的知识点，推到即可得出结论；（2）根据已知条件利用相似三角形即可得出①中的作法是符合条件的；第②小题根据已知条件画出图形，再根据图形得出结论．【解析】（1）解：①∵BD 为△ABC 的角平分线，∠ABC ＝2∠C∴∠=∠DBC C∴BD CD =∴图中相等的线段有BD CD =∵A A ∠=∠，2ADB ABC C ∠=∠=∠∴ADB ABC ∽∴图中相似的三角形有：ADB 和ABC②∵AC 的中垂线交边BC 于点E∴AE EC =∴AEC △是等腰三角形∵2AEB C ∠=∠，2ABC C ∠∠＝∴AB AE =∴ABE 是等腰三角形（2）解：①符合要求，延长EF 交AD 于N ，则四边形ABEN 为矩形∴48AB EN ==，1662AN BE EC BC ====∵33EF =∴483315NF EN EF =−=−=∵PN BC ∥∴PFN CFE ∽ ∴PN NF PF EC EF FC == ∴153366PN = ∴1553311PF FC == ∴663036AP AN PN =−=−=∵90A ∠=︒∴60BP = ∴60513211BP FC == ∴BP PF BC FC = 作FK BP ⊥于K ∴BPF BCF SPF S FC =∴1212FK BP PF FCEF BC ⋅=⋅∴FK EF =∵FK BP ⊥，FE BC ⊥ ∴BF 平分PBC ∠∴1FBE PBC 2∠=∠∵F 在BC 的垂直平分线上∴FB FC =∴FBC FCB ∠=∠∴2PBC PCB ∠=∠∴符合要求②存在， 66013CP =.I.若P 在AD 上时，连接BD ，如图所示，∴PBC DBC ∠>∠，PCB DCB ∠<∠取BD 的中垂线交BC 与G ，作DH BC ⊥于H∴四边形ABHD 为矩形∴48HD AB ==，68BH AD ==，DG GB =，1326864CH BC BH =−=−=，∴80DC =，设GH x =，则68BG DG x ==−∵90DHG ∠=︒∴由勾股定理222GH DH DG +=∴()2226848x x −=+∴22136684811620x =−=⨯ ∴2906417x =<在CH 上取点M ，使29017HM GH ==，连接DM∴DMB DCB PCB ∠>∠>∠∵DG BG =∴DBC GDB ∠=∠∴22DGC GDB DBC DBC PBC ∠=∠+∠=∠<∠∴HM GH =，DH MG ⊥∴DG DM =∴DMB DGC ∠=∠∴2PBC PCB ∠>∠∴在AD 上所有点都满足2PBC PCB ∠>∠∴不存在；II. 若P 在AB 上时，如图所示，∵BP AB BC <<，∴45BCP ∠<︒，∴2PBC BCP ∠≠∠，∴在AB 上不存在其它满足要求的△BCP ；III. 若P 在AB 上时，如图所示，作BC 的垂直平分线交AD 于点L 、交BC 于点R ，作BCD ∠的平分线交RL 于点O ，连结BO 并延长交DC 于点P ，此时有22BCD BCO PBC ∠=∠=∠， ∴△BCP 是以BC 为底边的倍角三角形，作OU DC ⊥于点U ，连结OA 、OD ，∵CO 平分BCD ∠，OR BC ⊥，OU DC ⊥，∴OR OU =，设OR x =，则OU x =，48OL x =−，由AOB BOC COD AOD ABCD S S S S S =+++梯形得11111(68132)4848661328068(48)22222x x x ⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯−，解得：22x =在Rt BOR 中，OB =∴OC OB ==∵OCP OCB PBC ∠=∠=∠，2POC PBC OCB PBC PCB ∠=∠+∠=∠=∠，∴PBC PCO ~，∴CP BP BC OP CP OC ==∴OP =，BP =，由BP OP OB −=得= 解得，66013CP =【点评】本题考查了角的倍数关系，角平分线的性质，相似三角形的判定等相关知识，明确题意根据已知条件画出图形是解题的关键．7．(1)45，=(2)(3)【分析】（1）根据等腰直角三角形的三线合一即可得到90,ADC AD CD BD ∠=︒==，由此推出,45BC BA AD D C ⊥∠=︒=∠，证明ADE CDF △△≌，得到,DE DF ADE CDF =∠=∠，求出DEF 是等腰直角三角形，勾股定理得到EF =DE ；（2）证明(SAS)ADE CDF ≌V V ，得到DE DF =，ADE CDF ∠=∠，推出DE DF ⊥，再由勾股定理得到答案；（3）分两种情况，①当H 在线段AC 上时，②当H 在线段AC 的延长线上时，连接MC ，过点M 作MF AC ⊥于F ，由等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．【解析】（1）解：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，45B BCA ∠=∠=︒，D 是BC 的中点，∴,45BC BA AD D C ⊥∠=︒=∠，∴90,ADC AD CD BD ∠=︒==，∵AE CF =，∴ADE CDF △△≌（SAS ），∴,DE DF ADE CDF =∠=∠，∵90CDF ADF ADC ∠+∠=∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴DEF 是等腰直角三角形，∴EF ==，故答案为：45，=（2）解：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45B ACD ∠=∠=︒，∵AB AC =，点D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，45BAD CAD ∠=∠=︒∴AD CD =，90ADC ∠=︒，∴BAD ACD ∠=∠，∴180180BAD ACD ︒−∠=︒−∠，即EAD FCD ∠=∠，∵45ACD CAD ∠=∠=︒，∴AD CD =，在ADE V 和CDF 中，AD CD EAD FCD AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ADE CDF ≌V V ，∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，∴90EDF CDF EDC ADE EDC ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴DE DF ⊥，在Rt EDF 中，DE DF =，4EF =，∴DE EF ==（3）解：①当H 在线段AC 上时，如图，连接MC ，过点M 作MF AC ⊥于F ，∵,AD BC BD CD ⊥=，∴AM 是线段BC 的中垂线，∴MB MC =，∴MBC MCB ∠=∠，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴ABM ACM ∠=∠，又∵90BAC BMH ∠=∠=︒，360BAH ABM BMH AHM ∠+∠+∠+∠=︒，∴180ABM AHM ∠+∠=︒，∵180AHM MHC ∠+∠=︒，∴ABM MHC ∠=∠，∴MCH MHC ∠=∠，∴MH MC =，∵2CH =， ∴112HF CF CH ===， ∵6AC =，∴615AF AC CF =−=−=，∵45DAC ∠=︒，∴5AF MF ==，∴AM =∵6AB AC ==，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，∴12AD BC ==∴DM AM AD =−=②当H 在线段AC 的延长线上时，如图，连接MC ，过点M 作MF AC ⊥于F ，同理可得1CF HF ==，∴617AF AC CF =+=+=，∴AM =∴DM AM AD =−=综上，DM 的长为【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，根据已知得出ADE CDF V V ≌是解题的关键．8．(1)见解析(2)HM =(3)MB ，证明见解析【分析】（1）由直角三角形两个锐角互余即可得出90APC PAC ∠+∠=︒，90MQB APC ∠+∠=︒，从而得出MQB PAC ∠=∠；（2）连接AQ ，DP ．由题意易得出AC 为线段QP 的垂直平分线，即得出2DP DQ ==，QAC PAC ∠=∠，AP AQ =，从而由勾股定理可求出PH DH ．进而易证(AAS)DAH PQH ≌，得出2AH QH DQ DH ==+=，再根据勾股定理可求出2AQ ==．又易证QAM QMA ∠=∠，即得出2QM QA ==，从而由HM QM DH =−求解即可；（3）作ME QB ⊥于点E ，易证(AAS)APC QME ≌，即得出PC ME =．再根据MEB 是等腰直角三角形，即得出MB =，从而得出MB ．【解析】（1）∵90ACB ∠=︒，QH AP ⊥，∴90APC PAC ∠+∠=︒，90MQB APC ∠+∠=︒，∴MQB PAC ∠=∠；（2）如图，连接AQ ，DP ．∵CQ CP =，90ACB ∠=︒，∴AC 为线段QP 的垂直平分线，∴2DP DQ ==，QAC PAC ∠=∠，AP AQ =，∴PH DH =．又∵DAH PQH ∠=∠，90AHD QHP ∠=∠=︒，∴(AAS)DAH PQH ≌，∴2AH QH DQ DH ==+=∴2AQ ==．∵45QAM QAC CAB QAC ∠=∠+∠=∠+︒，45QMA MQB B BQM ∠=∠+∠=∠+︒， ∴QAM QMA ∠=∠，∴2QM QA ==，∴2(2HM QM DH =−=−=（3）MB ．证明如下，如图，作ME QB ⊥于点E ，由（2）可知AP AQ QM ==，又∵90MQE PAC ACP QEM ∠=∠∠=∠=︒，，∴(AAS)APC QME ≌，∴PC ME =．