三角形的中线例题
三角形全等之倍长中线(习题及答案)知识讲解
三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok1.在三角形ABC中，角A为30°，角B为70°，CE为角ACB的平分线，CD垂直于AB于点D，DF垂直于CE于点F。
1) 证明角BCD等于角ECD。
2) 找出所有与角B相等的角。
2.在三角形ABC中，AD为中线，BE为三角形ABD的中线。
1) 已知角ABE为15°，角BAD为35°，求角BED的度数。
2) 在三角形BED中，作BD边上的高。
3) 若三角形ABC的面积为60，BD为5，求点E到BC边的距离。
3.在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，已知三角形ABD和三角形ADC的周长之差为4（其中AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长度。
4.在三角形ABC中，角A为20°，CD为角BCA的平分线，DE为CA边上的高，已知角EDA等于角CDB，求角B的度数。
5.在三角形ABC中，AD⊥BC，AE为角BAC的平分线，已知角B为30°，角C为70°。
1) 求角EAD的度数。
2) 若角B小于角C，是否有2倍角EAD等于角C减去角B？请说明理由。
6.在三角形ABC中，AD为高，AE为角平分线，已知角B为20°，角C为60°，求角CAD和角DAE的度数。
7.在三角形ABC中。
1) 若角A为60°，AB和AC边上的高CE和BD交于点O，求角BOC的度数。
2) 若角A为钝角，AB和AC边上的高CE和BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量角BAC加上角BOC的度数，再用已学过的数学知识加以说明。
3) 由(1)和(2)可以得到，无论角A为锐角还是钝角，总有角BAC加上角BOC等于180°。
8.在三角形ABC中，已知角ABC为60°，角ACB为50°，BE为AC上的高，CF为AB上的高，H为BE和CF的交点，求角ABE、角ACF和角BHC的度数。
专题 直角三角形斜边上的中线的运用(解析版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 直角三角形斜边上的中线的运用【例题1】（2022春•镇江期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．若CD ＝5，则EF 的长为 ．【分析】已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 的中线，那么AB ＝2CD ；EF 是△ABC 的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=12 AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF=12×10＝5cm．故答案为：5．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为 ．【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC＝6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AB＝6．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=12AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），又∵DE＝3，AB＝AC，∴AB＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（ ）A．2.5B．3C．3.5D．4【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°．∴∠ABD＝∠BDE．∴DE＝BE．∵AB＝6，∴DE＝BE＝AE=12AB＝3，故选：B．【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（ ）A．2B．3C．4D．【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=4，故选：C．【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5．【变式1-4】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．【解答】解：如图，连接AF．∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4．故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF ⊥BD 是解题的关键．【变式1-5】（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB ＝∠ACB ＝90°，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若AB ＝26，CD ＝24，则△DEF 的周长为（ ）A ．12B ．30C ．27D ．32【分析】先根据直角三角形的性质求出DF 与CF 的长，再由等腰三角形的性质求出DE 的长，根据勾股定理求出EF 的长，进而可得出结论．【解答】解：∵ADB ＝∠ACB ＝90°，F 是AB 的中点，AB ＝26，∴DF ＝CF =12AB =12×26＝13，∴△CDF 是等腰三角形．∵点E 是CD 的中点，CD ＝24，∴EF ⊥CD ，DE =12CD ＝12．在Rt △DEF 中，DE =5，∴△DEF 的周长为：DF +DE +EF ＝13+12+5＝30．故选：B ．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式1-6】（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作AB 的垂线，交BC 于E ，连接CD ，AE ，CD ＝4，AE ＝5，则AC ＝（ ）A ．3B ．245C ．5D ．247【分析】由直角三角形斜边上的中线可求AB ＝8，根据线段垂直平分线的性质可得BE ＝AE ＝5，再利用勾股定理求得CE 的长，进而可求解AC 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，CD ＝4，∴AB ＝2CD ＝8，∵ED ⊥AB ，∴DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ＝5，∵AC 2＝AE 2﹣CE 2＝AB 2﹣BC 2，∴52﹣CE 2＝82﹣（5+CE ）2，解得CE ＝1.4，∴AC =245．故选：B ．【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-7】（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，三角形DEF 的周长是7，AF ⊥BC 于F ，BE ⊥AC 于E ，且点D 是AB 的中点，则AF ＝（ ）A B C D．7【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF=12AB，EF=12BC，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF=12 AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF=12BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【变式1-8】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10，则△EFM的周长是（ ）A．17B．21C．24D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=12BC=12×10＝5，同理可得，ME=12BC=12×10＝5，又∵EF＝7，∴△EFM的周长＝EF+ME+FM＝7+5+5＝17．故选：A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长．【例题2】（2022秋•莲湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，点E是BC的中点，连接ED，则∠EDB的度数是 ．【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝28°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED＝EB，从而利用等腰三角形的性质即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，∴∠B＝90°﹣∠A＝28°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵点E是BC的中点，∴ED＝EB=12 BC，∴∠EDB＝∠B＝28°，故答案为：28°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BDA的度数是．