生活中的二次函数(篮球问题)
【武汉2013中考数学】二次函数应用题
二次函数的实际应用1例题1：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
⑴问此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?例题2：（2012·武汉·五月调考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．O练习1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．2. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是21251233y x x=-++则他将铅球推出的距离是m 练习1图3．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。
一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。
例题3：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面外安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA ＝1.25米，由柱子顶端A处的喷水头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？（2）如果水流喷出的抛物线开口与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？例题4：(2012·武汉·四月调考)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m．(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？练习：1. 爱琴公园的音乐喷泉中的一个旋转喷泉如图所示，水管AB高出水面53米，B处是自转的水喷头，喷出水流呈抛物线状，喷出的水流在与A点的水平距离2米处达到最高点C，点C距离水面3米。
二次函数投篮问题(附答案)
二次函数投篮问题1．在一场篮比赛中，甲球员在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）乙球员身高为1.91米，跳起能摸到的高度为3.15米，此时他上前封盖，在离投篮甲球员2米处时起跳，问能否成功封盖住此次投篮？（3）在（2）条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要多少米？﹣﹣×时，﹣x2．如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标系如图．该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，他跳离地面的高度为0.2米，问这次投篮是否命中，为什么？若不命中，他应向前（或向后）移动几米才能使球准确命中？，则该抛物线解析式为，时，时，+3.5=3.05，即3．（2011•宝山区一模）如图1，小杰在一个智能化篮球场的罚球区附近练习投篮，球出手前，他测得篮框A的仰角为16.7°、篮球架底端B的俯角为24.2°，又已知篮框距离地面约3米．（1）请在答题纸上把示意图及其相关信息补全，并求小杰投篮时与篮框的水平距离；（2）已知球出手后的运动路线是抛物线的一部分，若球出手时离地面约2.2米，球在空中运行的水平距离为2.5米时，达到距离地面的最大高度为3.45米，试通过计算说明球能否准确落入篮框．（注：篮球架看作是一条与地面垂直的线段，篮框看作是一个点；投篮时球、眼睛看作是在一条与地面垂直的直线上．备用数据：sin16.7°=0.29，cos16.7°=0.96，tan16.7°=0.30；sin24.2°=0.41，cos24.2°=0.91，tan24.2°=0.45；），∴4.．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，根据经验，运动员起跳后的时间t（s）与运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：h=10+2.5t﹣5t2，那么运动员最多有多长时间完成规定动作？﹣=5．（2013•婺城区一模）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？．，或﹣，，x））×=，=6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB 为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．[x﹣（≤]7．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．[x﹣（≤]。
二次函数例子
二次函数例子
1. 哇塞，你知道投篮时篮球的轨迹吗？那其实就是一个二次函数的例子呀！当篮球被投出后，它的高度会先上升然后再下降，这不就和二次函数图像一模一样吗！
2. 嘿，想想公园里的喷泉，水喷上去又落下来的样子！那水的高度变化不就是二次函数的典型案例嘛，多有意思呀！
3. 哎呀，你有没有注意到秋千荡起来的弧度呀？一上一下的，这和二次函数多像啊，简直太神奇了！
4. 哇哦，每个月手机流量使用的情况其实也可以用二次函数来表示呢，开始用得少，中间猛用，然后又慢慢减少，可不是像二次函数图像一样嘛！
5. 你看那抛物线桥，多壮观啊！它的形状不正是二次函数在生活中的完美体现嘛，超酷的！
6. 嘿呀，烟花绽放的轨迹也是个二次函数呀！烟花升上去再炸开，那轨迹多美妙，绝对是二次函数的精彩呈现！
7. 哎呀，家里的吊灯摆动起来的轨迹也是二次函数呢，你好好想想，是不是很神奇呀！
我觉得二次函数真的是无处不在呀，在我们生活中好多地方都能看到它的影子，太有趣啦！。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
“球类”运动中的二次函数
