寒假专题复习简易逻辑
高一数学寒假作业02 常用逻辑用语(教师版)
高一数学寒假作业专题02常用逻辑用语1．命题：∀x∈Z,2x∈Z的否定为（）A．∀x∈Z,2x∉Z B．∃x∈Z,2x∉Z C．∀x∉Z,2x∉Z D．∃x∈Z,2x∈Z 【答案】B【解析】命题：∀x∈Z,2x∈Z为全称量词命题，其否定为∃x∈Z,2x∉Z；故选：B2．“a=1”是“函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数，即f(−x)=−f(x)，即f(−x)+f(x)=0，可得lg(√x2+1+ax)+lg(√x2+1−ax)=lg(x2+1−a2x2)=0，所以x2−a2x2=0，可得a=±1，所以“a=1”是“函数f(x)=lg(√x2+1−ax)为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.3．已知命题p：x2+x−2>0，命题q：x−1>0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为命题p：x>1或x<−2，命题q：x>1，所以p是q的必要不充分条件，故选：B4．设a>0且a≠1，则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分必要条件【答案】A【解析】若函数f(x)=a x在R上是减函数，则0<a<1，若函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数，则2−a>0，又a>0且a≠1，所以0<a<2且a因为集合(0,1)真包含于集合(0,1)⋃(1,2)所以“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2−a)x在R上是增函数”的充分非必要条件.故选：A5．命题“∀x∈[1,2]，3x2−a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤3D．a≤4【答案】A【解析】若“∀x∈[1,2],3x2−a≥0为真命题，得a≤3x2对于x∈[1,2]恒成立，只需a≤(3x2)min=3，所以a≤2是命题“∀x∈[1,2],3x2−a≥0为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.6．2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件.故选：B.7．若a,b∈R，则“a<b”是“lna<lnb”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，则lna<lnb⇔0<a<b而a,b∈R，当a<b时，a，b可能是负数或者是0，即lna或lnb可能没有意义，所以“a<b”是“lna<lnb”的必要不充分条件.8．下列四个结论中正确的个数是（）（1）设x<0，则4+x2x有最小值时4；（2）若f(x+1)为R上的偶函数，则f(x)的图象关于x=1对称；（3）命题“∃n∈N,2n>1000”的否定为：“∀n∈N,2n≤1000”；（4）命题“已知x,y∈R，若x+y=3，则x=2且y=1”是真命题．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】（1）∵x<0，∴−x>0，4−x >0，∴4+x2x=x+4x=−(−x+4−x)，∴(−x)+(4−x )≥2√(−x)(4−x)=4，当且仅当x=−2时取等号，∴4+x2x≤−4，∴（1）错；（2）∵函数y=f(x+1)为偶函数，∴函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，∵y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的，∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称．∴（2）对．（3）由命题的否定可判断正确；（4）令x=4,y=−1，满足x+y=3与x=2且y=1矛盾，∴（4）错．正确个数为两个.故选：B9．下列说法中，错误的是（）A．“x，y中至少有一个小于零”是“x+y<0”的充要条件B．已知a,b∈R，则“a2+b2=0”是“a=0且b=0”的充要条件C．“ab≠0”是“a≠0或b≠0”的充要条件D．