数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题
一、选择题
1.(2008陕西卷)已知是等差数列,,,则该数列前10项和
等于( )
A.64
B.100
C.110
D.120
考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.
答案:B
解析:设的公差为. ∵,,∴两式相减,得,.∴,.
2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和,若,公差,
,则( )
A.8
B.7
C.6
D.5
考查目的:考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.
答案:D
解析:由得,,即,将,
代入,解得.
3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是( )
A.若,则数列有最大项
B.若数列有最大项,则
C.若数列是递增数列,则对任意,均有
D.若对任意,均有,则数列是递增数列
考查目的:考查等差数列的前项和公式及其性质.
答案:C
解析:根据等差数列的前项和公式,可得,因为,所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时,该抛物线开口向下,所以这群孤立的点中一定有最高点,即数列有最大项;反之也成立,故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的,举出反例:等差数列-1,1,3,5,7,…满足数列是
递增数列,但.对于选项D的命题,由,得,
因为此式对任意都成立,当时,有;若,则,与矛盾,所以一定有,这就证明了选项D的命题为真.
二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和,且,,则
.
考查目的:考查等差数列的性质及基本运算.
答案:81.
解析:设的公差为. 由,,得,. ∴,故.
5.(2008湖北理)已知函数,等差数列的公差为. 若
,则 .
考查目的:考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质,考查运算求解能力.
答案:.
解析:∵是公差为的等差数列,∴,∴
,∴,∴
.
6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,,则
____.
考查目的:考查等差数列的性质及基本运算.
答案:10.
解析:设等差数列前项和为. ∵,∴;∵
,∴. ∴,故.
三、解答题
7.设等差数列的前项和为,且,求:
⑴的通项公式及前项和;
⑵.
考查目的:考查等差数列通项公式、前项和的基本应用,考查分析问题解决问题的能力.
答案:⑴;.⑵
解析:设等差数列的公差为,依题意,得,解得.
⑴;
⑵由,得.
当时,.
当时,
,
∴
8.(2010山东理)已知等差数列满足:,,的前项和为.
⑴求及;
⑵令,求数列的前项和.
考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.
答案:⑴,;⑵.
解析:⑴设等差数列的公差为,因为,,所以有
,解得,,所以,.
⑵由⑴知,所以,所以
,即数列的前项和
.
一、选择题
1.(2009广东文)已知等比数列的公比为正数,且,,则
( ).
A. B. C. D.2
考查目的:考查等比数列通项公式的基本应用.
答案:B
解析:设公比为,由已知得,得,又因为等比数列
的公比为正数,所以,故.
2.(2007天津理)设等差数列的公差,.若是与的等比中项,则( ).
A.2
B.4
C.6
D.8
考查目的:考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.
答案:B
解析:∵,∴;又∵是与的等比中项,∴,
即;∵,∴,解得,或(舍去).
3.(2010江西理数)等比数列中,,,函数
,则( )
A. B. C. D.
考查目的:多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识,考查学生的创新意识,综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.
答案:C.
解析:∵是多项式函数,∴的常数项的一次项系数,
∴.
二、填空题
4.(2007重庆理)设为公比的等比数列,若和是方程
的两根,则__________.
考查目的:考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识,考查分析问题解决问题的能力.
答案:18.
解析:根据题意,得,,∴,∴.
5.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列,,令,若数列有连续四项在集合中,则 .
考查目的:考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力.
答案:.
解析:根据题意可知,有连续四项在集合中,因为
是等比数列,且公比满足,所以这四项只能依次是,所以
公比,.
6.(2012辽宁理)已知等比数列为递增数列,且,,则数列的通项公式______________.
考查目的:考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力.
答案:.
解析:∵,∴,得,∴;又∵,∴,∴,解得或(舍去),∴.
三、解答题
7.已知数列的首项,关于的二次方程(,且
)都有实数根,且满足.