“球类”运动中的二次函数数学和生活息息相关，数学就在你的身边.“新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动项目中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下.一、跳绳运动中的二次函数例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（）A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标．解：设函数表达式为y=Ax2+Bx+C，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得A—B+C=1，A= —1/6，C=1.5，解得B=1/3，9A+3B+C=1．C=1.5．所以函数表达式为y= —61x2+31x+23．当x=1.5时，y=1.625．答案：B．二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚作了如下探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30°，45°，60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动，如图，小明推铅球时的出手点距离地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴，以地平线为x轴建(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议.分析：本题以“体育活动中铅球投掷的远近”为课题，为学生设置了一个探究的数学广场.试题设计起点较低，题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型，而且已有二次函数的解析式的雏形，只要用待定系数法且发现出手点（0，2）在抛物线上，问题便迎刃而解.至于求铅球落点到小明站立处的水平距离只需令所求抛物线的解析式中的y2=0，求得到抛物线与x轴交点的横坐标即可.（1）观察表格提供的信息有与水平成30°、60°的方向投掷铅球轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最高点和最远点的距离，让考生探究沿45°方向投掷时行走的轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最大水平距离.我们可设“推铅球的方向与水平线成45°”时形成的抛物线的解析式为y2=a(x-4)2+3.6又出手点（0，2）在抛物线上，故有16a+3.6=2，解之，得a=－0.1，欲求铅球落点到小明站立处的水平距离，即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-4)2+3.6=0，解之得x1=-2，（舍去）x2=10，所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10米.例3一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示．（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式．⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球到达的最大高度的位置为点，落地点为，求四边形的面积．分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积．解：⑴设y =Ax 2+Bx +C ，已知图象经过（—2，0），（0，35），（2，38）三点，由此可求得A = —121，B =32，C =35，所以y = —121x 2+32x +35． ⑵令y =0，即—121x 2+32x +35=0，解得x 1=10，x 2= —2（不合题意，舍去）．所以铅球被推出的距离是10米．⑶作BD ⊥OC ，D 为垂足．因为y = —121（x 2—8x —20）= —121（x —4）2+3，所以B （4，3）；由⑵得C （10，0）．所以S 四边形OABC = S 梯形OABD +S △BDC =21×（35+3）×4+21×6×3=1831．三、篮球比赛中的二次函数例4某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．⑴建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？（3）若该队员身高1.7米，球出手时距头顶0.3米，那么他需要跳起多高才能投中？（结果保留一位有效数字）分析：这是一个有趣的、、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x =1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A （0，920），B （4，4），C （7，3），其中B 是抛物线的顶点．设二次函数解析式为y =A （x —h ）2+k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y = —91（x —4）2+4．将点C 的坐标代入上式，得左边=右边，即点C 在抛物线上．所以此球一定能投中． ⑵将x =1代入函数式，得y =3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．四．铅球与二次函数例5某同学推铅球时，铅球行进的路线是抛物线．已知铅球出手时距离地面的高度是1.4米，铅球行进1.5米后到达最高点，此时距离地面2米，问铅球从出手到落地行进的距离是多少米?（结果保留根号）解：依题意，铅球行进的路线是如图3所示的抛物线A -B -C 这一部分(A 为铅球出手时位置，B 为铅球行进中的最高点，C 为铅球落地时的位置)．以地面为x 轴，过点A 垂直于x 轴的直线为y 轴建立直角坐标系，则抛物线经过点A (0，1.4)，顶点为(1.5，2)，其解析式为y =a (x -1.5)2+2． 把x =0，y =1.4代入得，1.4=2.2a +2．解得a =-415．故y =-415(x -1.5)2+2．由y =0，得x．所以C，0)．OC)． 