几类数列典型例题分析2013.10

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数列问题常见题型剖析

数列问题常见题型剖析（甘肃省岷县岷州中学常全全）数列是高中数学的重要组成部分之一，涉及的知识面较广，包含着一些重要的数学思想方法，，在现实生活中也有广泛的应用。

可以和函数，不等式，平面向量，极限等知识结合进行考查，所以数列的综合性问题较多，掌握数列知识对高中数学在整体上的理解有很大的帮助。

数列在高考中所占的分值较大，而且每年必考。

我对近几年的高考数学试题进行了收集，归纳了在高考中常见的数列问题，并对这些问题做了分析之后，总结出了以下一些解决的基本方法。

现将其列举如下：1，常见的数列求和问题的基本方法（1）裂项法：当一个数列的各项裂开成几项的和或差之后，相邻的两项或者几项存在可以相互可以抵消的部分时，可以采用裂项的方法对此数列进行求和运算。

例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()11n a n n =+，求n S ; 解析：123n n S a a a a =++++ ()11121223341n n =++++⨯⨯⨯+ 11111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111223341n n =-+-+-++-+ 1111n n n =-=++ 评析：本题是一道非常典型的裂项求和问题，在这道题的基础上，我们可以将其进行拓应用，从而求更多一些其他的裂项求和问题。

例如：()()211=1111n a n n n n =--+-+. ()()()()()()()1111211212n b n n n n n n n ==-++-++-+ 注：在裂项法求和时，要特别注意前面几项与后面几项的剩余部分是那些，必须要做到不漏掉任何一项。

（2）分组求和法：当一个数列的通项是由几种具有不同类型的数列通项相加组合而成时，可以采用分组的方法对此数列进行求和。

例2：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2nn a n =+，求n S ; 解析：123n n S a a a a =++++()()()()1221222322n n =++++++++ ()()1231232222n n =++++++++()()2121212n n n -+=+-()11222n n n ++=+- 评析：在本题中前一部分是等差数列，后一部分是等比数列，所以将其进行了分组求和。

专题100：数列基础知识与典型例题(解析版)

专题100：数列基础知识与典型例题（解析版）一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．1．已知数列{}n a 满足125a =，且对任意*n N ∈，都有11422n n n n a a a a +++=+，那么4a 为（）A ．17B ．7C ．110D ．10【答案】A 【分析】依次计算出234,,a a a 的值. 【详解】化简可得1232n n n a a a +=+，则214a =，3211a =，417a =.故选：A2．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【答案】A 【分析】依次计算前几项可知数列的周期性. 【详解】∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+， 2018212a a ∴==，故选：A.3．已知数列{a n }，a n-1=ma n +1(n>1)，且a 2=3，a 3=5，则实数m 等于（） A ．0 B ．2 5C ．2D ．5【答案】B 【分析】直接由a 2=3，a 3=5代入求解即可. 【详解】由题意，得a 2=ma 3+1，即3=5m+1，解得m=25. 故选：B.4．已知数列{a n }，a 1=1，a n+1=12a n +12n ，则该数列的第3项等于（） A ．1 B ．14 C ．34D ．58【答案】C 【分析】根据递推关系先求出2a ，即可求出3a . 【详解】11111,22n n n a a a +==+，21322111131,22224a a a a =+∴=+==.故选：C.5．若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n ，则数列{a n }的各项中最大项是（） A ．第4项 B ．第5项C ．第6项 .D ．第7项【答案】C 【分析】直接将通项公式配方，即可得到最值. 【详解】因为a n =-2n 2+25n=-2225625-48n ⎛⎫+⎪⎝⎭，且n ∈N *，所以当n=6时，a n 的值最大，即最大项是第6项. 故选:C6．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（） A ．1，2，3，…，20 B ．-1，-2，-3，…，-n ，… C ．1，2，3，2，5，6，… D ．-1，0，1，2，…，100，… 【答案】D 【分析】直接判断数列的单调性和是否无穷即可. 【详解】由递增数列和无穷数列的定义知D 项正确. 答案：D等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

高中数列知识点归纳总结及例题

高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。

通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。

1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。

其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。

数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。

解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。

1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。

解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。

2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。

下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。

2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。

其中，a1为首项，an为末项，n为项数。

数列(含解析)

