概率统计补充案例

补充案例：概率部分：案例1、“三人行必有我师焉”案例2、抓阄问题案例3、贝叶斯方法运用案例介绍案例4、化验呈阳性者是否患病案例5、敏感性问题的调查案例6、泊松分布在企业评先进中的应用案例7、碰运气能否通过英语四级考试案例8、检验方案的确定问题案例9、风险型决策模型案例10、一种很迷惑游客的赌博游戏案例11、标准分及其应用案例12、正态分布在人才招聘中的应用案例13、预测录取分数线和考生考试名统计部分：案例14、随机变量函数的均值和标准差的近似计算方法案例15、如何表示考试成绩比较合理案例16、如何估计湖中黑、白鱼的比例案例17、预测水稻总产量案例18、工程师的建议是否应采纳案例19、母亲嗜酒是否影响下—代的健康案例20、银行经理的方案是否有效案例21、一元线性回归分析的Excel实现案例22、方差分析的Excel实现案例23、预测高考分数案例24、两次地震间的间隔时间服从指数分布案例1、“三人行必有我师焉”我们可以运用概率知识解释孔子的名言“三人行必有我师焉”. 首先我们要明确一个问题，即只要在某一方面领先就可以为师(韩愈说“术业有专攻”). 俗语说“三百六十行，行行出状元”，我们不妨把一个人的才能分成360个方面。

孔子是个大圣人，我们假设他在一个方面超过某个人的概率为99％，那么孔子在这方面超过与他“同行”的两个人的概率为99％ ×99％ =98.0l ％，在360个方面孔子总比这两人强的概率为(98.01％)360=0.07％ ，即这两个人在某一方面可以做孔子老师的概率为99.93％.从数学角度分析，孔子的话是很有道理的. 案例2、抓阄问题一项耐力比赛胜出的10人中有1 人可以获得一次旅游的机会，组织者决定以抓阄的方式分配这一名额. 采取一组10人抓阄，10张阄中只有一张写“有”. 每个人都想争取到这次机会，你希望自己是第几个抓阄者呢? 有人说要先抓，否则写有“有”的阄被别人抓到，自己就没有机会了；有人说不急于先抓，如果前面的人没有抓到写有“有”的阄，这时再抓抓到“有”的机会会大一些. 为了统一认识，用概率的方法构造一个摸球模型来说明问题.摸球模型：袋中装有1 个红球和9 个黄球除颜色不同外球的大小、形状、质量都相同. 现在10 人依次摸球(不放回)，求红球被第 k 个人摸到的概率( k = 1, 2, ⋯, 10).解决问题 ：设k A = “{第 k 个人摸到红球}， k = 1, 2, ⋯, 10. 显然，红球被第一个人摸到的概率为101)(1=A P . 因为 12A A ⊆，于是红球被第二个人摸到的概率为 10191109)()()()(121212=⨯===A A P A P A A P A P .同样，由213A A A ⊆知红球被第三个人摸到的概率为1018198109)()()()()(2131213213=⨯⨯===A A A P A A P A P A A A P A P .如此继续，类似可得 )(4A P ===ΛΛ)(5A P 101)(10=A P . 由此可见，其结果与 k 无关，表明10 个人无论摸球顺序如何，每个人摸到红球的机会相等. 这也说明10 个人抓阄，只要每个人在抓之前不知道他前边那些已经抓完的结果，无论先后, 抓到的机会是均等的. 在现实生活中单位分房、学生分班、短缺物品的分配等，人们常常乐于用抓阄的办法来解决，其合理性保证当然得归功于“概率”. 通过上面的摸球模型，我们总结出分配中的“抓阄”问题，无论先抓后抓， 结果是一样的.学完概率之后再遇到抓阄问题时不必争先恐后，我们要发扬风格让他人先抓.案例3、贝叶斯方法运用案例介绍 什么是贝叶斯过滤器？垃圾邮件是一种令人头痛的顽症，困扰着所有的互联网用户。

