上体馆中心五年级讲义列方程解应用题行程问题
五年级奥数行程问题列方程解行程问题
五年级奥数行程问题列方程解行程问题xx年xx月xx日•行程问题概述•相遇问题•追及问题目录•环行跑道问题•过桥问题•复杂行程问题综合分析01行程问题概述行程问题是指在运动过程中，涉及速度、时间、距离之间相互关系的问题。
在行程问题中，通常会涉及到两个或多个物体或人在同一条路线上相对或同向运动。
1 2 3物体或人在同一直线上运动，涉及相遇、追及、超越等问题。
直线型行程问题物体或人在圆形、椭圆形等曲线上运动，涉及最短路径、周长等问题。
曲线型行程问题结合直线和曲线型行程问题，涉及更复杂的运动关系和条件。
综合型行程问题明确题目中涉及的物体或人，以及他们之间的运动关系。
确定研究对象根据题目描述，建立行程问题的方程或不等式模型。
建立数学模型通过数学计算，求解方程或不等式的解，得到所需的结果。
解方程或不等式行程问题的解题思路02相遇问题相遇问题是指两个或多个物体（通常为运动物体）从不同的地点同时出发，在某一点相遇的数学问题。
相遇问题的基本要素包括：物体的数量、出发的时间、地点、速度、相遇的地点等。
相遇问题的定义1相遇问题的解题思路23确定物体的数量和它们的运动性质（同时同向或同时反向）。
确定物体出发的时间和地点，以及相遇的地点。
运用速度、时间、距离之间的关系，列出方程并求解。
相遇问题的实例解析•问题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时后相遇。
甲的速度是10千米/小时，乙的速度是8千米/小时。
求A、B两地的距离。
•分析：甲和乙两人同时出发，相向而行，所以他们的相对速度是两者速度之和，即10千米/小时 + 8千米/小时 = 18千米/小时。
经过4小时后相遇，所以A、B两地的距离就是甲和乙两人相对速度乘以相遇时间。
•解法•设A、B两地的距离为x千米。
•根据题意，甲和乙两人相对速度为18千米/小时，相遇时间为4小时。
•则有方程：x = 18 × 4•解得：x = 72千米•答案：A、B两地的距离为72千米。
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精锐教育 1 对 3 辅导讲义学员姓名：学科教师：李慧杰年级：五年级辅导科目：数学授课日期时间8： 00-10:00主题列方程解应用题（二）1．复习行程问题，强化解应用题的能力；学习目标2．练习用方程方法解决行程问题．教学内容（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。
（二）上次课预习思考内容1.一般来说，行程问题会牵涉到“速度”、“时间”、“路程”这三个数量，关键的数量关系为：×=速度×时间 =路程2.这个公式又可以演变为：“速度和×时间＝”、“速度差×时间＝”路程和，路程差3.相遇问题：相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度和× 相遇时间＝相遇路程4.追击问题：同向而行同时出发到相遇（即追击）时，甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度差× 追击时间＝追击路程这部分如果学校进度慢，学生没有理解可以举一些例子，通过画图让学生理解基本公式的含义例 1.甲、乙两地的公路长164 千米，小明和哥哥骑自行车同时从这两地出发，相向而行，小明每小时行11千米，哥哥每小时行14 千米，行车途中，小明修车耽误 1 小时，然后继续行驶直到相遇。
从出发到相遇经过几小时教法：先分析是相遇问题还是追及问题，教学生找关键词“相遇”，引导学生画线段图分析，注意时间耽误1小时的处理。
答案： 7 小时试一试：小明和小光从相距2100 米的两地相向出发，小明每分钟走70 米，小光每分钟走80 米，那么他们几分钟后可以相遇答案： 12 分钟例 2. A、B两地相距960 千米，甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出， 6 小时后两车相遇；已知甲车的速度是乙车的倍。
求甲、乙两车的速度各是多少答案：甲的速度是96 km/h ，乙车的速度是64 km/h。
试一试： A、 B 两地相距230 千米，甲队从 A 地出发两小时后，乙队从 B 地出发与甲相向而行，乙队出发20小时后与甲队相遇，已知乙的速度比甲的速度每小时快 1 千米，求甲、乙的速度各是多少答：甲队的速度是 5 km/h ，乙队的速度是 6 km/h .例 3.骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450 米处，行人每分钟步行60 米，两人同时出发， 3 分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米答案： 210 米追击问题如果学生理解不好，可以画线段图找等量关系试一试：甲、乙两人驾车自 A 地出发同向而行，甲先出发，半小时后乙以80km h 的速度追赶甲。
五年级解方程的应用题
五年级解方程的应用题一、购物问题。