∵MEB 是等腰直角三角形，∴BE ME =．∵222BE ME MB +=，∴MB ，∴MB =．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．9．(1)见解析(2)①见解析；②2AE CF =；证明见解析【分析】（1）根据“SAS ”证明≌ACD BCE V V ，得出AD BE =，DAC CBE ∠=∠，证明ABE为直角三角形，根据勾股定理得出222AB BE AE +=，即可得出答案；（2）①根据题意补全图形即可；②延长CF ，截取FG CF =，连接BG ，证明CFD GFB ≌，得出CD BG =，GBF CDF ∠=∠，证明()SAS ACE CBG ≌即可得出结论．【解析】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴190452CAB CBA ∠=∠=⨯︒=︒，∵90DCE ∠=︒，∴90DCA ACE ACE ECB ∠+∠=∠+∠=︒，∴DCA ECB ∠=∠，∵AC BC =，CE CD =，∴()SAS ACD BCE △≌△，∴AD BE =，DAC CBE ∠=∠，∵180135DAC CAB ∠=︒−∠=︒，∴135CBE ∠=︒，∴90ABE CBE CBA ∠=∠−∠=︒，∴ABE 为直角三角形，∴222AB BE AE +=，∴222AB AD AE +=．（2）解：①依题意补全图2如图所示：②2AE CF =；理由如下：如图，延长CF ，截取FG CF =，连接BG ，∵F 为BD 的中点，∴BF DF =，∵CFD GFB ∠=∠，CF FG =，∴()SAS CFD GFB ≌，∴CD BG =，GBF CDF ∠=∠，∵CD CE =，∴BG CE =，∵45CDF DCA CAD DCA ∠=∠+∠=∠+︒，∴45GBF CDF DCA ∠=∠=∠+︒，∴454590CBG FBG CBA DCA DCA ∠=∠+∠=∠+︒+︒=∠+︒，∵90ACE DCA DCE DCA ∠=∠+∠=∠+︒，∴ACE CBG ∠=∠，∵AC BC =，CE BG =，∴()SAS ACE CBG ≌，∴2AE CG CF FG CF ==+=．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．10．(1)见解析(2)见解析(3)22AD =，20AB =【分析】（1）由“SAS ”可证AOB ≌COD △，可得OB OD =；（2）由AOB ≌COD △得OAB OCD ∠=∠，AOB COD ∠=∠，从而得出AOC BOD ∠=∠，AOC APC ∠=∠，根据180APC APD ∠+∠=︒和1902APD COB ∠=︒+∠进一步得出结论；（3）作BF OD ⊥于F ，作CG OA ⊥于G ，设2BD OE a ==，根据1122BOD S OD BF BD OE =⋅=⋅，BF =，从而45BF OB ，设4BF k =，5OD OB k ==，则3OF k =，根据B F O C G O ，表示各边，并求出OG 和CG ，根据AB CD =列出方程，从而求得k ，进一步求得结果．【解析】（1）证明：在AOB 和COD △中，OA OC BAO DCOAB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB ≌COD △，∴OB OD =；（2）证明：由（1）知：AOB ≌COD △，∴OAB OCD ∠=∠，AOB COD ∠=∠，∴AOB BOC COD BOC ∠−∠=∠−∠，即：AOC BOD ∠=∠.∵180A P C O C D C E P ∠=︒−∠−∠，180A O C B A O A E O ∠=︒−∠−∠，∴AOC APC ∠=∠.∵180APC APD ∠+∠=︒，∴180A O C A P D ∠+∠=︒. ∵1902APD COB ∠=︒+∠， ∴1(90)1802AOC COB ∠+︒+∠=︒，∴2180A O C B O C ∠+∠=︒，∴180A O C B O D B O C ∠+∠+∠=︒，∴A ，O ，D 三点共线；（3）解：如图，作BF OD ⊥于F ，作CG OA ⊥于G ，设2BD OE a ==，∵OB OD =，∴BE DE a ==.∵90BEO ∠=︒，∴OD OB ===. ∵1122BOD S OD BF BD OE =⋅=⋅，22BF a a ⋅=⋅，∴BF =，∴45BF OB=， ∴设4BF k =，5OD OB k ==，则3OF k =，∵AOC BOD ∠=∠，90B F O C G O ∠=∠=︒，∴B F O C G O ，∴::::3:4:5O G C G O C O F B F O B ==，设3OG x =，4CG x =，5OC x =，∴57x =，解得75x =， ∴2135OG x ==，2845CG x ==，在Rt CDG △和Rt AFB 中，由勾股定理得，222D C C G D G =+，222AB AF BF =+，且AB CD =， ∴22222821()(5)(37)(4)55k k k ++=++，解得3k =，∴412BF k ==，15OB OD ==，39OF k ==，33716A F =⨯+=，∴71522AD OA OD =+=+=.∵222221216400A B B F A F =+=+=，∴20AB =．【点评】本题主要考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系．11．(1)①图形见解析；猜想：BAE BCD ∠=∠，理由见解析；②见解析；(2)线段AE ，CE ，DE 的数量关系：CE AE =．【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出90BAE B ∠+∠=︒，90BCD B ∠+∠=︒，即可得出BAE BCD ∠=∠；②在AE 上截取AF CE =，可证出ACD 是等腰直角三角形，得出AD CD =，可证明()ADF CDE SAS ≌△△，得出DF DE =，ADF CDE ∠=∠，可推出90CDE FDC EDF ∠︒+∠=∠=，证出EDF 是等腰直角三角形，即可得出结论CE AE =；(2) 在CE 上截取CF AE =，连接DF ，由CD AD ⊥，AE BC ⊥，可得EAD DCF ∠=∠，由45BAC ∠=︒可得AD CD =，可证()ADE CDF SAS △≌△，可得ED DF =，ADE CDF ∠=∠，可推出90EDF ∠=︒，可得EDF 是等腰直角三角形故EF ，即可得线段AE ，CE ，DE 的数量关系．【解析】（1）解：①依题意，补全图形，如图1所示．猜想：BAE BCD ∠=∠，理由如下：∵CD AB ⊥，AE BC ⊥，∴90BAE B ∠+∠=︒，90BCD B ∠+∠=︒，∴BAE BCD ∠=∠，②证明：如图2，在AE 上截取AF CE =，连接DF∵45BAC ∠=︒，CD AB ⊥，∴ACD 是等腰直角三角形，∴AD CD =，在ADF △和CDE 中，DA CD BAE BCDAF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADF CDE SAS ≌△△，∴DF DE =，ADF CDE ∠=∠，∵AB CD ⊥，∴90ADF FDC ∠+∠=︒，∴90CDE FDC EDF ∠︒+∠=∠=，∴EDF 是等腰直角三角形，∴EF =，∵AF EF AE +=，∴CE AE =．（2）解：依题意补全图形，如图3所示，在CE 上截取CF AE =，连接DF ，∵CD AD ⊥，AE BC ⊥，∴90ADC AEC ∠=∠=︒，∴90EAB ABE ∠+∠=︒，90DBC DCF ∠+∠=︒，ABE CBD ∠=∠，∴EAD DCF ∠=∠，∵45BAC ∠=︒，∴45DCA ∠=︒，∴AD CD =，在ADE V 和CDF 中，AD CD EAD DCFCF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CDF SAS △≌△，∴ED DF =，ADE CDF ∠=∠，∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴EDF 是等腰直角三角形，∴EF =，∵CE CF EF =+，∴CE AE =，∴线段AE ，CE ，DE 的数量关系：CE AE =．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键．12．(1)①=，②＞(2)＞(3)【分析】（1）①连接BD ，先证明CDB △是等边三角形，即60ACB CBD BDC ∠=︒=∠=∠，当F 点与B 点重合时，即0BF =，根据“三线合一”可得AE EF =，即有AE BF EF +=，同理：如果点E 刚好和点A 重合，同样有AE BF EF +=；问题得解；②先证明DEF 是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得AE EF =，再结合含30︒角的直角三角形的性质可以求出BF AC =，即问题得解；（2）将DF 绕D 点逆时针旋转120°至DM ，连接AM ME ，，先证明DEM DEF ≌V V ，再证明ADM BDF ≌△△，问题即可得解；（3）将DF 绕D 点逆时针旋转120︒至DN ，连接AN NE ，，根据（2）中的方法，同理可证明：DEN DEF ≌V V ，ADN BDF ≌V V ，再证明ANE 是直角三角形，90ANE ∠=︒，结合含30︒角的直角三角形的性质即可求解．