专题06 数列一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 【答案】：C2. 【2012全国，理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100【答案】 A 【解析】15155()5(5)1522a a a S ++===，∴a 1＝1. ∴515115151a a d --===--. ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴111(1)n n a a n n +=+. 设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，则1001111223100101T =+++⨯⨯⨯… ＝111111223100101-+-++-… ＝11001101101-=.3. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35 【答案】：C【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12， ∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝177()2a a +＝7a 4＝28. 4. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 . 【答案】:35.【2014新课标，理17】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231n n a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<，所以11a +21a +1n a 32<. 6. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1{}nb 的前n 项和． 7. 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-．【考点定位】等差数列和递推关系．8. 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【考点】等比数列的应用、等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．【答案】：－49【解析】：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =，所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.2.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．【答案】21nn + 【考点】等差数列前n 项和公式、裂项求和．【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 3. 【2005全国3，理20】(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.已知数列,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k【解析】：依题设得,)1(1d n a a n -+= 4122a a a = ∴)3()(1121d a a d a +=+，整理得d 2=a 1d ， ∵0,d ≠ ,1a d =∴得,nd a n = 所以，由已知得d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d n …是等比数列. 由,0≠d 所以数列 1，3，k 1，k 2，…，k n ，… 也是等比数列，首项为1，公比为.9,3131===k q 由此得等比数列),3,2,1(39,3,9}{111 ==⨯===+-n q k q k k n n n n 所以公比的首项，即得到数列.3}{1+=n n n k k 的通项4. 【2005全国2，理18】(本小题满分12分)已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n =．(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和13S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)则S=11[1()]122lim lim 112n n n n dS d →+∞→+∞-==-由13S =，得公差d =3，首项1a =d =3 三．拔高题组1. 【2006全国2，理11】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若63S S =31,则126S S等于（）A.103B.31 C.81 D.91【答案】:A【解析】:由已知设a 1+a 2+a 3=T ,a 4+a 5+a 6=2T ,a 7+a 8+a 9=3T ,a 10+a 11+a 12=4T .∴126S S =1034322=+++t t t t t t ＋. ∴选A.2. 【2005全国2，理11】如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（） (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a <(C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =【答案】B3. 【2012全国，理22】函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．(2)由(1)及题意得1342nn nx x x ++=+.设b n ＝x n －3，则1151n nb b +=+， 111115()44n n b b ++=+，数列{114n b +}是首项为34-，公比为5的等比数列．因此1113544n n b -+=-⋅，即14351n n b -=-⋅+，所以数列{x n }的通项公式为143351n n x --⋅+＝.4. 【2006全国2，理22】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1,n = 1,2,3,…. (1)求a 1,a 2; (2)求{a n }的通项公式.【解析】:(1)当n=1时,x 2-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1=a 1-1,于是(a 1-1)2-a 1(a 1-1)-a 1=0,解得a 1=21. 当n=2时,x 2-a 2x -a 2=0有一根为S 2-1=a 2-21,于是(a 2-21)2-a 2(a 2-21)-a 2=0,解得a 2=61.(2)由题设(S n -1)2-a n (S n -1)-a n =0,即S n 2-2S n +1-a n S n =0. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1,代入上式得S n-1S n -2S n +1=0.①由(1)知S 1=a 1=21,S 2=a 1+a 2=21+61=32. 由①可得S 3=43. 由此猜想S n =1+n n,n =1,2,3,….下面用数学归纳法证明这个结论.5. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1 893. 【解析】【考点】等差数列的通项公式、前n 项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.。

完整版)数列典型例题(含答案)

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。

因此，前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。

2013年高考真题理科数学分类汇编：考点25 数列求和及综合应用含解析

考点25 数列求和及综合应用一、选择题1。

（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3，…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝错误!，c n ＋1＝错误!，则（ )A 、｛S n ｝为递减数列B 、｛S n ｝为递增数列C 、｛S 2n －1}为递增数列，｛S 2n ｝为递减数列D 、｛S 2n －1｝为递减数列，{S 2n ｝为递增数列【解析】选B.因为n n a a=+1，21nn n a c b +=+，21nn n a b c+=+,所以1a an=，++1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b ++1)(21)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(212111a c b a c n n n -+=-+，注意到1112a c b =+,所以12a c b n n =+. 于是nnnC B A ∆中，边长1a C B nn=为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值。

因为-+1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b +-)(21n n c b --=，所以)()21(111c b c bn nn --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ,即n n c b →，于是n n n C B A ∆的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 121||21==为递增数列. 二、填空题2。

（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{na 的前n 项和3132+=n na S，则}{na 的通项公式是=na _________【解题指南】先利用S 1=a 1求出a 1的值，再利用S n —S n —1=a n 求出通项公式a n 。