若集合A是全集U的子集，则x∉∁U A⇔x∈A【答案】AC【解析】对于A，当x=3，y=−2时，满足x，y中至少有一个小于零，但无法推出x+y<0，A 说法错误；对于B，若a2+b2=0，则a=b=0；若a=b=0，则a2+b2=0，即“a2+b2=0”是“a =0且b=0”的充要条件，B说法正确；对于C，当a=0,b=1时，满足a≠0或b≠0，但此时ab=0，即无法推出ab≠0，C说法错误；对于D ，若集合A 是全集U 的子集，则(∁U A )∪A =U ，即命题“x ∉∁U A ”与“x ∈A ”是等价命题，D 说法正确. 故选：AC10．下列选项中，p 是q 的充要条件的是（ ） A ．p ：xy >0，q ：x >0，y >0 B ．p ：A ∪B =A ，q ：B ⊆AC ．p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形存在两角相等D ．p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分 【答案】BC 【解析】对于A ：由xy >0，得x >0，y >0或x <0，y <0，故P 不是q 的充要条件，故A 错误； 对于B ：由A ∪B =A ，则B ⊆A ，若B ⊆A 则A ∪B =A ，故P 是q 的充要条件，故B 正确； 对于C ：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P 是q 的充要条件，故C 正确； 对于D ：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p 不是q 的充要条件，故D 错误； 故选：BC11．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．a >1且b >1是ab >1的充分条件B ．“x >12”是“1x <2”的充分不必要条件C ．命题“∀x <1，x 2<1”的否定是“∃x ≥1，x 2≥1”D ．a +b =0的充要条件是ab =−1 【答案】AB 【解析】对于A ，当a >1，b >1时，ab >1，充分性成立，A 正确；对于B ，当x >12时，0<1x <2，充分性成立；当1x <2时，x >12或x <0，必要性不成立，则“x >12”是“1x <2”的充分不必要条件，B 正确；对于C ，由全称命题的否定知原命题的否定为：∃x <1，x 2≥1，C 错误； 对于D ，当a =0，b =0时，a +b =0，此时ab 无意义，充分性不成立，D 错误. 故选：AB.12．下列所给的各组p 、q 中，p 是q 的必要条件是（ ） A ．p ：△ABC 中，∠BAC >∠ABC ，q ：△ABC 中，BC >AC ； B ．p ：a 2<1， q ：a <2； C ．p ：ba<1，q ：b <a ；D ．p ：m ≤1，q ：关于x 的方程mx 2+2x +1=0有两个实数解． 【答案】AD【解析】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当∠BAC>∠ABC时，有BC>AC，当BC>AC时，有∠BAC>∠ABC，所以p是q的充要条件；对于B，由a2<1，得−1<a<1，则a<2一定成立，而当a<2时，如a=−2，a2<1不成立，所以p是q的充分不必要条件；对于C，由ba<1可知，当a>0时，b<a；当a<0时，b>a；而当b<a时，若a>0，则b a <1，若a<0，则ba>1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，当m=0时，关于x的方程mx2+2x+1=0只有一个实根，若关于x的方程mx2+2x +1=0有两个实数解时，则{m≠0Δ=4−4m>0，得m<1且m≠0，所以p是q的必要不充分条件；故选：AD13．已知“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，则实数的a取值范围为________．【答案】(−2,2)【解析】∵“∃x∈R，使得2x2+ax+12≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使2x2+ax+12>0”是真命题，∴判别式Δ=a2−4×2×12<0，∴−2<a<2.故答案为：(−2,2)．14．若命题p是“对所有正数x，均有x>x2+2”，则¬p是___________.【答案】∃x>0，使得x≤x2+2【解析】解：根据全称命题的否定为特称命题得命题p：“对所有正数x，均有x>x2+2”的否定¬p是：存在正数x，使得x≤x2+2.故答案为：∃x>0，使得x≤x2+2.15．下列四个结论：①“λ=0”是“λa⃗=0⃗⃗”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2+AC2=B C2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；④若a，b∈R，“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．