【解析】（1）①如图，连接BD ，根据题意有90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，即30CAB ∠=︒，∵点D 为AC 中点， ∴12AD DC BD AC ===，∴CDB △是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）∴60ACB CBD BDC ∠=︒=∠=∠，∵30CAB ∠=︒，∴在Rt ABC △中，12BC AC =，∴AB AC ，当F 点与B 点重合时，如上图左图，即0BF =，∵60EDF DBC ∠=︒=∠，∴DE BC ∥，∴90AED ABC ∠=∠=︒，∴DE AF ⊥，∵AD BD =，∴AE EF =，∵0BF =，∴AE BF EF +=，同理：如果点E 刚好和点A 重合，同样有AE BF EF +=，故答案为：=；②当30ADE ∠=︒时，如图，∵30ADE ∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60DEF ∠=︒，AE DE =，∵60EDF ∠=︒，∴DEF 是等边三角形，90ADF Ð=°，∴DE EF =，∴AE EF =，∵90ADF Ð=°，30DAE ∠=︒，∴在Rt ADF 中，12DF AF =，∴AF AB =，∴AF AC =，∴BF AB AF AC AC AC =−==，∵AE EF =，BF AC ，∴AE BF EF +＞，故答案为：＞；（2）AE BF EF +＞，理由如下：将DF 绕D 点逆时针旋转120︒至DM ，连接AM ME ，，如图，根据旋转的性质有：120MDF ∠=︒，DF DM =，∵60FDE ∠=︒，∴60MDE ∠=︒，∵DE DE =，∴DEM DEF ≌V V ，∴EM EF =，∵60CDB ∠=︒，∴120ADB ∠=︒，即：ADB MDF ∠=∠，∵ADB ADF FDB ∠=∠+∠，MDF ADF ADM ∠=∠+∠，∴BDF ADM ∠=∠，∵AD BD =，MD DF =，∴ADM BDF ≌△△， ∴AM BF =，∴在AME △中，AM AE ME +＞，∴BF AE EF +＞，故答案为：＞；（3）将DF 绕D 点逆时针旋转120︒至DN ，连接AN NE ，，如图，根据（2）中的方法，同理可证明：DEN DEF ≌V V ，ADN BDF ≌V V ，∴AN BF =，NE EF =，DBF DAN ∠=∠，∵222BF EF AE +=，∴222AN NE AE +=，∴ANE 是直角三角形，90ANE ∠=︒，∵在（1）中已证明60CBD ∠=︒，∴30DAN DBF ∠=∠=︒，∴60NAE DAN CAB ∠=∠+∠=︒，∴30AEN ∠=︒， ∴12AN AE =，∴NE AE ，∴EF NE AE AE=．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30︒角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．13．(1)见解析(2) (3)94x =【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证222+=a b c ；（2）计算出ABC 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB 边上的高；（3）运用勾股定理在Rt ABD 和Rt ADC 中求出2AD ，列出方程求解即可；【解析】（1）证明：∵2 12ABCD S c =四边形，() 12AEDC S b a b =+梯形，()12BED S a b a =−△， BED ABCD AEDC S S S =+△四边形梯形 ∴()()2111222c b a b a b a =++− ∴2221111122222c b ab a ab =++− ∴222+=a b c（2）111442424226222ABC S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=，AB =11622ABC S AB h =⨯=⨯=， 655h =即AB 边上的高是（3）解：在Rt △ABD 中，由勾股定理得222222416AD AB BD x x =-=-=-∵6BD CD BC +==，∴6CD BC BD x =−=−在Rt ACD △中，由勾股定理得()222222561112AD AC CD x x x =−=−−=−+−∴22161112x x x -=-+-， ∴94x =【点评】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF 是解本题的难点．14．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）证明ACE BCF △△≌，即可解决问题；（2）先由全等三角形的性质和三角形的外角性质，证出90ACD DFB ∠=∠=︒，再由勾股定理即可解决问题；（3）作FH BC ⊥于H ．先证明BCF △是底角为30°的等腰三角形，再求出CF FB FH ，，的长，然后根据DEF ECD CDF ECF S S S S =+−计算即可．【解析】（1）证明：∵ABC ECF ，都是等腰直角三角形，∴90CA CB CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，，，∴ACE BCF ∠=∠，∴()SAS ACE BCF ≌，∴CAE CBF ∠=∠；（2）解：∵90AC BC ACB ==∠=︒，∴AB ==由（1）得：CAD DBF ∠=∠，∵ADB CAD ACD DBF DFB ∠=∠+∠=∠+∠，∴90DFB ACD ∠=∠=︒，∴AF == （3）解：过点F 作FH BC ⊥于H ，如图3所示：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB AC BC ∠=︒=，，∴45BAC ABC ∠=∠=︒，∵15BAD ∠=︒，∴451530CAE ∠=︒−︒=︒，∴30ACE CAE ∠=∠=︒，∴==AE CE CF ，同（1）得：()SAS ACE BCF ≌，∴30BF AE ACE BCF =∠=∠=︒，，∴CF BF =，∴30BCF CBF ∠=∠=︒，∵FC FB FH BC =⊥，，∴12CH BH BC ===，32FH ==，23CF BF FH ===，∵60903060CED CAE ACE ECD ∠=∠+∠=︒∠=︒−︒=︒，，∴ECD 是等边三角形，∴3EC CF CD ===，∴DEF ECD CDF ECF S S S S =+−21313333222=+⨯⨯−⨯⨯=．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．15．(1)AEFS =；AC BD =+，证明见解析；(3)DP FQ +【分析】（1）过点F 作FG AC ^于点G ，在Rt EFG △中利用勾股定理求得GF 的长，在等腰直角三角形AFG 中即可求得AG 的长，从而可得答案；（2）过点E 作EH AC ⊥交AB 于点H ，过点H 作HM BC ⊥于点M ，通过证明HEF DBF ≌，利用全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质即可得出结论；（3）过点F 作FM AC ⊥于点M ，延长FM 至F '使F M FM '=，则F '与F 关于AC 对称，过点F '作F N BC '⊥，交BC 的延长线于点N ，证明APF CQF ≌，利用轴对称解决路径最短问题即可求得结论．【解析】（1）解：过点F 作FG AC ^于点G ，如图，∵90,ACB AC BC ∠=︒=，∴45A ABC ∠=∠=︒，∵90,30ECD EDC ∠=︒∠=︒，∴60DEG ∠=︒．∵,6FG AC EF ⊥=， ∴132EG EF ==，∴FG ==∵,45FG AC A ⊥∠=︒，∴AG FG ==∴3AE AG EG =−=．∴)11322AEF S AE FG ==⨯=．（2）解：过点E 作EH AC ⊥交AB 于点H ，过点H 作HM BC ⊥于点M ，如图，∵,45EH AC A ⊥∠=︒，∴,AE EH AH ==．∵BD AE =，∴EH BD =．∵,EH AC DC AC ⊥⊥，∴HE CD ∥，∴HEF D ∠=∠．在HEF 和DBF 中，HEF D HFE BFD EH DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS HEF DBF ≌． ∴12HF BF BH ==．∵90HEC ACB HMC ∠=∠=∠=︒，则90EHM ∠=︒，∴HM AC ∥，而HE CD ∥，∴由平行线间的距离处处相等可得：,CM HE HM CE ==，∵,45HM BC ABC ⊥∠=︒，∴EC HM ==，∴12AF AH HF BH =++． ∴2AE BH =，即：AE AE CE AE AC =++=+． ∴AC BD =+．（3）解：∵AB = F 是线段AB 的中点，90ACB ∠=︒，∴4,45,AF FB FC AC BC A ABC CF AB =====∠=∠=︒⊥．∴45FCQ A ∠=∠=︒．在APF 和CQF △中，AP CQ A FCQ AF FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APF CQF ≌．∴PF FQ =． ∴DP FQ DP PF +=+．过点F 作FN AC ⊥于点M ，延长FM 至F '使F M FM '=，则F '与F 关于AC 对称，连接DF '交AC 于点P ，如图，则此时DP FP DF '+=，取得最小值，过点F '作F N BC '⊥，交BC 的延长线于点N ，∵90,,45AFC FM AC A ∠=︒⊥∠=︒， ∴112,222AM MC AC FM AC =====． ∴2F M FM '==．。

