《一元二次方程的根与系数的关系》导学案学习资料
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 导学案 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
一元二次方程的根与系数的关系 导学案 - 副本
九年级数学导学案课题：一元二次方程的根与系数的关系执笔人：刘德强 审核人：高鹏军 魏爱文 杜安义 时间 2017-9-4 班级 姓名学习目标：1.掌握一元二次方程根与系数的关系式.2.能由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数. 一、自学指导：快速阅读课本P15-16页内容，完成下列问题。
阅读课本P40-41完成下列问题：1.把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为x 2+px+q=0的形式________________则p=____________,q=_____________; 即x 1+x 2=_____,x 1x 2=____.这个结论只适用_____________的方程.2. 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是x 1=a ac b b 242-+-，和x 2=aac b b 24-2--那么21x x += ，21x x = .即两根的和等于____________________,两根的积等________________.二、自学检测1.如果x 1，x 2是方程x 2-3x+1=0的两个根，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别是-2和21，则p= ，q= . 3.下列方程中，两实根的和是1的一元二次方程是( )A.x 2-x+3=0B.x 2-x-3=0C.x 2+x+3=0D.x 2+x-3=04.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根互为倒数，则必有( ) A.a=c B.a=b C.b=c D.bc=05.设x 1，x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，则x 12+x 22的值为多少？三、课堂小结谈一谈本节课的收获？一元二次方程更与系数的关系是什么？四、当堂训练1.已知方程032=+-c x x 的一个根是2，求另一个根及c的值.2. 已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，利用根与系数的关系求下列式子的值： （1）2221x x +； （2）1221x x x x +.五、拓展延伸 已知方程x 2+(m+1)x+434-m =0有实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若方程两实根互为相反数，求m 的值.。
初中数学最新版《一元二次方程的根与系数的关系 》精品导学案(2022年版)
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、导学 1.导入课题: 如果一个方程的两根之和为 1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？ 今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系. 2.学习目标: 知道一元二次方程的根与系数的关系. 3.学习重、难点: 重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 4.自学指导： (1)自学内容：教材第 15 页到第 16 页的内容. (2)自学时间：5 分钟. (3)自学方法：独立探究一元二次方程根与系数的关系. (4)探究提纲： ①方程 x2+px+q=0 的两根分别是 x1，x2，那么 x1+ x2= -p，x1 x2=q .你是怎么得到的？ 假设方程两根分别为 x1，x2.那么方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0. 化简,得 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. ∴x1+x2=-p, x1x2=q.③独立完成例 4，说说运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和与两根之积时应注意什么？①把方程化为一般形式，明确二次项系数、一次项系数和常数项的值；②方程必须有实数根.④不解方程，求以下方程两根的和与积.x2-3x=15；3x2+2=1-4x；x1+x2=3，x1+x2= - ，x1x2= -15 5x2-1=4x2+x； x1+x2=1，x1x2= 2x2-x+2=3x+1.x1+x2=2，x1x2= -1x1x2=二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究两个方程的根与系数的关系的方式和易错点.(2)差异指导：指导学生通过比拟的方式探究方程 x2+px+q=0 根与系数的关系,通过直接计算的方式探究方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系.对学习有困难的学生予以指导，并帮他们分析根与系数之间的关系.2.生助生：同桌之间可以互动、研讨.四、强化x2+px+q=0 有两个实根 x1，x2，那么 x1+x2=-p,x1x2=q.x2+bx+c=0 中，在 a≠0，b2-4ac≥0 的条件下，x1+x2=－ , x1x2= . 3.运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意： (1)先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后 直接代入关系式. (2)确定方程的各项系数时一定要包括其符号. (3)只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系.如果所给一元二次 方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系. 五、评价 1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或缺乏？说说 运用一元二次方程根与系数的关系时应注意的问题. 2.教师对学生的评价： (1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习方法、效果及缺乏之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测. (教学反思)： (1)通过从熟知的解法解一元二次方程的过程中探究根与系数的关系，并发现可用求根 公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、 开展和出现的过程以及知识的应用. (2)教学过程从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜测到论证，使学生在 体验知识发生、开展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想. (3)教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均 有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同 学们学习的兴趣.(时间：12 分钟总分值：100 分) 一、根底稳固(70 分) 1.(10 分)关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+ ，x2=1- ，那么 p= -2，q= -1.2.(10 分)方程 5x2+kx－6=0 的一根是 2，那么另一根是 - ，k＝-7.3.(40 分)求以下方程的两根 x1，x2 的和与积：(1)x2－3x+2=0；(2)5x2+x－5=0；解：x1+x2=3 x1x2=2(3)x2+x=5x+6； 解：方程化为 x2-4x-6=0解：x1+x2= x1x2= -1(4)7x2－5=x+8. 解：方程化为 7x2-x-13=0x1+x2=4x1+x2=x1x2= -6x1x2= -4.(10 分)两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.