函数的四则运算
大学函数重要知识点总结
大学函数重要知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的定义函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系，通常表示为f: X -> Y，其中X为定义域，Y为值域。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是所有定义在函数上的自变量的集合，值域是所有函数值的集合。
（2）单值性：每个自变量对应唯一的函数值。
（3）奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
（4）周期性：如果存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
（5）上下界：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值都在一个范围内，则称函数有上下界。
（6）单调性：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值随着自变量x的增大而增大（或减小），则称函数具有单调性。
二、基本初等函数1. 常数函数常数函数的表达式为f(x)=C，C为常数。
2. 一次函数一次函数的表达式为f(x)=kx+b，k为斜率，b为截距。
3. 幂函数幂函数的表达式为f(x)=x^a，a为实数。
4. 指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，a为正实数且不等于1。
5. 对数函数对数函数的表达式为f(x)=log_a(x)，a为正实数且不等于1。
包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
三、函数的运算1. 基本初等函数的四则运算（1）加法和减法：f(x)=g(x)±h(x)（2）乘法：f(x)=g(x)·h(x)（3）除法： f(x)=g(x)/h(x)，其中h(x)≠02. 复合函数如果存在函数u(x)和v(x)，则复合函数为：f(x)=u(v(x))。
3. 反函数如果两个函数f和g满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么f和g互为反函数，且g=f^-1。
4. 函数的求导对函数进行求导可以得到函数的导数，导数表示函数在某一点的变化速度。
5. 函数的积分对函数进行积分可以得到函数的不定积分和定积分，不定积分是函数的原函数，定积分表示函数在一定范围内的面积或体积。
幂函数的四则运算
幂函数的四则运算幂函数是指函数f(x)=a^x，其中a是常数，且a>0且a≠1，x为实数。
幂函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们将详细介绍这些四则运算。
1.幂函数的加法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数，它们的加法可以表示为：h(x)=f(x)+g(x)=a^x+b^x。
注意，这里的加法并不是指将幂函数的系数相加，而是指将两个指数相同的指数函数相加。
2.幂函数的减法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数，它们的减法可以表示为：h(x)=f(x)-g(x)=a^x-b^x。
同样，这里的减法并不是指将幂函数的系数相减，而是指将两个指数相同的指数函数相减。
3.幂函数的乘法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数，它们的乘法可以表示为：h(x) = f(x) * g(x) = (a^x) * (b^x) = (ab)^x。
在乘法中，幂函数的底数相乘，并将指数保持不变。
4.幂函数的除法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数且b≠0，它们的除法可以表示为：h(x)=f(x)/g(x)=(a^x)/(b^x)=(a/b)^x。
在除法中，幂函数的底数相除，并将指数保持不变。
需要注意的是，幂函数的四则运算仅在指数相同的情况下成立。
如果两个幂函数的指数不同，不能直接进行加减乘除运算，而需要先将它们转化为相同底数的幂函数，再进行运算。
具体转化方法如下：1.加法和减法转化：将两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x中的较小底数用大底数表示，即若a>b，则f(x)=a^x=g(x)^[logb(a)]。
这样就将两个幂函数转化为了具有相同底数的幂函数，然后可以按照普通的加法和减法规则进行运算。
2.乘法和除法转化：将两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x中的较小底数用大底数表示，即若a>b，则f(x)=a^x=g(x)^[logb(a)]。
函数的四则运算的微分法则
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log
x a
)
1 x ln
a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
y e与t ln x复合而成，
dy
et
e ln x
dx
x
x
x x 1 .
x
验证了第一节的例二.
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. (a)基本初等函数的导数公式； (b)复合函数的分解； (c)复合函数的求导公式.
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写 中间变量，而直接写出结果.
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d
(log
x a
)
1 x ln a
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
d(arccos x) dx 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
于是有
y x
1 x
, 因为
f
( x)连续,
y
所以当x 0时,必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 . y
( y)
例5.求 y arcsin x 的导数.