⑴求证:是等比数列;
⑵求的通项公式.
考查目的:考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案:⑴略;⑵.
解析:⑴由题设可得,,(,且);又由
,得. 所以,即(),化为(,且),又,所以是首项为,公比为的等比数列.
⑵由⑴的结论,得,所以的通项公式为.
8.(2012广东文)设数列前项和为,数列的前项和为,满足
,.
⑴求的值;
⑵求数列的通项公式.
考查目的:考查等比数列的概念、递推公式的处理方法、化归思想,考查分析问题解决问题的能力.
答案:⑴;⑵.
解析:⑴当时,. 因为,所以,求得.
⑵当时,,∴
①,∴②. ②①得,所以
. ∵,易求得,∴,∴
. 所以是以3为首项,2为公比的等比数列,,故所以
,.
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《2.5 等比数列的前n项和》测试题
一、选择题
1.(2007陕西理)各项均为正数的等比数列的前项和为,若,,
则( )
A.16
B.25
C.30
D.80
考查目的:考查等比数列的前项和公式及运算求解能力.
答案:C.
解析:由,可知,的公比,∴①,②,
②式除以①式,得,解得(舍去),代入①,得. ∴
.
2.(2010天津理)已知是首项为的等比数列,是的前项和,且,则数列的前项和为( )
A.或
B.或
C.
D.
考查目的:考查等比数列前项和公式的应用及等比数列的性质.
答案:C
解析:设的公比为,若,则,,不合题意,所以. 由
,得,得,所以,因此是首项为1,公比为的等比数列,故前5项和为.
3.设等比数列的前项和为,若,则等于( )
A. B. C. D.
考查目的:考查等比数列前项和公式及性质等基础知识,考查运算求解能力.
答案:A.
解析:解法1:若公比,则,∴. 由
,得,∴,∴
.
解法2:由可知,公比(否则有).设,则,根据
,,也成等比数列,及,,得,∴,故.
二、填空题
4.在等比数列中,已知,则公比 .
考查目的:考查等比数列的前项和公式及其中包含的分类讨论思想.
答案:1或.
解析:由已知条件,可得,当时,,符合题意;当时,由
,消去,得,解得或(舍去). 综上可得,公比
或.
5.(2009浙江理)设等比数列的公比,前项和为,则.
考查目的:考查等比数列通项公式与前项和公式的基本应用.
答案:15.
解析:∵,,∴.
6.已知等比数列的首项为,是其前项和,某同学经计算得,,
,后来该同学发现其中一个数算错了,则算错的那个数是,该数列的公比是 .
考查目的:考查等比数列的概念、前项和概念及公式等基础知识,考查分析问题解决问题的能力.
答案:,.
解析:假设正确,则由,得,所以公比,可计算得,
,但该同学算只算错了一个数,所以不正确,,正确,可得,,所以公比.
三、解答题
7.(2010重庆文)已知是首项为,公差为的等差数列,为的前项和.
⑴求通项及;
⑵设是首项为,公比为的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.
考查目的:考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式的基本应用以及运算求解能力.
答案:⑴,;⑵,.
解析:⑴因为是首项为,公差为的等差数列,所以
,.
⑵由题意,所以,.
8.(2012陕西理)设是公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.
⑴求数列的公比;
⑵证明:对任意,成等差数列.
考查目的:考查等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的概念等基础知识,考查推理论证能力.
答案:⑴;⑵略.
解析:⑴设数列的公比为(). 由成等差数列,得
,即. 由,得,解得(舍去),所以数列的公比为.
⑵证法一:对任意,
,所以对任意,成等差数列.
证法二:对任意,,
,∴
,因此,对任意,成等差数列.
第二章《数列》测试题(一)
一、选择题
1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数,且,则
( ).
A.4
B.5
C.6
D.7
考查目的:考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识.
答案:B.
解析:∵,∴,∵的各项都是正数,∴,∴,∴.
