高三数学理(圆的方程)
圆的标准方程 (2)
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0
3、 D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程
表示圆的一般方程
练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就 找出圆心和半径. 2 2 （1） + y - 2 x + 4 y + 1 = 0 1) x
+ 3b
例1:求过点 O ( 0 , 0 ), M 1 (1 , 1 ), M 2 ( 4 , 2 ) 的圆的 方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x
2
+ y + Dx + Ey + F = 0
2
因为 O , M 1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8
+ b
2
a
2
+ b
= 0 时,
表示点 ( 0 , 0 ) :
练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:
( x - 1) + ( y - 2 ) = 3 2 2 x + y - 2x - 4y + 2 = 0
2 2
( x + 2) + ( y + 1) = 7
2 2
x + y + 4x + 2y - 2 = 0
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2
+ y - 2x + 4y + 1 = 0
2
表示图形
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，故选.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离.2.某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知分析可设圆心为，半径为，则有或，解得，故选C.【考点】圆的标准方程以及弦长的基本知识.3.设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMR≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，∴|OM|≤2，即=≤4，解得，≤≤，故选A. 考点:直线与圆的位置关系4.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值5.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．6.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－3)2＝1C．(x－3)2＋(y－2)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.9.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为【考点】圆的标准方程.10.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.【答案】0或6【解析】圆的标准方程为：所以圆的圆心在，半径又直线与圆交于两点，且所以圆心到直线的距离所以，，整理得：解得：或所以答案应填：0或6.【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x-2）2+（y-1）2=1B．（x-2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y-1）2=1D．（x-3）2+（y-1）2=1【答案】A【解析】设圆心为,半径为,则=1,解得,所以,解得,故圆心坐标为(2,1),所以该圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=1，选A.12.若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为( ) A．-1<k<1B．1<k<C．1<k<2D．<k<2【答案】B【解析】圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.故选B．13.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.14.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.15.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．【答案】m＜或m＞1.【解析】由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.16.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．【答案】x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.17.如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．【答案】(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，【解析】设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则，整理得(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.18. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.19.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为()A．(x+1)2+y2=2B．(x-1)2+y2=2C．(x+1)2+y2=4D．(x-1)2+y2=4【答案】A【解析】直线x-y+1=0,令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.20.求圆心在抛物线x2＝4y上，且与直线x＋2y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．【答案】(x＋1)2＋＝【解析】设圆心坐标为，半径为r.根据已知得r＝＝ (t2＋2t＋2)＝ [(t＋1)2＋1]≥，当t＝－1时取等号，此时r最小为，圆心坐标为(－1，)，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋＝.21.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.当CQ⊥l122.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.23.已知半径为2，圆心在直线上的圆C.（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。
圆的方程
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济南九中高三数学备课组
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四、走进高考
1.(2009年重庆卷)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2) 的圆的方程为 （ A） A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 2.(2009海南高考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与 圆C1关于直线x—y—1＝0对称，则圆C2的方程为 （ B ） A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 3.(2009年辽宁卷)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切， 圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 （ B） A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2
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【点评】 一般地，已知圆心或半 径的条件，选用圆的标准式方程，否则 选用一般式方程．另外，还有几何法可 以用来求圆的方程．要充分利用圆的有 关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦 的垂直平分线上”“半径、弦心距、弦 长的一半构成勾股关系”等．
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二、基础自测
1.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取 值范围 （D） A．a<－2或a> B.－ <a<0 C．－2<a<0 D．－2<a< 2.已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆 的 方程是 （ A ） A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2 ＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的 0或 2 距离为 2 ，则a的值为 __什么？ 充要条件是D2＋E2－4F＞0. 2.形如Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程表示圆的充要条件是什么？
高三数学圆的坐标知识点
高三数学圆的坐标知识点圆是在平面上由一点到另一点距离保持不变的所有点组成的图形。
在数学中，圆的坐标表示使用两个坐标数表示圆心的位置，再加上一个表示半径的数值。
本文将介绍高三数学中与圆的坐标相关的知识点，包括圆心与半径的坐标表示、圆的方程及其性质。
一、圆心与半径的坐标表示在直角坐标系中，圆心的坐标表示为 (h, k)，其中 h 表示横坐标，k 表示纵坐标。
而半径的长度则可以通过圆心与圆上一点的坐标之间的距离来确定。
二、圆的方程及其性质1. 标准方程：对于以坐标原点为圆心的圆，其方程为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示半径的长度。
2. 一般方程：对于以圆心为 (h, k) 且半径为 r 的圆，其方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。
3. 圆的性质：每个点到圆心的距离等于半径的长度。
同时，圆的直径是通过圆心并且垂直于圆的直径两点的线段。
圆的弦是通过圆上两点的线段。
圆的弦经过圆心时，被称为直径。
三、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系可以通过求解直线方程与圆方程的交点来确定。
当直线与圆相交时，可能有两个交点、一个交点或者没有交点三种情况。
2. 判别条件：直线与圆的位置关系可以通过计算直线方程与圆方程的判别式来判断。
当判别式大于零时，直线与圆相交；当判别式等于零时，直线与圆相切；当判别式小于零时，直线与圆无交点。
四、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆的距离大于两个圆半径之和时，称两个圆外离。
2. 外切：两个圆的距离等于两个圆半径之和时，称两个圆外切。
3. 相交：两个圆的距离小于两个圆半径之和时，称两个圆相交。
4. 内切：两个圆的距离等于两个圆半径之差时，称两个圆内切。
5. 内含：两个圆的距离小于两个圆半径之差时，称一个圆内含于另一个圆。
五、应用题举例1. 求两条直线与圆的位置关系，并求交点坐标。
2. 求两个圆的位置关系，并求交点坐标。
总结：通过以上内容的讲解，我们了解了高三数学中关于圆的坐标知识点。
2.1.2 圆的参数方程
x R＝cos θ， y ＝sin θ， R
x＝Rcos θ， 则 y＝Rsin θ.
