2020年湖南师大附中高考数学模拟试卷(文科)(三)(含答案解析)
C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是东偏南 20°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏
东 65°，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A. 10 海里
B. 10 海里
C. 20 海里
D. 20 海里
12. 已知 f（x）与函数 y=-asinx 关于点（ ，0）对称，g（x）与函数 y=ex 关于直线 y=x 对称，若对
解：∵{an}是公差为 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，
a2，a6，a14 成等比数列，
∴
=（ ）（
），
解得 a1= ，
∴S5=5× +
故选：C．
7.答案：B
=．
解析：【分析】 本题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题.先判断奇偶性，再利用特殊值法进行判断， 【解答】 解：∵函数 f（x）=lg（|x|-1）， ∴f（-x）=lg（|x|-1）=f（x），f（x）是偶函数， 当 x=1 或-1 时，y＜0， 故选 B．
4.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题． 利用诱导公式求得 cosα 的值，再利用二倍角公式求得 cos2α 的值． 【解答】
解：sin（
）=-cosα= ，则 cos2α=2cos2α-1=- ，
故选：B．
5.答案：D
解析：【分析】 本题考查教师 2018 年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题． 先求出 2017 年的就医费用，从而求出 2018 年的就医费用，由此能求出该教师 2018 年的家庭总收入． 【解答】
（2）若点 P 的极坐标为（2，π），
，求 a 的值．
23. 已知函数 f（x）= |x-a|，（a∈R） （1）当 a=2 时，解不等式|x- |+f（x）≥1； （2）设不等式|x- |+f（x）≤x 的解集为 M，若[ ， ]⊆M，求实数 a 的取值范围．
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1.答案：C
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（1）求证：BE∥平面 ACD； （2）求多面体 ADE-BCF 的体积．
20. 已知点 F（1，0），直线 l：x=-1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线的垂线，垂足为 Q，且 ．
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设直线 y=kx+b 与轨迹 C 交于两点，A（x1，y1）、B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0，且 a 为常数），过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交轨迹 C 于点 D，连接 AD、BD．试判断△ABD 的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
A. 100000 元
B. 95000 元
C. 90000 元
D. 85000 元
6. 已知{an}是公差为 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 a2，a6，a14 成等比数列，则 S5=（ ）
A.
B. 35
C.
7. 函数 f（x）=lg（|x|-1）的大致图象是（ ）
D. 25
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2020 年湖南师大附中高考数学模拟试卷（文科）（三）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 1. 已知集合 A={1，2}，集合 B={0，2}，设集合 C={z|z=xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是
（）
A. A∩C=φ
B. A∪C=C
C. B∩C=B
D. A∪B=C
2. 若复数 z=m2+m+（m+1）i 是纯虚数，其中 m 是实数，则 =（ ）
A. i
B. -i
C. 2i
D. -2i
3. 设命题 p：x∈R，x2-4x+2m≥0（其中 m 为常数），则“m≥1”是“命题 p 为真命题”的什么条件
（）
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分且必要
，解得 m=0，
所以 z=i，所以 = =-i．
故选：B．
根据 z 是纯虚数求出 m=0，进而得到 z=i，所以
．
本题考查了复数的代数形式，复数的四则运算，属于基础题．
3.答案：B
解析：解：命题 p：x∈R，x2-4x+2m≥0（其中 m 为常数），由△=16-8m≤0，解得 m≥2． 则“m≥1”是“命题 p 为真命题”的必要不充分条件． 故选：B． 命题 p：x∈R，x2-4x+2m≥0（其中 m 为常数），由△=16-8m≤0，解得 m 范围即可判断出结论． 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
-------- 答案与解析 --------
解析：解：∵A={1，2}，B={0，2}； ∴C={0，2，4}； ∴B∩C=B． 故选：C． 可求出集合 C，然后判断每个选项的正误即可． 考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，交集、并集的运算．
2.答案：B
解析：解：复数 z=m2+m+（m+1）i 是纯虚数，所以
cos∠F1PF2=
=，
sin∠F1PF2=
=，
则△PF1F2 的面积为 ×8×6× =3 ．
故选：D． 由题意可得 P 在右支上，运用双曲线的定义和余弦定理、三角形的面积公式，计算可得所求值． 本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能 力，属于中档题．
个人所得税税率表（调整前）
个人所得税税率表（调整后）
免征额 3500 元
免征额 5000 元
级 全月应纳税所得额
数
级 税率（%） 数 全月应纳税所得额
税率（%＞
1 不超过 1500 元的部分
3
1 不超过 3000 元的部分
3
2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10
2 超过 3000 元至 12000 元的部分 10
21. 已知函数 f（x）=lnx-ax+1，其中 a 为实常数． （1）若当 a＞0 时，f（x）在区间[1，e]上的最大值为-1，求 a 的值； （2）对任意不同两点 A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），设直线 AB 的斜率为 k，若 x1+x2+k ＞0 恒成立，求 a 的取值范围．
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公式求得结果． 本题考查了几何概型的概率公式应用问题，是基础题．
9.答案：D
解析：解：由 +4 =λ ，得 = （λ-1） ，
又| |=2，且 λ＞0，
∴ • = • （λ-1） = • （λ-1）=λ-1＞-1，
∴当 λ 变化时， 的取值范围是（-1，+∞）． 故选：D． 由 +4 =λ 求得 ，再计算 • ，
收入（元）[53000000），
[5000， 7000）
[7000，9000）[9000，11000）[1131000000），
[13000，15000）
人数 30
40
10
8
7
5
先从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 2 人作为新
纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；
三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4an-4，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
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（2）令
，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18. 随着经济的发展，个人收入的提高，自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率的调整．调 整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额．依 照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：
3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20
3 超过 12000 元至 25000 元的部分 20
……
…
……
…
（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收人总和不高于 8000 元，记 x 表示总收入，y 表示 应纳的税，试写出调整前后关于 x 的函数表达式； （2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入， 并制成下面的频数分布表：
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解：由已知得，2017 年的就医费用为 80000×10%=8000 元， ∴2018 年的就医费用为 8000+4750=12750 元，
∴该教师 2018 年的家庭总收入 =85000 元．
故选：D．
6.答案：C
解析：【分析】 利用等差数列及等比数列的性质求出首项，由此能求出 S5． 本题考查数列的前 5 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质 的合理运用． 【解答】
11.答案：A
解析：解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°， AB=20，从而∠ACB=45°． 在△ABC 中，由正弦定理，