正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。

传统的垃圾邮件过滤方法，主要有"关键词法"和"校验码法"等。

前者的过滤依据是特定的词语；后者则是计算邮件文本的校验码，再与已知的垃圾邮件进行对比。

它们的识别效果都不理想，而且很容易规避。

2002年，Paul Graham提出使用"贝叶斯推断"过滤垃圾邮件。

他说，这样做的效果，好得不可思议。

1000封垃圾邮件可以过滤掉995封，且没有一个误判。

另外，这种过滤器还具有自我学习的功能，会根据新收到的邮件，不断调整。

收到的垃圾邮件越多，它的准确率就越高。

建立历史资料库贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器，建立在已有的统计结果之上。

所以，我们必须预先提供两组已经识别好的邮件，一组是正常邮件，另一组是垃圾邮件。

我们用这两组邮件，对过滤器进行"训练"。

这两组邮件的规模越大，训练效果就越好。

Paul Graham使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各4000封。

"训练"过程很简单。

首先，解析所有邮件，提取每一个词。

然后，计算每个词语在正常邮件和垃圾邮件中的出现频率。

比如，我们假定"sex"这个词，在4000封垃圾邮件中，有200封包含这个词，那么它的出现频率就是5%；而在4000封正常邮件中，只有2封包含这个词，那么出现频率就是0.05%。

（【注释】如果某个词只出现在垃圾邮件中，Paul Graham 就假定，它在正常邮件的出现频率是1%，反之亦然。

随着邮件数量的增加，计算结果会自动调整。

）有了这个初步的统计结果，过滤器就可以投入使用了。

贝叶斯过滤器的使用过程现在，我们收到了一封新邮件。

在未经统计分析之前，我们假定它是垃圾邮件的概率为50%。

（【注释】有研究表明，用户收到的电子邮件中，80%是垃圾邮件。

但是，这里仍然假定垃圾邮件的"先验概率"为50%。

）我们用S表示垃圾邮件（spam），H表示正常邮件（healthy）。

因此，P(S)和P(H)的先验概率，都是50%。

然后，对这封邮件进行解析，发现其中包含了sex这个词，请问这封邮件属于垃圾邮件的概率有多高？我们用W表示"sex"这个词，那么问题就变成了如何计算P(S|W)的值，即在某个词语（W）已经存在的条件下，垃圾邮件（S）的概率有多大。

根据条件概率公式，马上可以写出公式中，P(W|S)和P(W|H)的含义是，这个词语在垃圾邮件和正常邮件中，分别出现的概率。

这两个值可以从历史资料库中得到，对sex这个词来说，上文假定它们分别等于5%和0.05%。

另外，P(S)和P(H)的值，前面说过都等于50%。

所以，马上可以计算P(S|W)的值：因此，这封新邮件是垃圾邮件的概率等于99%。

这说明，sex这个词的推断能力很强，将50%的"先验概率"一下子提高到了99%的"后验概率"。

联合概率的计算做完上面一步，请问我们能否得出结论，这封新邮件就是垃圾邮件？回答是不能。

因为一封邮件包含很多词语，一些词语（比如sex）说这是垃圾邮件，另一些说这不是。

你怎么知道以哪个词为准？Paul Graham的做法是，选出这封信中P(S|W)最高的15个词，计算它们的联合概率。

（【注释】如果有的词是第一次出现，无法计算P(S|W)，Paul Graham就假定这个值等于0.4。

因为垃圾邮件用的往往都是某些固定的词语，所以如果你从来没见过某个词，它多半是一个正常的词。

）所谓联合概率，就是指在多个事件发生的情况下，另一个事件发生概率有多大。

比如，已知W1和W2是两个不同的词语，它们都出现在某封电子邮件之中，那么这封邮件是垃圾邮件的概率，就是联合概率。

在已知W1和W2的情况下，无非就是两种结果：垃圾邮件（事件E1）或正常邮件（事件E2）。

其中，W1、W2和垃圾邮件的概率分别如下：如果假定所有事件都是独立事件（【注释】严格地说，这个假定不成立，但是这里可以忽略），那么就可以计算P(E1)和P(E2)：又由于在W1和W2已经发生的情况下，垃圾邮件的概率等于下面的式子：即将P(S)等于0.5代入，得到将P(S|W1)记为P1，P(S|W2)记为P2，公式就变成这就是联合概率的计算公式。