【常考压轴题】勾股定理常考压轴题汇总—2023-2024学年八年级数学下册(人教版)(解析版)

勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得：a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠F AB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠F AC+∠BAC＝∠F AC+∠ABC＝90°，∴∠F AC＝∠ABC，在△F AM与△ABN中，，∴△F AM≌△ABN（ASA），∴S△F AM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四边形FNCM，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得：AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝S Rt△ABC+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，则S△BMF+S△MBF＝S△BEF，即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，∴S△EMF＝S△EF A'＝m，∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，∴S正方形EFCH＝EF＝，故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接P A，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当P A＝PB时，如图：设BP＝P A＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB 的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【答案】．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．故答案为：．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，P A2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵P A2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠P AC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。

填空题压轴题-2022-2023学年八年级数学下册期末解答压轴题必刷专题训练(华师大版)(解析版)

填空题压轴题【答案】145【详解】解：如图以DAB V 和FAQ △中：DA =∴()SAS DAB FAQ V V ≌，【答案】①②③④⑤⑥【详解】解：如图，过点∵四边形ABCD 是正方形，∴A C D ÐÐÐ==∴AEB EBC ÐÐ=∵FEB EBC ÐÐ=∴AEB BEF ÐÐ=5．如图，已知在△ABC中，AB 作平行四边形MCNB，连接MN【答案】24 5【详解】如图，设MN、BC交于点6．如图，在平面直角坐标系xoyAB AD为边作使2DP AP=，以,【答案】49【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB//CD∴∠E=∠DAE，又∵AE平分∠BAD，【答案】①④⑤【详解】解：∵四边形ABCD ∴AB CD =，AD BC =．设点P 到AB ，BC ，CD ，DA【答案】()453，【详解】解：从正方形的观点考虑，右下角对应的横坐标为1时，共有右下角对应的横坐标为2时，共有右下角对应的横坐标为3时，共有右下角对应的横坐标为4时，共有【答案】10 21【详解】解：设1A，2A，3A【答案】（10112-，10112）【详解】解：∵过点（1，0）作∴1A （1，2），把2y =代入y x =-得2x =-，即把2x =-代入2y x =得4y =-，即同理可得4A （4，4-），5A （32），…直线21y kx k =+-与直线(1)2y k x k =+++那么，COD ABDC S S =V 四边形【答案】22n+【详解】解：对于直线y=x+1∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为将y=1代入1122y x=+中得：∴A0B1=1=20，∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为【答案】404432æöç÷èø【详解】解：∵直线1l ：112y x =-+与直线2l ：332y x =-+与y 轴交于点B ，∴AB 2\=，112BC AB ==，∵BC ⊥AB ，∴()1,3C -，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF，∴PA=EF，故②正确；∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，∵∠PFC=∠BCD=90°，∴PF∥BC，∴∠DPF=45°，∵∠DFP=90°，∴△FPD 是等腰直角三角形，故①正确；在△PAB 和△PCB 中，AB CB ABP CBP BP BP ìïÐÐíïî＝＝＝ , ∴△PAB≌△PCB，∴∠BAP=∠BCP，在矩形PECF 中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，∴∠PFE=∠BAP．故④正确；∵点P 是正方形对角线BD 上任意一点，∴AD 不一定等于PD ，只有∠BAP=22.5°时，AD=PD ，故③错误，故答案为①②④．38．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，P 是矩形ABCD 内一点，沿PA 、PB 、PC 、PD 把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为_________；这个四边形周长的最小值为________.【答案】 30 26【详解】如解图①，过点P 作PE AB ^于点E ，延长EP 交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC BCD Ð=Ð=°，5CD AB ==.∴四边形EBCF 是矩形.∴EF BC =.又∵12BC =，故答案为：30，26.39．如图，在△ABC 中，Ð，90BAC Ð=°，点A 为(3P 、A 、C 为顶点的三角形和△全等，则P 点坐标为___________【答案】(6)2-，或(81)，或则90AOB AMP Ð=Ð=°，在AOB V 和V AMP 中，AOB OAB AB ÐìïÐíïî∴(AAS)AOB AMP V V ≌，∴3AM AO ==，2MP OB == ，∴此时点P 的坐标为(6)2-，；②如图，过点C 作CP AC ^，使CP AB =，则(HL)ABC CPA V V ≌．过P 作PF x ^轴于F ，过点C 作CE x ^轴于点E ，作CD y ^轴于点D ．∵90OBA OAB Ð+Ð=°，90EAC OAB Ð+Ð=°，∴OBA EAC Ð=Ð．又∵90BOA AEC Ð=Ð=°，AB AC =，∴(AAS)BOA AEC V V ≌，∴3OD CE OA ===，2AE OB ==，∴5CD OE ==．∵CD x ∥轴，∴DCA FAC Ð=Ð．∵45BCA PAC Ð=Ð=°，∴DCA BCA FAC PAC Ð-Ð=Ð-Ð，即DCB FAP Ð=Ð．又∵90CDB AFP Ð=Ð=°，CB AP =，∴(AAS)CDB AFP V V ≌，∴321PF BD OD OB ==-=-=，5AF CD ==,∴358OF OA AF =+=+=，∴此时点P 的坐标为(81)，；③如图，作CP AC ^，使CP AB =，连接BP ，则(SAS)ABC CPA V V ≌，∵90BAC PCA Ð=Ð=°，且CP AB = ，∴四边形ABPC 是矩形，∴90AB BP ABP =Ð=°，，即90ABO PBM Ð+Ð=°，过点P 作PM y ^轴，则90BPM PBM Ð+Ð=°，∴ABO BPM Ð=Ð，在△AOB 和△BMP 中，AOB BMP ABO BPM AB BP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AOB BMP AAS V V ≌，∴3BM OA ==，2PM OB == ，∴此时点P 的坐标为(25)，；④当点P 与点B 重合时，点P 的坐标为(0)2，．综上可知，点P 的坐标为(6)2-，或(81)，或(25)，或(0)2，．。