2．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程是什么？
x＝x0＋Rcos θ 提示：圆的参数方程为 y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ<2π)
[研一题] [例1] 点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的
x＝cos α 的参数方程为 y＝1＋sin
α
(α 为
参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1， 则直线 l 和圆 C 的交点的直角坐标为 ________．
[命题立意]
方程．
本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标
[解析]
由圆的参数方程知圆心的坐标为(0,1)，半径r＝1，
2φ
π π (φ 为参数且－ 2≤φ≤2)
[悟一法] (1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同 一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也 可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可 以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数 的取值范围． (2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会
x＝ 4t 2 1＋t 答案： 4t2 y＝ 1＋t2
[研一题] [例 2] 已知点 P(2,0)，点 Q
x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
(θ 为参数)上一
动点，求 PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
[精讲详析]
本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求
[读教材· 填要点] 如图，设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M0(t＝0 时的位 置)出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动， 点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω，以圆心 O 为原点，OM0 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系． (1)在 t 时刻，M 转过的角度是 θ，点 M 的坐标是(x，y)，那 么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有 cos y x ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程
高三数学教案 圆的极坐标方程公式
圆的认识•圆的定义：圆是一种几何图形。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。
小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。
半圆既不是优弧，也不是劣弧。
优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。
它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。
11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。
圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。
•圆的字母表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。
圆—⊙；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；弧—⌒；直径—d ；扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。
圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
高三-圆的标准方程和一般方程
复习课：圆的标准方程和一般方程教学目标重点：掌握圆的标准方程和一般方程，能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程，理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.难点：与圆有关的综合题的求解方法.能力点：等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练. 自主探究点：了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题. 易错点：运算出现错误，对问题分析不全面导致漏解. 学法与教具1.学法：学生动脑、动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪. 一、【知识梳理】1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件：如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 2.圆的方程(1)标准式：222()()x a y b r -+-= ，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心. (2)一般式：22220 (40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E--，半径. (3)过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：i) 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，ii) 2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1-=λ时为一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C 2）(4)二元二次方程220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件：220,0,40A B C D E AF =≠=+->.