最终的计算公式将上面的公式扩展到15个词的情况，就得到了最终的概率计算公式：一封邮件是不是垃圾邮件，就用这个式子进行计算。

这时我们还需要一个用于比较的门槛值。

Paul Graham 的门槛值是0.9，概率大于0.9，表示15个词联合认定，这封邮件有90%以上的可能属于垃圾邮件；概率小于0.9，就表示是正常邮件。

有了这个公式以后，一封正常的信件即使出现sex 这个词，也不会被认定为垃圾邮件了。

案例4、化验呈阳性者是否患病在医疗中经常通过化验来诊断。

当某人做癌症检查结果呈阳性时，他就患癌症了？其实不然。

假设某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，则C 表示“抽查的人不患癌症”。

已知()0.005P C =, ()0.995P C =,()0.95P A C =,()0.04P A C =。

由贝叶斯公式，可得)()()()()()()(C A P C P C A P C P C A P C P A C P +=代入数据计算得: P (C ｜A )= 0.1066 。

在以上假设下，做癌症检查结果呈阳性的人确患癌症的概率为仅为0.1066，平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症。

这是不是意味着这种试验对于诊断一个人是否患有癌症没有意义呢？不是！如果不做试验，一人是患者的概率为0.005。

若试验后得阳性反应，则此人是患者的概率为0.1066, 从0.005增加到0.1066，将近增加约21倍，说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。

案例5、敏感性问题的调查学生阅读不健康书刊或录像会严重影响学生的身心健康. 但这些都是避着家长和教师进行的，属个人隐私行为. 我们如何设计一种调查方案，能够估计出大学生中看过不健康书刊或录像的人数的比率呢？对这种敏感性问题的调查，被调查者会有一种顾虑，害怕调查者不能很好的保守秘密. 如果被调查者不愿意真实回答问题，将使调查数据失真，这样的统计结果将没有意义. 因此巧妙设计调查方案是获得真实数据的关键. 经过多年的研究和实践，一些统计学家和心理学家发明了一种能消除人们抵触情绪的“随机化应答”方法. 被调查者只需回答两个问题之一，而且只需回答“是”或“否”，设计的问题如下：问题A ：你的生日是否在 7月1日 之前？ 问题B ：你是否看过不健康书刊？被调查者在没有外人的情况下，从一个装有黑球和白球的箱子中随机抽取一个球，看过颜色后又放回.若抽出白球则回答问题A ；若抽出黑球则回答问题B. 箱中黑球所占比率 α是已知的，即{}P α=任意抽取一个是黑球， {}1P α=-任意抽取一个是白球.被调查者无论回答A 或B ，都只需在一张只有“是”、“否”两个选项的答案上做出选择，然后投入密封的投票箱内. 上述抽球和答卷都在无人的情况下进行，这样就可以消除被调查者的顾虑，从而可以保证答卷的真实可靠性.打开投票箱进行统计，设共有 n 张有效答卷，其中 k 张选择“是”，那么可用频率 nk估计回答“是”的概率 ϕ为：{}/P k nϕ==答“是”.回答“是”有两种情况：一种是摸到白球后对问题A 回答“是”，也就是被调查者 “生日在7月1日之前”的概率，一般认为这个概率是0.5，即 }{0.5P =答“是”抽白球；另一种是摸到黑球后对问题B 回答“是”，这个条件概率就是看不健康书刊的学生在参加调查的学生中的比率 p ，即}{P p=答“是”抽黑球.利用全概率公式得{}{}}{{}}{P P P P P =⋅+⋅答“是”抽白球答“是”抽白球抽黑球答“是”抽黑球，即 ααϕp +-=）（15.0. 由此可获得/0.5(1)k n p αα--==.假设在一次实际调查中，箱子中共有50个球，其中30个是黑球，20个白球，则 6.0=α. 调查结束时共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是”，据此可估算出0762.06.04.0211583389=⨯-=p .这表明1583名学生中，约 62.7%的学生看过不健康书刊.案例6、泊松分布在企业评先进中的应用某工业系统在进行安全管理评选时，有两家企业在其它方面得分相等，难分高下。