【分析】根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，∴∠B＝55°∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝55°，∴∠BDA＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案为：70°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式2-2】（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝ °．【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝104°，在等腰三角形BED中，已知顶角，即可求出底角∠EBD的度数．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴EA＝EB＝EC＝DE，∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×52°＝104°，在等腰三角形BED中，∠EBD=12×(180°−104°)=38°；故答案是：38．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．【变式2-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE=ACD＝（ ）A．15°B．30°C．22.5°D．45°【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC＝2DE＝理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根据同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE=∴BC＝2DE＝∵AB＝4，AC＝2，∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．【变式2-4】（2021秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝ 度．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BE＝DE=12AC，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得∠BEC＝80°，∠CED＝60°，那么∠BED＝140°，然后在等腰△BDE中即可求出底角∠BDE的度数．【解答】解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∴AE＝BE＝DE=12 AC，∴∠ABE＝∠CAB＝40°，∠ADE＝∠DAC＝30°，∴∠BEC＝∠ABE+∠CAB＝80°，∠CED＝∠ADE+∠DAC＝60°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝140°．∵BE＝DE，∴∠BDE＝∠DBE=180°−∠BED2=20°．故答案为：20．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是 度．【分析】先求出∠BCD和∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，根据等边对等角可得∠BCE＝∠B，再求出∠ECD＝45°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝90°×113=22.5°，∠ACD＝90°×313=67.5°，∵CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠B＝67.5°，∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．【变式2-6】（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝ °．【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到EC＝EA＝EB=12AB，根据三角形的外角的性质求出∠CEB＝60°，根据直角三角形的性质得到ED＝EC，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，∴EC＝EA＝EB=12 AB，∴∠ECA＝∠CAB＝30°，∴∠CEB＝60°，∵AD＝BD，点E是AB中点，∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，∴DE=12 AB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝75°，故答案为：75．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．【变式2-7】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（ ）A．5°B．10°C．20°D．30°【分析】连接AH，CH，根据在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点可知AH＝CH=12BD，再由点G时AC的中点可知HG是线段AC的垂直平分线，故∠EGH＝90°，再由对顶角相等可知∠GEH＝∠BEC＝80°，由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，∴AH＝CH=12 BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．【变式2-8】（2022秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E 在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AO=12AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，于是得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴CO ＝BO ＝AO =12AB ，∴△AOC 是等边三角形，∠OCB ＝∠B ＝30°，∴AC ＝OC ＝CE ，∴∠COE ＝∠CEO =12×（180°﹣30°）＝75°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【例题3】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，试说明：（1）MD ＝MB ；（2）MN ⊥BD ．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明；（2）根据等腰三角形的三线合一证明．【解答】证明：（1）∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 是AC 的中点，∴BM =12AC ，DM =12AC ，∴DM ＝BM ；（2）由（1）可知DM ＝BM ，∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD．【点评】此题主要是运用了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，题目难度不大．【变式3-1】（2022春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由．【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，BD＝DF，∠DFB＝∠DBF，根据角的平分线的定义知∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，再根据内错角相等两直线平行得DF∥BC．【解答】解：∵在直角△AFB中，点D是斜边上的中点，∴DF＝BD=12 AB，∴∠DFB＝∠DBF，∵BE平分∠ABC，∴∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，∴DF∥BC．【点评】本题的关键是明白在直角三角形的性质中斜边上的中线是斜边的一半，角的平分线的定义，平行线的判定中内错角相等，两直线平行．注意等边对等角的运用．【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．【分析】连接EN、DN、EM、DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC ＝∠BDC＝90°，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN＝DN，EM ＝DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证．【解答】证明：连接EN、DN、EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，∵M、N是BC、AO的中点，∴EN=12AO，DN=12AO，EM=12BC，DM=12BC，∴EN＝DN，EM＝DM，∴M、N在线段DE的垂直平分线上，∴MN垂直平分DE．