___________.
15. 若函数 f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象经过点（ ），且相邻两条对称轴间
的距离为 ，则 f（ ）的值为______．
16. 已知正四面体 ABCD 中，M 是棱 AD 的中点，O 是点 A 在平面 BCD 上的射影，则异面直线 BM 与 OA 所成角的余弦值为______．
A.
B.
C.
D.
8. 在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 C，再作一个矩形，使其边长分别等于线段 AC，CB 的长， 则该矩形面积小于 16cm2 的概率为（ ）
湖南省师范大学附中2020届高三上学期11月份检测数学文科试卷附答案详析
湖南省师范大学附中2020届高三上学期11月份检测数学文科试卷一、单选题1．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（）A ．12B ．22C ．2D ．22．已知:(1)(2)0p x x --≤，2:log (1)1q x +≥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在等差数列{}n a 中，若5a ，7a 是方程2260x x --=的两根，则{}n a 的前11项的和为（）A ．22B ．-33C ．-11D ．114．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A ．10B ．17C ．19D ．365．用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为（）.A ．2B ．3C ．2D ．16．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（）A ．9B ．4C ．12D ．147．设实数,x y 满足不等式组00152x y y x y x⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩ ，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（）.A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-8．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°（即30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD ＝()A ．3006mB ．1503mC ．1006mD ．1003m9．设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC的值为（）A ．58-B ．18C ．14D ．11811．已知,A B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，P 是双曲线C 右支上位于第一象限的动点，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的取值范围为（）.A ．2,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．,b a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,b b a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02147,22()f x x x x x x ⎧<⎪⎨-+>=⎪⎩ ，若函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x +++++的取值范围是（）.A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,4)D ．103,3⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是__________．（填甲、乙、丙中的一个）14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_________.15．若函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的序号是__________．①图象C 关于直线1112π=x 对称；②图象C 关于2(,0)3π对称；③函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内不是单调的函数；④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .16．函数3()f x x x =+，对于[0,2]x ∈，都有|(1)|2xf ax e -+≤，则实数a 的取值范围是___．三、解答题17．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），得到的样本频率分布表如下：分组频数频率[60,75)20.04[75,90)30.06[90,105)140.28[105,120)150.30[120,135)AB[135,150)40.08合计C D（1）在给出的样本频率分布表中，求A ，B ，C ，D 的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）抽取的50名学生中，为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在]135[150,的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60,75)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为135分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.18．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，14BB =，AB BC ⊥，且4AB BC ==，点M ，N 分别为AB ，BC 上的动点，且AM BN =.（1）求证：无论M 在何处，总有11B C C M ⊥；（2）求三棱锥1B MNB -体积的最大值.19．如图是由正整数构成的数表，用a ij 表示i 行第j 个数（i ，j ∈N ＋）．此表中a il ＝a ii ＝i ，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n 行的第二个数为b n （n ≥2），求b n ．（3）令()1222n n c b n n -=+-≥，记T n 为数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，求1n n T C +的最大值，并求此时n 的值．20．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围；（II ）求PA·PQ 的最大值21．设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)>1x−e 1−x 在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
2020届湖南师大附中高三第1次月考试卷-文科数学答案
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湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学(文)试题解析
，e2
a2 b2 a2
1 1 9
8 9
．e
22 3
．
16.4
17 、 (1) 因 为 Sn pan1 , 所 以 a1 a2 an pan1 0 , 所 以 当 n 2 时 , a1 a2 an1 pan 0 , 两 式 相 减 , 得
an1 an
p
p
1
(n
2)
,故数列
在 M
中， | MD || MA | 所以 | MA |
| MN
| 4
，所以
M
的轨迹为椭圆，由定义可知
2a
4
，所以求轨迹 C
的方程
c 3
为 x2 y2 1． 4
（2）当 l
的斜率不存在的时，设
P ( x0
，
y0 ) ，所以
Q ( x0
，
y0 )
，所以
kPB x02 4
kQB
y0 x0
AO 平面 BCD ，且 BD 2 ， AO 3 ，
取 CD 的中点 F ，连接 OF ， EF ， 同理可证 CD 平面 EOF ， CD 平面 AOF ， A ， O ， F ， E 共面， 平面 BCD 平面 OFE ，作 EH 垂直 OF 于点 H ，则 EH 平面 BCD ， 故点 E 到平面 BCD 的距离即为 EH ， 又 AE 平面 CDE ， AE EF ， AE EC ，
5.答案：D 解析：∵函数 f x 2x 4sinx , f x 2x 4sin x 2x 4sinx f x ,故函数 f x 为奇
函数，所以函数 f x 2x 4sinx 的图象关于原点对称，排除 AB，函数 f x 2 4cosx ,由 f x 0 得
2020届湖南省师大附中高三第三次模拟考试数学(文)试题
