惯性矩
大一工程力学惯性矩知识点
大一工程力学惯性矩知识点惯性矩是工程力学中一个重要的概念，它描述了物体在旋转运动中的惯性特性。
在本文中，我们将详细介绍大一工程力学中关于惯性矩的知识点，包括定义、计算方法、应用以及相关定理等内容。
一、惯性矩的定义惯性矩是描述物体对于旋转运动的惯性特性的物理量。
对于质量分布连续的物体，其惯性矩可以通过质量元的质量和位置来计算。
对于二维情况下的惯性矩，可以用面积元的面积和位置来计算；对于三维情况下的惯性矩，则需要用到体积元的体积和位置。
二、计算惯性矩的方法1. 单个质点的惯性矩对于一个质点，其惯性矩可以通过质点的质量和到旋转轴的距离来计算。
质点的惯性矩表示为I = mr^2，其中m为质量，r为距离。
2. 刚体的惯性矩对于刚体，其惯性矩需要通过对刚体进行划分，然后计算各个部分的惯性矩再求和来得到。
常见的计算刚体惯性矩的方法有平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出，一个物体绕通过其质心的轴的惯性矩等于绕通过平行于该轴且距离为d的另一轴旋转的惯性矩加上整个物体质量乘以d的平方。
即I = I_cm + md^2，其中I_cm为绕质心轴的惯性矩，d为距离。
垂直轴定理指出，一个物体绕通过其质心垂直于平面的轴的惯性矩等于绕通过任意垂直于该轴的轴旋转的惯性矩之和。
即I = I_x + I_y + I_z，其中I_x、I_y和I_z分别为绕x、y、z轴的惯性矩。
3. 复合图形的惯性矩对于复合图形，可以将其分解为多个简单几何形状，然后计算每个简单几何形状的惯性矩再求和来得到复合图形的总惯性矩。
三、惯性矩的应用惯性矩在工程力学中有广泛的应用。
其中一个重要的应用是计算刚体的转动惯量，它是刻画刚体对于旋转的惯性特性。
通过计算刚体的转动惯量，可以帮助我们理解刚体在旋转运动中的行为，进而进行相关的工程设计和分析。
此外，惯性矩还在工程设计中有着重要作用。
例如，在机械设计中，对于旋转部件的设计，需要合理选择材料和尺寸以满足设计要求。
惯性矩和极惯性矩
惯性矩和极惯性矩
1、惯性矩和极惯性矩用于2种不同的受力形式。
惯性矩是截面对于某个中性轴的惯性矩，截面极惯性矩是截面对点的惯性矩。
⒉惯性矩用于弯曲应力，因为材料主要发生弯曲变形，也就是材料对于轴的惯性矩，而极惯性矩用于扭转应力，因为材料主要发生扭转变形，也就是材料对于点的惯性矩。
3、某些对称的截面还有这样的特性，即极惯性矩=2倍的惯性矩，比如圆形和长方形等。
扩展资料：
惯性矩是一个几何量，通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。
惯性矩的国际单位为（m）。
即面积二次矩，也称面积惯性矩，而这个概念与质量惯性矩（即转动惯量）是不同概念。
惯性矩
1、静矩（求形心）⎰=AZ ydA S⎰=Ay zdA SSz 、Sy 分别定义为图形对z 轴和y 轴的静矩，也称为图形对z 轴和y 轴的一次矩。
平面图形的静矩是对某一坐标而言的，同一图形对不同的坐标轴，其静矩也就不同。
静矩的数值可能为正值，可能为负值，也可能为零。
静矩的量纲是长度的三次方。
静矩用来求平面图形的形心坐标：A zdAz A ydAy AA⎰⎰==对于规则的形状，可以将其划分为若干个规则的简单图形，通过组合求的形心。
212211212211A A z A z A z A A y A y A y ++=++=注：A 为简单图形的面积（空心面积可以为负值），y 、z 为简单图形的形心坐标值2、惯性矩⎰⎰==Ay AZ dAz I dAy I 22Iz 、Iy 分别定义为图形对z 轴和y 轴的惯性矩，也称为图形对z 轴和y 轴的二次轴矩。
惯性矩始终为正值，惯性矩的量纲是长度的四次方。
计算步骤123222332202202bh bx dx x b x bdx dA z I h h Ay =⨯=⨯=⨯⨯==⎰⎰⎰左图三角形面积对z轴的惯性矩1243)()(44322hyhydyyyhydyyhI hhz=-=-=⨯-=⎰⎰右图关于z轴的惯性矩为左图的四倍34hIz=惯性距的平行移轴定理：有了它规则形状的物体就不用通过积分来求惯性矩了，省时省力(但精准度差了一些)截面图形对某轴的惯性矩，等于它对该轴平行的形心轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘以截面面积。
A a I I xc x 2+=Ix ——截面图形对目标轴的惯性矩（目标轴：组合图形的形心轴） Ixc ——截面图形对形心轴的惯性矩（注意理解：此处的形心轴是指划分的规则截面的形心轴）a ——两轴之间的距离 A ——截面图形的面积3、极惯性矩图形对于任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
I p=I z+I y4、惯性积在平面图形的坐标（x ，y ）处，取微面积dA ，遍及整个图形面积的积分⎰=AyzyzdA I ，定义为图形对y ，z 轴的惯性积。
计算惯性矩的公式
矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12三角形：b*h^3/36圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D§16-1 静矩和形心平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。