【点评】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键．【变式3-3】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF=12AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论．【解答】证明：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点，∴DF=12AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式3-4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD＝BD＝CD=12BC，即可证得：AD＝AF；（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形．由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD＝DC，继而可得四边形ADCF是正方形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，∠EAF=∠EDB AE=DE∠AEF=∠DEB，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC=12 BC，∴AD＝AF；（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中．【变式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝45°，可求∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，由直角三角形的性质可得∠C＝∠FBC＝30°，即可求解；（2）由直角三角形的性质可得BF＝AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AE，可证BF＝AE．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵∠FBC＝2∠FBD．∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，∴AF＝BF＝CF，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴AB＝AF＝BF，∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AE＝BF．【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．【变式3-6】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥BC．求证：∠CBA＝3∠CBE．【分析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出AF＝DF＝FE=12DE，推出DF＝AF＝AB，根据等腰三角形的性质求出∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，求出∠ABF＝2∠D，∠CBE＝∠D，即可得出答案．【解答】证明：取DE的中点F，连接AF，∵AD∥BC，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠ACB＝90°，∴AF＝DF＝EF=12 DE，∵AB=12 DE，∴DF＝AF＝AB，∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，∴∠ABF＝2∠D，∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠D，∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．【变式3-7】如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）设AC，BD交于点O，根据垂直的定义得到∠DHO＝∠EFO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠EDO＝∠EBO，由角平分线的定义得到∠HDF＝∠BDE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，∴DE=12AC，BE=12AC，∴DE＝BE，∵点F是BD中点，∴EF⊥BD；（2）证明：设AC，BD交于点O，∵DH⊥AC，EF⊥BD，∴∠DHO＝∠EFO＝90°，∵∠DOH＝∠BOE，∴∠HDF＝∠OEF，∵DE＝BE，∴∠EDO＝∠EBO，∵BD平分∠HDE，∴∠HDF＝∠BDE，∴∠OEF＝∠OBE，∵∠OEF+∠EOF＝90°，∴∠EOF+∠EBO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴BE⊥AC，∴BA＝BC．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式3-8】（2021•安顺模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF=12 AC；（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=12 AC；（2）根据“SAS”证明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，进而可得结论．【解答】（1）证明：连接CE，如图，∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵F为AC的中点，∴EF=12 AC；（2）证明：∵EF⊥AC，∴∠AFM＝∠CFM，∵F为AC的中点，∴AF＝CF，∵MF＝MF，∴△AFM≌△CFM（SAS），∴AM＝CM，∵CD＝DM+MC，∴CD＝DM+AM，∵BC＝DC，∴AM+DM＝CB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键．【变式3-9】（2022秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM=12BC，ME=12BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论；（3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论．【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=12BC，ME=12BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC＝2（180°﹣∠BAC ）＝360°﹣2∠BAC ，∴∠DME ＝180°﹣（360°﹣2∠BAC ）＝2∠BAC ﹣180°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．且AF ⊥CF ，若AC ＝3，BC ＝6，则DF 的长为（ ）A ．1.5B ．1C ．0.5D ．2【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出FE ，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BC ＝6，∴DE =12BC ＝3，∵AF ⊥CF ，∴∠AFC ＝90°，∵E 为AC 的中点，AC ＝3，∴FE =12AC ＝1.5，∴DF ＝DE ﹣FE ＝1.5，故选：A ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-1】（2022春•南岗区校级期中）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接ED ，F 是ED 延长线上一点，连接AF 、CF ，若∠AFC ＝90°，DF ＝1，AC ＝6，则BC 的长度为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF ，进而求出DE ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，E 是AC 的中点，AC ＝6，则EF =12AC ＝3，∵DF ＝1，∴DE ＝3﹣1＝2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2DE ＝4，故选：C ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-2】（2022•金乡县三模）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB ＝8，AC ＝6，则△DEF 的周长为 ．