2020届湖南省师大附中高三第三次模拟考试数学试题（文）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =（ ）A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2.若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2 C ．12-D ．123. 平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ）A ．B C ．0 D ．24.已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβ=l ，则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知1cos 4α=，则πsin 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-6．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20197.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2438. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=3π对称的函数是( ) A ．y=2sin(2x+3π) B ．y=2sin(2x-6π) C ．y=2sin(32π+x ) D ．y=2sin(2x-3π) 9．函数f (x )＝x ＋cos x 的大致图象为( )10.已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．)51D ．)5111.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是一个正三角形，若平面PAD ⊥平面ABCD ，则该四棱锥的外接球的表面积为( ) A ．143π B ．283π C ．563πD ．1123π 12.已知函数，若不等式错误！未找到引用源。
2020-2021学年度湖南师大附中高三高考模拟卷(一)(教师版)数学(文)含解析
高考模拟卷(一)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足iz＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足iz＝|3＋4i|－i，∴－i·iz＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x (B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lgx的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lgx，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D项，y＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y＝10lg x的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m ＝209，n ＝121，m 除以n 的余数是88， 此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数是33， 此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数是22， 此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数是11， 此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数是0， 此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知logab ＝－1，2a>3，c>1，设x ＝－logb a ，y ＝logbc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y 【解析】∵logab ＝－1，2a>3，c>1，∴x ＝－logb a ＝－12logba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝logbc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y.故选：A.(6)等差数列x1、x2、x3、…、x11的公差为1，若以上述数据x1、x2、x3、…、x11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x1，x2，x3，…，x11的公差为1，x1，x2，x3，…，x11的平均数是x6，∴以数据x1，x2，x3，…，x11为样本，则此样本的方差：S2＝111[(x1－x6)2＋(x2－x6)2＋(x3－x6)2＋(x4－x6)2＋(x5－x6)2＋(x6－x6)2＋(x7－x6)2＋(x8－x6)2＋(x9－x6)2＋(x10－x6)2＋(x11－x6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4， 左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)．故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA|＝2|MO|，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125(B)[0，1] (C)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125(D)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125【解析】设点M(x ，y)，由MA ＝2MO ，知：x2＋（y －3）2＝2x2＋y2，化简得：x2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|＝a2＋（2a －3）2，∴1≤a2＋（2a －3）2≤3，化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若存在x1、x2、…、xn 满足0≤x1＜x2＜…＜xn ≤4π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(2)－f(x3)|＋…＋|f(xn －1)－f(xn)|＝16(n ≥2，n ∈N*)，则n 的最小值为(C)(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【解析】∵f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3对任意xi ，xj(i ，j ＝1，2，3，…，n)，都有|f(xi)－f(xj)|≤f(x)max －f(x)min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi(i ＝1，2，3，…，n)取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜xn ≤4π，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn －1)－f(xn)|＝16， 按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则x2＋y2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x2＋y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1， 又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点，所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x2＋y2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x2＋y2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＝2x2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3]【解析】设|PF1|＝m ，|PF2|＝n ，根据双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a ，|PF1|2＝8a|PF2|，∴m －n ＝2a ，m2＝8an ，∴m －n m2＝2a8an ，∴m2－4mn ＋4n2＝0，∴m ＝2n ，∴n ＝2a ，m ＝4a ， 在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|＋|PF2|， ∴2c ＜4a ＋2a ，∴ca ＜3，当P 为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e ＞1，∴1＜e ≤3，故选：A.(12)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2x2－f(－x)．