第5讲-二次函数轨迹问题

例6.如图，过点F（0，1）的直线y＝kx＋b与抛物线y＝ x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
,
（1）求x1·x2的值．
（2）分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1，N1，连接FM1，FN1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
解：（1）∵直线y＝kx＋b过点F（0，1），∴b＝1；
例3、例4、例5、例6
模块一抛物线特殊点轨迹问题
题型一抛物线顶点的轨迹
例1.（1）已知抛物线y＝ －4ax＋4 ＋a－1，当实数a变化时，抛物线的顶点D都在某条直线l上，求直线l的解析式.
解：∵y＝ －4ax＋4 ＋a－1＝ ＋a－1，∴D(2a，a－1).
x－1.
②若a＝－1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线C1上的点，Q为线段MN的中点．设点N在抛物线C1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线C2，求抛物线C2的解析式．
解：①∵y＝ax2－4a＋4＝a（x2－4）＋4，该函数图象过第一象限内的定点P，
∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2（舍去），则y＝4，
（1）若－1＜t＜1，求证：OP＋PM为定值，并求出该值．
（2）若t＜－1或t＞1，求证：OP－PM为定值，并求出该值．
证明：（1）P（t， t2－ ），OP＝ ＝ t2＋ ，PM＝ t2－ ，
∴OP＋PM＝t2．
（2）P（t， t2－ ），OP＝ ＝ t2＋ ，PM＝ t2－ ，
∴OP－PM＝1．
【解】(1) ；
[
∵AO＝2CO，C(0,－1),∴A(－2,0), 代入得抛物线方程 .
(2) 把D(4，－m) 代入抛物线方程 ,得m＝3, ∴D(4,3),DO＝5.∴d＝5, ∴t＝－2.
(3) 分别过点E、F作直线l的垂线，垂足分别为N、K，连接OE，OF.
由(2)知EN＝EO，FK＝FO.
;
（2）已知抛物线 ：y＝ ＋2ax＋2x－a＋1，当实数a变化时，抛物线 的顶点D都在某条抛物线 上，求抛物线 的解析式.
解：∵ ：y＝ ＋2ax＋2x－a＋1＝ － －a＋1，∴D(－a－1，－ －a＋1).
∵抛物线 的顶点D都在某条抛物线 上，∴抛物线 的解析式为：y＝－ ＋x＋2.
练习
（1）已知抛物线y＝－ ＋2ax－ 的顶点为P，当a变化时，点P总在直线l上.求直线l的解析式；
∴点P( , ).
【
例4.如图1,P(m,n)是抛物线 上任意一点,l是过点(0,－2)且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l于点H．
(1)填空：m＝0时，OP＝______________，PH＝_____________；当m＝4,OP＝____________，PH＝____________.
(1)直接写出抛物线 的解析式；
(2)如图1，y轴上是否存在定点F，使得抛物线 上任意一点P到x轴的距离与PF的长总相等若存在，求出点F的坐标；
(3)如图2，D为抛物线 的顶点，P为抛物线 上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，连接DP，求PH＋PD的最小值及此时点P的坐标．
?
图1图2
【解】(1) 抛物线 的解析式 ；
①当EF不过O点时，在△EOF中，∵OE＋OF＞EF，∴EN＋FK＞EF＝8．
②当AB过O点时，∵OE＋OF＝EF，∴EN＋FK＝OE＋OF＝EF＝8．
∴EN＋FK≥8.又MH＝ (EN＋FK)≥4,∴MH的最小值为4
即点M纵坐标的最小值为2．
?
例5
如图，抛物线y＝ x2－ 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点P是抛物线上一动点（不包括A、B），PM⊥x轴于点M，点P的横坐标为t．
∴点P的坐标是（2，4）；
②设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）．∵M（2，0）．
-
由点Q是线段MN的中点，可以求得，xN＝2xQ－2，yN＝2yQ．
∵a＝－1，∴抛物线C1的解析式为y＝－x2＋8．
∵点N在抛物线C1上，∴yN＝－xN2＋8．
∴2yQ＝－（2xQ－2）2＋8，即yQ＝－2xQ2＋4xQ＋2，
解：（1）∵y＝kx＋2k＋4＝k(x＋2)＋4,令x＋2＝0，则x＝－2，y＝4，∴C(－2,4).
（2）当k＝－2，y＝－2x，设D(m，－2m)，则E(m， )，P(m， －m)，∴y＝ －x.
/
练习
（1）如图，抛物线y＝ －2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在直线BC上，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，G是线段PQ的中点，求点G的轨迹的解析式.
解：∵y＝－ ＋2ax－ ＝－ ＋4a－4，∴P(a，4a－4).
∵当a变化时，点P总在直线l上，∴直线l的解析式为：y＝4x－4.