【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC==10，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，∴DE=12AB＝4，DF=12AC＝3，EF=12BC＝5，∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．【变式4-3】如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt △ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（ ）A．6B．7C．8D．9【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=12AB，EH=12AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=12BC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半．【解答】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形，∴DG=12AB，EH=12AC，∴GH为△ABC的中位线，∴GH=12 BC，∴DG+GH+EH=12（AB+AC+BC）=12×16＝8．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键．【变式4-4】（2022春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC，若EF＝2，则DE的长为（ ）A．2B．1C D+1【分析】连接CD，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DE．【解答】解：连接CD，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12 BC，∵CF=12 BC，∴DE∥CF，∴四边形DEFC为平行四边形，∴CD＝EF＝2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，则AB ＝2CD ＝4，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则BC =12AB ＝2，∴DE =12BC ＝1，故选：B ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键．【变式4-5】（2021春•赣榆区期中）如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，延长EF 交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点G ．AG 与CG 有怎样的位置关系？证明你的结论．【分析】利用三角形中位线定理推知EF ∥BC ．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FG ＝FC ．又由AF ＝CF ，则FG 是△ACG 中AC 边上的中线，且FG =12AC ，则△AGC 是直角三角形．【解答】解：AG ⊥CG ，理由：∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，AF ＝CF ，∴EF ∥BC ，∴∠FGC ＝∠GCD ．∵CG平分∠ACD，∴∠FCG＝∠GCD，∴∠FCG＝∠FGC，∴FG＝FC．又∵AF＝CF，∴FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=12 AC，∴△AGC是直角三角形，∴AG⊥CG．【点评】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线定理．一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．【变式4-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．【分析】由三角形中位线定理求出DE，由勾股定理逆定理证得△ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理求出EF，即可求出DF的长度．【解答】解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=12×19=192，在△ABF中，∵AF2+BF2＝52+122＝169＝132，AB2＝132，∴AF2+BF2＝AB2，∴∠AFB＝90°，∴EF=12AB=12×13=132，∴DF＝DE﹣EF=192−132=3．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理逆定理，灵活运用这三个定理是解决问题的关键．【变式4-7】（2022春•徐州期中）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．（1）求证：DH＝EF；（2）求证：∠DHF＝∠DEF．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF=12AB，根据直角三角形的性质得到DH=12AB，证明结论；（2）连接DF，证明△DHF≌△DEF，证明结论．【解答】证明：（1）∵E、F分别是边BC、AC的中点，∴EF=12 AB，∵AH⊥BC，D是AB的中点，∴DH=12 AB，∴DH＝EF；（2）连接DF，由（1）得，DH＝EF，同理DE＝HF，在△DHF和△DEF中，DH=FEHF=EDDF=FD，∴△DHF≌△DEF，∴∠DHF＝∠DEF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式4-8】（2021春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BM=12AC，根据三角形中位线定理得到MN=12AD，根据题意证明；（2）证明△NMB是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，M为AC中点，∴BM=12 AC，∵M为AC中点，N为DC中点，∴MN=12 AD，∵AD＝AC，∴BM＝MN；（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∴BM＝AM=12AC＝1，∴∠MAB＝∠MBA＝30°，∴∠CMB＝60°根据三角形中位线定理得，MN∥AD，MN=12AD＝1，∴∠DAC＝∠NMC＝30°，∴△NMB是等腰直角三角形，由勾股定理得，BN=【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．。
例3三角形的中线分三角形为两部分(2)
4x x y
x
并不是说△ACD的周长是60或者是40，
而是指AC与CD的和是2BC ∴BD=CD， 设BD=CD=x，AB=y， 则AC=4x，
分为两种情况： ①AC+CD=60，AB+BD=40， 则4x+x=60，x+y=40， 解得：x=12，y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
4x x y
x
解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC ∴BD=CD， 设BD=CD=x，AB=y， 则AC=4x，
②AC+CD=40，AB+BD=60， 则4x+x=40，x+y=60， 解得：x=8，y=52， 即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16 此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC=48，AB=28．
例3 三角形的中线分三角形为两部分（2） 如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边 上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分， 求AC和AB的长．
分析： 先根据AD是BC边上的中线 得出BD=CD， 设BD=CD=x，AB=y， 则AC=4x， 再分AC+CD是60与AC+CD的是40两 种情况进行讨论即可．
4x x y
x
方法总结：本题考察了三角形的三边关系定理的应用， 要分情况进行讨论．特别注意，三角形的中线分三角
形的周长为两部分，这两部分不包含该条中线。
三角形的高、中线、角平分线练习题
三角形的高、中线、角平分线练习题
1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。
2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是( )
A(直线 B(射线 C(线段 D(射线或线段
3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(不能确定
4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是( )
AA(中线 B(高 C(角平分线 D(以上三种情况都正确
5、如图若?BAF=?CAF，则____是?ABD的角平分线，____是?ABC的DF角平分线BCEA
6、如图AB?AC，则AB是?ABC的边____上的高，也是?BDC的边______D上的高，也是?ABD的边____上的高.