二、【范例导航】 题型1：求圆的方程【例1】(1)求经过点(5,2),(3,2)A B ,圆心在直线230x y --=上的圆的方程;(2)求圆心在直线30x y -=上，与y 轴相切，且被直线y x =截得的弦长为. 【分析】本题可以设圆的标准方程，建立关于圆心(,)a b 和半径r 的三个方程构成的方程组. 【解析】（1）解法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=根据题意可得222222(5)(2)(3)(2)230a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪--=⎩，解得45a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所求圆的方程为22(4)(5)10x y -+-=.解法二：因为圆过(5,2),(3,2)A B 两点，所以圆心在线段AB 的中垂线4x =上，又因为圆心在直线230x y --=上，联立解得4,5a b ==.进而求得圆的半径r =， 圆方程为：22(4)(5)10x y -+-=.(2)因为圆与y 轴相切，且圆心在直线30x y -=上， 故圆方程可设为222(3)()9x b y b b -+-=又因为直线y x =截圆得弦长为，则有2229b +=，解得1b =±， 故所求圆方程为：22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=【点评】求圆的方程时，根据题目条件选择合适的方程形式，同时注意圆的几何性质的充分利用，如在第（1）问解法二中，利用圆心在线段AB 的中垂线上，可以使简化运算.第（2）问求解时注意两组结果.变式训练：求半径为4，与圆22:4240A x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程.【解析】由题意，设所求圆的方程为圆222:()()C x a y b r -+-=．圆C 与直线0y =相切，且半径为4，所以圆心C 的坐标为1:(,4)C a 或2:(,4)C a -． 又已知圆22:4240A x y x y +---=的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则两圆心之间的距离437CA =+=或431CA =-=.(1) 当1:(,4)C a 时，222(2)(41)7a -+-=，或222(2)(41)1a -+-= (无解)，故可得2a =±.∴所求圆方程为22(2(4)16x y -++-=或22(2(4)16x y --+-=．(2) 当2:(,4)C a -时，222(2)(41)7a -+--=，或222(2)(41)1a -+--= (无解)，故2a =±∴所求圆的方程为22(2(4)16x y -+++=或22(2(4)16x y --++=．【点评】对本题，易发生以下误解：(1)忽略圆心在x 轴下方的情形，（2）只考虑两圆相外切的情况.题型2：轨迹问题【例2】（1）已知点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12，求点M 的轨迹方程. (2) 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【分析】第（1）问用直接法求轨迹方程，第（2）问用相关点代入法求轨迹方程，所得轨迹都是圆. 【解析】（1）设所求轨迹上任意一点(,),M x y 根据题意：12MO MA =，即：2MO MA =，即= 故所求轨迹方程为：22(1)4x y ++=.（2）设AB 的中点(,)M x y ，点00(,)A x y ，则004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得 002423x x y y =-⎧⎨=-⎩,又因为A 在圆周上运动，故可得：22(241)(23)4x y -++-=，所求轨迹方程为：2233()()122x y -+-=.【点评】本题是比较简单的两道题目，分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程，旨在让学生复习求轨迹方程的方法，同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。
高三数学圆的方程
群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群众。看着正在相互交涉的买卖双方，她又凑近了一些。(古风一言)剑指山河兵临城下，不为夙愿，只为 守护你的安然。第076章 嫌弃这马真是可爱，慕容凌娢对马的了解很少，自然不敢妄下断言，但等到人群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群 众。看着正在相互交涉的买卖双方，她只是更仔细的观察着这匹黑马。正在她肆无忌惮的观察时，那匹黑马突然一扭头，她们一人一马四目相对， 时间仿佛停顿了下来……一切都变得很慢很慢……“噗～”那马看着慕容凌娢，打了一个响鼻，然后嫌弃的翻了一个白眼，满满地都是怨气摇摇 脑袋，甩甩尾巴，便再也不理睬她了。这……这也太尴尬了，慕容凌娢居然会被一只马嫌弃！简直是受到了1000点的暴击！慕容凌娢感觉整个人 都不好了，生无可恋啊～“算了算了，还是去别处看看吧。”慕容凌娢回过神来，发现围观的人都已经走光了。“唉！”那大汉重重的叹了口气， 摸了摸马的鬃毛，“如今这般落魄，留着你也是受罪，还不如给你个痛快……”他说着便要解开拴在木桩上的绳子，那黑马似乎也明白了什么， 开始焦躁不安的挣扎，无奈被绳子束缚，再怎么用力拽也无用。这是要杀马的套路啊！当慕容凌娢脑子转过来弯时，大汉已经准备把马迁走了。 “等等！”慕容凌娢拦住了他，大义凌然的挡在黑马身边，“这马我要了。”“二十两银子，不能再少了！”在醉影楼呆了那么久，慕容凌娢已 经搞清楚了这个年代的物价，一两银子差不多是500RMB，二十两银子……大概就是1WRMB。这也太贵了！自己这回出来，总共就带了四两银子，可 是这马，要是没人要，就要惨死在街头了……怎么办？这个年代又没有动物保护协会这样的组织，她实在不想看见这只马就这样死 掉……“我……”情急之下，慕容凌娢摸到了自己挂在脖子上的那块血玉，就是穿越时拿着的那块。“我用这块玉来换可以吗？”“这是……” 大汉接过慕容凌娢的玉，摆弄了几下，又丢了回来，“我又不知道这东西是真是假，万一你给我个假的，我不就亏大了吗！”“这个绝对是真 的！”慕容凌娢着急着想解释，可是那大汉始终不为所动。“二十两银子是吗？”“韩哲轩！”慕容凌娢惊喜的回过头，“你刚才跑哪里去了！ 找你半天，还以为你丢了呢……”“方蛤蟆?慌什么?，人多，被挤掉线了而已，看来该换网了。”韩哲轩依旧是不紧不慢态度，没有想要认真回 答慕容凌娢。他脸上带着常有的笑意，把钱袋递给了大汉，“这么多够了吧？”“够了够了！”“那马我带走了。”韩哲轩把马的缰绳接下来， 交到了慕容凌娢手里，“归你了，不用谢我。”“公子您慢走！”……“老哥(稳)，这回坑了不少钱吧！”等韩哲轩