1. 小明去商店买文具，一支钢笔的价格是x元，一个笔记本的价格是3元。
他买了2支钢笔和3个笔记本，一共花了25元。
求钢笔的单价是多少？解析：根据题意可列出方程2x + 3×3=25，先计算3×3 = 9，方程变为2x+9 = 25。
然后方程两边同时减去9，得到2x=25 9，即2x = 16。
最后方程两边同时除以2，解得x = 8元。
2. 妈妈买了5千克苹果和3千克香蕉，苹果每千克x元，香蕉每千克4元，一共花了38元。
苹果每千克多少元？解析：可列方程5x+3×4 = 38，先算3×4 = 12，方程变为5x + 12=38。
方程两边同时减去12，得到5x=38 12，即5x = 26。
解得x=(26)/(5)=5.2元。
二、行程问题。
3. 一辆汽车从A地开往B地，速度是每小时x千米，3小时后行驶了180千米。
求汽车的速度是多少？解析：根据路程 = 速度×时间，可列出方程3x = 180。
方程两边同时除以3，解得x = 60千米/小时。
4. 甲、乙两人分别从相距240千米的两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时x千米，乙的速度是每小时30千米，经过3小时两人相遇。
求甲的速度是多少？解析：根据路程 = 速度和×相遇时间，可列方程(x + 30)×3=240。
先计算括号内x+30，方程变为3x+90 = 240。
方程两边同时减去90，得到3x = 240 90，即3x = 150。
解得x = 50千米/小时。
三、倍数问题。
5. 一个数的3倍加上5等于20，求这个数。
设这个数为x。
解析：根据题意列方程3x+5 = 20。
方程两边同时减去5，得到3x=20 5，即3x = 15。
解得x = 5。
6. 甲数是乙数的4倍，甲数比乙数多30，设乙数为x，求乙数是多少？解析：因为甲数是乙数的4倍，所以甲数为4x。
【五年级下册数学】04-列方程解应用题(行程问题)-教师-徐汇
列方程解应用题（行程）【教学目标】1．会解决两个物体运动的简单实际问题。
2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。
3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。
4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。
【教学重点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学难点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学过程】解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。
1．相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程( v1 + v2 ) ×t相遇= s相遇2. 追及问题：速度差×追及时间=相差路程( v1 - v2 ) ×t追及= s追及【例题精讲】【例1】甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．（1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？（2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？（3）若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？（4）若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？解：（1）360÷（72+48）=3小时（2）（360-72×6025）÷（72+48）=2.75小时 （3）360÷（72-48）=15小时（4）（720-360）÷（72-48）=15小时【例2】 甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求甲、乙的时速各是多少？解：设乙每小时速度为x 千米/时652)5.2(=⨯++x x解得：15=x【例3】 一架飞机在两城之间飞行，风速为20千米/小时 ，顺风飞行需2小时30分，逆风飞行需要3小时。
五年级下册数学教案-3.2 列方程解应用题(四)-行程问题复习课 ▏沪教版
五年级下册数学教案-3.2 列方程解应用题（四）-行程问题复习课▏沪教版教学内容本节课将复习行程问题，重点在于如何利用列方程的方法解决实际问题。
我们将回顾和深化对速度、时间和距离之间关系的理解，并学习如何建立方程来求解未知量。
教学目标1. 理解并掌握速度、时间和距离的基本概念及其关系。
2. 学会通过实际问题抽象出数学模型，建立并解方程。
3. 能够运用所学的知识解决行程相关的实际问题。
教学难点1. 抽象实际问题为数学模型的能力。
2. 正确建立和解方程的技巧。
3. 理解速度、时间和距离在不同行程问题中的变化和关系。
教具学具准备1. 教学多媒体设备（用于展示问题和示例）。