静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。
定义式：，(Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。
则由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。
静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。
设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为，（Ⅰ-3），（Ⅰ-4）【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。
【解】由对称性，，。
现取平行于轴的狭长条作为微面积所以读者自己也可用极坐标求解。
【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。
【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：mm2mm，mm矩形Ⅱ：mm2mm，mm整个图形形心的坐标为§16-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。
，(Ⅰ-5)量纲为长度的四次方，恒为正。
相应定义，(Ⅰ-6)为图形对轴和对轴的惯性半径。
组合图形的惯性矩设为分图形的惯性矩，则总图形对同-轴惯性矩为，(Ⅰ-7)若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩（Ⅰ-8）因为所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
材料力学惯性矩公式
材料力学惯性矩公式在材料力学中，惯性矩是一个重要的物理量，它描述了物体对于转动的惯性特性。
在工程和科学领域中，我们经常需要计算和应用惯性矩，因此了解惯性矩的计算公式是非常重要的。
惯性矩的计算公式与物体的形状和质量分布有关。
对于不同形状的物体，我们需要使用不同的公式来计算其惯性矩。
下面，我将介绍一些常见形状的物体的惯性矩计算公式。
首先，我们来看一下关于直线轴的惯性矩计算公式。
对于质量分布均匀的直线轴，其惯性矩的计算公式为I=1/12ML^2，其中M为物体的质量，L为物体的长度。
这个公式适用于绕通过物体质心且与物体轴线平行的转动轴。
接下来，我们来看一下关于圆环的惯性矩计算公式。
对于半径为R、质量分布均匀的圆环，其惯性矩的计算公式为I=1/2MR^2，其中M为圆环的质量。
这个公式适用于绕通过圆环中心且与圆环轴线垂直的转动轴。
除了直线轴和圆环，对于其他形状的物体，我们也可以根据其几何形状和质量分布来推导出相应的惯性矩计算公式。
在工程实践中，我们经常会遇到需要计算复杂形状物体的惯性矩，这时候我们可以利用积分来进行计算。
除了单个物体的惯性矩计算，当多个物体组合在一起时，我们也需要考虑它们的复合惯性矩。
对于多个物体组合体的复合惯性矩计算，我们可以利用平行轴定理和垂直轴定理来简化计算过程。
在应用惯性矩计算公式时，我们需要注意保持单位的一致性，以及正确地考虑物体的质量分布情况。
在实际工程中，我们还需要考虑到材料的弹性模量、截面形状等因素，以便更准确地描述物体的转动特性。
总之，惯性矩是描述物体对于转动的惯性特性的重要物理量，其计算公式与物体的形状和质量分布有关。
在工程和科学领域中，我们经常需要计算和应用惯性矩，因此了解惯性矩的计算公式是非常重要的。
希望本文介绍的惯性矩计算公式能够对您有所帮助。
惯性矩的定义和计算公式
惯性矩的定义●区域惯性矩-典型截面I●区域惯性矩，一个区域的惯性矩或典型截面轮廓的第二个区域惯性矩●面积惯性矩或面积惯性矩-也称为面积二阶矩-I，是用于预测梁的挠度、弯曲和应力的形状特性。
●面积惯性矩-英制单位●inches4●面积惯性矩-公制单位●mm4●cm4●m4●单位转换● 1 cm4 = 10-8 m4 = 104 mm4● 1 in4 = 4.16x105 mm4 = 41.6 cm4●示例-惯性单位面积矩之间的转换●9240 cm4 can be converted to mm4 by multiplying with 104●(9240 cm4) 104 = 9.24 107 mm4●区域惯性矩（一个区域或第二个区域的惯性矩）●●绕x轴弯曲可表示为●I x = ∫ y2 dA (1)●其中●I x =与x轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●y =从x轴到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●dA =基元面积(m2, mm2, inches2)●绕y轴弯曲的惯性矩可以表示为●I y = ∫ x2 dA (2)●其中●I x =与y轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●x =从轴y到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●典型截面I的面积惯性矩●典型截面II的面积惯性矩●实心方形截面●●实心方形截面的面积惯性矩可计算为●I x = a4 / 12 (2)●其中● a = 边长(mm, m, in..)