其中正确命题的序号是________．【答案】①④【解析】当λ=0时，λa ⃗=0⃗⃗，当λa ⃗=0⃗⃗时，λ=0或a ⃗=0⃗⃗，①正确； 当△ABC 中∠B =π2，则AC 2=BC 2+AB 2，故②错误； 取a =0,b =1得到a 2+b 2≠0，故③错误；若a 2+b 2≠0，则a ，b 不全为0，若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0，故④正确； 故答案为：①④.16．在复数范围内，给出下面3个命题：①|a +b |2=a 2+2ab +b 2；②已知z 1、z 2、z 3∈C ，若(z 2−z 1)2+(z 3−z 1)2=0，则z 1=z 2=z 3；③z 是纯虚数⇔z +z =0.其中所有假命题的序号为______. 【答案】①②③ 【解析】①：等号的左边是非负实数，而右边不一定是非负实数，如a =1，b =i ，假命题. ②：取z 1=0，z 2=1，z 3=i ，则(z 2−z 1)2+(z 3−z 1)2=0，但z 1、z 2、z 3互不相等，假命题.③：当z =0时满足z +z =0，但z 不是纯虚数，所以z +z =0推不出z 是纯虚数，假命题. 故答案为：①②③17．已知p:∀x ∈R,ax 2−ax +1>0恒成立，q:∃x ∈R,x 2+x +a =0.如果p,q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(−∞,0)⋃(14,4) 【解析】若p 为真命题，当a =0时，可得1>0恒成立，满足题意； 当a ≠0时，则{a >0Δ=(−a )2−4a <0，解得0<a <4，∴当p 为真命题，实数a 的取值范围是[0,4). 若q 为真命题，则有Δ=12−4a ≥0，解得a ≤14， ∴当q 为真命题，实数a 的取值范围是(−∞,14]. ∵p,q 中有且仅有一个为真命题，∴当p 为真命题，q 为假命题时，实数a 的取值范围是[0,4)∩(14,+∞)=(14,4); 当p 为假命题，q 为真命题时，实数a 的取值范围是(−∞,0).综上，当p,q 中有且仅有一个为真命题时，实数a 的取值范围是(−∞,0)⋃(14,4). 18．已知集合M ={x ∣(x +3)(x −5)⩽0},N ={x ∣−m ⩽x ⩽m }. （1）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）当m ⩾0时，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的必要条件，求实数m 的取值范围.（1）[5,+∞) （2）[0,3] 【解析】（1）可得M ={x ∣(x +3)(x −5)⩽0}={x ∣−3⩽x ⩽5} 若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，则M ⊆N ，所以{−m ⩽−3m ⩾5，解得m ⩾5，所以实数m 的取值范围为[5,+∞)；（2）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的必要条件，则N ⊆M ， 因为m ⩾0，所以N ≠∅，则{m ⩾0−m ⩾−3m ⩽5，解得0⩽m ⩽3,综上所述，实数m 的取值范围为[0,3].19．将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“α⇒β”是否成立. （1）直角三角形的外心在斜边上； （2）有理数是实数；（3）面积相等的两个三角形全等. 【答案】（1）若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.α⇒β成立 （2）若一个数是有理数，则这个数是实数.α⇒β成立（3）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.α⇒β不成立 【解析】（1）命题改写成：若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上. 由直角三角形的外心是斜边的中点，可知α⇒β成立. （2）命题改写成：若一个数是有理数，则这个数是实数. 实数由有理数和无理数构成，即Q ⊆R ，可知α⇒β成立.（3）命题改写成：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等，可知α⇒β不成立.20．