2. 白板和笔（用于板书和演示）。
3. 练习题和工作表（用于学生练习）。
教学过程第一阶段：导入与回顾- 利用实际问题引入行程问题，激发学生兴趣。
- 快速回顾速度、时间和距离的定义及关系。
第二阶段：问题分析与方程建立- 分析具体行程问题，引导学生理解问题的核心。
- 指导学生如何从问题中抽象出数学模型。
- 逐步建立和解方程，解决实际问题。
第三阶段：练习与应用- 分发练习题，让学生独立完成。
- 选出典型问题，全班讨论和解答。
- 鼓励学生提出自己的行程问题，并尝试解决。
第四阶段：总结与反思- 对本节课所学内容进行总结。
- 鼓励学生分享学习心得和问题解决策略。
- 提醒学生注意行程问题在现实生活中的应用。
板书设计板书将包括以下内容：1. 速度、时间和距离的定义及关系公式。
2. 解题步骤：问题分析、模型抽象、方程建立与求解。
3. 典型例题及其解答过程。
4. 学生练习题的答案及解析。
作业设计作业将包括：1. 基础练习题，巩固速度、时间和距离的关系。
2. 应用题，要求学生独立建立方程并解答。
3. 挑战题，鼓励学生探索更复杂的行程问题。
课后反思本节课后，教师应反思教学效果，包括学生对速度、时间和距离概念的理解程度，以及他们建立和解方程的能力。
同时，应关注学生在解决实际问题时遇到的困难，并考虑如何在未来的教学中加以改进和辅助。
小学五年级奥数讲义之精讲精练第31讲 行程问题(四)含答案
第31讲行程问题（四）一、专题简析：通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和（2）相背而行：相背距离=速度×时间（3）同向而行：追及时间=追及距离÷速度差如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。
解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。
二、精讲精练例1甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米。
整修路面的一段路长多少千米？1、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时。
途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。
已知汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小时行55千米。
汽车在高速公路上行驶了多少千米？2、小明家离体育馆2300米，有一天，他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛。
出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定迟到，他马上改用每分钟180米的速度跑步前进，途中共用15分钟，准时到达了体育馆。
问：小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的？例2 客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米。
两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。
甲、乙两站间的路程是多少千米？1、乙、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。
快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。
两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。
求甲、乙两地间的路程。
2、甲、乙两地相距216千米，客货两车同时从甲、乙两地相向而行。
已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，到达对方出发点后立即返回。
五年级奥数行程问题(三)列方程解行程问题
，乙每分钟走45米。经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处？
2，东、西两镇相距60千米。甲骑车行完全程要4小时，乙骑车行完全程要5小时。现在两人 同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？
3，老师今年32岁，学生今年8岁。再过几年老师的年龄是学生的3倍？
例4： 快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。途中快车 因故停留3小时，结果两车同时到达B地。求A、B两地间的距离。
分析与解答：
因为这位同学在前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，所以前一半时间所跑的 路程一定大于半圈180米，即在跑前半圈时的速度都是每秒5米，跑前半圈要用180÷5=36秒 。如果再求出跑一圈的时间，就能求出跑后半圈的时间了。为了方便计算，我们假设他按题 中跑法跑了2圈。