●I y = a4 / 12 (2b)●实心矩形截面●●矩形截面惯性矩的面积可计算为●I x = b h3 / 12 (3)●其中● b = 宽●h = 高●I y = b3 h / 12 (3b)●实心圆形截面●●实心圆柱截面的面积惯性矩可计算为●I x = π r4 / 4●= π d4 / 64 (4)●其中●r =半径● d = 直径●I y = π r4 / 4●= π d4 / 64 (4b)●中空圆柱截面●空心圆柱截面的面积惯性矩可计算为●I x = π (d o4 - d i4) / 64 (5)●其中●d o = 外圆直径●d i = 内圆直径●I y = π (d o4 - d i4) / 64 (5b)●方形截面-对角力矩●●矩形截面的对角线面积惯性矩可计算为●I x = I y = a4 / 12 (6)●矩形截面-通过重心的任何线上的面积力矩●●通过重心在线计算的矩形截面和力矩面积可计算为●I x = (b h / 12) (h2 cos2 a + b2 sin2 a) (7)●对称形状●●对称形状截面的面积惯性矩可计算为●I x = (a h3 / 12) + (b / 12) (H3 - h3) (8)●I y = (a3 h / 12) + (b3 / 12) (H - h) (8b)●不对称形状●●非对称形状截面的面积惯性矩可计算为●I x = (1 / 3) (B y b3 - B1 h b3 + b y t3 - b1 h t3) (9)●典型截面II的面积惯性矩●区域惯性矩vs.极惯性矩vs.惯性矩●“面积惯性矩”是一种形状特性，用于预测梁的挠度、弯曲和应力●“极惯性矩”是衡量梁抗扭能力的一个指标，计算受扭矩作用的梁的扭曲度时需要用到它●“转动惯量”是测量物体在旋转方向上变化的阻力。
惯性矩公式
惯性矩公式
惯性矩是物体在外力作用下移动时所受到的移动惯性的一种度量，它是物体在外力作用下移动时，受到外力所产生的转矩的一种度量。
惯性矩的概念由牛顿在他的第一定律中提出，即物体在外力作用下移动时，其外力所产生的转矩与物体的惯性矩成正比。
惯性矩的计算可以用惯性矩公式来求解。
惯性矩公式的形式如下：T=I*α，其中T为外力所产生的转矩，I为物体的惯性矩，α为物体的角加速度。
由此可见，惯性矩公式可以用来计算物体在外力作用下移动时受到的外力所产生的转矩。
惯性矩公式中的惯性矩I可以用物体质量m和物体半径r来表示，即I=m*r^2，其中m为物体的质量，r为物体的半径。
因此，可以根据物体的质量和半径来计算物体的惯性矩。
由于惯性矩公式可以用来计算物体在外力作用下移动时所受到的外力所产生的转矩，因此它在物理学、机械工程等领域都有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，可以用惯性矩公式来计算机械设备运行时所受到的转矩，以便正确设计机械设备的结构。
此外，惯性矩公式还可以用于计算飞行器的飞行动力学性能，以及航天器的姿态控制等。
总之，惯性矩公式是一种重要的物理知识，在物理学、机械工程和
航天导航等领域都有着重要的应用，是研究物体在外力作用下移动的重要工具。
惯性矩总结-互联网类
惯性矩总结－互联网类关键信息项：1、惯性矩的定义及原理定义：＿___________________________原理：＿___________________________2、惯性矩在互联网技术中的应用领域领域 1：＿___________________________领域 2：＿___________________________领域 3：＿___________________________3、相关计算方法及公式方法 1：＿___________________________公式 1：＿___________________________方法 2：＿___________________________公式 2：＿___________________________4、影响惯性矩的因素因素 1：＿___________________________因素 2：＿___________________________因素 3：＿___________________________5、惯性矩在互联网优化中的作用作用 1：＿___________________________作用 2：＿___________________________作用 3：＿___________________________11 惯性矩的定义及原理惯性矩是一个用于描述物体抵抗转动的物理量。
在互联网类的相关领域中，它具有重要的意义。
惯性矩的定义通常基于物体的几何形状和质量分布。
对于一个平面图形，惯性矩可以表示为该图形对某一轴的二次矩。
其原理在于，当物体受到外力作用试图发生转动时，惯性矩越大，物体抵抗这种转动的能力就越强。
111 惯性矩的数学表达式一般来说，对于平面图形中某一轴的惯性矩，可以通过积分的方式来计算。
例如，对于一个简单的矩形，其对通过中心且平行于长边的轴的惯性矩可以表示为 I ＝（bh^3) ／ 12 ，其中 b 为矩形的宽度，h 为矩形的高度。