2、（07年连云港市）丁丁推铅球的出手高度为1.6m ，铅球飞行的线路符合抛物线20.1() 2.5y x k =--+，在如图所示的直角坐标系中，求铅球的落点与丁丁的距离．解：由题意知，点(016)，在抛物线20.1() 2.5y x k =--+上，所以21.60.1(0)2.5k =--+．解这个方程，得3k =或3k =-（舍去）． 所以，该抛物线的解析式为20.1(3) 2.5y x =--+．当0y =时，有20.1(3) 2.50x --+=，解得18x =，22x =-（舍去）． 所以，铅球的落点与丁丁的距离为8m ．五、以“足球”为背景二次函数应用问题 例6、（08吉林省长春市、新疆建设兵团）如图，足球场上守门员在O 处开一高球，球从离地面1米的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6米的B 出发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到图3 Bx（第2题图）原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取34=7）(3)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取62=5）分析：（1）由题意知足球开始飞出到第一次落地抛物线顶点坐标为（6，4），故可设相应抛物线的解析式为y=a(x －6)2+4，又开出点A （0，1）在抛物线上，故有36a+4=1，解之，得a=－121，故抛物线的解析式为y=－121x 2+x+1， （2）欲求足球落地点到守门员C 的水平距离，即求当y=0时与x 轴交点的横坐标.因而有－121x 2+x+1=0，解之得x 1=6－43，（舍去）x 2=6+43，所以足球第一次落地点C 距守门员6+43≈13米.（3）因为足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，故可设抛物线的解析式为y=－121(x －k)2+2又点（6+43，0）在抛物线上，所以k=6+43+26，根据抛物线的对称性，运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑CD=2×（6+43+26－6－43）=46≈10米.例7 为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员距离门12米处挑射，正好射中了 2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y =ax 2+bx +c ，如图所示，则下列结论⑴a ＜-160；⑵-160＜a ＜0；⑶a -b +c ＞0；⑷0＜b ＜-12a ，其中正确的是( )A ．⑴⑶B ．⑴⑷C ．⑵⑶D ．⑵⑷ 解：把点(0，2.4)、(12，0)代入解析式得c =2.4，b =-12a -0.2． 故b ＜-12a ．又抛物线开口向下，故a ＜0．且对称轴x =-2ba＞0，故b ＞0．即0＜b ＜-12a ，因此⑷正确．又因144a +12b =-2.4且b ＞0，故144a ＜-2.4．因此a ＜-160，因此⑴正确．因此，应选B ．六、以“羽毛球”为背景二次函数应用问题 例8、（山西省）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=2121s -+s 32+23如图，已知球网AB 距原点5米，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为49米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙球扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是_____.分析：此题是以“羽毛球”为载体创设的二次函数的应用问题，本题已告诉了羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=2121s -+s 32+23，我们不妨先求出当乙扣球的最大高度为49米刚刚触及羽毛球时，乙对应的横坐标值. 列方程得2121m -+m 32+23=49，解得m 1=74-，m 2=74+，根据二次函数h=2121m -+m 32+23在对称轴m=4的右侧h 随m 得增大而减小，又“球的高度高于乙球扣球的最大高度” 所以m<74+，另一方面乙站在球网的右则因而m> 5故m 的取值范围为5<m<74+点评：数学和生活息息相关，数学就在你的身边，数学与日常生活、自然、社会、和科学技术有着密切的联系，数学在现实生活中有着广泛的应用，就连大家平时喜爱的体育运动都蕴含着许多数学道理．练习1.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点O 的一条抛物线。
二次函数相关趣味问题
二次函数相关趣味问题当然，这里有一些与二次函数相关的趣味问题：1. 反弹球问题：一个篮球从高为5米的空中落下，每次落地后都会反弹回原高度的一半，然后再落下。
问第10次落地后，篮球距离初始位置有多远？2. 抛物线隧道问题：一辆汽车以恒定速度穿越一个抛物线隧道。
问汽车在何时距离隧道口最近和最远？3. 投篮问题：一个篮球运动员站在距离篮筐10米的地方，他每次投篮的进球概率是p。
如果他连续投篮直到投进一球或失去机会（最多投篮10次）。
问哪种情况下，他投篮的平均得分更高？4. 气球爆破问题：一个气球在升空过程中不断变大，当气球升到某个高度时，它会爆炸。
问气球在爆炸前达到的最大高度是多少？5. 最大利润问题：一个商家在销售商品时，每件商品的售价p与其库存量q有关，关系为p = 2q + 1。
问商家应该保持多少库存，以便最大化其利润？6. 距离问题：一个物体从高度h自由落体，当它下落到一半高度时，它所经历的时间是它到达地面所需时间的多少？7. 飞行器问题：一个飞行器在飞行过程中受到空气阻力的影响。
当飞行器的速度增加一倍时，它的最大飞行高度会如何变化？8. 音乐节门票问题：一个音乐节提供两种门票：普通票和VIP票。
普通票的价格是x元，VIP票的价格是y元。
如果销售出的普通票和VIP票的总数分别是m和n，那么音乐节的总收入是多少？9. 股票价格问题：一个股票的价格与其过去一周的交易量有关。
