三函数的四则运算
三角函数数列公式大全
三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】三角函数公式：（1）.弧度制：180orad π=，'18015718oo rad π=≈弧长公式：l r α=，扇形面积公式：21122S r lr α==（2）定义式：设角α终边上一点为(),P x y ，22r OP x y ==+则：sin ,cos ,tan ;y x y r r xααα=== （3）同角基本关系式：22sin sin cos 1,tan ;cos ααααα+== （4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
（5）两角和差公式：()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=±()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβαβαβ±±=（6）二倍角公式：22tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan αααααα==- 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;（7）降幂公式：()()22111sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222ααααααα==-=+（8）合一公式：()22sin cos sin ,a b a b αααϕ+=++其中tan b aϕ=。
2．三角函数图像和性质：（二）、函数图像的四种变换：（三）、函数性质： 1.奇偶性：（1）定义：奇函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。
偶函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数。
（2）图像：奇函数图像关于原点对称，若自变量可以取0，则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。
32导数的基本公式及四则运算法则
3.2.1 常值函数的导数 3.2.2 幂函数的导数 3.2.3 正弦函数的导数 3.2.4 对数函数的导数 3.2.5 函数的和、积、商的导数 3.2.6 反函数的导数 3.2.7 复合函数的导数 3.2.8 隐函数的导数 3.2.9 取对数求导法 3.2.10 基本初等函数的导数公式志求导法则
特别地，当其中有一个函数为常数 c时， 则有
(cu )cu．
上面的公式对于有限多个可导函数成立， 例如：
( u) v u v w u w v w u w ． v
例2 设 y (1 2 x )5 ( x 2 3 x 1 )， 求 y ． 解 y ( 1 2 x )(5 x 2 3 x 1 )
定理2.2的结论可以推广到多层次复合的
情况． 例如设yf(u) ，u(v) v，(x) ，
则复合函 yf{[(x)]数}的导数为
dydydudv dx du dv dx
(2.2.9)
例8 求下列函数的导数：
(1)
y
tan 1
2x
；
(2) ysi2n (23x)；
(3) ylo3cgoxs21．
解 (1)设 y 2u ，utav，nv 1 由定理
2.2得
x
yxyu uv vx 1 2uln2co12vs(x12)2xt2acxnol2n1sx2；
(2) y 2 s2 i 3 x n ) c2 ( o 3 x ) ( s 3 )( 3 s2 i(2 n 3 x )；
推论
(u)uvuv .
v
v2
(2.2.5)
c v
cv v2
3.2 导数的基本公式及四则运算法则
所以
∆y 1 ∆x ∆x = lim[ log a (1 + ) ] lim ∆x →0 ∆x ∆x − 0 x x
x
1 ∆x ∆x = log a lim (1 + ) ∆x →0 x x 1 1 ， = log a e = x x ln a
x
即
1 ． (log a x)′ = x ln a
y′ = 5( x 2 )′ + 3( x −3 )′ − (2 x )′ + 4(cos x)′
= 5 × 2 x + 3 × (−3) x −4 − 2 x ln 2 + 4(− sin x) 9 = 10 x − 4 − 2 x ln 2 − 4 sin x ． x
2.乘积函数的导数 2.乘积函数的导数
= 30 x 2 − 2 x − 1 ．
例3
设 y = x sin x ln x ，求 y′
解 y′ = ( x)′ sin x ln x + x(sin x)′ ln x + x sin x(ln x)′ 1 = 1 ⋅ sin x ln x + x cos x ln x + x sin x ⋅ x = sin x ln x + x cos x ln x + sin x ．
(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ ．
例2 解
2 设 y = (1 + 2 x)(5 x − 3 x + 1) ， 求 y′． y′ = (1 + 2 x)′(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(5 x 2 − 3 x + 1)′ = 2(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(10 x − 3)
函数的和、差、积、商的导数
例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 (2)下列函数在点x=0处没有切线的是( D ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= x +cosx 1 (3)若f ( x ) x 2 , 则f(x)可能是下式中的( B )
例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
第2周：函数的极限、无穷大与无穷小、极限四则运算法则
x x
。 y sin x x
lim x 2 sin 1
x0
x
3.在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x)
0, 则
1 f (x)
为无穷大。
x
5.定理：x 时y=f (x)的极限存在的充要条件是 x 和 x 时的极限都存在且相等。
即：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
例：观察图形判断以下极限是否存在：
lim ex 不存在， lim ex 0, lim ex 不存在
x x0
3.以上法则，对于 x 等情形也同样成立。
例：lim x2
2x2 x x2 4
2
注1：求初等函数在x x0 时的极限，如果把 x x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
例：lim x3
x2
3x 2x
4 15
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
例如: lim 1 x0 x
Байду номын сангаас
lim(2x2 1)
x
注：1.说一个函数是无穷小（大）量需说明x变化
趋势。
2.无穷小（大）量表示的是函数的一种变化趋势，
而不是一个很小（大）的数。
问题：零是无穷小量吗？ 是（特例）
3.无穷大量的极限并不存在，lim f (x) 只是
一个记号而已。
x
连续函数的运算与初等函数的连续性
结论 反三角函数在其定义域内皆连续.