07、如图BD、AE分别是?ABC的中线、角平分线，AC=10cm ，?BAC=70，CBA则AD=_____，?BAE=____.
D8、在?ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF
是高，填空: BCE1?BE,___,_____; 2
1??BAD=_____=_____;??AFB=_____=90 2
9、在?ABC中,AB=AC,AD是中线,?ABC的周长为34cm,?ABD的周长为30cm, 求AD的长.
10、在?ABC中AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。
11、要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条,五边形木架和六边形木架呢,n边形木架呢,。
解三角形(中线问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题04 解三角形（中线问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在ABC∆中，D为CB的中点，2AD AC AB=+(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补∠+∠=ADC ADBADC ADBπ∠+∠=⇒cos cos0二、典型例题例题1．如图，在ABC ∆中，已知2AB =，62AC =，45BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ．求BAM ∠的正弦值；思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.解答过程：由，，，利用余弦定理在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得解法1：角互补解法2：中线向量化由题意可得，，由为边上的中线，则，两边同时平方得，，故在中，由余弦定理，得，因为，所以．【答案】35解：解法1、由余弦定理得222cos AC AB AC C B BA BC A +-⋅⋅∠=，即(22222252BC =+-⨯⨯=，所以BC =所以12BM CM BC === 在ABM 中，由余弦定理，得2222cos2BM AM AB BMA BM AM +-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得2222cos2CM AM AC CMA CM AM +-∠==⋅BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =，在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为0,2BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5BAM ∠==．解法2、由题意可得，cos 4512AB AC AB AC ⋅=⨯⨯︒=， 由AM 为边BC 上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =， 因为M 为BC 边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的12， 所以111sin sin 222AB AM BAM AB AC BAC ⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠，即11125sin 2sin 45222BAM ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒， 化简得，3sin 5BAM ∠=．例题2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2,5,1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长．【答案】(1)最大值为2sin 2B =(2)12 (1)521>>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得222(2)1(5)2cos 2221B +-==-⨯⨯，又(0,)B π∈，34B π∴=，故2sin 2B =．(2)设AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+， 2222223(2)()2cos 1(2)212cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯⨯⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供中线向量化方法由（1）知，设边上的中线为，则（注：中线向量化的技巧：两边同时平方，化向量为标量）.，即边上的中线长为．配图两边同时平方例题3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC 的面积.【答案】（1）3B π=（2）732（1）由正弦定理得a b a c c a b--=+，化简得222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==， 由()0,B π∈可得3B π=；（2）设AC 的中点为D ，由余弦定理得222cos 2BD AD AB ADB BD AD +-∠=⋅，222cos 2BD CD BC BDC BD CD +-∠=⋅，由ADB BDC π∠+∠=可得cos cos ADB BDC ∠=-∠，第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供角互补方法由（1）知，设的中点为，由余弦定理得，，由可得即即，所以. 又，，所以，所以.配图即22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD +-+-=-⋅⋅即2222224343243243c a +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 所以2250a c +=.又222a c b ac +-=，6b =，所以14ac =，所以11sin 1422S ac B ==⨯=三、题型归类练1．已知ABC 的内角,,A B C 对的边分别为,,a b c ， 2c =，cos sin 2a C C b =+. (1)求A ；(2)若BC 边上的中线AM b . 【答案】(1)π3A =(2)2b =(1)由cos sin 2a C C b =+，2c =，得cos sin 0a C C b c --=由正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C +-+-=sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C ---=sin cos sin sin 0A C A C C --=()0,,sin 0,C C π∈∴≠∴cos 1,A A -= ∴2sin()16A π-=()50,,,666A A ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 66A ππ∴-=3A π∴=(2)因为AM 为BC 边上的中线， 所以()12AM AB AC =+, 所以()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+，所以2221222cos 43b b π⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭， 即2113142b b =++解得2b =或-4（舍去） 2b ∴=2．