已知命题p ：“∀−1⩽x ⩽1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】 （1）(2,+∞)； （2）[6,+∞).（1）由题意命题p ：“∀−1⩽x ⩽1，不等式x 2−x −m <0成立”是真命题． ∴m >x 2−x 在−1⩽x ⩽1恒成立，即m >(x 2−x)max ，x ∈[−1,1]； 因为x 2−x =(x −12)2−14，所以−14⩽x 2−x ⩽2，即m >2， 所以实数m 的取值范围是(2,+∞)；（2）由p 得，设A ={m|m >2}，由q 得，设B ={m|a −4<m <a +4}， 因为q:−4<m −a <4是p 的充分不必要条件； 所以q ⇒p ，但p 推不出q ， ∴B ⫋A ； 所以a −4⩾2，即a ⩾6， 所以实数a 的取值范围是[6，+∞)．21．已知集合A 是函数y =√2−x 2的定义域，集合B ={x |x 2−2ax +a 2−1≤0}，其中a ∈R ． （1）若a =1，求A⋂B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）A⋂B ={x|0≤x <√2}； （2）1−√2<a <√2−1. 【解析】（1）由题设，A ={x|−√2<x <√2}，B ={x|a −1≤x ≤a +1}， 由a =1，则B ={x|0≤x ≤2}， ∴A⋂B ={x|0≤x <√2}.（2）由题意知：B ⊆A ，而a +1>a −1恒成立， ∴{a −1>−√2a +1<√2，可得1−√2<a <√2−1. 22．请在①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a 存在，求出a 的取值范围，若问题中的a 不存在，请说明理由．问题：已知集合A {x |0≤x ≤4}，B ={x |1−a ≤x ≤1+a }(a >0)，是否存在实数a ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的______？ 【答案】答案见解析. 【解析】选①，则A 是B 的真子集，则1−a ≤0且1+a ≥4（两等号不同时取）， 又a >0，解得a ≥3，∴存在a ，a 的取值集合M ={a |a ≥3}选②，则B 是A 的真子集，则1−a ≥0且1+a ≤4（两等号不同时取），又a>0，解得0<a≤1，∴存在a，a的取值集合M={a|0<a≤1}选③，则A=B，则1−a=0且1+a=4，又a>0，方程组无解∴不存在满足条件的a.。
高中一年级数学寒假作业
练习一(集合与简易逻辑) 一、选择题1、数0和空集φ的关系是( )(A) 0∉φ(B) 0∈φ(C) 0=φ(D) 0⊆φ2、满足关系式{1,2}⊆A⊂≠{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( ).(A)4 (B)6 (C)7 (D)83、设集合A={x|x=2n,n∉N},B={x|x=3n,n∉N }, 则A⋂B=( ).(A) {x|x=5n,n∉N }(B) { x|x=6n,n∉N }(C) { x|x=2n,n∉N }(D) { x|x=3n,n∉N }4、集合A={ x|ax+b≠0 },B={ x|cx+d≠0 }全集U=R,则{x|(a+b)(cx+d)=0}等于( )(A)(ωA)⋂(ωB) (B)(ωA)⋃B(C)A⋃(ωB) (D)(ωA)⋃(ωB)5、如果P={ x|(x-1)(2x-5)<0},Q={ x|0<x<10},那么( )(A)P⋂Q=φ(B)P⊂≠Q (C)Q⊂≠P (D)P⋃Q=R6、若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则P⋂Q等于( )(A)P (B)Q (C)φ(D)R7、已知全集U={1,2,3,4,5},A⋂(ωB)={2,5},(ωA)⋂B={3},(ωA)⋂(ωB)={1},则下列判断正确的是( )(A)2∈(ωA) (B)3∈A (C)4∈(A⋂B) (D)5∈(A⋂B)8、若命题P：{4}∈{x|x10≥},命题q：φ⊂≠{10},对复合命题的下述判断：①p或q为真②p或q为假③p且q为真④p且q为假⑤Tp为真⑥Tp为假,其中正确的是( )(A)①④⑤ (B)①③⑤ (C)②④⑥ (D)①④⑥9、已知集合M={0,1,2,3,4},N={0,2,4,8},集合A⊆M且A⊆N,则A的个数是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)1010、当a<0时,|ax|>b (b>0)的解集是( ) (A) {x|x<-a b 或x>a b } (B) {x|x<a b 或x>-a b} (C) {x|-a b <x<a