如果本周的交易量是上周的两倍，那么股票价格会如何变化？10. 利润最大化问题：一个公司生产一种产品，生产该产品的成本是固定值c，每生产一个单位的产品可以获得r元的利润。
问公司应该生产多少产品以最大化其利润？以上问题都可以通过二次函数或其性质来解决，它们不仅有趣，而且可以加深对二次函数应用的理解。
二次函数篮球抛物线题目
二次函数篮球抛物线题目二次函数在描述抛物线运动中起到了重要的作用。
下面我将从多个角度回答关于篮球抛物线的问题。
1. 什么是篮球抛物线？篮球抛物线是指篮球在投掷过程中所形成的轨迹，它呈现出一个向上开口的弧线形状。
这是因为篮球在受到重力的作用下，以一定的初速度和角度被抛出，形成了一个抛物线运动。
2. 如何描述篮球抛物线的运动？篮球的抛物线运动可以使用二次函数来描述。
一般而言，我们可以使用标准形式的二次函数方程 y = ax^2 + bx + c 来表示篮球的抛物线轨迹。
其中，a、b、c分别代表函数的系数，x和y分别代表坐标轴上的位置。
3. 二次函数中的系数对篮球抛物线有何影响？系数a，决定了抛物线的开口方向和抛物线的开口程度。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，a的绝对值越大，抛物线的开口程度越大。
系数b，决定了抛物线在x轴方向的平移。
正值b会使抛物线向左平移，负值b会使抛物线向右平移。
系数c，决定了抛物线在y轴上的位置，即抛物线的顶点位置。
4. 如何确定篮球抛物线的方程？要确定篮球抛物线的方程，需要知道抛出篮球的初速度、抛射角度以及重力加速度等参数。
根据这些参数，可以利用运动学公式和物理定律，推导出二次函数的系数，并得到抛物线的方程。
5. 如何利用篮球抛物线方程解决相关问题？通过篮球抛物线方程，我们可以回答一些与篮球运动相关的问题，例如：篮球的最高点在什么位置？篮球的飞行时间是多少？篮球的最大射程是多少？篮球何时落地？篮球的轨迹是否能够穿过篮筐？通过求解方程，我们可以得到这些问题的具体答案，并进一步分析篮球的运动特征。
总结起来，二次函数在篮球抛物线问题中扮演着重要的角色。
通过对二次函数方程的分析和求解，我们可以揭示篮球抛物线的运动规律，并解决与篮球运动相关的问题。
数学人教版九年级上册二次函数的应用——投篮问题
二次函数的应用——投篮问题（教学设计）珠海市斗门区乾务镇初级中学杨才帮一、授课内容的本质、地位和作用分析二次函数的应用本身是学习二次函数的图象和性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，新课程标准要求学生能认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
而投篮问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它的生活背景丰富，学生比较感兴趣。
目的在于让学生通过解决投篮问题这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的实际问题，此部分内容既是学习一次函数、二次函数及其应用后的延伸，为高中乃至以后学习更多的函数打下坚实的理论和思想方法基础。
二、教法特点及效果分析这节课程的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些学习内容和学生的生活背景越接近，学生自觉接纳知识的程度就越高。
所以我以问题情境为主线，以活动探究为载体，设置了三个问题情境，引起学生的兴趣，创设宽松的学习氛围，让学生“安全”、“自由”发展，以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程。
在完成三个问题之后，我再把问题拓展，开发学生的潜能，开阔学生的思维。
三、学法指导分析本节课是在学习了二次函数的概念、图象和性质后进一步学习二次函数的应用，学生有了一定的二次函数的知识，而本节课需要利用建模的思想，将实际问题转化为二次函数的问题，从而使问题得到解决。
如何建立适当的平面直角坐标系对学生而言比较困难，尤其是将已知条件如何正确的转化为点坐标，需要学生经历思考、分析等过程，进而得出结论。
本节课的问题均来自日常生活所见，学生会感到很有兴趣，愿意去探究。
〖学习目标〗：1、通过对投篮问题的探究，让学生掌握如何建立适当的直角坐标系，并能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，利用待定系数法求出二次函数解析式，解决实际问题。
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解：如图，建立平面 直角坐标系
因为抛物线的顶点为（4，4） ， 因此可设此抛物线的关系式为
y ax 4 4
2
1 2 y x 4 4 9
y
20 9
（4，4）
3米 2.解法二：∵抛物线的关 系式为： 1 2
y
9
x 4
4
8 2.解法一：∵抛物线的关系 式为：
-2
x
• 4.在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则他朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？ 6 y
（4，4） （5，4）
4
A (７，３）
20 0, 9
2
●
B（8，3）
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
-2
X 答：向前平移1米后跳起投篮也能 将篮球投入篮圈
用抛物线的知识解决运动场上或者生活中 的一些实际问题的一般步骤：
1.（建）恰当建立直角坐标系 2.（找）将已知条件转化为点的坐标 3.（设）合理设出所求函数关系式 4.（求）代入点的坐标，求出关系式 5.（解）利用关系式求解实际问题
课本p31页
如图，一位篮球运动员在离篮 圈水平距离4米处跳起投篮， 球沿一条抛物线运行，当球运 行的水平距离为2.5米时，达 A 到最大高度3.5米，然后准确 落入篮框内。已知篮圈中心离 地面高度为3.05米。 （1）建立图中所示的直角坐标系， 求抛物线所对应的函数关系式。
0
4
x
所以：当y 3时 1 2 3 x 4 4 9 解得：x 7或1
∵篮圈在8米处∴不能投中
1 2 y x 4 4 9
所以
当x 8时，y
20 9
∵篮圈中心距离地面3米 ∴此球不能投中
若假设出手的角度和力度都不变,则
他如何做才可能使此球命中?