2.(2011江西理)已知数列的前项和满足:,且,那么
( ).
A.1
B.9
C.10
D.55
考查目的:考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、与的关系.
答案:A
解析:令,得,∵,∴,∴是首项为,公差为的等差数列,,因此,.
3.(2011天津理)已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,为
的前项和,,则的值为( ).
A.-110
B.-90
C.90
D.110
考查目的:考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.
答案:D
解析:设等差数列的公差为,根据题意得,即
,将代入,并解得,所以
.
4.(2012湖北理)定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列
,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在
上的如下函数:①;②;③;④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
考查目的:本题考察等比数列的性质及函数计算.
答案:C.
解析:对于①,,所以是“保等比数
列函数”;对于②,,所以
不是“保等比数列函数”;对于③,
,所以是“保等比
数列函数”;对于④,,所以
不是“保等比数列函数”.
5.已知数列满足,当时,,则( ).
A.1
B.2
C.-1
D.-2
考查目的:考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断,考查分析判断能力.
答案:A.
解析:由条件可得该数列为:,所以是周期为的周期数
列,所以.
6.(2012上海理)设,,在中,正数的个数是( ).
A.25
B.50
C.75
D.100
考查目的:数列前项和的概念、三角函数的周期性,考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案:D.
解析:当时,;当时,,但其绝对值要小于时
相应的值;当时,;当时,,但其绝对值要小于
时相应的值;当时,. ∴当时,均有.
二、填空题
7.(2009北京理)已知数列满足:,,,,则
______;_________.
考查目的:考查数列的概念、周期数列等基础知识.
答案:1,0.
解析:依题意,得,.
8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.
考查目的:考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.
答案:.
解析:记题中的等差数列为,公差为,前项和为. 根据题意知
,,两式联立解得,,∴
.
9.(2010天津文)设是等比数列,公比,为的前项和.记
,,设为数列的最大项,则 .
考查目的:考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识,考查运算能力.
答案:4.
解析:根据等比数列前项和公式,得
.∵
,当且仅当,即时取等号,而,∴当时,取最大值,即数列的最大项为,所以.
10.(2011江苏卷)设,其中成公比为的等比数列,
成公差为1的等差数列,则的最小值是________.
考查目的:考查等差数列、等比数列的概念和通项公式,考查不等式的有关知识及推理判断能力.
答案:.
解析:由题意可得,∴
. ∵,∴当取最小值时,,∴,即的最小值是.
11.(2012四川理)记为不超过实数的最大整数,例如,,,.
设为正整数,数列满足,,现有下列命题:①当时,数列的前3项依次为5,3,2;②对数列都存在正整数,当时总有;
③当时,;④对某个正整数,若,则. 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
考查目的:本题属于新概念问题,主要考查对新概念的理解、不等式的性质,以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.
答案:①③④
解析:易证,对于取整函数有下列性质:性质1:当时,;性质2:对,有;性质3:若,,则. ①当时,
,,故①为真;②当时,易知该数列为:
(1与2交替出现),所以②为假;③∵
,∴;由题易知,对一切,均为正整数,所以无论
是奇数还是偶数,均有
,故③为真;④若对某个正整数,则由
,得,∴,
∵是正整数,∴.又∵,
,∴(或由③为真,
及,直接可得),故,因此④为真.
第二章《数列》测试题(二)
三、解答题
12.(2009浙江文)设为数列的前项和,,,其中是常数.
⑴求及;
⑵若对于任意的,,,成等比数列,求的值.
考查目的:考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系,考查等比数列的概念以及运算求解能力.
答案:⑴,;⑵或.
解析:⑴当时,;当时,
.而也适合上式,所以
.
⑵∵,,成等比数列,∴,即,
化简并整理得. ∵此式对成立,∴或.
13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列,且,
.
⑴求的通项公式;
⑵设,求数列的前项和.