三角函数四则运算
三角函数四则运算1. 引言三角函数是高中数学中的一项重要内容，它是研究三角形相关性质的基础。
而三角函数的四则运算作为三角函数理论的核心，更是需要我们学生认真掌握的知识点之一。
下面，我们将对三角函数的四则运算作一个详细的介绍，希望可以帮助广大学生更好地掌握这一难点内容。
2. 基本概念（1）角度制与弧度制在学习三角函数前，我们需要先介绍两种不同的角度表示方式：角度制和弧度制。
角度制是指以度为单位的角度表示方式，如60°表示一个角的度数为60度；而弧度制是指以弧度为单位的角度表示方式，一个角的弧度数为它所对应圆的弧长与圆的半径之比，例如π/3 表示60°。
（2）三角函数的定义在平面直角坐标系中，以原点为顶点，x轴正半轴为始边，以一条射线为终边，这条射线将平面分为两部分且不包含坐标轴时，这个射线所对应的角度称为这个角的标准位置角。
根据三角函数，可以定义出三种常用的函数：正弦函数sinx，余弦函数cosx和正切函数tanx。
它们的定义分别如下：正弦函数sinx = y/r余弦函数cosx = x/r正切函数tanx = y/x其中，x，y，r分别表示顶点到射线所在直线的交点和原点之间的横纵坐标和斜线长度。
3. 四则运算（1）加减法对于sin(x+y)和sin(x-y)，我们可以利用三角公式推导得出以下的加减法公式：sin(x+y) = sinx*cosy + cosx*sinysin(x-y) = sinx*cosy -cosx*siny对于cos(x+y)和cos(x-y)，我们也可以利用三角公式推导得出以下的加减法公式：cos(x+y) = cosx*cosy - sinx*sinycos(x-y) = cosx*cosy + sinx*siny（2）乘法对于sinx*siny和cosx*cosy，我们可以利用三角公式推导得出以下的乘法公式：sinx*siny = 1/2[cos(x-y) - cos(x+y)]cosx*cosy = 1/2[cos(x-y) + cos(x+y)]（3）除法对于sinx/cosy和cosx/siny，我们可以利用三角函数的定义和运算规则推导得出以下的除法公式：sinx/cosy = tanx*secycosx/siny = cotx*cosecy其中，secy表示余切函数的倒数，cosecy表示正割函数的倒数。
第1-3节(函数极限及其四则运算)
江西理工大学理学院第 3 节 函数极限 函数极限四则运算江西理工大学理学院一、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数 y = f ( x ) 在 x → x 0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ;0 < x − x 0 < δ 表示x → x 0的过程 .δδx0 − δ点x 0的去心 δ邻域,x0x0 + δxδ体现x接近x 0 程度.江西理工大学理学院1、定义：定义 1 如果对于任意给定的正数ε (不论它多 么小),总存在正数 δ ,使得对于适合不等式0 < x − x0 < δ 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) − A < ε ,那末常数 A 就叫函数f ( x ) 当 x → x 0 时的极限,记作x → x0lim f ( x ) = A 或f ( x ) → A(当x → x0 )" ε − δ" 定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时,恒有 f ( x ) − A < ε .江西理工大学理学院1 注意： .函数极限与 f ( x )在点 x 0 是否有定义无关 ;2.δ与任意给定的正数 ε有关 .2、几何解释:A+ε 域时 , 函数 y = f ( x ) A 图形完全落在以直 A − εy当 x 在 x 0的去心 δ 邻y = f (x )线 y = A 为中心线 , 宽为 2 ε 的带形区域内 .ox0 − δδx0δx0 + δx显然 , 找到一个 δ后, δ越小越好 .江西理工大学理学院例1证明 lim C = C , (C为常数 ).x → x0证 任给 ε > 0, 任取 δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,f ( x ) − A = C − C = 0 < ε成立 , ∴ lim C = C . x→ x0例2证明 lim x = x 0 .x → x0证 Q f ( x ) − A = x − x 0 , 任给 ε > 0, 取δ = ε ,当0 < x − x 0 < δ = ε时,f ( x ) − A = x − x 0 < ε成立 ,∴ lim x = x 0 .x → x0江西理工大学理学院x −1 例3 证明 lim = 2. x →1 x − 12证函数在点x=1处没有定义.任给 ε > 0,x2 − 1 Q f ( x) − A = − 2= x −1 x −1要使 f ( x ) − A < ε ,只要取 δ = ε ,x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 12x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1江西理工大学理学院例4证明 : 当x0 > 0时, lim x =x → x0x0 .证 Q f ( x) − A =x−x0 =x − x0 x − x0 ≤ , x + x0 x0任给 ε > 0, 要使 f ( x ) − A < ε ,只要 x − x 0 < x 0 ε 且不取负值 . 取δ = min{ x 0 , x 0 ε },当0 < x − x 0 < δ时, 就有 x −x0 < ε,∴ lim x =x → x0x0 .