概率论与数理统计7.2

1n θ 的极大似然估计量为 θ = ∑ X = X i n i=1 它是θ 的无偏估计量.
1 n θ2 D(θ ) = D( ∑Xi ) = n i=1 n
而 ln f (x,θ ) = lnθ
2
x
2
Ch7-64
θ
ln f (x,θ ) = 1 + x θ θ θ2

ln f ( X,θ ) = E 1 + X = 1 E θ θ2 θ2 θ 2 1 θ = = D(X ) 2 ln f ( X,θ ) n nE θ
1 n k 1 n k E( Ak ) = E( ∑Xi ) = ∑E( Xi ) n i=1 n i=1 1 = n k = k n
Ch7-49
特别地 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
1 2 样本二阶原点矩 A2 = ∑Xi 是总体 n i=1
n
二阶原点矩 2 = E( X ) 的无偏
Ch7-53
1 2 故 (n n) p = ∑Xi X m i=1
2 2
m
因此, p 2 的无偏估计量为
1 1 m 2 p = 2 ∑Xi X n n m i=1
1 ∑Xi (Xi 1) m i=1 = n(n 1)
m
∧ 2
例4 设总体 X 的密度函数为
Ch7-54
x 1 θ x > 0, e f (x;θ ) = θ θ > 0 为常数 0 x ≤0 ( X1, X2 ,, Xn ) 为 X 的一个样本 θ 证明 X 与 n min{ X1, X2 ,, Xn}都是 的无偏
1 n 1 n 2 2 2 证 前已证 ∑( Xi X ) = ∑Xi X n i=1 n i=1
E( Xi ) = E( X ) = , D( Xi ) = D( X ) = σ 2 σ E( X ) = E( X ) = , D( X ) =
n
2
Ch7-51
因而
1n 1n 2 2 2 E ∑( Xi X ) = ∑E( Xi ) E( X ) n i=1 n i=1 2 σ 2 2 2 = (σ + ) ( + ) n n 1 2 2 = σ ≠σ n 1 n 2 2 故 E ∑( Xi X ) = σ 证毕. n 1 i=1
=1 P( X1 > z)P( X2 > z)P( Xn > z)
Ch7-56
有效性
定义 设 θ1 =θ1( X1, X2 ,, Xn )
θ2 =θ2 ( X1, X2 ,, Xn )
都是总体参数θ 的无偏估计量, 且
D(θ1) < D(θ2 )
则称 θ1比 θ2更有效.
Ch7-57
Ch7-70
智商 组别
人数
智商平均数
样本标准差
甲组 乙组
n 6
46
x 78
99
s
19 16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大? 提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题
2
n 所以, X 比n m X1, X2 ,, Xn}更有效. in{
Ch7-58
例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )=σ 2
( X1, X2 ,, Xn )为总体 X 的一个样本
n 1 (1) 设常数 ci ≠ i =1,2,, n. ∑ci =1. n i=1 n 证明 1 = ∑ci Xi 是 的无偏估计量
Ch7-46
§7.2 点估计的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得 到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 用何标准来评价一个估计量的好坏? (1) 无偏性 常用 标准 (2) 有效性 (3) 一致性
Ch7-47
无偏性 定义
∑(c
2 i
+ c ) = n∑c
2 j i=1
n
2 i
1 ∑c > n i=1
2 i
n
1 2 D() = σ < D(1) n
结论
算术均值比加权均值更有效. .