2013年高考真题理数分类解析4-数列

2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一选择题1，[新课标I]，7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4C 、5D 、6【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则()A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列答案B【解析】＝c n ＋a n 2 + b n ＋a n2==2,⟹ =2=2 ⋯⋯,= − ⟹ =⋯⋯+2 =4⋯⋯,−2 =⋯⋯=− ,是正数递增数列所以===−1（因为边不是最大边，所以是锐角）是正数递减数列 ⟹是正数递增数列=是递增数列所以选B3.新课标II 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，，则1a ＝（）（A ）31 （B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C解析:⟹=+⟹9⟹ q=±3 又即=9⇒=914.陕西 14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ .【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（【解析】分n 为奇数、偶数两种情况。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4：数列含解析

2013高考试题解析分类汇编（理数）4：数列一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理)WORD 版含答案（已校对））已知数列{}na 满足12430,3n n aa a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- （C ）()10313-- （D)()1031+3-C所以3a n+1+a n =0 所以所以数列{a n ｝是以﹣为公比的等比数列因为所以a 1=4由等比数列的求和公式可得，s 10==3（1﹣3﹣10)故选C2 ．(2013年高考新课标1（理）)设nnnA B C ∆的三边长分别为,,nnna b c ，nnnA B C∆的面积为nS ，1,2,3,n =,若11111,2b c b ca >+=，111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===，则（）A 。

{S n }为递减数列 B.{S n ｝为递增数列C 。

{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列 D.{S 2n —1｝为递减数列，{S 2n }为递增数列B因为a n+1=a n ,，,所以a n =a 1，所以b n+1+c n+1=a n +=a 1+，所以b n+1+c n+1﹣2a 1=，又b 1+c 1=2a 1,所以b n +c n =2a 1,于是，在△A n B n C n 中，边长B n C n =a 1为定值，另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值，因为b n+1﹣c n+1==，所以b n ﹣c n =，当n→+∞时，有b n ﹣c n →0，即b n →c n ，于是△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大, 所以其面积=为递增数列，故选B ．3 ．(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理）试题(纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,nx x x 使得1212()()()==,nnf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D ）{}2,3 B由题知,过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值。

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几类数列典型例题分析
高考风向标：数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．
典型题选讲：例１若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n
n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若167a =，
则20a 的值（） A ．67 B ．57 C ．37 D ．17
讲解逐步计算，可得167a =, 231251,771031,77a a =-==-= 456,
7
125
1,...
77
a a ==-=
这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以207
5
a =．应选B ．点评分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．
例2 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且
（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且
1113
1,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==
∈≥⎨⎬⎩⎭
求证，为等差数列，并求n b ．讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+
两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3
n n a m
a m +∴=
+{}n a ∴是等比数列． 112(2)1,(),2,3
m
b a q f m n N n m ====∈≥+由且时
111111233111
()33.2233
111123{}11,.3332
n n n n n n n n n n n n n b b f b b b b b b b b n n b b b n ------=
=⋅+=⇒-=+-+∴∴=+==+，得是为首项为公差的等差数列,故有
点评为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的递推公
式，从而将其转化为等差数列的问题．
例3 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；
（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，有
13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯
431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+
… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=+++
+-＝2
41n -,
222114n n a a n -=+=.2
21212(21)441
n n b a n n n --=--=-+,2
222244n n b a n n n =+⨯=+．
222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-,
2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.
（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．
（3）由2n c n n =+≤2004
，解得112
n -+≤≤
，取最大得n=44, 经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点
44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．
点评从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．
例4 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有
8
7
11154<+++m a a a . 讲解（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得
（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯- …… .2212-=a a
接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a
11211
21
2(1)[(2)(2)(2)]
2[1(2)]22
(1)[2(1)].
33
n n n n n n n
n n -------=+--+-+
+---=--=+- 经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3
2
12≥-+=--n a n n n
其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n -，便得
1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---．令,(1)n n n
a b =-就有122n n b b -=--，于是 122
2()33n n b b -+=-+，这说明数列23n b ⎧
⎫+⎨⎬⎩
⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得
111221
()(2)()(2)333
n n n b b --+=+⋅-=-⋅-，即 121()(2)(1)33n n n
a -+=-⋅--，
故有.1],)1(2[3
2
12≥-+=--n a n n n
（３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，
]1
21121[2311121-++=+--+n n n n a a 121223122321322322311().2222122222
n n n n n n n n n n ----------++=⨯<⨯=++-- 当m m 且4>为偶数时，
m
a a a 1
1154+++ )2
1
2121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=
m m m a a a a a .87
8321)2
11(4123214=+<-⨯⨯+=
-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景
.8
7
111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a 故任意整数m>4，有
.8
7
11154<+++m a a a 点评主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．。