指数函数 y e x (, )内单调增加且连续， 对数函数 y ln x在(0, )内单调增加且连续 .
y
y ex
1
o1
y ln x
x
2.复合函数的连续性
定理3
若
lim
x x0
g(
x)
u0
,
而函数 f (u)在点u0连续,
lim
x x0
f [g( x)] lim uu0
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
y
y sin 1
x
o
x
三、初等函数的连续性
已有结果： (1) 三角函数在它们的定义域内是连续的. (2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的. (3) 指数函数 y a x (a 0, a 1)在(, )内连续.
(4) 对数函数 y loga x (a 0, a 1)在(0, )内连续. (5)幂函数 y x在定义区间内连续.
基本初等函数在定义区间内连续.
y x e ln x
y eu , u ln x.
在(0, )内连续, 讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如
y 1 x2 的连续区间为[1,1].(端点为单侧连续) y lnsin x的连续区间为(2n π, (2n 1) π ) , n Z.
lim sin x 1， x0 x
x0
cos x1
解:
原式
lim
[1
(cos
x
1
1)]cos x1
成人高考专升本《高等数学》复习考点
成人高考专升本《高等数学》复习考点函数、极限和连续函数、极限和连续(一)函数1.知识范围(1)函数的概念函数的定义函数的表示法分段函数隐函数(2)函数的性质单调性奇偶性有界性周期性(3)反函数反函数的定义反函数的图像(4)基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数(5)函数的四则运算与复合运算(6)初等函数2.要求(1)理解函数的概念。
会求函数的表达式、定义域及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系式。
(二)极限1.知识范围(1)数列极限的概念数列数列极限的定义(2)数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义(4)函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶(6)两个重要极限2.要求(1)理解极限的概念(对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(三)连续1.知识范围(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值定理(包括零点定理)(4)初等函数的连续性2.要求(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
第1-3节(函数极限及其四则运算)
江西理工大学理学院第 3 节 函数极限 函数极限四则运算江西理工大学理学院一、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数 y = f ( x ) 在 x → x 0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ;0 < x − x 0 < δ 表示x → x 0的过程 .δδx0 − δ点x 0的去心 δ邻域,x0x0 + δxδ体现x接近x 0 程度.江西理工大学理学院1、定义：定义 1 如果对于任意给定的正数ε (不论它多 么小),总存在正数 δ ,使得对于适合不等式0 < x − x0 < δ 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) − A < ε ,那末常数 A 就叫函数f ( x ) 当 x → x 0 时的极限,记作x → x0lim f ( x ) = A 或f ( x ) → A(当x → x0 )" ε − δ" 定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时,恒有 f ( x ) − A < ε .江西理工大学理学院1 注意： .函数极限与 f ( x )在点 x 0 是否有定义无关 ;2.δ与任意给定的正数 ε有关 .2、几何解释:A+ε 域时 , 函数 y = f ( x ) A 图形完全落在以直 A − εy当 x 在 x 0的去心 δ 邻y = f (x )线 y = A 为中心线 , 宽为 2 ε 的带形区域内 .ox0 − δδx0δx0 + δx显然 , 找到一个 δ后, δ越小越好 .江西理工大学理学院例1证明 lim C = C , (C为常数 ).x → x0证 任给 ε > 0, 任取 δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,f ( x ) − A = C − C = 0 < ε成立 , ∴ lim C = C . x→ x0例2证明 lim x = x 0 .x → x0证 Q f ( x ) − A = x − x 0 , 任给 ε > 0, 取δ = ε ,当0 < x − x 0 < δ = ε时,f ( x ) − A = x − x 0 < ε成立 ,∴ lim x = x 0 .x → x0江西理工大学理学院x −1 例3 证明 lim = 2. x →1 x − 12证函数在点x=1处没有定义.任给 ε > 0,x2 − 1 Q f ( x) − A = − 2= x −1 x −1要使 f ( x ) − A < ε ,只要取 δ = ε ,x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 12x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1江西理工大学理学院例4证明 : 当x0 > 0时, lim x =x → x0x0 .证 Q f ( x) − A =x−x0 =x − x0 x − x0 ≤ , x + x0 x0任给 ε > 0, 要使 f ( x ) − A < ε ,只要 x − x 0 < x 0 ε 且不取负值 . 取δ = min{ x 0 , x 0 ε },当0 < x − x 0 < δ时, 就有 x −x0 < ε,∴ lim x =x → x0x0 .江西理工大学理学院3、单侧极限:⎧ 1 − x, 设 f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x + 1, 证明 lim f ( x ) = 1.x→0例如,x<0 x≥0y y = 1− x1y = x2 + 1ox分x > 0和x < 0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 − 0; x从右侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 + 0;江西理工大学理学院左极限∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时,恒有 f ( x ) − A < ε . 