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x)＜2x ；若f(m ＋2)－f(－m)≤4m ＋4，则实数m 的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞) 【解析】解：令g(x)＝f(x)－x2， g ′(x)＝f ′(x)－2x ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x)＜2x ， ∴g(x)在(－∞，0)递减，而g(－x)＝f(－x)－x2，∴f(－x)＋f(x)＝g(－x)＋x2＋g(x)＋x2＝2x2， ∴g(－x)＋g(x)＝0，∴g(x)是奇函数，g(x)在R 上递减， 若f(m ＋2)－f(－m)≤4m ＋4， 则f(m ＋2)－(m ＋2)2≤f(－m)－m2， ∴g(m ＋2)≤g(－m)，∴m ＋2≥－m ，解得：m ≥－1，故选：C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sin π4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC＝6，则b ＝__4__．【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ，∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12acsin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b2－2×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4.(16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x0，则h ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧f ()x ，x ≤x0g ()x ，x>x0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b ＋20＝100×30%，b ＝10；2分 a ＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x 元．当x ∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人； 当x ∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分 (18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a1－a2＋a3－…＋(－1)2n －1a2n>10的最小的正整数n 的值． 【解析】(Ⅰ)由16＋16q2＝2(16q ＋2)得4q2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a1－a2＋a3＋…＋(－1)2n －1a2n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－128分＝323⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n >10，10分 ⎝ ⎛⎭⎪⎫122n <116，2n>4，n>2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA1＝32，A1D ＝1，AA1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA1上一点，且EM ∥平面BC1D.(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC1D ；(Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长． 【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC1D ，EM 平面ABDA1， 平面ABDA1∩平面BC1D ＝BD ， ∴BD ∥EM.过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2， ∴MN ∥CH ，则MN ∥C1D.∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC1D. ∵EN平面EMN ，∴EN ∥平面BC1D.6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A1D ＝1，则A1F ∥BD ， 由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A1F ，∴AE AA1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE.9分 证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ， 又AA1⊥平面ABC ，∴AA1⊥BC.∵AG ∩AA1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO.又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE.由射影定理可得，AE2＝OE ×EG ， 又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，点M 为椭圆C 上的任意一点，MF →1·MF2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D(a ，t)为第一象限内的点，过F2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M(x0，y0)，F1(－c ，0)，F2(c ，0)，则MF1→＝(－c －x0，－y0)，MF2→＝(c －x0，－y0)， MF →1·MF2→＝(－c －x0，－y0)(c －x0，－y0)＝x20－c2＋y20，由∵x20a2＋y20b2＝1(a>b>0)，y20＝b2－b2a2x20，MF →1·MF2→＝(1－b2a2)x20＋b2－c2，由－a ≤x0≤a ，则x0＝0，则MF1→·MF2→取最小值，最小值为b2－c2， ∴b2－c2＝2，又椭圆的离心率为12∴a2＝4，b2＝3，则椭圆的标准方程：x24＋y23＝1；4分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F2(1，0)，D(2，t)，B(2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2，则圆E ：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t24， (6分)直线AD 的方程为y ＝t4(x ＋2)，设过点F2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1，则|2－mt 2－1|1＋m2＝丨t 2丨，则m ＝4－t24t ，(8分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 4（x ＋2），x ＝4－t24t y ＋1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24－2t212＋t2，y ＝12t 12＋t2， (10分)将⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t212＋t2，12t 12＋t2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t212＋t224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 12＋t223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnxx ，g(x)＝b(x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0(Ⅰ)若a ＝b ，讨论F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(Ⅱ)已知函数f(x)的曲线与函数g(x)的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1＋x2a g(x1＋x2)>2.【解析】(Ⅰ)由已知得F(x)＝f(x)－g(x)＝a(ln xx －x －1)，∴F ′(x)＝ax2(1－x2－ln x)当0＜x ＜1时，∵1－x2＞0，－ln x ＞0，∴1－x2－ln x ＞0，； 当x ＞1时，∵1－x2＜0，－ln x ＜0，∴1－x2－ln x ＜0.故若a ＞0，F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 故若a ＜0，F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分) (Ⅱ)不妨设x1＞x2，依题意a ln x1x1＝b(x1－1)，∴aln x1＝b(x21－x1)………①，同理得aln x2＝b(x22－x2)………②， 由①－②得aln x1x2＝b(x1－x2)(x1＋x2－1)，∴ln x1x2（x1－x2）＝ba(x1＋x2－1)，(8分)∴x1＋x2a g(x1＋x2)＝(x1＋x2)b a (x1＋x2－1)＝（x1＋x2）x1－x2ln x1x2. 