y
20 9
（4，4）
（1）他跳得高一点
0
4
8
（2）他向前移一点 x
3.在出手角度和力度都不变的情况下,他的出手高度为多 少时能将篮球投入篮圈? 6 y
（4，4）
4
20 0, 9 2
3
B（8，3） 20 A 8, 9
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
答：出手高度为3米时能将篮球投入篮圈
M 2.5米
y B (0,3.5)
C (1.5,3.05)
3.5米 3.05米
O 4米
N
x
（2）若该运动员身高1.8米，这 次跳投时，球在他头顶上方0.25 米处出手。问：出手时，他跳离 地面多高？
解： （1）由题意知，抛物线的顶点为
B（0,3.5）,
y B(0,3.5)
C (1.5,3.05)
∴设此抛物线为关系式y=ax² +3.5 A ∵过点C（1.5,3.05）
谢谢大家 ！
试一试
见基训p148页
你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高 处的形状可近似的看作抛物线。如图，正在甩 绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面 均为1米，学生丙丁分别站在距甲拿绳的手的水 平距离1米、2.5米处，绳子在甩到最高处时， 刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5 米，则学生丁的身高为多少米？
生活中的二次函数
辉县市第一初级中学 徐海燕
1.能灵活设出适当的二次函数表达式，求解 析式； 2.能够利用数形结合法观察和分析问题； 3.能用二次函数的思想去解决实际中的问题。
• 一场篮球赛中，李子元跳起投篮，已知球出手 时离地面高 当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米， 假设篮球运行的轨迹为抛物线，
y
甲
1m
丙
丁
1m
乙
1m
x 2.5m 4m
眼镜
如图，一副眼镜的两镜片下半部分轮廓线可以近似看成抛 物线形状，已知左轮廓线端点A、B间的距离为4cm，点 A、 B与右轮廓线端点D、E均在平行于x轴的直线上，最 低点C在 x轴上，且与AB的距离CH=1cm，y轴平分BD， BD=2 cm . 解答下列问题： （1）求轮廓线ACB所对应的二次函数关系式 （写出自变量的取值范围） （2）由（1）写出右轮廓线DFE的函数关系式及自变量 的取值范围。 Y
2.若篮球筐中心距地面3米，问此球能否投中？ 1.求此抛物线的解析式 y
20 9
米，与篮圈中心的水平距离为8米，
4米
20 9
3米
0
4米 8米
x
y
20 9
（4，4）
20 抛物线经过点 0， 9
0
4
8
x
20 2 a0 4 4 9 1 a 9
1 2 y x 4 4 9
∴将点C（1.5，3.05）代 入抛物线关系式, 得：3.05=a1.5² +3.5 解得： a=-0.2 ∴该抛物线的表达式为 y=-0.2x² +3.5
M
3.5米 3.05米
2.5米
O
N
x
4米
（2）解∵球的出手点A的横坐标为-2.5 ∴将x=-2.5代入抛物线表达式 得 ：y=0.2×(2.5)² +3.5 =2.25 ∴该运动员跳离地面的高度 为： 2.25-1.8-0.25=0.2（米）
A
H
B
D
E X
C
F
M
y B(0,3.5)
C (1.5,3.05)
A
3.5米
3.05米
2.5米
O
N
x
4米 答：球出手时，他跳离地面0.2米。
用抛物线的知识解决运动场上或者生活中 的一些实际问题的一般步骤：
1.（建）恰当建立直角坐标系 2.（找）将已知条件转化为点的坐标 3.（设）合理设出所求函数关系式 4.（求）代入点的坐标，求出关系式 5.（解）利用关系式求解实际问题