已知函数()()1sin cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅--∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求()f x 的最小正周期和最大值：(2)设ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b =，AB 边上的中线长为72，求ABC的面积．【答案】(1)πT =，最大值为12.(2)S =(1)()111sin cos sin sin 6424πf x x x x x x ⎫⎛⎫=⋅--=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12cos24x x =- 1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故2ππ2T ==，当ππ22π62x k -=+，即ππ3x k =+，k Z ∈时有最大值为12.(2)1π1sin 2262C f C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，故2π3C =.AB 边上的中线长72CD =，()12CD CA CB =+， 故()()222211492444CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅=， 故21923492a a ⎛⎫++⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得8a =或5a =-（舍去），11sin 3822S ab C ==⨯⨯= 3．在三角形ABC 中，有23sinsin sin 24B C B C -+=． （1）求角A ；（2）设CD 是AB 边上的中线，若45,2ABC AC ︒∠==，求中线CD 的长．【答案】（1）60；（2 （1）由已知，化简得1cos()3sin sin 24B C B C --+=，1cos cos sin sin 3sin sin 24B C B C B C --+=，整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即()12cos B C +=-，由于0B C π<+<，则23B C π+=，所以60A =．（2）由题意得，sin sin AC ABC B==又6cos cos 75ACB ∠==所以()22114622444CD CA CB ⎛=+=++⨯= ⎝⎭， 所以4CD =-4．在ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-．（1）求ABC 的面积； （2）若5AB =，求AD 的长． 【答案】（1；（2）2【详解】 （1）115cos12022AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，则15AB AC ⋅=， 11sin 1522ABC S AB AC BAC∴=⋅∠=⨯=△； （2）由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ．由平面向量加法的平行四边形法则可得2AD AE AB AC ==+，所以，()2222422515919AD AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+=-+=，192AD ∴=AD5．在∴ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，cos cos sin a C c A B +，AB （1）求角C ；（2）若2a =，求∴ABC 的面积.【答案】（1）3C π=或23C π=；（2解（1）因为cos cos sin a C c A B +，由正弦定理知，sin cos sin cos sin A C C A C B +=.即()sin sin A C C B +，sin sin B C B ，又sin 0B ≠1C =，即sin C =在∴ABC 中，所以3C π=或23C π=. （2）记CD 是AB 边上中线，则有()12CD CA CB =+. ()2222127444CA CB CA CB CDCA CB ++⋅=+==，当3C π=时，有2427b b ++=，解得，1b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCS CB CA C =⋅⋅ 当23C π=时，有2427b b +-=，解得，3b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCSCB CA C =⋅⋅=；综上，∴ABC 6．已知,,a b c 是ABC 三内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C c a +=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且ABC ①ABC 周长；②AC 边的中线BD 的长度.【答案】（1）3π；（2）①2解：（1）由正弦定理：2sin cos sin 2sin B C C A +=， sin sin()sin()sin cos cosCsinB A A B C B C π=-=+=+，sin 2cos sin C B C ∴=，又1(0,),sin 0,cos 2C C B π∈≠∴=， 又(0,)B π∴∈，所以3B π=；（2）①由余弦定理：222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=(1)，由三角形面积公式：1sin 2S ac B ===，即2ac =(2)， 由（1）（2）2222()3()64a c ac a c ac a c +-=+-=+-=，所以a c +=2 ②在,ABD BCD 中分别使用余弦定理： 2222cos 42b bc BD BD ADB =+-⋅⋅∠（3）2222cos DB 42b ba BD BD C =+-⋅⋅∠（4）又因为,cos cos 0ADB CDB ADB CDB π∠+∠=∠+∠= （3）+（4）得222226242b BD ac =+-=-=所以BD =.7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 5tan a B c C =. （1）求222a b c+的值； （2）记边AB 的中点为D ，若2AB =，求中线CD 的长度. 【答案】（1）6；（2（1）由题设条件可得：sin 2sin 5cos Ca B c C=⋅，即222252cab c a b c ab=+-即：2226a b c +=（2）222624,a b c +== 设CD x =，则在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD AD CD AD CDA AC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDA b +-∠=；①在BCD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD BD CD BD CDB BC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDB a +-∠=；② 又cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，① +②得，22222x a b +=+，故211x =，所以CD =因此，中线CD .。