故只需证（x1＋x2）x1－x2ln x1x2>2，取t ＝x1x2>1即只需证明t ＋1t －1ln t>2，对任意的t>1成立，即只需证p(t)＝ln t －2·t －1t ＋1>0对t>1成立，p ′(t)＝（t －1）2t （t ＋1）2>0.∴p(t)在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p(t)＞p(1)＝0，t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋tcos αy ＝tsin α(t 为参数) (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|＝14，求直线的倾斜角α的值．【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ∴.(x －2)2＋y2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎨⎧x ＝1＋tcos αy ＝tsin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y2＝4得： 化简得t2－2tcos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t1、t2，t1＋t2＝2cos α，t1·t2＝－3∴|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4cos2α＋12＝14可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4. ∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立， 由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分) (Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b)≥9， 故4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2，当－2<x<12，解得－2<x<12， 当x ≥12时，解得12≤x ≤12， 综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。
湖南师大附中2020届高三摸底考试数学(文科)
湖南师大附中2020届高三摸底考试数学（文科)时量:.120分钟 满分:150分命题人:文科数学备课组 审题人： 得分:本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量 120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若15)21(=-z i ，则||z 的值为 A.3 B.5 C. 3 D. 52.集合 M= {0>lg |x x }，N={42≤x }，则=N M I A.（1，2) B. [1,2) C. (1,2]D. [1,2]3.若“0<31--x x ”是“2|<|a x -”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A.（1，3] B. [1,3]C. (-1,3]D. [-1,3]4.如图，E 、F 分别是三棱锥P-ABC 的棱AP 、BC 的中点，则异面直线AB 与 PC 所成的角为 A.30° B.120° C.60° D.45°5.阅读下面的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为 6,则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 6.若53)4cos(=-απ，则=α2sinA.257B. 51C. 51-D. 257- 7.实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-0)(0202m y y y x y x ，若y x z +=3的最大值为5,则正数m 的值为A.2B. 21C.10D. 1018.在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且4=,P 为BD 上一点，向量)0>,0>(μλμλ+=，则μλ14+的最小值为A. 16B.8C.4D.29. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知41cos ,sin 4sin sin -==-A C c B b A a ，则=c bA. 6B.5C.4D.310.若正实数a ，b ，c 满足ab+bc+ac=2-a 2，则2a+b+c 的最小值为 A. 2B. 1C.2 D.2211.点P 在双曲线)0>b 0,>(12222a by a x =-的右支上，其左、右焦点分别为F1,F2，直线PF1与以坐标原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于点A ，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则双曲线的离心率为 A.23 B.34C. 2D.3512.已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且0<0x ，则实数a 的取值范围是A. (-∞,-1) C. (-∞,—2)B. (2，+∞) D. (l ，+∞)选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
2020年高考数学模拟试卷1(文科)(新课标ⅲ)
2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．13．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．205．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（136，72]B ．（72，256] C ．（256，112] D ．（112，376]6．（5分）已知数列{a n }是等比数列，函数y ＝x 2﹣5x +3的两个零点是a 1、a 5，则a 3＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．±√3D ．√37．（5分）曲线y ＝sin x ﹣2cos x 在点（π，2）处的切线方程为（ ） A ．x +y ﹣π﹣2＝0B ．x ﹣y ﹣π+2＝0C ．2x +y ﹣π+2＝0D ．2x ﹣y ﹣π﹣2＝08．（5分）已知直线l 和平面α，若直线l 在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l ′和l （ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣110．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√311．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝ ． 14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝ ． 15．（5分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝ ．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； （2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ＝AB ，E 为PB 的中点． （1）若过C ，D ，E 的平面交P A 于点F ，求证：F 为P A 的中点； （2）若平面P AB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥P A ．20．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +ax 2﹣1，且f '（1）＝﹣1． （1）求a 的值；（2）若对于任意x ∈（0，+∞），都有f （x ）﹣mx ≤﹣1，求m 的最小值．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ． （1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|． （1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围．2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}【解答】解：∵A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∴A ∩B ＝{3，4}． 故选：C ．2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【解答】解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴a +bi ＝﹣（﹣i ）＝i ， ∴a ＝0，b ＝1， ∴a +b ＝1， 故选：D ．