考查目的:考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识,考查运算求解能力.
答案:⑴.⑵.
解析:⑴设的公比为,则.由已知,有
,
化简得,解得,(舍去),所以.
⑵由⑴知,所以
.
14.(2008湖南理)数列满足
⑴求,,并求数列的通项公式;
⑵设,,证明:当时,.
考查目的:考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识,考查数列求和、不等式证明的基本方法,以及分析问题解决问题的能力.
答案:⑴,,;⑵略.
解析:⑴∵,,∴,
.
一般地,当时,,即
,所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此.
当时,,所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此.
∴数列的通项公式为.
⑵由⑴知,,①,②,
得,,∴
.
要证明当时,成立,只需证明当时,成立.
证明:要证明,只需证明.令,则
,∴当时,.
∴当时,.于是当时,.
15.(2012广东理)设数列的前项和为,满足,且,
,成等差数列.
⑴求的值;
⑵求数列的通项公式;
⑶证明:对一切正整数,有.
考查目的:考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识,考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法,考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
答案:⑴;⑵;⑶略.
解析:⑴在中,令得;令得,解得,.又∵,∴解得.
⑵由,得.又∵也满
足,∴成立,∴,∴,∴
.
⑶(法一)∵,∴,
∴.
(法二)∵,∴,当时,,
,,…,,累乘得,
∴.
(完整版)数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D .189 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为 41的等差数列,则 |m -n |等于( ). A .1 B .43 C .21 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ). A .4 005 B .4 006 C .4 007 D .4 008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若 35a a =95,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D .2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则 212b a a 的值是( ). A .21 B .-21 C .-21或21 D .4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ).
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)
数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =,n a =,n N *∈2≤n ≤8),则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列,并且112n n n n a a a a ---=,则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列,并且23 1n n a a -=,则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中,10a =,112n n a a += -,* N n ∈.
求证:11n a ?? ??-?? 是等差数列;并求数列{}n a 的通项公式; 5.已知数列{}n a 中,13a =,1222n n a a n +=-+,如果2n n b a n =-,求数列{}n a 的通项公式 (二)含有n S 的递推处理方法 1)知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式.
2.)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,2 (2)8 n n a S +=则,数列n a 3 4)1a +求数列a (三) 累加与累乘 (1)如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a
(2)已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(1 1≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式 (3) 1a = (4 (四)一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12 n n a a a -==+(2)n ≥,数列n a
2 .若数列{}n a 满足111 1,22 n n n a a a -==+ (2)n ≥,数列n a (1 (2 (六)求周期 16 (1) 121,41n n n a a a a ++==-,求数列2004a
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲:函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1.下面函数与y x =为同一函数的是() 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解:ln ln x y e x e x === Q,且定义域 () , -∞+∞,∴选D 2.已知?是f的反函数,则() 2 f x的反函 数是() () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x:() 1 , 2 x y =?互 换x,y位置得反函数() 1 2 y x =?,选A 3.设() f x在() , -∞+∞有定义,则下列函数 为奇函数的是() ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解:() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4.下列函数在() , -∞+∞内无界的是() 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法:A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界, B arctan 2 x π <有界, C sin cos x x +≤ 故选D 5.数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的() A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解:Q{}n x收敛时,数列n x有界(即 n x M ≤),反之不成立,(如() {}11n--有界, 但不收敛, 选A 6.当n→∞时,2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小, 则k= () A 1 2 B 1 C 2 D -2 解:Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==,2 k=选C 二、填空题(每小题4分,共24分) 7.设() 1 1 f x x = + ,则() f f x ?? ??的定义域 为
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数列常见题型总结经典(超 级经典) -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1.前n 项和法(知n S 求n a )???-=-11n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ,求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足22n S T n n -=, 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型(累加法) (1)若f(n)为常数,即:d a a n n =-+1,此时数列为等差数列,则n a =d n a )1(1-+. (2)若f(n)为n 的函数时,用累加法.