中学数学八年级下册期末压轴题(含答案)

八年级下册期末压轴题一．填空题（共1小题）1．（2018春•西城区期末）在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形﹣﹣同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．（1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：①如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEC，四边形BCFG，四边形ABPQ都是正方形．延长QA交DE于点M，过点C作CN∥AM交DE的延长线于点N，可得四边形AMNC的形状是；②在图1中利用“等积变形”可得S正方形ADEC＝；③如图2，将图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A′M′N′C′，即四边形QACC′；④设CC′交AB于点T，延长CC′交QP于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得S四边形QACC'＝，则有S正方形ADEC＝；⑤同理可证S正方形BCFG＝S四边形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG＝S正方形ABPQ，进而证明了勾股定理．（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：图1中△≌△，则有＝AB＝AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形QACC′．二．解答题（共42小题）2．（2020春•海淀区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．①依据题意补全图1；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证明．3．（2020春•海淀区校级期末）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围．（要写过程）4．（2019•都江堰市模拟）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M 向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M 始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．5．（2020春•海淀区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．（1）当DM＝2时，依题意补全图1；（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD 的数量关系．6．（2019春•朝阳区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M 的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．（1）在点P₁（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（3，3）中，矩形ABCD的和谐点是；（2）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；（3）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF，直接写出b的取值范围．7．（2017春•昌平区期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．①如果AD＝4，BD＝9，那么CD＝；②如果以CD的长为边长作一个正方形，其面积为S1，以BD，AD的长为邻边长作一个矩形，其面积为S2，则S1S2（填“＞”、“＝”或“＜”）．（2）基于上述思考，小泽进行了如下探究：①如图2，点C在线段AB上，正方形FGBC，ACDE和EDMN，其面积比为1：4：4，连接AF，AM，求证AF⊥AM；②如图3，点C在线段AB上，点D是线段CF的黄金分割点，正方形ACDE和矩形CBGF的面积相等，连接AF交ED于点M，连接BF交ED延长线于点N，当CF＝a时，直接写出线段MN的长为．8．（2018春•浉河区期末）如图1，点A（a，b）在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．（1）在点P（1，2），Q（2，﹣2），N（，﹣1）中，是“垂点”的点为；（2）点M（﹣4，m）是第三象限的“垂点”，直接写出m的值；（3）如果“垂点矩形”的面积是，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标；（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG 的边上存在“垂点”时，GE的最小值为．9．（2018春•丰台区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AD交对角线AC于点E，连接BE，取BE的中点F，连接DF．（1）请你根据题意补全图形；（2）请用等式表示线段DF、AE、BC之间的数量关系，并证明．10．（2018春•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意图．（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是；②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．11．（2019春•海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+7与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣2交于点M，过点P 作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+7交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．12．（2019春•海淀区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得AE＝OA，连按OC，过点B作BD与OC平行，并使∠DBC＝∠OCB，且BD＝OC，连按DE．（1）如图一，当点O在Rt△ABC内部时，①按题意补全图形；②猜想DE与BC的数量关系，并证明．（2）若AB＝AC（如图二），且∠OCB＝30°，∠OBC＝15°，求∠AED的大小．13．（2017春•西城区期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B，C两点的坐标分别为B（4，0），C（4，4），CD⊥y轴于点D，直线l经过点D．（1）直接写出点D的坐标；（2）作CE⊥直线l于点E，将直线CE绕点C逆时针旋转45°，交直线l于点F，连接BF．①依题意补全图形；②通过观察、测量，同学们得到了关于直线BF与直线l的位置关系的猜想，请写出你的猜想；③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路：思路1：作CM⊥CF，交直线l于点M，可证△CBF≌△CDM，进而可以得出∠CFB＝45°，从而证明结论．思路2：作BN⊥CE，交直线CE于点N，可证△BCN≌△CDE，进而证明四边形BFEN 为矩形，从而证明结论．…请你参考上面的思路完成证明过程．（一种方法即可）解：（1）点D的坐标为，（2）①补全图形，②直线BF与直线l的位置关系是，③证明：14．（2017春•西城区期末）如图，在由边长都为1个单位长度的小正方形组成的6×6正方形网格中，点A，B，P都在格点上请画出以AB为边的格点四边形（四个顶点都在格点的四边形），要求同时满足以下条件：条件1：点P到四边形的两个顶点的距离相等；条件2：点P在四边形的内部或其边上；条件3：四边形至少一组对边平行．（1）在图①中画出符合条件的一个▱ABCD，使点P在所画四边形的内部；（2）在图②中画出符合条件的一个四边形ABCD，使点P在所画四边形的边上；（3）在图③中画出符合条件的一个四边形ABCD，使∠D＝90°，且∠A≠90°．15．（2017春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，动点A（a，0）在x轴的正半轴上，定点B（m，n）在第一象限内（m＜2≤a），在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF，连接FD，点M为线段FD的中点，作BB1⊥x轴于点B1，作FF1⊥x轴于点F1．（1）填空：由≌△，及B（m，n）可得点F的坐标为，同理可得点D的坐标为；（说明：点F，点D的坐标用含m，n，a的式子表示）（2）直接利用（1）的结论解决下列问题：①当点A在x轴的正半轴上指定范围内运动时，点M总落在一个函数图象上，求该函数的解析式（不必写出自变量x的取值范围）；②当点A在x轴的正半轴上运动且满足2≤a≤8时，求点M所经过的路径的长．16．（2019春•西城区期末）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM 交AE于点N．（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．求证：①∠BAE＝∠DAF；②DN⊥AE；（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求∠EAC与∠ADN 的和的度数．17．（2019春•西城区期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP ＝xcm，PE＝y1cm，PF＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y1/cm 1.120.50.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm18．（2019春•西城区期末）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”．对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A（1，0），点C（2，1），①下列四个点P1（0，1），P2（2，2），P3（﹣，0），P4（﹣，﹣）中，与点A是“中心轴对称”的是；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围；（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G（﹣2，2），H（2，2），J（2，﹣2），K （﹣2，﹣2），一次函数y＝x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．19．（2019春•大兴区期末）有这样一个问题：探究函数y＝+1的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣112345…y…393m…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．20．（2019春•大兴区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，A，B是直线l上的两点，点B关于AD的对称点为M，连接CM交AD于F点．（1）若∠ABC＝90°，如图1，①依题意补全图形；②判断MF与FC的数量关系是；（2）如图2，当∠ABC＝135°时，AM，CD的延长线相交于点E，取ME的中点H，连结HF．用等式表示线段CE与AF的数量关系，并证明．21．（2019春•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，记y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n （m≠0，n≠0）的图象为图形G，已知图形G与y轴交于点A，当x＝m时，函数y＝a （x﹣m）2+n有最小（或最大）值n，点B的坐标为（m，n），点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，且对角线AC，BD的交点与原点O重合，则称四边形ABCD为图形G的伴随四边形，直线AB为图形G的伴随直线．（1）如图1，若函数y＝（x﹣2）2+1的图象记为图形G，求图形G的伴随直线的表达式；（2）如图2，若图形G的伴随直线的表达式是y＝x﹣3，且伴随四边形的面积为12，求y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m＞0，n＜0）的表达式；（3）如图3，若图形G的伴随直线是y＝﹣2x+4，且伴随四边形ABCD是矩形，求点B 的坐标．22．（2019春•石景山区期末）正方形ABCD中，点P是直线AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE．（1）如图1，若点P在线段AC上，①直接写出∠ACE的度数为°；②求证：P A2+PC2＝2PB2；（2）如图2，若点P在CA的延长线上，P A＝1，PB＝，①依题意补全图2；②直接写出线段AC的长度为．23．（2020春•浦东新区期末）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．24．（2016春•无锡期末）已知：如图1，在平面直角坐标中，A（12，0），B（6，6），点C 为线段AB的中点，点D与原点O关于点C对称．（1）利用直尺和圆规在图1中作出点D的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA的形状，并说明理由；（2）在图1中，动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到达点A 时停止；同时，动点F从点O出发，以每秒a个单位的速度沿OB→BD→DA运动，到达点A时停止．设运动的时间为t（秒）．