b } (D) {x|a b <x<-a b}11、如果x 满足0321<++x x ,则化简12412922++-+-x x x x 的结果是( )(A) x-4 (B) 2-3x (C) 3x-2 (D) 4-x12、若A={x||x-1|<2},B={x|x-1|>1},则A ⋂B 等于( )(A) {x|-1<x<3} (B) {x|x<0或x>3}(C) {x|-1<x<0} (D) {x|-1<x<0或2<x<3}二、填空题13、若集合{x ∈R|x 2+ax+1=0}中只含有一个元素,则a=_________.14、已知A={x|x<-1或x>3},B={x|x<-a 或x>a},若B ⊂≠A,则a 的取值范围是_____________. 15、含有三个实数的集合可表示为{a, a b,1},也可表示为{a 2,a+b,0},则a 2003+b 2004的值为________.16、不等式|3-2x|≥5的解集是__________.三、解答题17、若A={0,1}B={x|x ⊆A},M={A},求C B M.18、不等式ax 2+az-5<0的解是一切实数,求a 的取值范围.19、方程x 2-px+15=0的解集是A,x 2-5x+q=0的解集为B,若A ⋂B=3,求A ⋃B.20、分别写出命题“若x 2+y 2=0,则x,y 全为零”的逆命题,否命题和逆否命题. 21、已知A={x|2x 2=sx-r},B={x|6x 2+(s+2)x+r=0},且A ⋂B={21},求A ⋃B.22、已知集合A={x|ax2+2x+1=0},①若A中只有一个元素,求a的值并求出这个元素,②若A 中至多只有一个元素,求a的取值范围.练习二(函数)一、选择题1、函数y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为( )(A)至多有一个(B)至少有一个(C)必定有一个(D)有一个或两个2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围是( )(A) a≤-3(B) a≥-3(C) a≤5(D) a≥33、下列各组函数中,表示同一函数的是( )(A) y=2x和y=(x)2(B) |y|=|x|和y3=x3(C) y=log a x2和y=2log a x(D) y=x和y=log a a x4、在对数式log 1-a N =b 中,下列对a,b ,N 的限制条件是( )(A) a>1,N ≥0,b ∈R(B) a>1且a ≠2,N ≥0,b ∈R(C) a>1且a ≠2,N>0,b ∈R(D) a>1且a ≠2,N>0,b>0.5、函数y=(x-1)2 (x<1)的反函数是( ) (A) y=x +1 (x>0) (B) y=-x +1 (x>0) (C) y=x -+1 (x<0) (D) y=-x +16、据报道,青海湖水在最近50年内,减少了10%,如果按此规律,设2000年的湖水量为m,从2000年起,过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是( ) (A) y=0.950x m (B) y=(1-0.150x )m(C) y=0.9x 50m(D) y=(1-0.1x 50)m7、设f(x)=11+-x x ,则f(x)+f(x 1)为( ) (A)11+-x x (B)x 1(C)1(D)08、已知f(x)=2x+3,y(x+2)=f(x),则y(x)的表达式为( )(A)2x+1(B)2x-1(C)2x-3(D)2x+79、若函数y=f(x)的定义域为[-1,1],k ∈(0,1),则F(x)=f(x-k)+f(x+k)的定义域为( )(A)[k-1,k+1](B)[-k-1,1-k](C)[k-1,1-k](D)[-k-1,k+1]10、已知函数y=f(x)的定义域为[-∞,0]内存在反函数,且f(x-1)=x 2-2x,则f -1(-41)=( )(A) -23(B) 23(C) -22(D) 2212、当x>0时,函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( )(A) 1<|a|<2(B) |a|<1(C) |a|>1(D) |a|>2二、填空题 13、函数y=1||22--x x x 的定义域是_______________.14、函数f(x)=2x+2（-1≤x<0）， -21x （0<x<2），3（ x ≥2）,则f{f[f(-43)]}的值为__________15、y=a x-1+2 (a>0,且a ≠1)必过定点__________.16、35212-=_____________.