江西理工大学理学院3、单侧极限:⎧ 1 − x, 设 f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x + 1, 证明 lim f ( x ) = 1.x→0例如,x<0 x≥0y y = 1− x1y = x2 + 1ox分x > 0和x < 0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 − 0; x从右侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 + 0;江西理工大学理学院左极限∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时,恒有 f ( x ) − A < ε . 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 − 0) = A.x → x0 − 0 − ( x → x0 )右极限∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 < x < x 0 + δ时,恒有 f ( x ) − A < ε . 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 + 0) = A.注意 : { x 0 < x − x 0 < δ } = { x 0 < x − x 0 < δ } U { x − δ < x − x 0 < 0}x → x0 + 0 + ( x → x0 )江西理工大学理学院定理 : lim f ( x ) = A ⇔ f ( x 0 − 0) = f ( x 0 + 0) = A.x → x0x 例5 验证 lim 不存在. x→ 0 xx −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x= lim ( −1) = −1x → −0y1ox−1x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x左右极限存在但不相等, ∴ lim f ( x ) 不存在. x→ 0江西理工大学理学院二、自变量趋向无穷大时函数的极限sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x播放 播放江西理工大学理学院问题:函数 y = f ( x ) 在 x → ∞ 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时 , f ( x ) = 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; x > X 表示 x → ∞的过程 .江西理工大学理学院1、定义：定义 2 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小) 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x > X 的一 切 x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式f ( x ) − A < ε ,那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限,记作lim f ( x ) = Ax→∞或x→∞f ( x ) → A(当 x → ∞ )" ε − X " 定义lim f ( x ) = A ⇔∀ε > 0, ∃X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .江西理工大学理学院2、另两种情形:10 . x → +∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → +∞∀ ε > 0 , ∃ X > 0 , 使当 x > X 时 , 恒有 f ( x ) − A < ε .2 . x → −∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → −∞0∀ ε > 0, ∃ X > 0, 使当 x < − X 时 , 恒有 f ( x ) − A < ε .lim lim 定理 : lim f ( x ) = A ⇔ x → +∞ f ( x ) = A且 x → −∞ f ( x ) = A.x→∞江西理工大学理学院3、几何解释:y=ε Asin x x−X−εX当 x < − X 或 x > X 时 , 函数 y = f ( x )图形完全落在以 直线 y = A 为中心线 , 宽为 2 ε 的带形区域内 .江西理工大学理学院sin x = 0. 例6 证明 lim x→∞ x1 sin x sin x < 1 < 证 Q −0 = x X x xy =sin x x= ε,1 ∀ε > 0, 取 X = , 则当 x > X时恒有 εsin x sin x − 0 < ε , 故 lim = 0. x x→∞ x定义 : 如果 lim f ( x ) = c , 则直线 y = c是函数 y = f ( x )x→∞的图形的水平渐近线 .江西理工大学理学院三、函数极限的性质1.有界性定理 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在 ,则极限唯一 .江西理工大学理学院3.不等式性质定理(保序性)0设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .x → x0 x → x0若∃δ > 0, ∀x ∈ U ( x 0 , δ ), 有f ( x ) ≤ g ( x ), 则A ≤ B .推论设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 且A < Bx → x0 x → x0 0则∃δ > 0, ∀x ∈ U ( x 0 , δ ), 有f ( x ) < g ( x ).江西理工大学理学院定理(保号性)若 lim f ( x ) = A, 且 A > 0(或 A < 0 ),x → x0则 ∃ δ > 0,当 x ∈ U 0 ( x 0 , δ )时 , f ( x ) > 0(或 f ( x ) < 0 ).