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x0
x IIII 10
120
10
C
70
I y I Iy I IIy I IIIy 1.84106 mm 4
5.08106 mm 4
I xy I Ixy I IIxy I IIIxy -2.31106 mm 4
附录I 平面图形的几何性质
§I-1 截面的静矩和形心的位置
1.静矩
S x A ydA S y AxdA
y yC x O xC y dA C
y d A 2.形心 yC A A xd A A xC A
x
3.形心与静 yC S x S x yC A A 矩的关系 或 Sy S y xC A
yC O
dy
S x 2r 3 / 3 4r yC 2 A r / 2 3
C r
y x
例I-2 求图示图形的形心。 解：将此图形分别为I、II、III三 部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线 取为x轴，则
yC Ay A
i Ci
10
y y1
200
10 I II O III
300
C y 150 C
x1
x
i
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300) 38.8 mm
由于对称知： xC=0
§I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
1.极惯性矩： I p A 2 dA 为图形对一点的极惯性矩；
[I z C 1 ( y C - y 1 ) 2 A 1 ][ I z C 2 ( y C - y 2 ) 2 A 2 ] 34530mm 4
yC
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、惯性矩和惯性积的转轴公式 1.公式推导： 2.转轴公式：
cos - I xy sin 2 2 2 Ix Iy Ix - Iy Iy cos I xy sin 2 2 2 Ix - Iy Ix y sin 2 I xy cos 2 2 Ix
解：平行x轴取一窄长条， 其面积为dA=bdy，则
dy
h/2
dA
y x
C h/2
bh 3 I x A y d A -h / 2 y ( b d y ) 12 3 hb 同理可得 Iy 12
2 h/ 2 2
b/2
b/2
又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。
例I-4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径
2 )dA I x Ay 2dA A(a y C ) 2 dA A(a 2 2ay C y C 2 dA a 2 AdA 2a A y CdA A y C
xC
dA
2 dA I AdA A， Ay CdA 0， Ay C xC
C
yC y a
xC
I x I xC a2A 同理： I y I y C b 2 A
O
x
I xy A xydA A(b xC )(a y C )dA A(ab axC by C xCy C )dA
abAdA a AxCdA b Ay CdA AxCy CdA
1 d 4 Ix I y I 2 64
§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、平行移轴公式 1.公式推导 2.平行移轴公式
I x I x a2 A 2 Iy Iy b A I xy I x y abA
C C C C
y1=|AC| =|AD|-|EB| =ycos-xsin 同理，利用： x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos+ysin 得到
O
x
Ix Iy Ix -Iy I y1 cos2 - I xy sin a 2 2 Ix -Iy I x1 y 1 sin2 I xy cos2 2
AdA A， A x CdA 0， A y CdA 0， A x C y CdA I x C y C I xy I x C y C abA
例I-5 求图示T型截面对形心轴 的惯性矩。 例I-6 已知三角形对底边(x1轴)的惯性 矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平 行的x2轴的惯性矩。
xC
A
图形对某轴的静矩 为零，则该轴一定过图 形的形心；某轴过图形 的形心，则图形对该轴 的静矩为零。
4、组合图形的形心与静矩
（1）组合图形的静矩
S x S xi Ai yCi S y S yi Ai xCi
（2）组合图形的形心
Ai yCi Sx yC A i Ai x S y Ai xCi C Ai Ai
Ix - Iy 2
cos 2 - I xy sin 2
二、主惯性轴、主惯性矩
1.主轴的相关概念：
①主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴； ②形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形 心主轴