①当t＝4时，直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，求a的值；②当t＝5时，CE＝CF，请直接写出a的值．25．（2019春•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣102345…y…﹣﹣﹣4﹣5﹣7m﹣1﹣2﹣﹣…求m的值；（1）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．26．（2019春•东城区期末）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD 外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）27．（2019春•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．（1）当原点正方形边长为4时，①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是；②点P在直线y＝x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．28．（2019春•昌平区期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，点P从顶点B出发，沿B→C→A以每秒1cm的速度匀速运动到A点，设运动时间为x秒，BP长度为ycm．某学习小组对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）通过取点，画图，测量，得到了x（秒）与y（cm）的几组对应值：x01234567891011y0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 4.14 4.5 5.0要求：补全表格中相关数值（保留一位小数）；（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当x约为时，BP＝CP．29．（2019春•昌平区期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是射线DA上一点，连接EB，以点E为圆心EB长为半径画弧，交射线CB于点F，作射线FE与CD延长线交于点G．（1）如图1，若DE＝5，则∠DEG＝°；（2）若∠BEF＝60°，请在图2中补全图形，并求EG的长；（3）若以E，F，B，D为顶点的四边形是平行四边形，此时EG的长为．30．（2019春•昌平区期末）在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题：（1）已知点C（1，3），D（﹣4，﹣4），E（5，﹣），其中是平面直角坐标系中的巧点的是；（2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线y＝（k为常数）上，求m，k的值；（3）已知点N为巧点，且在直线y＝x+3上，求所有满足条件的N点坐标．31．（2019春•延庆区期末）已知：在正方形ABCD中，点H在对角线BD上运动（不与B，D重合）连接AH，过H点作HP⊥AH于H交直线CD于点P，作HQ⊥BD于H交直线CD于点Q．（1）当点H在对角线BD上运动到图1位置时，则CQ与PD的数量关系是．（2）当H点运动到图2所示位置时①依据题意补全图形．②上述结论还成立吗？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．（3）若正方形边长为，∠PHD＝30°，直接写出PC长．32．（2019春•延庆区期末）对于一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数y[m]＝为它的m分函数（其中m为常数）．例如，y＝3x+2的4分函数为：当x≤4时，y[4]＝3x+2；当x＞4时，y[4]＝﹣3x﹣2．（1）如果y＝x+1的﹣1分函数为y[﹣1]，①当x＝4时，y[﹣1]；当y[﹣1]＝﹣3时，x＝．②求双曲线y＝与y[﹣1]的图象的交点坐标；（2）如果y＝﹣x+2的0分函数为y[0]，正比例函数y＝kx（k≠0）与y＝﹣x+2的0分函数y[0]的图象无交点时，直接写出k的取值范围．33．（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．34．（2017春•西城区校级期末）某学习小组有a个男生，b个女生，其中a和b同时满足以下三个条件：①男生人数不少于女生人数；②a，b是一元二次方程mx2﹣（3m+8）x+24＝0的两个实数根；③男生和女生的总人数不超过10人．请根据以上信息，回答下面两个问题：（1）求整数m的值？（2）若T＝ma+b，求T的所有可能的值？35．（2017春•西城区校级期末）设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：如果变量x的取值范围为p≤x≤q，则把实数L＝q﹣p叫做变量x的取值宽度．如果反比例函数y＝在p ≤x≤q的函数值y的取值宽度与自变量x的取值宽度相等，则称此函数在p≤x≤q上具有“等宽性”．例如：函数y＝的函数值y的取值范围为≤y≤2，故而函数y＝具有“等宽性”．（1）下列函数哪些函数具有“等宽性”：（填序号）①y＝（1≤x≤2）；②y＝﹣（﹣2≤x≤﹣1）；③y＝﹣（1≤x≤6）；④y＝﹣（﹣4≤x≤﹣1）；（2）已知函数y＝﹣在a≤x≤﹣1上具有“等宽性”，求a的值；（3）已知直线y＝kx+b与函数y＝﹣交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且函数y＝﹣在x1≤x≤x2上具有“等宽性”，则k＝．36．（2018春•海淀区期末）在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP，AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE．提出问题：当点P运动时，∠APE的度数，DE与CP的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点P的两个特殊位置：①当点P与点B重合时，如图1﹣1所示，∠APE＝°，用等式表示线段DE与CP之间的数量关系：；②当BP＝BC时，如图1﹣2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图2﹣1，2﹣2，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图2﹣1和图2﹣2中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由．37．（2018春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（O，2），B（4，2），C（4，0）．P 为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P 为矩形ABCO的矩宽点．例如：下图中的为矩形ABCO的一个矩宽点．（1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是；（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值；（3）若一次函数y＝k（x﹣2）﹣1（k≠0）的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是．38．（2019春•曲阜市期末）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH＝CG，连接AG，DH交于点P．（1）依题意补全图1；（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；（3）若∠DAB＝70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．39．（2018春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若PM+PN≤4，则称P为直线l的近距点，特别地，直线上l所有的点都是直线l的近距点．已知点A（﹣，0），B（0，2），C（﹣2，2）．（1）当直线l的表达式为y＝x时，①在点A，B，C中，直线l的近距点是；②若以OA为边的矩形OAEF上所有的点都是直线l的近距点，求点E的纵坐标n的取值范围；（2）当直线l的表达式为y＝kx时，若点C是直线l的近距点，直接写出k的取值范围．40．（2018春•昌平区期末）如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）OP＝，OQ＝；（用含t的代数式表示）（2）当t＝1时，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处．①求点D的坐标；②如果直线y＝kx+b与直线AD平行，那么当直线y＝kx+b与四边形P ABD有交点时，求b的取值范围．41．（2018春•昌平区期末）在四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE，AF．（1）如图1，若四边形ABCD的面积为5，则四边形AECF的面积为；（2）如图2，延长AE至G，使EG＝AE，延长AF至H，使FH＝AF，连接BG、GH、HD、DB．求证：四边形BGHD是平行四边形；（3）如图3，对角线AC、BD相交于点M，AE与BD交于点P，AF与BD交于点N．直接写出BP、PM、MN、ND的数量关系．42．（2018春•西城区期末）在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC 边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC＝°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB＝4，AH＝2，求NE的长．43．（2018春•西城区期末）在△ABC中，M是BC边的中点．（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的两条高，连接MD，ME，则MD与ME的数量关系是；若∠A＝70°，则∠DME＝°；（2）如图2，点D，E在∠BAC的外部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD＝∠CAE＝30°，连接MD，ME．①判断（1）中MD与ME的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；②求∠DME的度数；（3）如图3，点D，E在∠BAC的内部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD＝∠CAE＝α，连接MD，ME．直接写出∠DME的度数（用含α的式子表示）．八年级下册期末压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2018春•西城区期末）在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形﹣﹣同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．（1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：①如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEC，四边形BCFG，四边形ABPQ都是正方形．延长QA交DE于点M，过点C作CN∥AM交DE的延长线于点N，可得四边形AMNC的形状是平行四边形；②在图1中利用“等积变形”可得S正方形ADEC＝S四边形AMNC；③如图2，将图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A′M′N′C′，即四边形QACC′；④设CC′交AB于点T，延长CC′交QP于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得S四边形QACC'＝S四边形QATH，则有S正方形ADEC＝S四边形QATH；⑤同理可证S正方形BCFG＝S四边形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG＝S正方形ABPQ，进而证明了勾股定理．（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：图1中△ADM≌△ABC，则有AM＝AB＝AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形QACC′．【分析】根据平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ACED是正方形，∴AC∥MN，∵AM∥CN，∴四边形AMNC是平行四边形，∴S正方形ADEC＝S平行四边形AMNC，∵AD＝AC，∠D＝∠ACB，∠DAC＝∠MAB，∴∠DAM＝∠CAB，∴△ADM≌△ACB，∴AM＝AB＝AQ，∴图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A′M′N′C′，即四边形QACC′，∴S四边形QACC′＝S四边形QATH，则有S正方形ADEC＝S四边形QATH，∴同理可证S正方形BCFG＝S四边形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG＝S正方形ABPQ；故答案为平行四边形，S四边形AMNC，S四边形QATH，S四边形QATH；（2）由（1）可知：△ADM≌△ACB，∴AM＝AB＝AQ，故答案为ADM，ACB，AM；【点评】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考创新题目．二．解答题（共42小题）2．（2020春•海淀区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN 逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．①依据题意补全图1；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证。