例 1. 已知数列{a n }满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =+型(累乘法) (1)当f(n)为常数,即:q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =11-?n q a . (2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ,求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。
精品高考数列经典大题
精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数,4352,,4a a a 成等差数列,且2322a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()25 2123n n n b a n n += ++,求数列{}n b 的前n 项和n S . 2.已知数列{}n a 满足:11a =,且对任意∈n N *都有 n a ++ += . (Ⅰ)求2a ,3a 的值; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; n n a a ++∈n N *). 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ (1)求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ (2)设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证:121+=+n n b b ; (3)求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4.设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n .(1)求数列}{n a 的通项公 式;(2)证明:对于一切正整数n ,121+≤+n n b a . 5: 已知数列{}n a 是等差数列,() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 (1)判断数列{}n c 是否是等差数列,并说明理由;(2)如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的 通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在,求出k 的取值范围;
数列知识点及典型例题
数列知识点及典型例题 一、 知识点 一、 选择题:本大题共10个小题;每小题5分,共50分 1、数列 的一个通项公式是( D ) A. B . C . D . 2、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数,则b 2(a 2-a 1)=( C )A.8 B.-8 C.±8 D. 3、已知数列{}n a 是等比数列,若,a a a a 41813229=+则前30项的和=30S (B ) A 、154, B 、15 2, C 、15 21?? ? ?? D 、153, 12) 1(3++-=n n n a n n 1 2) 3()1(++-=n n n a n n 121 )1() 1(2--+-=n n a n n 1 2) 2()1(++-=n n n a n n ?--,9 24 ,715,58,18 9
4、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( B ) A .15. B .17. C .19. D .21 5、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若45818,a a S =-=则( D ) A 、18 B 、36 C 、54 D 、72 6、等差数列{a n }中,a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700,则a 1等于( C ) A . -1221 B .-21.5 C .-20.5 D .-20 二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分。 7、已知数列的通项公式74+=n a n ,则其中三位数的个数有255个 8、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若2010S S =,则30S 的值是0。 三、解答题:本大题共7小题,共84分。 11、已知等差数列{}n a 中,公差为,1=d 且9999=s ,求+++852a a a 15a +Λ的值。 解法一:9999=S ,{}n a 是等差数列 所以 992 98 99991=?+ d a ,又1=d ,481-=a 所求量为首项为-47,公差为3的前5项和S 5=…… 12、⑴在等比数列{}n a 中,若,a a ,a a 6243224=+=-求首项1a 和公比q 。 ⑵设等比数列{}n a ,n s 是它的前n 项和,若,s s s 9632=+求公比q 。 解:⑴由已知有:24131=-q a q a 及6211=+q a q a 得5 1 1= a , 5=q ⑵当1=q 时,{}n a 是常数列,则根据,s s s 9632=+得1111863a a a =+,01=a , 因为{}n a 是等比数列,01≠a 故1≠q 。 当1≠q 时,()()() q q a q q a q q a --= --+--1121111916131,解得321-=q 。 13、三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)讲解学习
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)
数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =,n a =,n N *∈2≤n ≤8),则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列,并且112n n n n a a a a ---=,则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列,并且231n n a a -=,则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中,10a =,112n n a a +=-,*N n ∈.
求证:11n a ????-?? 是等差数列;并求数列{}n a 的通项公式; 5.已知数列{}n a 中,13a =,1222n n a a n +=-+,如果2n n b a n =-,求数列{}n a 的通项公式 (二)含有n S 的递推处理方法 1)知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式.