Ch7-60
例如 X ~ N( ,σ 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
2 1 1 = X1 + X2 3 3 1 3 2 = X1 + X2 4 4 1 1 3 = X1 + X2 2 2
i=1
(2) 证明 = X 比 1 = ∑ci Xi 更有效
i=1
n
证 (1) E(1 ) = ∑ci E( Xi ) = ∑ci =
i=1 i=1
n
n
(2) 而
D(1 ) = ∑c D( Xi ) = σ
i=1 2 i
n
2
∑c
i=1
n
Ch7-59
2 i
< ∑c +
i=1 2 i
n
1≤i< j≤n
求θ 的极大似然估计量, 并判断它是否达到 方差下界的无偏估计量. 解 由似然函数
L(θ ) = 1
θ
e n
i=1
∑xi
θ
n
ln L(θ ) = nlnθ i=1
∑xi
n
θ
∑xi 令 d n i=1 ln L(θ ) = + 2 =0 dθ θ θ
n
Ch7-63
1n θ = ∑xi = x n i=1
例5 设总体 X 的密度函数为
1 e f (x;θ ) = θ 0
x
θ
x > 0, x≤0
θ > 0 为常数
in{ 由例4可知, X 与 n m X1, X2 ,, Xn} 都 4 ,
是θ 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？
θ ， 2 解 D( X ) = D(nmin{X1, X2 ,, Xn}) =θ
Ch7-52
例3 设 ( X1, X2 ,, Xm ) 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n > 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质, 只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样 , 本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令 X = E( X ) = np 1 m 2 2 2 ∑Xi = E(X ) = (np) + np(1 p) m i=1
2
估计量
Ch7-50
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X1, X2 ,, Xn ) (n > 1) . 证明
1 n 2 2 (1) Sn = ∑( Xi X ) 不是 D( X )的无偏估量; n i=1
1 n S2 = ( Xi X )2是 D( X ) 的无偏估计量. (2) ∑ n 1 i=1
当 D(θ) = D0 (θ ) 时, 称 θ 为达到方差下界的 无偏估计量, 此时称 θ 为最有效的估计量, 简称有效估计量.
例7 设总体 X 的密度函数为
x 1 θ e f (x;θ ) = θ 0
Ch7-62
x > 0, x ≤0
θ > 0 为常数
(x1, x2 ,, xn ) 为 X 的一个样本值.
2
故X 是达到方差下界的无偏估计量.
定义
一致性 设 θ = θ( X1, X2 ,, Xn ) 是总体参数θ
Ch7-65
的估计量. 若对于任意的θ ∈ Θ , 当n→ ∞时,
θ 依概率收敛于θ , 即 ε > 0, lim P(θ θ ) ≥ ε ) = 0
n→∞
则称θ 是总体参数θ 的一致(或相合)估计量.
若 E(θ ) =θ 则称 θ是θ 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
Ch7-48
例1 设总体X 的 k 阶矩 k = E( X )存在 ( X1, X2 ,, Xn ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n k 则 Ak = ∑Xi 是 k 的无偏估计量. . n i=1 证 由于 E( Xik ) = k i = 1,2,, n 因而
作业 P.231 习题七 15 18 16 20
补充题 设总体 X ~ N ( ,σ 2), ( X1, X2 ,, Xn ) 为 X 的一个样本,常数 k 取 何值可使 k∑| Xi X | 为σ 的无偏估计量
i=1 n
Ch7-69
第十四周
问 题
母亲嗜酒是否影响下一代的健康
美国的Jones医生于 医生于1974年观察了母 美国的 医生于 年观察了母 亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七 亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的 名七 岁儿童（称为甲组） 以母亲的年龄 以母亲的年龄， 岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文 化程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲 化程度及婚姻状况与前 名儿童的母亲 相同或相近， 但不饮酒的46名七岁儿童 相同或相近 ， 但不饮酒的 名七岁儿童 为对照租(称为乙组 称为乙组). 为对照租 称为乙组 测定两组儿童的智 结果如下： 商，结果如下：
Ch7-67
1 θ e 例8 X ~ f (x;θ ) = θ 0
x
x > 0, x≤0
θ > 0 为常数
则 X 是θ 的无偏、有效、一致估计量. 证 由例7 知 X 是θ 的无偏、有效估计量.
lim D( X ) =lim
n→∞
θ
2
n→∞
n
=0
所以 X 是 θ 的一致估计量, 证毕.