3．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，所以821=C n 1×C 10−n3C 104，所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝480，（n ∈N *） 解得n ＝4． 故选：C ．4．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．20【解答】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于01至50中间，含端点， 则这四个数为：41、48、28，19， 故选：B ．5．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（136，72]B ．（72，256]C ．（256，112] D ．（112，376]【解答】解：f （x ）＝2sin （ωx −π3）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx −π3）＝﹣1得ωx −π3=−π6+2k π，或ωx −π3=7π6+2k π， ∴x =π6ω+2kπω，或x =3π2ω+2kπω，k ∈Z ，设直线y ＝﹣1与y ＝f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω，∵方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即3π2ω+2πω＜π≤π6ω+4πω，解得72＜ω≤256．故选：B．6．（5分）已知数列{a n}是等比数列，函数y＝x2﹣5x+3的两个零点是a1、a5，则a3＝（）A．1B．﹣1C．±√3D．√3【解答】角：由韦达定理可知a1+a5＝5，a1•a5＝3，则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，且a32=a1⋅a5=3∴a3=√3，故选：D．7．（5分）曲线y＝sin x﹣2cos x在点（π，2）处的切线方程为（）A．x+y﹣π﹣2＝0B．x﹣y﹣π+2＝0C．2x+y﹣π+2＝0D．2x﹣y﹣π﹣2＝0【解答】解：因为y＝sin x﹣2cos x，所以y′＝cos x+2sin x，则当x＝π时，y′＝﹣1，又因为x＝π时，y＝2，故曲线在（π，2）处的切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣π），整理得x+y ﹣2﹣π＝0，故选：A．8．（5分）已知直线l和平面α，若直线l在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l′和l（）A．垂直B．平行C．异面D．相交【解答】解：当直线l与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．当直线l与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．不管直线l与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线l ′垂直， 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A 正确． 故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣1【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝2+22+23+…+22019的值， 由于S ＝2+22+23+…+22019=2(1−22019)1−2=22020﹣2．故选：C ． 10．（5分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√3【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F （2，0），可得c ＝2．双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则2×b2a =2√2，又c 2＝a 2+b 2，联立解得：a ＝b =√2． 则双曲线的离心率=ca =√2． 故选：C ．11．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）【解答】解：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1＜0”，故命题p 为假命题； 如图，函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，故命题q 为真命题． ∴p ∧q 、￢q 、p ∧（￢q ）为假命题；p ∨q 为真命题． 故选：B ．12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：（1）∵f 1（x ）=2aπarctan x 的定义域为R ，∵−π2＜arctan x ＜π2，∴f 1（x ）的值域为（﹣a ，a ），∵f 1（x ）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f 1（x ）是S 函数， （2）f 2（x ）=ax|x|x 2+1的定义域为R ，∵﹣1＜x|x|x 2+1＜1，∴f 2（x ）的值域是（﹣a ，a ），∵f 2（﹣x ）=−ax|x|x 2+1=−f 2（x ），∴f 2（x ）是奇函数， 当x ＞0时，f 2（x ）=ax 2x 2+1=a −ax 2+1，∵a ＞0，∴f 2（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 2（x ）是S 函数．（3）由解析式可知f 3（x ）的定义域为R ，当x ＞0时，a −1x ＜a ，当x ＜0时，﹣a −1x ＞−a ，∴f 3（x ）的值域是R ，不符合条件③，∴f 3（x ）不是S 函数．（4）f 4（x ）的定义域为R ，∵2x −12+1=1−22x +1，2x ＞0，∴﹣1＜2x−12x +1＜1，∴f 4（x）的值域是（﹣a ，a ）．f 4（﹣x ）＝a •2−x −12−x +1=a •1−2x 1+2x=−f 4（x ）．∴f 4（x ）是奇函数．∵f 4（x ）＝a （1−22x+1），∴f 4（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 4（x ）是S 函数． 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝ −32． 【解答】解：∵向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）， ∴a →−2b →=(3−2m ，−4)， ∵（a →−2b →）∥b →，∴﹣4m ＝3﹣2m ， ∴m =−32． 故答案为：−32．14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝ 120 ． 【解答】解：由a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），知数列{a n }是公差为2的等差数列， 由S 10＝10，得10a 1+10×9d 2=10，即a 1+92d =1， a 2+a 4+a 6+…+a 20=10(a 1+d)+(10×9)2d2＝10a 1+100d =10a 1+45d +55d =10(a 1+92d)+55d ＝10+55×2＝120． 故答案为：120． 15．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝ −12 ．【解答】解：椭圆的离心率为√22，可得e =c a =√1−b22=√22，可得b 2a 2=12，设P （s ，t ），M （m ，n ），N （﹣m ，﹣n ），可得m 2a 2+n 2b 2=1，s 2a 2+t 2b 2=1，相减可得(m−s)(m+s)a +(n−t)(n+t)b =0，即有n−t m−s •n+tm+s=k 1k 2=−b 22=−12．故答案为：−12．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为56V ．【解答】解：∵三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，∴S 四边形BCFE ＝S △SBC ﹣S △SEF =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×SE ×SF ×sin∠BSC =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×12SB ×13SC ×sin∠BSC =56（12×SB ×SC ×sin∠BSC ）=56S △SBC ，设点A 到平面SBC 的距离为h ， 则三棱锥S ﹣ABC 的体积： V =13×S △SBC ×ℎ，∴四棱锥A ﹣BCFE 的体积：V A ﹣BCFE =13×S 四边形BCFE ×ℎ=13×56S △SBC ×h =56V ． 故答案为：56V ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为1﹣（0.025﹣0.015×2+0.010+0.005）×10＝0.3．补全的频率分布直方图如图所示．