2.)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,2 (2) 8n n a S +=则,数列n a 3)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,111 ,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则,数列 n a 4)12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a (三) 累加与累乘 (1)如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a
(2)已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(11≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式 (3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式. (4)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,211,2 n n S n a a ==则,数列n a (四)一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足1111,12 n n a a a -== +(2)n ≥,数列n a
第一讲数列地极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是 唯一的,若N 满足定义中的要求,则取Λ,2,1++N N ,作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N . 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε,有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列,记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注1 对每一个k ,有k n k ≥. 注2 对任意两个正整数k h ,,如果k h ≥,则k h n n ≥.反之,若k h n n ≤,则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε,有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ,若0>?M ,使得对N n >?,有M x n ≤,则称数列{}n x 为有界数列. 4.无穷大量 对数列{}n x ,如果0>?G ,N n N >?N ∈?,,有G x n >,则称{}n x 为无穷大量,记 作∞=∞ →n n x lim .
高中数列经典题型 大全
高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+2 11 ,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+, 其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++,求n a 。
数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列,,,则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案:B 解析:设的公差为. ∵,,∴两式相减,得,.∴,. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和,若,公差, ,则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的:考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案:D 解析:由得,,即,将, 代入,解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是( ) A.若,则数列有最大项 B.若数列有最大项,则 C.若数列是递增数列,则对任意,均有 D.若对任意,均有,则数列是递增数列 考查目的:考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案:C 解析:根据等差数列的前项和公式,可得,因为,所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时,该抛物线开口向下,所以这群孤立的点中一定有最高点,即数列有最大项;反之也成立,故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的,举出反例:等差数列-1,1,3,5,7,…满足数列是 递增数列,但.对于选项D的命题,由,得, 因为此式对任意都成立,当时,有;若,则,与矛盾,所以一定有,这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和,且,,则 . 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:81. 解析:设的公差为. 由,,得,. ∴,故. 5.(2008湖北理)已知函数,等差数列的公差为. 若 ,则 . 考查目的:考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质,考查运算求解能力. 答案:. 解析:∵是公差为的等差数列,∴,∴ ,∴,∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,,则 ____. 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:10. 解析:设等差数列前项和为. ∵,∴;∵ ,∴. ∴,故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为,且,求: ⑴的通项公式及前项和; ⑵. 考查目的:考查等差数列通项公式、前项和的基本应用,考查分析问题解决问题的能力. 答案:⑴;.⑵ 解析:设等差数列的公差为,依题意,得,解得. ⑴; ⑵由,得.
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1.前n项和法(知n S 求n a )?? ?-=-11 n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和2 12n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式:已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122 -=,求数列|}{|n a 的前n项和n T 练习: 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。答案:???=-12 2n n a )2() 1(≥=n n 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-=n n a S ,求该数列的通项公式。答案:n n a 32?= 3、设数列}{n a 的前n项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足2 2n S T n n -=, 求数列}{n a 的通项公式. 4.n S 为{n a }的前n 项和,n S =3(n a -1),求n a (n ∈N +) 5、设数列{}n a 满足2 *12333()3 n n a a a a n N +++= ∈n-1 …+3,求数列{}n a 的通项公式(作差法) 2。形如)(1n f a a n n =-+型(累加法) (1)若f(n)为常数,即:d a a n n =-+1,此时数列为等差数列,则n a =d n a )1(1-+。 (2)若f(n)为n 的函数时,用累加法. 例 1. 已知数列{a n }满足)2(3,111 1≥+==--n a a a n n n ,证明2 1 3-=n n a 例2.已知数列{}n a 的首项为1,且* 12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 例3.已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。 3。形如 )(1 n f a a n n =+型(累乘法) (1)当f(n)为常数,即:q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =1 1-?n q a 。 (2)当f(n )为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ,求数列的通项公式.答案:12+=n a n 练习: 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。答案:)1(2 +=n n a n 2、求数列)2(1 232,111 ≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 4。形如s ra pa a n n n += --11 型(取倒数法) 例1. 已知数列{}n a 中,21=a ,)2(1 211 ≥+=--n a a a n n n ,求通项公式n a
(完整版)等比数列经典例题范文
1.(2009安徽卷文)已知为等差数列,,则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且·=2,=1,则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数,所以,故,选B 3.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n 项和,已知,,则等于( ) A .13 B .35 C .49 D . 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
高中数列经典题型大全
高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a
上海高中数学数列的极限(完整资料)
【最新整理,下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读: 1、理解数列极限的意义; 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解: 1、数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0),那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注:a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限:①C C n =∞→lim (C 为常数);②01lim =∞→n n ;③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ; 3、数列极限的四则运算法则:设数列{}n a 、{}n b , 当 a a n n =∞ →lim , b b n n =∞ →lim 时,b a b a n n n ±=±∞→)(lim ; b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ; )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限: ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在