三、解答题17、已知f(2x+1)=x 2-2x,(1)求f(2)的值,(2)函数y=f(x)的解析式.18、用定义证明函数f(x)=x +11在区间(-∞,-1)上为减函数.19、定义在(-1,1)上的函数f(x)是减函数,且满足f(1-a)<f(a 2-1),求实数a 的取值范围.20、已知函数y=2|x-2|(1)做出函数图象；(2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x 为何值时,函数有最小值,最小值是多少？21、当x 为何值时, x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛2243>33243++⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ?22、已知函数f(x)=1-252+ax 的定义域[-5,0],它的反函数为y=f -1(x)且点p(-2,-4)在y=f -1(x)的图象上,求实数a 的值并求f -1(x).练习三(数列)一、选择题1、数列{a n }是等差数列的一个充要条件是( )(A) s n =an+b(B) s n =an 2+bn+c(C) s n =an 2+bn (a ≠0)(D) s n =an 2+bn2、等差数列{a n }中,s 10=120,那么a 5+a 6的值为( )(A)12(B)24(C)36(D)483、等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=21,则s 9等于( )(A)63(B)62(C)126(D)1244、在等差数列中,若s m =s n (m .n ∈N*,且m ≠n),则s m+n 的值为( )(A) s m +s n (B) 21(s m +s n )(C) 0(D) 以上都不对5、等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n与T n,若132+=nnTSnn,则100100ba等于( )(A) 1(B)32(C)299199(D)3012006、已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为( )(A)23(B)13 3(C)12(D)157、某商品价格前两年每年平均递增20%,后两年每年平均递减20%,那么四年后的价格与原价格相比变化情况是( )(A) 增加7.84%(B) 不增也不减(C) 减少9.5%(D) 减少7.84%8、已知等比数列的各项均为正数,第5项与第4项的差为576,第2项与第1项的差是9,那么这个数列的前5项的和是( )(A)1024(B)1023(C)10219、在等比数列{a n }中,a 9=-2,则此数列前17项之积等于( )(A)216(B)-216(C)217(D)-21710、等比数列{a n }的首项a 1=1,公比q ≠1,如果a 1,a 2,a 3依次是某等差数列的第1,2,5项,则q 等于( )(A)2(B)3(C)-3(D)3或-311、某工厂购买一台机器价格为a 万元,实行分期付款,每期付款为b 万元,每期为一月,共付12次(一年付清),如果按月利率8%,每月复利一次计算,则a 、b 满足( ) (A) b=12a(B) b=()12%8112+a (C) b=()12%81+a (D) 12a <b<()12%8112+a12、设等比数列{a n }的前n 项和为s n ,若s n =A,s 2n - s n =B,s 3n - s 2n =C,则下列各式一定成立的是( )(A)A+B=C(B)A+C=2B(D)AC=B 2二、填空题13、一等差数列前100项之和为400,前150项之和为300,则前200项之和为_________.14、12-22+32-42+52……+992-1002=___________.15、若x,2x+2,3x+3成等比数列,则x=_____________.16、211⨯+321⨯+431⨯+……+)1(1+n n =_________________.三、解答题17、已知数列{a n }为等差数列,a p =q,a q =p,且p ≠q,求a p +q.18、数列{a n }各项的倒数组成一个等差数列,若a 3=31,a 5=71,求数列{a n }的通项公式.19、已知四个数构成等差数列,前三个数的和为6,第一个数和第四个数的乘积为4,求这四个数.20、在等差数列{a n }中,共有3m 项,前2m 项的和为100,后2m 项的和为200,求中间m 项的和.21、已知数列{a n }满足：lga n =3n+5,试用定义证明{a n }是等比数列.22、已知数列{a n }中,a n =3,a n+1=a n +2n,求a n .