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为，当A F AC '⊥时，AF 的长为．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭；当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−，解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54，故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为．【答案】或【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2．【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ，由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+，解得52x =，52CD ∴=，当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。

浙教版初二下册数学期末压轴题及答案

浙教版八下数学期末压轴题1 如图，梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=Rt Z, AD=21cm , BC=24cm，动点P 从点A 出发沿AD 边向D以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/sP运动时间为t.的速度运动(运动到点B时，P、Q同时停止运动).设点(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD , / BCD=Rt /, AB=AD=10cm , BC=8cm .点P 从点A 出发，以每秒2cm的速度沿线段AB方向向点B运动，点Q从点D出发，以每秒3cm的速度沿线段DC 方向向点C运动.已知动点P、Q同时发，当点P运动到点B时，P、Q运动停止，设运动时间为t.(1 )求CD的长；(2)当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.3、如图，在梯形ABCD 中，AD // BC，/ B= 90 ° ,AD = 16cm, AB = 12cm, BC = 21cm,动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD 上以每秒1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B, A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒).(1 )当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形•(2)当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2?(3)是否存在点卩，使厶PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由•4、如图，四边形ABCD 中，AD // BC , AD=15 , BC=25, AB=DC=10，动点P从点D 出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动。

上海(沪)八年级第二学期期末数学压轴题及答案(可转为word)

0 8k b, ∴ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分） 4 5k b,
4 k , 3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分） ∴ 32 b . 3
4 32 ．„„„„„„„„„„„„（1 分） x 3 3 26．解：（1）BF +AG= AE．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1 分）证明如下：过点 F 作 FH⊥DA，垂足为 H， ∵在正方形 ABCD 中，∠DAE=∠B=90°，∴四边形 ABFH 是矩形．„（1 分） ∴FH=AB=DA．∵BD⊥FG，∴∠G=90°–∠ADE=∠DEA．又∴∠DAE=∠FHG=90°，∴△FHG≌△DAE． „„„„„„„„„„（1 分） ∴GH=AE，即 HA+AG=AE．∵BF=HA，∴BF+AG=AE．„„„„„„（1 分）
本题满分12分其中第1小题5分第2小题3分第3小题4bcaebcdfdfaeefad四边形aefd是平行四边形efad5aedf?????????????????????????1abcd5rtabertdcfbecfefbccfbecf3在rtabeabaeaebqapaepdcqqcdpabqp当四边形abqp与四边形qcdp的面积相等时3当四边形abqp是平行四边形时pqab当四边形qcdp是平行四边形时可得pqcdcdabpqab此时cqpd11时pqab
FB 3 ，且 AC 10 ，求 FC 的值. BD 5
A
D
F
E
B
C
26．在梯形 ABCD 中， ∠ABC= 90 ， AD∥BC， BC>AD， AB=8cm， BC=18cm， CD=10 cm，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向终点 C 以每秒 3cm 的速度移动，点 Q 从点 D 开始沿 DA 边向终点 A 以每秒 2cm 的速度移动，设运动时间为 t 秒. （1）求四边形 ABPQ 为矩形时 t 的值；（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC= k cm” ，其它条件都不变，要使四边形 PCDQ 是等腰梯形，求 t 与 k 的函数关系式，并写出 k 的取值范围；（3）在移动的过程中，是否存在 t 使 P、Q 两点的距离为 10cm ,若存在求 t 的值. 若不存在请说明理由？

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八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点 P 在边 OA 上，PH⊥OB 于 H，交 ON 于点 Q，PM∥OB 交 ON 于点 M, MD⊥OB 于点 D，QR∥OB 交 MD 于点 R，连结 PR 交 QM 于点 S。

（1）求证：四边形 PQRM 为矩形；（2）若 OP= 1 PR，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由。

2（1）证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，∴PH∥MD， ∵PM∥OB，QR∥OB，∴PM∥QR，∴四边形 PQRM 是平行四边形， ∵PH⊥OB，∴∠PHO=90°， ∵PM∥OB，∴∠MPQ=∠PHO=90°，∴四边形 PQRM 为矩形；（2）∠AOB=3∠BON．理由如下：∵四边形 PQRM 为矩形，∴PS=SR=SQ= 1 PR，∴∠SQR=∠SRQ， 2又∵OP= 1 PR，∴OP=PS，∴∠POS=∠PSO， 2∵QR∥OB，∴∠SQR=∠BON，在△SQR 中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON，∴∠POS=2∠BON， ∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，即∠AOB=3∠BON．2.如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内（O 为坐标原点），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 的坐标分别为（-2,2 3 ），点 E 是 BC 的中点，点 H 在 OA 上，且 AH= 1 ，过点 H 且平行于 y 轴的 HG 与 EB 2交于点 G，现将矩形折叠，使顶点 C 落在 HG 上，并与 HG 上的点 D 重合，折痕为 EF，点 F 为折痕与 y 轴的交点。

（1）求∠CEF 的度数和点 D 的坐标；（2）求折痕 EF 所在直线的函数表达式；（3）若点 P 在直线 EF 上，当△PFD 为等腰三角形时，试问满足条件的点 P 有几个？请求出点 P 的坐标，并写出解答过程。