推论若 lim f ( x ) = A, 且 ∃ δ > 0,当 x ∈ U 0 ( x 0 , δ )时 ,x → x0f ( x ) ≥ 0(或 f ( x ) ≤ 0 ), 则 A ≥ 0(或 A ≤ 0 ).江西理工大学理学院4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)*+ − 定义 设在过程 x → a ( a 可以是 x 0 , x 0 , 或 x 0 )中{ f ( x n )}, 即 f ( x1 ), f ( x 2 ), L , f ( x n ), L 为函数 f ( x )当 x → a 时的子列 .定理有数列 x n ( ≠ a ), 使得 n → ∞ 时 x n → a .则称数列若 lim f ( x ) = A, 数列 f ( x n )是 f ( x )当 x → ax→a n→ ∞时的一个子列 , 则有 lim f ( x n ) = A.xx y sin =11sin 1lim 22=++∞→n n n n1 y=sinx。
函数的四则运算
函数的四则运算函数是数学中的重要概念，用来描述输入和输出之间的关系。
函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
在本文中，我们将探讨函数的四则运算，并介绍每种运算的定义和性质。
加法运算：设有两个函数f(x)和g(x)，它们的加法运算定义为f(x) + g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相加得到的新函数。
例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) + g(x) = x^2 + 2x。
加法运算满足交换律和结合律，即对任意的函数f(x)，g(x)，h(x)，成立(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))。
减法运算：减法运算与加法运算类似，定义为f(x) - g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相减得到的新函数。
例如，若f(x)= x^2，g(x) = 2x，则f(x) - g(x) = x^2 - 2x。
减法运算满足减法的逆元素，即对任意的函数f(x)，存在一个函数-g(x)，使得f(x) + (-g(x)) = f(x) -g(x) = 0。
乘法运算：乘法运算定义为f(x) * g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相乘得到的新函数。
例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) * g(x) = x^2 * 2x = 2x^3。
乘法运算满足交换律和结合律，即对任意的函数f(x)，g(x)，h(x)，成立(f(x) * g(x)) * h(x) = f(x) * (g(x) *h(x))。
除法运算：除法运算定义为f(x) / g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相除得到的新函数。
但需要注意的是，在除法运算中，分母不能为零，即g(x) ≠ 0。
例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) /g(x) = x^2 / 2x = x/2。
导数四则运算
导数四则运算
导数四则运算包括加法、减法、乘法、除法。
1、加法。
当要求两个函数的导数叠加时，只需把两个函数的导数分
别相加即可。
例如：已知函数f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则
f(x)+g(x)的导数为2x+3。
2、减法。
当要求两个函数的导数相减时，只需把两个函数的导数分
别相减即可。
例如：已知函数f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则f(x)-
g(x)的导数为-x-7。
3、乘法。
当要求两个函数的导数相乘时，要使用乘法法则，即把两
个函数的导数分别相乘再加一个两个函数的乘积的导数。
例如：已知函数
f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则f(x)g(x)的导数为6x^3+2x^2-4x。
4、除法。
当要求两个函数的导数相除时，要使用除法法则，即把两
个函数的导数分别相除再减一个两个函数的商的导数。
例如：已知函数
f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则f(x)/g(x)的导数为(2x-7)/(3x^2-4x)。
奇(偶)函数的四则运算(老黄学高数第37讲)
第37讲 奇(偶)函数的 四则运算
1、证明：奇(偶)函数的和(差)，仍为奇(偶)函数. 证：设f,g是D上的函数，令函数F=f+g，函数G=f-g， 若f,g为D上的奇函数，则f(-x)= -f(x)；g(-x)= -g(x). F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x). G(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)+g(x)=-[f(x)-g(x)]=-G(x). 即F, G也是D上的奇函数； 若f,g是D上的偶函数，则f(-x)=f(x)；g(-x)=g(x). F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x). G(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=G(x). 即F, G也是D上的偶函数. 原命题得证.