③形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；
2.主轴方位： ①利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解；
0
0
③任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心 轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。
10
y0
y
例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩 II I 0 图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标 系xCy如图 将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图 整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别 为 I x I Ix I IIx I IIIx
3.注意： ①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴 的惯性矩最小； ②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是 有正负的。 二、组合图形的惯性矩：
I x I xi
i 1
n
，I y I y i ，I xy I xyi
i 1 i 1
n
n
已知： I x C 、I y C 、I x C y C ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy y b yC x
解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以 不能直接使用平行移轴公式，需先求出三 角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的 惯性矩，即进行两次平行移轴：
bh 3 h bh bh 3 2 I x I x - a1 A - 12 3 2 36
C 1
30
5
30
5 x2 h x C
②主轴与x轴的夹角: tg 2 0 -
2 I xy Ix 0+90o，分别对应于一对相 垂直的主轴x0、y0；
④求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以： 图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过 该点主轴的两个主惯性矩。 3.主惯性矩大小：
例I-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐 标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条， d A 2 r2 - y2 d y
所以 S x A y d A 0
r
2 3 y( 2 r - y ) d y r 3
2 2
y
dA
Ix -Iy 2
6.28106 mm 4 2 I xy 0.64106 mm 4
2
例I-8 求图示正方形对过形 心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。
a
4 a 解：由于： Ix Iy ，I xy 0 ， 12
y1
y x1 C a x
则 Ix
1
Ix Iy 2
Ix - Iy 2
cos - I xy sin 2
Ix Iy 2
同理 I I x I y y 2
1
， I x1 y1 0
I x 1 A( ycos - xsin ) 2 dA A( y 2 cos2 - 2xysin cos x 2 sin 2 )dA I x cos2 - 2I xy sincos I y sin 2
利用三角变换，得到 I x 1
Ix Iy 2
①
I max Ix I y I min 2
Ix - I y 2
2 I xy
2
②与主轴方位的对应关系：求0时只取主值|20|≤/2)， 若Ix>Iy，则由x轴转过0到达x0轴时，有 I x I max ；若Ix<Iy， 则 I x I min 。注意，0为正值时应逆时针旋转。
轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Iρ。 解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为处作宽度为d的薄圆环，其面 积dA=2d，则
I d A
2 A d /2 0
y d
C
x
(2 d )
2
d 4
32
d
由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy 注意到Iρ=Ix+Iy，得到
0 0 / 4，I x I y， 自x轴逆时针旋转 2I xy o tg 2 0 1.426 0 27 28' Ix -Iy 27o 28'转到主轴x 0，I x 0 I max，I y 0 I min
形心主惯
性矩大小
I max I x I y I min 2
h/3
b