解：设其中一个数为 x,那么另一个数为(8-x).根据题意，得 x(8-x)=9.75,整理，得 x2-8x+9.75=0.解得 x1=6.5, x2=1.5. 当 x=6.5 时，8-x=1.5;当 x=1.5 时，8-x=6.5,∴这两个数是 6.5 和 1.5.二、综合应用(20 分)5.(20 分)x1，x2 是方程 x2－5x－7=0 的两根，不解方程求以下各式的值：三、拓展延伸(10 分)6.(10 分)关于 x 的方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根之和等于两根之积，求 m 的值.解：设方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2.∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3,m2= -1.当 m=3 时，原方程为 x2-9x+9=0, b2-4ac=45>0.方程有实数根.当 m= -1 时，原方程为 x2-x+1=0, b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此 m 值舍去.∴m 的值为 3.24.2.1 点和圆的位置关系教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展实践能力与创新 精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点 能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．1 作法：如以以下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧2 找出两交点 C、D，作直线 CD，那么直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的 任一点到 A 与 B 的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布 有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你 能作出几个这样的圆？ [师]根据刚刚我们的分析，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并 作出解答． [生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过点 A 作圆，只要圆心确定下来，半 径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为 半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根 据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，那么圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能 满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点 到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无 数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离 相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离 相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点 的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法图示1．连结 AB、BC2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，那么 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等； 连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，那么 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过一点可作无数个圆．过两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有 怎样的特点？ 解：如以以下图． O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部．Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如以以下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的 圆心？ 解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段 的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此 使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．。
一元二次方程的根与系数的关系导学案
一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1、 知道一元二次方程的根与系数的关系。
2、 能运用一元二次方程的根与系数的关系进行已知一根求另一根的简便运算。
学习重点、难点：重点：一元二次方程的根与系数关系的推导和它的运用。
难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系。
学习流程： 一、旧知回顾：（独立完成，组长检查指导） 1、 写出一元二次方程的一般式和求根公式。
2、 已知232+=x ，232-=y 求22y xy x ++的值。
二、合作交流：（独学、互学，交流归纳）1、 仔细观察一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个实数根a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=它们有什么相同点和不同点。
试求222121x x x x ++的值。
归纳：一元二次方程的根21,x x 与系数c b a ,,之间有什么关系呢？=+21x x ， =⋅21x x2、若方程4522=-x x 的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。
3、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。
三、课堂检测：1、若方程x x 4322=-的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。
2、已知方程0322=-+kx x 的一个根x 1=3，求它的另一个根x 2和k 的值。
3、关于x 的方程01622=+-+m x x 的两个根互为倒数，则m= 。
四、课堂整理1、 熟记一元二次方程的根与系数的关系，你记住了吗？请写下来：2、这节课你学了什么？会了什么？还有不会的吗？五、拓展延伸（挑战自我）1、当k 取何值时，013)13(2322=-++-k x k x（1）有一根为零？（2）有两个互为相反数的根？（3）两根互为倒数？2、已知关于x 的方程0)1(2=-+-a a x x 有两不等的正数根，求a 的取值范围。
一元二次方程的根与系数的关系(导学案)
课题：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系【复习回顾】一元二次方程的一般形式为 ，求根公式是 。
【学习目标】1．理解并掌握根与系数关系：1212.b c x x x x a a+=-⋅=， 2．会用根与系数关系，根的判别式解答相关类型的问题． 【自主学习】自学课本P 15-16内容，思考并解答下列问题: 1．填写表（一），并猜想其中的规律：规律1：若二次项系数为1的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2．填写表（二），上面的规律还成立吗？若不成立，又有怎样的规律呢？规律2：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