（2）众数为：70+802=75，设中位数为x ，则0.1+2×0.15+(x −70)×0.03=0.5⇒x =7313．抽取学生的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71（分），所以可估计这次考试的平均分为71分．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； （2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）∵23cos 2A +cos2A ＝23cos 2A +2cos 2A ﹣1＝0， ∴cos 2A =125，又∵A 为锐角，cosA =15， 而a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即b 2−125b −13=0， 解得b ＝5（舍负），∴b ＝5； （2）方法一：（正弦定理）由正弦定理可得b +c =2(sinB +sinC)=2(sinB +sin(2π3−B))=2√3sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B +π6＜5π6， ∴12＜sin(B +π6)≤1， ∴b +c ∈(√3，2√3]． 方法二：（余弦定理）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A 可得b 2+c 2﹣3＝bc ， 即(b +c)2−3=3bc ≤34(b +c)2，∴b+c≤2√3，又由两边之和大于第三边可得b+c＞√3，∴b+c∈(√3，2√3]．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A＝AB，E为PB的中点．（1）若过C，D，E的平面交P A于点F，求证：F为P A的中点；（2）若平面P AB⊥平面PBC，求证：BC⊥P A．【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以，CD∥AB，又AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面P AB＝EF，所以CD∥EF，…………………（2分）所以AB∥EF，又在△P AB中，E为PB的中点，所以，F为P A的中点．（2）因为P A＝AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB，AE⊂平面P AB又平面P AB⊥平面PBC，平面P AB∩⊥平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，所以AB⊥BC，AE∩AB＝A，AB，AE⊂平面P AB，所以，BC⊥平面P AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥P A．20．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣1，且f'（1）＝﹣1．（1）求a的值；（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．【解答】解：（1）对f（x）求导，得f'（x）＝1+lnx+2ax，所以f'（1）＝1+2a＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）由f （x ）﹣mx ≤﹣1，得xlnx ﹣x 2﹣mx ≤0，因为x ∈（0，+∞），所以对于任意x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣x ≤m ． 设g （x ）＝lnx ﹣x ，则g ′(x)=1x −1， 令g '（x ）＝0，解得x ＝1，当x 变化时，g （x ）与g '（x ）的变化情况如下表：x （0，1）1 （1，+∞）g '（x ） + 0 ﹣ g （x ）增极大值减所以当x ＝1时，g （x ）max ＝g （1）＝﹣1，因为对于任意x ∈（0，+∞），都有g （x ）≤m 成立，所以m ≥﹣1， 所以m 的最小值为﹣1．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 【解答】解：（1）由题意知，B （2，4），设A （t ，t 2）， 由OA →⋅OB →=2，得2t +4t 2＝2， 解得：t =12（舍）或t ＝﹣1， ∴A （﹣1，1）；（2）由条件知x 2+(x −14)2=λ2(x 2+y 2)， 把y ＝x 2代入得(1−λ2)y 2+(12−λ2)y +116=0， ∴△=λ2(λ2−34)，当λ＝1时，M 有两个点，当λ=√32时，M 有两个点， 当√32＜λ＜1时，M 点有四个，当λ＞1，M 点有两个， 当0＜λ＜√32，M 点不存在；（3）设B （x 1，x 12），A （x 2，x 22），由题意得：x 1x 2+x 12x 22=2，解得x 1x 2＝﹣2． 设直线AB 的方程为y ＝kx +m ， 联立{y =kx +m y =x 2，得x 2﹣kx ﹣m ＝0， 得x 1x 2＝﹣m ，又x 1x 2＝﹣2，∴m ＝2，则直线经过定点（0，2）， ∴S 四边形OABC ＝S △OAB +S △OBC ＝S △OAB +S △OBF =12×2×(x 1−x 2)+12×14×x 1=98x 1+2x 1≥2√94=3， 当且仅当x 1=43等号成立，四边形OABC 面积最小， ∴B （43，169）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ． （1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．【解答】解：（1）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x tan α得tan θ＝tan α， ∴l 极坐标方程是θ=α(ρ∈R ，π2＜α＜π)． C 1的普通方程是x 2+y 2﹣2ax ＝0， 其极坐标方程是ρ＝2a cos θ； （2）C 1：ρ＝cos θ，C 2：ρ＝2sin θ，将θ＝α分别代入C 1，C 2得|OM |＝﹣cos α，|ON |＝2sin α． ∴2|OM |2+|OM ||ON |＝2cos 2α﹣2cos αsin α =√2sin(π4−2α)+1． ∵π2＜α＜π，∴当α=7π8时，2|OM |2+|OM ||ON |取最大值√2+1． 五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|． （1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得|x ﹣1|+|2x +3|＞4， 当x ≥1时，x ﹣1+2x +3＞4，解得x ≥1； 当−32＜x ＜1时，1﹣x +2x +3＞4，解得0＜x ＜1； 当x ≤−32时，1﹣x ﹣2x ﹣3＞4，解得x ＜﹣2． 可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； （2）由（1）可得|t ﹣1|+|2t +3| ={3t +2，t ≥1t +4，−32＜t ＜1−3t −2，t ≤−32， 可得t =−32时，|t ﹣1|+|2t +3|取得最小值52，关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立， 等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值，由|x +l |﹣|x ﹣m |≤|m +1|，可得|m +1|≥52， 解得m ≥32或m ≤−72．。
2020届湖南师大附中高考数学模拟试卷(三)(含解析)
2020届湖南师大附中高考数学模拟试卷(三)一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={0,1，2}，则A∩B的子集个数为()A. 2B. 3C. 4D. 162.设i为虚数单位，复数2+ii2在复平面上对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“复数为纯虚数”是“”的()A. 充分条件，但不是必要条件B. 必要条件，但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分也不是必要条件4.函数y=sin2(π4+x)−sin2(π4−x)的值域是()A. [−1,0]B. [0,1]C. [−1,1]D. [−12,1] 5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则()A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定6.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于()A. 15B. 35C. 65D. 27.设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则A. 3B. 1C. −1D.8.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A. B. C. D.9.设a⃗，b⃗ ，c⃗均为非零向量，若|(a⃗+b⃗ )⋅c⃗|=|(a⃗−b⃗ )⋅c⃗|，则()A. a⃗//b⃗B. a⃗⊥b⃗C. a⃗//c⃗或b⃗ //c⃗D. a⃗⊥c⃗或b⃗ ⊥c⃗10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交双曲线的左支于点M，交双曲线的右支于点N，且MF2⊥NF2，|MF2|=|NF2|，则该双曲线的离心率是()A. √3B. √2C. √5D. √2+111.