解：设跑一圈用X秒，则跑二圈共跑720米。 5X＋4X=720 解得 X=80 80－36=44（秒） 答：他后一半路程用了44秒。
五年级奥数行程问题(三)列方 程解行程问题
专题分析：
很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。 方程解答行程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟 悉的数量关系。因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知 数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。
好好学习
解：设乙车开出X小时和甲车相遇。
38×（X＋0.5）＋42X=259
解得
X=3
答：乙车开出3小时后和甲车相遇。
练习一
1，甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小时行58千米。1小时后，货车从乙地开出，每 小时行62千米。货车开出几小时后与客车相遇？
五年级下册数学教案-3.2 列方程解应用题(四)-行程问题—相向 ▏沪教版
五年级下册数学教案-3.2 列方程解应用题（四）-行程问题—相向▏沪教版教学内容本节课是沪教版五年级下册数学的第三章第二节，主要内容包括行程问题的解法，特别是相向而行的行程问题。
学生将学习如何建立方程来描述和解决这类问题，并理解速度、时间和距离之间的关系。
教学目标1. 理解并掌握行程问题的基本概念，包括速度、时间和距离。
2. 学会建立方程来解决相向而行的行程问题。
3. 能够运用所学的知识和技能解决实际问题。
教学难点1. 建立方程：学生需要理解如何将问题转化为数学表达式，并建立相应的方程。
2. 方程求解：学生需要掌握求解方程的方法和技巧，特别是涉及到速度、时间和距离的方程。
教具学具准备1. 教师准备：黑板、粉笔、教学PPT。
2. 学生准备：笔记本、铅笔、橡皮。
教学过程1. 导入：通过实际问题引入行程问题的概念，让学生了解行程问题的背景和意义。
2. 讲解：详细讲解行程问题的基本概念，包括速度、时间和距离的定义和关系。
3. 演示：通过示例演示如何建立方程来解决相向而行的行程问题，并展示解题过程。
4. 练习：让学生进行练习，解决一些类似的行程问题，巩固所学知识和技能。
5. 讨论与总结：通过讨论和总结，让学生加深对行程问题的理解，并总结解题的方法和技巧。
板书设计1. 板书五年级下册数学教案-3.2 列方程解应用题（四）-行程问题—相向2. 板书内容：包括行程问题的基本概念、方程的建立和解法、示例和练习题目。
作业设计1. 基础作业：完成练习册上的行程问题题目，巩固所学知识和技能。
2. 拓展作业：通过阅读相关资料或进行实际观察，了解行程问题在实际生活中的应用。
课后反思本节课通过讲解和练习，让学生掌握了行程问题的基本概念和解法，特别是相向而行的行程问题。
在教学过程中，我注重了学生的参与和实践，通过示例和练习让学生深入理解并掌握了所学的知识和技能。
在课后反思中，我认为可以在以下方面进行改进：1. 引入更多实际生活中的例子，让学生更好地理解行程问题的背景和意义。
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精锐教育1对3辅导讲义
学员姓名：学科教师：李慧杰
年级：五年级辅导科目：数学
授课日期时间8：00-10:00
主题列方程解应用题（二）
1．复习行程问题，强化解应用题的能力；
学习目标
2．练习用方程方法解决行程问题．
教学内容
（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。
（二）上次课预习思考内容
1. 一般来说，行程问题会牵涉到“速度”、“时间”、“路程”这三个数量，关键的数量关系为：
× =
速度×时间=路程
2. 这个公式又可以演变为：“速度和×时间＝”、“速度差×时间＝”
路程和，路程差
3. 相遇问题：相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度和× 相遇时间＝相遇路程
4. 追击问题：同向而行同时出发到相遇（即追击）时，甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度差× 追击时间＝追击路程
这部分如果学校进度慢，学生没有理解可以举一些例子，通过画图让学生理解基本公式的含义
例1. 甲、乙两地的公路长164千米，小明和哥哥骑自行车同时从这两地出发，相向而行，小明每小时行11千米，哥哥每小时行14千米，行车途中，小明修车耽误1小时，然后继续行驶直到相遇。
从出发到相遇经过几小时
教法：先分析是相遇问题还是追及问题，教学生找关键词“相遇”，引导学生画线段图分析，注意时间耽误1小时的处理。
答案：7小时
试一试：小明和小光从相距2100米的两地相向出发，小明每分钟走70米，小光每分钟走80米，那么他们几分钟后可以相遇
