2019年全国研究生考试数学(三)真题和答案

2019全国研究生考试数学三真题

一、选择题

1.（）

为同阶无穷小，则与时，若当=-→k x

x x x k

tan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.

的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.

），（44- 3.

c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值

为（ ）

A.1,0,1

B.1,0,2

C.2,1,3

D.2,1,4 4.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知

∑∑∞=∞

=11n n

n n

n

v nu A.

条件收敛n

n n v u ∑∞

=1 B.绝对收敛∑∞

=1n n

n v u

C.

）收敛（n

n n

v u +∑

∞

=1

D.）发散（n

n n

v u +∑∞

=1

5个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*

=Ax A A A 线性无关的

解，则

) ()(=*

A r A.0 B.1 C.2 D.3

6.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22

=+，且4=A ，则二次型

Ax x T 的规范形为

A.232221y y y ++.

B.232221y y y -+.

C.232221y y y --.

D.2

32221y y y ---.

7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是

A.).()()(B P A P B A P +=Y

B.).()()(B P A P AB P =

C.).()(A B P B A P =

D.).()(B A P AB P =

8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2

σμN ，则{}

1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2

,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.

二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.

9.

()=???

?

??+++?+?∞→n

n n n 11321211lim Λ 10. 曲线??? ??-+=232

cos 2sin ππ

＜＜x x x y 的拐点坐标为

11. 已知()t t x f x

d 11

4

?

+=

，则()=?x x f x d 10

2

12. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为

2

22500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=

13. 设????? ??---=11011

11012a A ，???

?

?

??=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为?????<<=，其他，

02

0,2)(x x

x f ）

（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）

（ . 三、解答题

15.已知函数???≤+>=0

10

)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x

16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求

),,(),(y x y x f xy y x g -+-=2

2222y g

y x g x g ??+???+?? 17.)(x y 显微分方程2

2

21'x e x

xy y =-满足条件e y =)1(的特解.

（1）求)(x y

（2）区域D {}

)(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x

与x 轴之间图形的面积。 19.设dx x x a n n ?

-=

1

21，n=（0，1，2…）

（1）证明数列{}n a 单调减少，且22

1

-+-=n n a n n a （n=2，3…） （2）求1

lim

-∞→n n

n a a .

20.设向量组Ⅰ.,)3,1,1(,)3,2,1(,)4,0,1(,)4,1,1(42321T

T T T a a +=+===αααα Ⅱ..)3,3,1(,)1,2,0(,)3,1,1(2321T

T T a a a +=-=+=βββ

若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a ，并将3β用321,,ααα表示

21.已知矩阵相似与???

?

? ??-????? ??----=y B x A 0001001220022

122 （1）求y x ,，

（2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-1

22.已知随机变量

Y

X ，相互独立，X 服从参数为1的指数分布

10,111~<

?

??--p p p Y ，令XY Z =.

x

（1）Z 的概率密度 （2）

不相关；

，为何值，Z X p （3）.Z ,X 是否独立

23.设随机变量X 的概率密度为??

???<≥=-- ,0,),(22

2)

(2

μμσ

σσμx x e A x f x μ为已知参数，2σ为未知参数，A 常数，

的简单随机样本为取自总体，，，X X X X n Λ21.

（1）求A ；

（2）求2

σ的最大似然估计量

2019年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题解析（数学三）

1.D

2.D

3.D

4.B

5.A

6.C

7.C

8.A

9.1-e 10.)2,(-π 11.

)221(18

1

- 12.0.4 13.1 14.

3

2 15. 解：

当0x >时，()()(

)

()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2x x x x x x f x x

e e x x x '''===++. 当0x <时，()(

)()e 1e e 1e x x x x

f x x x x '

'=+=+=+.

当=0x 时，()01f =，

()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x x

f x x x +++

+→→→--'====-∞， ()00110lim lim 1x x

x x xe f e x

---→→+-'===.

故()()()22ln 2 0

=1e 0x x

x x x f x x x ?+>?'?+

12,1x e x -==-.

（1）当()

()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()

()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，

故()21

1=e

f e

e -??

?

??

为极小值.

（2）当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增，

当()

()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 故()0=1f 为极大值.

（3）当()()(),1,0,x f x f x '∈-∞-<单调递减， 当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 故()1

1=1f e ---+为极小值.

16. 解：),(),(y x y x f xy y x g -+-=

)(),(v u v u f f x y

g

f f y x

g '-'-=??'+'-=?? vv uv uu vv uv uv uu

f f f f f f f x

g

''-''-''-=''+''+''+''-=??2)(22 vv uu vv uv uv uu

f f f f f f y

x g

''+''-=''-''+''-''-=???1)(12 vv uv uu vv uv uv uu

f f f f f f f y

g

''-''+''-=''+''-''-''-=??2)(22 .312

2222vv uu

f f y g

y x g x g ''-''-=??+???+?? 17.

18.

19.

20.解：

()12312322

22

11

1101,,,,,10212344+331+3111101011022001111a a a a a a a a αααβββ????=→??

??+-??

????-??

??----??

（1）当2

10a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组

必然等价，且3123=+βααα-.

（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ????→-??????

此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.

（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ????→-????-??

. 此时两个向量组不等价.

21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+??-=-?，解得3

2x y =??=-?

（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为

1=2λ，11=20α?? ?- ? ???；2=1λ-，22=10α-?? ? ? ???；3=2λ-，31=24α-??

? ? ???. 所以存在()1123=P ααα,,，使得1

11212P AP -??

??=Λ=-??

??-??

. B 的特征值与对应的特征向量分别为

1=2λ，11=00ξ?? ? ?

?

??；2=1λ-，21=30ξ?? ?- ? ???；3=2λ-，30=01ξ??

? ? ???. 所以存在()2123=P ξξξ,,，使得1

22212P AP -??

??=Λ=-??

??-??

. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即111

2112

B P P APP P AP ---== 其中1

12111212004P PP --??

??==--??????

. 22.解：（1）Z 的分布函数

(){}{}{}{}(){}

,1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤

从而当0z ≤时，()z

F z pe =；当0z >时，()()()

()1111z z F z p p e p e --=+--=--

则Z 的概率密度为()(),01,0

z

z

pe

z f z p e z -???. （2）由条件可得()()()()

()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，

又()()1,12D X E Y p ==-，从而当1

2

p =

时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关. （3）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当1

2

p =时，

1

21111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -???

?????≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤????????

???

??????

???==- ?

?????

而12112P X e -??≤=-????，1

21111112222222P Z P X P X e -????????

≤=≤+≥-=-?????? ?????????

，显

然1111,2222P X Z P X P Z ???

???≤

≤≠≤≤?????????

???，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（1）由()2

2

21x A

e

dx μσμ

σ

--

+∞

=?

t =

201t e dt +∞-==?，

从而A =

（2）构造似然函数()()221

12212,,1,2,,,,,,0

,n

i i n x i n A e x i n

L x x x μσμσσ=--?∑???≥= ?=???

?

?L L 其他，当时，取对数得()

2

2

2

1

1ln ln ln 22n

i

i n L n A x σμσ==--

-∑，求导并令

其为零，可得

()

2

2241

ln 1

022n

i i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为

()2

1

1n i i x n μ=-∑. ,1,2,,i x i n

μ≥=L