在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则这个三角形为()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形12.函数f(x)=cos22x的周期为()A. π4B. π2C. πD. 2π二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.有下列命题：①是函数的极值点；②三次函数有极值点的充要条件是；③奇函数在区间上是递增的；④曲线在处的切线方程为．其中真命题的序号是．14.已知实数x，y满足x2+y2−4x+6y+4=0，则√x2+y2的最小值是______ ．15.函数y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<2π)的图象如图所示，则ω=______ ，φ=______ ．16.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则异面直线AB与CD所成的角______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前9项和为153，且点P(a n,an+1)(n∈N∗)在直线x−y+3=0上．(1)求数列{a n}通项公式：(2)从数列{a n}中，依次取出第2项、第8项、第24项，……，第n·2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n．18.有一批单放机原价为每台80元，两个商场均有销售，为了吸引顾客，两商场纷纷推出优惠政策．甲商场的优惠办法是：买一台减4元，买两台每台减8元，买三台每台减12元，…，依此类推，直到减到半价为止；乙商场的优惠办法是：一律7折．某单位欲为每位员工买一台单放机，问选择哪个商场购买比较划算？19.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边CD的中点，以EB为折痕把△CEB折起，使点C到达点P的位置，且使平面PEB⊥平面ABED．(Ⅰ)证明：PB⊥AE；(Ⅱ)求三棱锥A−PED的体积．20.已知动点M到A(0,1)的距离比它到x轴的距离多1．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点N(2,1)作曲线C的切线L，求切线L的方程，并求出L与坐标轴所围成图形的面积S．21. 已知函数f(x)=ax 2−lnx ，g(x)=12ax 2+x(a ∈R)．(1)当a =12时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设F(x)=f(x)−g(x)，若关于x 的不等式F(x)≥1−ax 恒成立，求整数a 的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =cosϕy =a +sinϕ(a ∈R,φ为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=1，且圆心C 在直线l 上．(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若A(ρ1,π6)是直线l 上一点，B(ρ2,4π3)是圆C 上一点，求△OAB 的面积．23.已知函数f(x)=|x−2a|−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)若f(1)>1，求a的取值范围；(Ⅱ)若a<0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|(y+2020|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A={1,2，3}，B={0,1，2}，∴A∩B={1,2}，A∩B的子集个数n=22=4．故选：C．由交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的子集个数．本题考查交集中子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C=−2−i，解析：解：i为虚数单位，复数2+ii2复数的对应点为：(−2,−1)．复数对应点在第四象限．故选：C．利用复数i的幂运算化简复数的分母，求出复数的对应点即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3.答案：A解析：试题分析：由“复数为纯虚数”，一定可以得出，但反之，不一定，因为，纯虚数要求b不为0.故选A。
2020年5月湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前 炎德·英才大联考湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2020年5月本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（ ） A. (){}1,1B. (){}2,4-C. ()(){}1,1,2,4-D. ∅ 【答案】C【解析】【分析】 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果.【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2. 已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = （ ） A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D【解析】 试题分析：由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 考点：复数的运算.3. 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话人为：甲乙丙丁，不合题意；。
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试(文数)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（文科）本试题卷共5页，全卷满分150分。
考试用时120分钟．一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合}4,3,2,1{=A ,},2|{≤=x x B 则=B A IA ．{}1B ．{}2C ．{}2,1D ．{}4,3,2,1 2．在复平面内，复数iiZ +=1(i 是虚数单位)对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．己知函数⎩⎨⎧≤>=,0,0,log )(23x x x x x f 则()=-)3(f fA ．2-B ．2C ．1-D ．14．某学校对本校高三500名学生的视力进行调查，随 机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直 方图如图所示。
若直方图后四维的频数成等差数列， 则估计高三学生中视力在4.8以上(含4.8)的人数为A ．185B ．180C ．195D ．2005．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=,那么=EFA ．AD AB 3121-B ．AD AB 3221- C ．AD AB 2131+ D ．AD AB 2141+6．函数x ex y |2=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是7．在如图所示的正方形内任取一点M ,其中图中的圆弧为该正方形 的内切圆，和以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径 的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21 B ．12-π C ．21-πD ．22π-8．已知α为锐角，且1)10tan 31(cos =+οα,则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο709．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若n n n S a 2=+,*)(2212N n a a n n b n∈-=++,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．设抛物线x y 42=的焦点为F ,过点)0,2(的直线交抛物线于B A ,两点，与抛物线准线交于点C , 若52==∆∆BCF ACF S S S ,则=BF A ．2B ．3C ．4D ．512．若对),,(,21+∞∈∀m x x 且,21x x <都有2ln ln 121221<--x x x x x x ，则m 的最小值是（注：e 为自然 对数的底数，即......71828.2=e ） A ．e1B ．eC ．1D ．e3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。