②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析: 一、求极限: 例1:求下列极限: (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2:求下列极限: (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ; (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3:求下式的极限:
数列经典例题(裂项相消法)
数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型 1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A .100101 B .99101 C .99100 D .101 100 2.数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中, 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A .-10 B .-9 C .10 D .9 3.等比数列}{n a 的各项均为正数,且6 22 321 9,132a a a a a ==+. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和. 4.正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T . 5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1 2,4224 +==n n a a S S . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T . 6.已知等差数列}{n a 满足:26 ,7753 =+=a a a .}{n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ;
(经典)高中数学最全数列总结及题型精选
高中数学:数列及最全总结和题型精选 一、数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ; 数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。 (2)通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,… ②:5 14131211,,,,… 说明: ①{}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?; ③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,…… (3)数列的函数特征与图象表示: 从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始 依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替()f n ,其图象是一群孤立点。 (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… (5)数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:1 1(1)(2) n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥ 例:等差数列12-=n a n ,=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-; 说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。 例:1.已知等差数列{}n a 中,12497116 a a a a ,则,==+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2.{}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ,则n a 为 n b 为 (填“递增数列”或“递减数列”) (三)、等差中项的概念:
数列经典例题(裂项相消法)20392
数列裂项相消求和的典型题型 1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A .100101 B .99101 C .99100 D .101100 2.数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中,直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A .-10 B .-9 C .10 D .9 3.等比数列}{n a 的各项均为正数,且622 3219,132a a a a a ==+. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和. 4.正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T . 5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且12,4224+==n n a a S S . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T . 6.已知等差数列}{n a 满足:26,7753=+=a a a .}{n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T . 7.在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+. (Ⅰ)求}{n a 的通项公式;
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 (1)1=k 时,}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列,)(1b a n b a n -+?= (2)1≠k 时,设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数:b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列,公比为k ,首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 (1)1=k 时,)(1n f a a n n =-+,若)(n f 可求和,则可用累加消项的方法。 例:已知}{n a 满足11=a ,)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解: ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 2 1112-=-a a
对这(1-n )个式子求和得: n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = (2)1≠k 时,当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得: 1-= k a A ,2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项,k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 (3)n q n f =)((≠q 0,1) 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 (1)若)(n f 是常数时,可归为等比数列。 (2)若)(n f 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。 例:已知: 311= a ,1 121 2-+-=n n a n n a (2≥n )求数列}{n a 的通项。 解:123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1 211231+= +? =n n a a n
高中数列常见题型总结经典
高中数列常见题型总结 经典 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1.前n 项和法(知n S 求n a )???-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ,求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足22n S T n n -=, 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型(累加法) (1)若f(n)为常数,即:d a a n n =-+1,此时数列为等差数列,则n a =d n a )1(1-+. (2)若f(n)为n 的函数时,用累加法. 例 1. 已知数列{a n }满足)2(3,111 1≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =+型(累乘法) (1)当f(n)为常数,即:q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =11-?n q a . (2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ,求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。 2、求数列)2(1 232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 题型二 根据数列的性质求解(整体思想) 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ; 2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和, 327++=n n T S n n ,则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5 935,95S S a a 则( ) 4、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。 5、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=n S ,602=n S ,则=n S 3 . 6、在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为( )