推论3：若f是D上的非零奇(偶)函数，则c/f也是D上的 奇(偶)函数， c为任意常数.
若f,g为D上的偶函数，则f(-x)=f(x)；g(-x)=g(x). F(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x)=F(x). 即F为D上的偶函数；
(2)若f为奇函数，g为偶函数；则f(-x)= -f(x)；g(-x)=g(x).
F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x). 即F为D上的奇函数；
F(-x)=1/f(-x)=-1/f(x)=-F(x). 即F为D上的奇函数； 若f为D上的偶函数，则f(-x). 即F为D上的偶函数.
(2)令函数G(x)=g(x)/f(x)，则G(x)=g(x)·F(x).
由第2题的结论，原命题得证.
原命题得证.
推论2：若f是D上的奇(偶)函数，则cf也是D上的奇(偶) 函数， c为任意常数.
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函数的四则运算
函数的四则运算：设A ，B 是非空数集，且A ∩B ≠有两个函数f ：A →R ，g ：
B →R ，函数f 与g 的和f ＋g ，差f －g ，积f ·g ，商g f
分别定义为：
（f ＋g ）（x ）＝f （x ）＋g （x ），x ∈A ∩B ；
（f －g ）（x ）＝f （x ）－g （x ），x ∈A ∩B ；
（f ·g ）（x ）＝f （x ）·g （x ），x ∈A ∩B ；
)()()(x g x f x g f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，x ∈A ∩B －｛x |g （x ）＝0｝．
函数的运算是构造新函数的一种重要的方法．在这里，可以提及一下运算．运算贯穿于中学数学的全过程，而且导致了代数结构思想的形成．代数结构是数学结构中的母结构之一，另两种结构是序结构和拓扑结构．从集合论的观点来看，运算是一种映射．
设集合A 、B 、C ，把一个从A ×B →C 的映射叫做A ×B 到C 的一个代数运算或二元运算．
例如，实数的加、减、乘是R 上的代数运算，除法是R ×M （M ＝R ／0）到R 的代数运算．
了解了上述知识后，请同学们思考这样的问题：函数y ＝f （x ）＋g （x ）的图像与y ＝f （x ），y ＝g （x ）的图像有怎样的关系呢？可以通过以下的例子予以说明．
设f （x ）＝x ，x x g 2)(=，F （x ）＝f （x ）＋g （x ），请同学们试试利用y
＝f （x ）及y ＝g （x ）的图像画出y ＝F （x ）的图像．
参考答案
f （x ）＝x 的定义域D 1＝R ，
g （x ）＝x 2
的定义域D 2＝（－∞，0）∪（0，
＋∞），故F （x ）的定义域Ｄ＝D 1∩D 2＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．
F （x ）＝x ＋,x 2x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）．
过x 轴上不同于原点O 的任意点P （p ，0），作垂直于x 轴的直线l 交y ＝f
（x ）的图像于点A （p ，p ），交y ＝g （x ）的图像于点B （p ，p 2
），即PA ＝y A ＝p ，
PB ＝y B ＝.p 2
在l 上取点C ，使AC ＝PB ，于是PC ＝PA ＋AC ＝PA ＋PB ＝p ＋p 2
，即点C 是y ＝F （x ）的图像上的点．取一定数量的点P ，就能得到一定数量的点C ，然后用
描点法即可做出y＝F（x）的图像（如答案图1.2－1中的实线所示）．。