（本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通）（备用图）解：（ 1 ） ∵ E 是 BC 的中点， ∴ EC=EB==1 ．∵ △ FCE 与 △ FDE 关于直线 EF 对称， ∴ △ FCE ≌ △ FDE ，∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．∵AH=1，∴EG=EB-AH=1-1=1．222∵ cos ∠ GED== 1 ， ∴ ∠ GED=60 ° ． ∴ ∠ DEC=180 ° -60 ° =120 ° ． 2∵∠DEF=∠CEF∴∠CEF==60°．在 Rt △ GED 中，由勾股定理得： DG2=ED2-EG2=1-=∴ DG=DH=AB-DG=2-=OH=OA-AH=2- 1 = 2故 D（- ，）- 1 - / 12（ 2 ） ∵ ∠ CEF ═ 60 ° ∴ CF=ECtan60 ° =∴ OF=OC-CF=2-=∴F（0，）， E （ -1 ， 2）设 EF 所在直线的函数表达式为 y=kx+b ，由图象，得，解得：故 EF 所在直线的函数表达式为：y=- x+ ；（ 3 ） ∵ DF=CF= 点 P 在直线 EF 上， ∴ 当 △ PFD 为等腰三角形时，有以下三种情况：（ a ） P1F=DF=，可令 P1 （ t ， -t+），则： P1F2=3∴ 由两点间的距离公式为：（ t-0 ） 2+ （ -t+-） 2=3 ∴ t2+3t2=3 ∴ t2=，∴ t1=-， t2=∴ P1 （ -，+）； P3 （，- + ）（ b ） PD=DF= 时，仍令 P （ t ， - t+ ），注意 D （ - ，），则： PD2=3∴ （ t+ ） 2+ （ - t+ -） 2=3 ∴ t2+3t+ +3t2+3t+ =3 ∴ 4t2+6t=0∴ t1=0， t2=-∵ t1=0 对应 F 点，此时不构成三角形，故舍去． ∴ P4 （ -，）（ c ）当 PD=PF 仍令 P （ t ， - t+ ），注意 D （ - ，），F（0，），则：PD2=PF2 ∴ （ t+） 2+ （ -t+-） 2= （ t-0 ） 2+ （ -t+-∴ t2+3t++3t2+3t+=t2+3t2 ∴ 6t+3=0 ∴ t=- 1 ∴ P4 （ - 1 ，22）2，）．故满足条件的点 P 有 4 个．分别是：（（）．）、（）、（yy11BP AC Oy2xy3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y1=-2 3x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线y 2 =kx+b（k≠0）经过点 C(1,0)且与线段 AB 交于点 P,并把△ABO 分成两部分.(1)求△ABO 的面积. (2)若△ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等,求点 P 的坐标及直线 CP 的函数表达式.- 2 - / 12解：(1)在直线令，得中，令，得． ∴A(3，0)．、∴．(2)．∵点 P 在第一象限，∴． ∴B(0，2)．．解得．而点 P 又在直线上，∴．解得．∴P( )．将点 C(1，0)、P( )，代入 ∴直线 CP 的函数表达式为中，有．∴．4.如图①,在 Rt△ABC 中,已知∠A=90º,AB=AC,G、F 分别是 AB、AC 上两点，且 GF∥BC，AF=2，BG=4. (1)求梯形 BCFG 的面积. (2)有一梯形 DEFG 与梯形 BCFG 重合,固定△ABC,将梯形 DEFG 向右运动,直到点 D 与点 C 重合为止, 如图②.①若某时段运动后形成的四边形 BDG / G 中,DG⊥BG / ,求运动路程 BD 的长,并求此时 G / B 2 的值.②设运动中 BD 的长度为 x,试用含 x 的代数式表示出梯形 DEFG 与 Rt△ABC 重合部分的面积.AGFAG G F FB(D) 图①C(E) BD图②CE备用图解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．又∵GF∥BC，∴∠AGF=∠AFG=45°．∴AG=AF=2，AB=AC=6．∴S梯形GBCF=S△ABC-S△AGF=．（ 2 ） ① ∵ 在运动过程中有 DG ′ ∥ BG 且 DG ′ =BG ， ∴ BDG ′ G 是平行四边形．当DG ⊥ BG ′ 时， BDG ′ G是菱形．∴BD=BG=4．如图 ③ ，当 BDG ′ G 为菱形时，过点 G ′ 作 G ′ M ⊥ BC 于点 M ．- 3 - / 12在 Rt △ G ′ DM 中， ∠ G ′ DM=45 ° ， DG ′ =4 ，∴DM=G′M且DM2+G'M2=DG'2．∴DM=G′M=，∴BM=．连接G′B．在 Rt △ G ′ BM 中，．②当 0≤x≤时，其重合部分为梯形，如图②．在 Rt △ AGF 与 Rt △ ABC 中，，．过 G 点作 GH 垂直 BC 于点 H ，得 GH=．由 ① ，知 BD=GG ′ =x ， DC=，．∴S梯形=．当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．∵ 斜边 DC=，斜边上的高为，∴．5.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 PA 是一次函数 y=x+m(m>0)的图象,直线 PB 是一次函数y=-3x＋n（n＞m）的图象,点 P 是两直线的交点,点 A、B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。

（1）用 m、n 分别表示点 A、B、P 的坐标及∠PAB 的度数；（2）若四边形 PQOB 的面积是 11 ，且 CQ:AO=1:2，试求点 P 的坐标，并求出直线 PA 与 PB 的函数表达 2式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点 D，使以 A、B、P、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（ 1 ）在直线 y=x+m 中，令 y=0 ，得 x=-m ．∴点A（-m，0）．在直线 y=-3x+n 中，令 y=0 ，得．CQP∴点B（，0）．AOB由，得，∴点 P（，）．在直线 y=x+m 中，令 x=0 ，得 y=m ， ∴ |-m|=|m| ，即有 AO=QO ．又 ∠ AOQ=90 ° ， ∴ △ AOQ 是等腰直角三角形， ∴ ∠ PAB=45 度．（ 2 ） ∵ CQ ： AO=1 ： 2 ， ∴ （ n-m ）： m=1 ： 2 ，整理得 3m=2n ，- 4 - / 12∴ n=m，∴=而S四边形PQOB=S △ PAB-S △ AOQ=1 2（+m ） × （m）-1 2× m × m==m，m2=，解得 m=±4，∵ m ＞ 0 ， ∴ m=4 ， ∴ n=m=6 ， ∴ P （）．∴PA 的函数表达式为 y=x+4，PB 的函数表达式为 y=-3x+6．（3）存在．过点 P 作直线 PM 平行于 x 轴，过点 B 作 AP 的平行线交 PM 于点 D1，过点 A 作 BP 的平行线交 PM 于点D2 ，过点 A 、 B 分别作 BP 、 AP 的平行线交于点 D3 ．①∵PD1∥AB且BD1∥AP，∴ PABD1 是平行四边形．此时 PD1=AB ，易得；②∵PD2∥AB且AD2∥BP，∴ PBAD2 是平行四边形．此时 PD2=AB ，易得；③ ∵ BD3 ∥ AP 且 AD3 ∥ BP ，此时 BPAD3 是平行四边形．∵ BD3 ∥ AP 且 B （ 2 ， O ）， ∴ yBD3=x-2 ．同理可得 yAD3=-3x-12，得，∴．6.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1 ：y4 3x 与直线 l2:ykxb相交于点A，点A的横坐标为3，直线 l2交y轴于点B，且∣OA∣=1 2∣OB∣。

（1）试求直线 l2 的函数表达式；（2）若将直线 l1 沿着 x 轴向左平移 3 个单位，交 y 轴于点 C，交直线 l2 于点 D。

试求△BCD 的面积。

解：（ 1 ）根据题意，点 A 的横坐标为 3 ，代入直线 l1 ：中，得点 A 的纵坐标为 4，即点A（3，4）；即OA=5，又 |OA|= 1 |OB| ．即 OB=10 ，且点 B 位于 y 轴上，即得 B （ 0 ， -10 ）； 2将 A 、 B 两点坐标代入直线 l2 中，得 4=3k+b ； -10=b ；解之得， k=， b=-10 ；- 5 - / 12即直线l2的解析式为y=x-10 ；（2）根据题意，设平移后的直线 l1 的解析式为 y= x+m ，代入（ -3 ， 0 ），可得： -4+m=0 ，解得： m=4 ，平移后的直线 l1 的直线方程为；即点 C 的坐标为（0，4）；联立线 l2 的直线方程，解得 x=， y=，即点 D（又点 B（0，-10），如图所示：故△BCD 的面积 S= 1 ××14=．2）；7.正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在 X 轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1，0）。