《直角三角形边上的中线等于斜边的一半》经典练习
《直角三角形边上的中线等于斜边的一半》1、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点求证：MN⊥DEM C2、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。
MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。
DAB3.如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DF⊥CE，F为垂足，求证：（1）F是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE.4、如图△ABC 中，∠B=2∠C,AH 为高,M 是BC 边的中点.求证:AB=2HMMABC5.如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=CD ，60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证：△SPQ 是等边三角形。
P O AB CD 图6-1SQ6、如图甲，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图甲中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。
（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明图乙 图甲B A EF7.已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为；（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图①图②A B C D EFM 8.在正方形ABCD 中,点E 、F 分别为BC 和AB 的中点，DE 与CF 交于点M ，连接AM 。
求证：AM=AD。
三角形的高、中线、角平分线
8．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD的长；
∴∠D＋∠DEG＋∠B＋∠BCH＝∠F＋∠ACH＋∠F＋∠AEG. ∴∠D＋∠B＝2∠F. ∵∠B∶∠D∶∠F＝4∶6∶x，∴x＝5.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分 ∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE的度数．
解：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°.
解：能．
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C.
∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)． ∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°.
∴∠B＋∠BAD＝90°. ∴∠BAD＝90°－∠B.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B) ＝12(∠B－∠C)． ∵∠B－∠C＝40°，∴∠DAE＝12×40°＝20°.
9．如图，BE，CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为 ∠BED的平分线．
(1)图中共有____6____个“8字形”；
(2)若∠B∶∠D∶∠F＝4∶6∶x，求x的值． 解：∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD， ∴∠DEG＝∠AEG，∠ACH＝∠BCH. ∵在△DGE和△FGC中，∠DGE＝∠FGC， ∴∠D＋∠DEG＝∠F＋∠ACH. ∵在△BHC和△FHE中，∠BHC＝∠FHE， ∴∠B＋∠BCH＝∠F＋∠AEG.
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每日一题《三角形的中线》
10月1日
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．
10月2日
如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，求证：AD ＜2
1
（AB+AC ）．
10月3日
如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ，求证：AC=BF （请用两种方法证明）
10月4日
如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线．求证：（1）2AD＜AB+AC；
（2）∠BAD＜∠DAC；
（3）AE ＜AD ．
证明：延长AD 到F ，使DF=AD ，连接BF （如图）， 易证△ADC ≌△FDB ，所以AC=BF ， （1）在△ABF 中，AB+BF ＞AD+DF ， 所以2AD ＜AB+AC ；
（2）因为△ADC ≌△FDB ，所以∠CAD=∠F ， 因为AB ＞AC ，所以AB ＞BF ， 所以∠F ＞∠BAD ， 所以∠CAD ＞∠BAD ；
（3）由（2），∠BAD ＜∠DAC 及∠BAE=∠EAC=
2
1
∠BAC ， 所以∠BAD ＜∠EAC ，
因为AB ＞AC 所以∠C ＞∠B ， 所以∠BAD+∠B ＜∠EAC+∠C ，
所以∠ADE ＜∠AED ，所以AE ＜AD ．
如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ，求证：AC=BF
10月5日
如图，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF 求证：BE+CF ＞EF ．
10月6日
如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．
10月1日。