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 − 0) = A.x → x0 − 0 − ( x → x0 )右极限∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 < x < x 0 + δ时,恒有 f ( x ) − A < ε . 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 + 0) = A.注意 : { x 0 < x − x 0 < δ } = { x 0 < x − x 0 < δ } U { x − δ < x − x 0 < 0}x → x0 + 0 + ( x → x0 )江西理工大学理学院定理 : lim f ( x ) = A ⇔ f ( x 0 − 0) = f ( x 0 + 0) = A.x → x0x 例5 验证 lim 不存在. x→ 0 xx −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x= lim ( −1) = −1x → −0y1ox−1x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x左右极限存在但不相等, ∴ lim f ( x ) 不存在. x→ 0江西理工大学理学院二、自变量趋向无穷大时函数的极限sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x播放 播放江西理工大学理学院问题:函数 y = f ( x ) 在 x → ∞ 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时 , f ( x ) = 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; x > X 表示 x → ∞的过程 .江西理工大学理学院1、定义：定义 2 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小) 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x > X 的一 切 x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式f ( x ) − A < ε ,那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限,记作lim f ( x ) = Ax→∞或x→∞f ( x ) → A(当 x → ∞ )" ε − X " 定义lim f ( x ) = A ⇔∀ε > 0, ∃X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .江西理工大学理学院2、另两种情形:10 . x → +∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → +∞∀ ε > 0 , ∃ X > 0 , 使当 x > X 时 , 恒有 f ( x ) − A < ε .2 . x → −∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → −∞0∀ ε > 0, ∃ X > 0, 使当 x < − X 时 , 恒有 f ( x ) − A < ε .lim lim 定理 : lim f ( x ) = A ⇔ x → +∞ f ( x ) = A且 x → −∞ f ( x ) = A.x→∞江西理工大学理学院3、几何解释:y=ε Asin x x−X−εX当 x < − X 或 x > X 时 , 函数 y = f ( x )图形完全落在以 直线 y = A 为中心线 , 宽为 2 ε 的带形区域内 .江西理工大学理学院sin x = 0. 例6 证明 lim x→∞ x1 sin x sin x < 1 < 证 Q −0 = x X x xy =sin x x= ε,1 ∀ε > 0, 取 X = , 则当 x > X时恒有 εsin x sin x − 0 < ε , 故 lim = 0. x x→∞ x定义 : 如果 lim f ( x ) = c , 则直线 y = c是函数 y = f ( x )x→∞的图形的水平渐近线 .江西理工大学理学院三、函数极限的性质1.有界性定理 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在 ,则极限唯一 .江西理工大学理学院3.不等式性质定理(保序性)0设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .x → x0 x → x0若∃δ > 0, ∀x ∈ U ( x 0 , δ ), 有f ( x ) ≤ g ( x ), 则A ≤ B .推论设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 且A < Bx → x0 x → x0 0则∃δ > 0, ∀x ∈ U ( x 0 , δ ), 有f ( x ) < g ( x ).江西理工大学理学院定理(保号性)若 lim f ( x ) = A, 且 A > 0(或 A < 0 ),x → x0则 ∃ δ > 0,当 x ∈ U 0 ( x 0 , δ )时 , f ( x ) > 0(或 f ( x ) < 0 ).推论若 lim f ( x ) = A, 且 ∃ δ > 0,当 x ∈ U 0 ( x 0 , δ )时 ,x → x0f ( x ) ≥ 0(或 f ( x ) ≤ 0 ), 则 A ≥ 0(或 A ≤ 0 ).江西理工大学理学院4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)*+ − 定义 设在过程 x → a ( a 可以是 x 0 , x 0 , 或 x 0 )中{ f ( x n )}, 即 f ( x1 ), f ( x 2 ), L , f ( x n ), L 为函数 f ( x )当 x → a 时的子列 .定理有数列 x n ( ≠ a ), 使得 n → ∞ 时 x n → a .则称数列若 lim f ( x ) = A, 数列 f ( x n )是 f ( x )当 x → ax→a n→ ∞时的一个子列 , 则有 lim f ( x n ) = A.xx y sin =11sin 1lim 22=++∞→n n n n1 y=sinx。
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