【小组交流】通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.【班级展示】1.一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？ 用式子表示： 用语言叙述：2.利用求根公式推导一元二次方程根与系数的关系。
3.（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1） x 2-9x ＋10＝0； （2） x 2-1＝0； （3） 2x 2-9x ＋5＝0； （4） 3x 2=5x+2.4. 下列关于方程x 2＋7＝4x 的根的说法，正确的是 。
（填序号） ① 两根之和为4； ② 两根之和为-4； ③ 两根之积为7； ④ 没有实数根。
【应用新知,解决问题】例1 已知方程2x 2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k 的值．例2. 已知方程2310x x ++=的两个根为α、β，求(-5)(-5)αβ的值.例3. 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围； （2）当22120x x -=时，求m 的值．【巩固新知,当堂训练】 1.课本P 16练习.(完成在课本上)2.已知方程2-5=2x x 的两个根为1x 、2x ，求212(-)x x 的值.3.若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=⋅.则k 的值为（ ）（A ） －1或34 （B ）－1 （C ）34（D ） 不存在 【反思小结】本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.课本P 17习题21.2 第7题.2. 关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） （A ）0p >且q >0 （B ）0p >且q <0 （C ）0p <且q >0 （D ）0p <且q <03．已知21x ,x 为方程2x3x 2015+=的两实根，则212x 3x 10_______.-+=4.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，求这个直角三角形的斜边长。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
九年级上册一元二次方程的根与系数的关系学案
九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》学案一元二次方程的根与系数的关系（总第学时）主备人：备组学习目标：把握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
学习重难点：重点：根与系数的关系及其推导。
难点：正确明白得根与系数的关系。
学习进程：一、温顾互查一元二次方程的一样形式是什么？2一元二次方程的求根公式是什么？3如何判定一元二次方程根的情形？二、探讨新知试探：解方程并观看x1＋x2,x1•x2与系数的关系方程x1x2x1＋x2x1•x2x2－x＋6=0x2＋3x－4=0x2－x－2=0x2＋3x＋2=02问题：观看两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？3猜一猜：请依照以上的观看猜想：方程的两根与系数a,b,之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．4验证结论：设为方程的两个实数根，证明上述结论（1）当知足条___________时，方程的两根是（2）两根之和两根之积．结论：一元二次方程根与系数关系：（1）若是为方程的两个实数根，那么______,_________若是为方程的两个实数根,那么______,_________三、合作探讨不解方程，求以下方程两根的和与积：（1），2写出以-２与１为根的一元二次方程。
3、已知方程的一个根是-3，求另一根及的值。
四当堂训练．假设方程的两根为，,那么==2．方程那么==3．假设方程的一个根2，那么它的另一个根为p=4．已知方程的一个根1，那么它的另一根是=．假设0和-3是方程的两根，那么p+q=6在解方程x2+px+q=0时，甲同窗看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同窗看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你以为方程中的p=，q=。
7．两根均为负数的一元二次方程是（）ABD8．假设方程的两根中只有一个为0，那么（）Ap=q=0BP=0,q≠0p≠0,q=0Dp≠0,q≠0九、不解方程，求以下方程的两根和与两根积：（1）x2-x-10=0（2）2x2+7x+1=0（3）3x2-1=2x+（4）x（x-1）=3x+7学后反思：。
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《一元二次方程的根与系数的关系》导学
案
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案
一、学习目标：
（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。
二、学习重点、难点、疑点及解决办法：
1．学习重点：一元二次方程根与系数的关系及应用。
2．学习难点：正确理解根与系数的关系。
3．学习疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意△≥0这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数
a≠0，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件△≥0和a≠0。
三、探索新知
回忆：
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的求根公式是什么？
3、一元二次方程的解的情况怎样确定？
知识小竞赛：
设1x 、2x 是下列一元二次方程的两个根，填写下表
猜想：根据所填写的表格，请你猜想出1x +2x ，1x •2x 与方程的系数有什么关系
吗？
你的猜想是否正确呢?请用求根公式加以验证（分组证明）
已知：如果一元二次方程 20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根分别是 1x 、2x . 求证： 1x +2x =a
b
- 1x •2x =a c
证明： 归纳：
如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根分别是1x 、2x ，那么：
1x +2x =a
b
-
1x •2x =a c
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
观察二次项系数为1的方程20x px q ++=的两根1x 、2x 与系数又有什么样的关系呢？ 推论：
四、应用：
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根1x 、2x 的和与积： （1）26150x x --= （2）23790x x +-= （3）2514x x -=
例2 已知方程2560x kx +-=的一个根式2，求它的另一个根及k 的值：
例3 利用根与系数的关系，求一元二次方程22310x x +-=的两个根的 （1）平方和 （2）倒数和
五、巩固训练
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）
（1）2310x x ++= （2）2322x x -=
（3）2230x x += （4）231x =
2.已知方程x m x m 2
210-++=()的两根之和与两根之积相等，那么m 的值为
（ ） A. 1
B. -1
C. 2
D.
-2
3.方程2202
x ax b -+=的两根和为4，积为-3，则a =_________，
b =________。
4.已知方程23190x x m -+=的一个根是1，它的另一个根是________m 的值是_________
5.设1x 、2x 是方程22430x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1）12(1)(1)x x ++ （2） 21
12
x x x x +
六、课堂小结：。