/
（2）已知，直线 ：y＝ x，抛物线 ：y＝a ＋6ax＋7a的顶点A在直线 上.求抛物线 的解析式.
解：∵ ：y＝a ＋6ax＋7a＝a －2a，∴A(－3，－2a).
∵点A在直线 上，∴－2a＝ ×(－3)，∴a＝1，∴抛物线 的解析式为y＝ ＋6x＋7.
题型二中点的轨迹问题
例2.如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线 ：y＝ 交于A、B两点.
（1）直线AB总经过一个定点C，请求出点C坐标；
（2）若k＝－2，点D在直线AB上，过点D作y轴的平行线交抛物线 于点E，P是线段DE的中点，设点D在直线AB上运动时，P的运动轨迹为抛物线 ，求抛物线 的解析式.
(2)对任意点P,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想；
(3)如图2,若A、B是抛物线 上的两个动点且AB＝6,求A、B两点到直线l的距离之和的最小值.
图1图2
【解】(1)OP＝1,PH＝1；OP＝5,PH＝5.
(2)OP＝PH.
设点P（x， ），
@
则 . 即OP＝PH.
(3)分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为C、D，连接OA，OB.
(1)求抛物线方程；
(2)①若D(4，－m)为抛物线 上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t的值；
②若D为抛物线 上一动点，点D到①中的直线l的距离与OD的长是否恒相等，说明理由；
(3)如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值．
图1图2
解：设P(x， )，则
＝ ＋ ＝ ，
＝ ＝ ，
∴ ＝ ，∴PF＝PH.
(
（2）已知点M(2，3），F（0， ），点P（m，n）为抛物线y＝ 上一动点，则用含m的式子表示PF＝ ；PF＋PM的最小值是 .
设P(m， )，则
＝ ＋ ＝ ，∴PF＝ .
^
练习
将抛物线 先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线 ．
∴抛物线C2的解析式为：y＝－2x2＋4x＋2．
习2
（2）如图1，直线y＝kx－k2（k＞0）与抛物线y＝ax2有唯一的公共点．
①求抛物线的解析式；
②已知点A（0，1），直线l：y＝－1，如图2，P是抛物线上一个动点，PB⊥l于B点，连PA、PB，求证：AB平分∠OAP．
解：① ，ax2－kx＋k2＝0，△＝k2－4ak2＝0，a＝ ，y＝ x2．
②证明：设P（t， t2），
PA＝ ＝ t2＋1，PB＝ t2－（－1）＝ t2＋1，
PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵PB⊥l，∴PB∥y轴，∴∠PBA＝∠OAB，
∴∠PAB＝∠PAB，∴AB平分∠OAP．
M1N12＝（x2－x1）2＝x12＋x22－2x1x2＝x12＋x22＋8，∴FM12＋FN12＝M1N12，
∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．
（
课后作业 二次函数轨迹问题
习1
（1）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2－4a＋4（a＜0）经过第一象限内的定点P．
①直接写出点P的坐标；
(2)点F的坐标（0,2）.
作PH⊥x轴于H,设得抛物线 上点P（x， ），
则 . 即PF＝PH.
(3) 由(2)PH＝PF,∴PH＋PD＝PF＋PD,
∴当F,P,D在一直线上的,PF＋PD值最小, 即PH＋PD最小.
此时∵F(0,2),D(4,3),∴最小值为PF＝ ,
又直线DF为 ， 由 ， 得 ，
解：易知B(3，0)，C(0，－3)，可求BC解析式为y＝x－3.
设P(m，m－3)，则Q(m， －2m－3)，G(m， － m－3)，∴y＝ － x－3.
（2）如图，N为抛物线 ：y＝－ ＋8上一动点，点M（2，0）在x轴上，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线 上运动时，Q的运动轨迹为抛物线 ，求抛物线 的解析式.
解：设N(m，－ ＋8)，则M(2，0),Q( ＋1，－ ＋4)， ：y＝－2 ＋4x＋2.
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模块二焦点与准线
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抛物线的定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.
例3（1）如图，抛物线y＝ 的焦点F（0， ），准线l的解析式为y＝－ ，求证：抛物线y＝ 上任意一点P到点F的距离等于它到直线l的距离，即PF＝PH.
由(2)知OB＝BD，OA＝AC.
①当AB不过O点时，在△AOB中，∵OB＋OA＞AB，∴BD＋AC＞AB＝6．
②当AB过O点时，∵OB＋OA＝AB，∴BD＋AC＝AB＝6．
综上所述BD＋AC≥6，
即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．
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练习
如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－1)，连接AC，AO＝2CO，直线，过点G(0，t)且平行于x轴， ．
∵直线y＝kx＋1与抛物线y＝ x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，