答案：12分钟
例2. A、B两地相距960千米，甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出，6小时后两车相遇；已知甲车的速度是乙车的倍。
求甲、乙两车的速度各是多少
答案：甲的速度是96 km/h，乙车的速度是64 km/h 。
试一试：A、B两地相距230千米，甲队从A地出发两小时后，乙队从B地出发与甲相向而行，乙队出发20
试一试：一架飞机飞行于两城之间顺风需要 6 小时 30 分，逆风时需要 7 小时，已知飞机的速度是每小时702 千米，求两城之间的距离是多少千米
答案：4732km
※例8. 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米
答案：260km
试一试：甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
答案：2km。
※例9. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离。
解析：AB相距3*3-2=7km。
2000、2001次相遇分别走了3999、4001个全程，其中甲走了11997km、12003km 即1713个全程余6km，1714个全程余5km，所以相距5-（7-6）=4km。
答案：4km
1．两辆汽车同时从相距476千米的甲乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，经4小时后两车相遇。
另一辆汽车每小时行多少千米
答案：63 km/h
2. 甲乙两人相距100米，甲在前每秒跑3米，乙在后每秒跑5米。
两人同时出发，同向而行，几秒后乙能追上甲
答案：50秒
3. 甲、乙两辆火车相向而行，甲车的速度是乙车速度的5倍还快20km/h，两地相距298km，两车同时出发，半小时后相遇。
两车的速度各是多少
答案：甲车速度500km/h，乙车速度96km/h
4. 姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远
答案：750米
5. 骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。
如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进
答案：12千米/小时
6. 两列客车从A、B两地相向而行，甲车每小时行30千米，乙车每小时行25千米。
两车几小时以后在离中
点10千米的地方相遇
答案：4 h
7. 轮船上所带燃料最多可以用9小时，顺水是轮船每小时行15千米，逆水时轮船每小时行12千米，轮船最多行多少千米就要往回开
答案：60km
1．解放军某小分队以每小时6千米的速度到达某地执行任务。
在出发5小时后，通讯员骑摩托车以每小时56千米的速度追赶他们，几小时可以追上
答案：小时
2．甲镇与乙镇相距138千米，张王二人骑自行车分别从两镇同时出发相向而行。
张每小时行13千米，王每小时行12千米，王在途中因修车耽误1小时，然后继续行进。
求从出发到相遇经过几小时
答案：6小时
3．甲、乙两地相距300km，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40km，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80km，已知慢车先行，快车再开出，问快车开出多长时间与慢车相遇
答案：2小时
4．两列客车从A、B相向而行，甲车每小时行30千米，乙车每小时行25千米。
相遇时，甲比乙多行15千米，求A、B两地相距多少千米
答案：165km
5．王平要从甲村走到乙村。
如果他每小时走4千米，那么走到预定时间，离乙村还有千米;如果他每小时走5
千米，那么比预定时间少用半小时就可到达乙村。
求预定时间是多少小时甲村到乙村的路程是多少千米
答案：
6．甲、乙两人生产同一种零件，甲每天生产30个，乙每天生产24个，当乙生产这种零件3天后，甲开始工作，求甲工作几天后产量可赶上乙
答案：12天
我国的一部古书《唐阙史》里记载了这么一件事。
唐代有位尚书叫杨损，有学问，会算学，任人唯贤。
一次，朝廷要在两个小官吏中提拔一个做大官，因为这两个人情况不相上下，所以负责提升工作的官吏感到很为难，便去请示杨损。
杨损咯加考虑便说:"一个官员应该具备的一大技能就是会速算，让我出题考考他们。
谁算得快，就提升谁。
"两个小官吏被召来后，杨损出了一题: "有人在林中散步，无意中听到几个强盗在商讨如何分赃。
他们说，如果每人分6匹布，则余5匹;每人分7匹布，则少8匹。
试问共有几个强盗几匹布"
听过题目后，一个小吏很快就算出了答案。
他被提升了。
那个没有得到提升的小吏也很服气。
那么答案是多少呢
现在老师就是那位尚书大人，你们是那些小官吏，有谁能够很快算出来就能有奖励哦！！
答案：13个强盗，83匹布
如果学生思考不出来教师可以提示，如何寻找等量关系
解决盈亏问题要抓住两次分组之间的差别，通过总量剩余的差别和每组数量的差别先算出组数，然后再来确。