参考答案 练习一(集合与简易逻辑)一、选择题1、A2、C3、B4、D5、B6、B7、C8、A9、C 10、B11、B 12、D二、填空题13、2±14、a 3≥15、-116、{x|x ≥4或x ≤-1}三、解答题17、∵A={0,1},B={x|x ⊆A }∴B={,φ{0},{1},{0,1}}∵M ={A }∴M={{0,1}}∴C B M={,φ{0},{1}}.18、当a=0时,不等式化为：-5<0,恒成立.当a ≠0时,由题意得：a<0 由②得：a 2+20a<0 则-20<a<0,∆<0 -20<a<0,综上所述,a 的取值范围是-20<a ≤0.19、∵A ⋂B=3 ∴3A ∈且3∈B.由3A ∈,得32-3p+15=0,解得P=8,方程x 2-8x+15=0的解集A={3,5} 由3B ∈,得32-5⨯3+q=0,解得q=6,方程x 2-5x+6=0的解集B={2,3} ∴A ⋃B={3,5}⋃{2,3}={2,3,5}20、逆命题：若x 、y 全为零,则x 2+y 2=0.否命题：若x 2+y 2≠0,则x,y 不全为零.逆命题：若x,y 不全为零,则x 2+y 2≠0.21、∵ A ⋂B={21} ∴21A ∈且21B ∈,由题意得: 2×(21)2=21s-r ①6×(21)2+21×(s+2)+r=0 ②解得 s=-2, r=-23代入集合A 、B 得: A={21,-23},B={21,-21},∴ A ⋃B={-23,-21,21}22、① 当a=0时,x=-21,满足题意.当a ≠0时,∆=4-4a=0,a=1,此时x=-1,满足题意.②当a=0时,显然成立；当a ≠0时,∆=4-4a ≤0,a ≥1;综上,若A 中至多只有一个元素,则a=0或a ≥1. 练习二(函数)一、选择题1、A2、A3、D4、C5、B6、A7、D8、B9、C 10、A11、A 12、D二、填空题13、[0,1) ⋃(1,2]14、2315、(1,3)16、57-三、解答题17、(1)令2x+1=2,则x=21(2-1) ∴f(2)=(212-)2-2×212-=47-232(2)令2x+1=t,则x=21-t ∴f(t)=(21-t )2-2·21-t =41t 2-23t+45∴f(x)=41x 2-23x+45. 18、设x1<x2<-1,那么f(x1)-f(x2)=111+x - 112+x =()()112112++-x x x x ,∵x 1<x 2<-1, ∴x 1+1<0,x 2+1<0,x 2-x 1>0, ∴f(x 1)-f(x 2)>0. 因此函数f(x)在(-∞,-1)上为单调减函数.19、由题意可得：-1<1-a<1 ①-1<a 2-1<1 ②1-a>a 2-1 ③解得：0<a<120、(1)图略(2)单调减区间为(-∞,2],单调增区间为[2,+∞).(3)当x=2时,y m 2m =1.21、2x 2+x<x 2+3x+3,-1<x<3.22、∵p(-2,-4)在y=f -1(x)的图象上,∴(-4,-2)在y=f(x)的图象上. ∴-2=1-()2542+-⨯a ,a=-1.f(x)=1-252+-x , x ∈[-5,0] ∴f(x)∈[-4,1].由y=1-252+-x .x ∈[-5,0] 得：x=-()2125y --,y ∈[-4,1], ∴f -1(x)=-()2125x --,x ∈[-4,1]练习三(数列)一、选择题1、D2、B3、A4、C5、C6、C7、D8、B9、D 10、B11、D 12、D二、填空题13、014、-505015、-416、1-11+n三、解答题17、d=q p a a qp --=q p pq --=-1,a p+q =a p +(p+q-p)d=q-q=0.18、设b n =n a 1和{b n }成等差数列,其公差设为d,则b 3=31a =3,b 5=51a =7 ∴d=3535--b b =2 ∴b n =b 3+(n-3)d=3+2(n-3)=2n-3.∴a n =n b 1=321-n .19、设所求的四个数分别为a-d,a,a+d,a+2d 根据题意可得： (a-d)+a+(a+d)=b ① (a-d)(a+2d)=4 ② 解得a=2,d=0或1.因此所求的四个数分别为2,2,2,2或1,2,3,4.20、[解法一]：由已知2ma 1+2)12(2-m m d=100 ①2m(a 1+md)+2)12(2-m m d=200 ②②-①整理得：d=250m ,代入①可得：a 1=225m∴s 2m -s m =75.[解法二]由已知s m ,s 2m -s m ,s 3m -s 2m 成等差数列,即2(s 2m -s m )= s m +(s 3m -s 2m ).又由已知s 2m =100,s 3m -s 2m =200,∴ s 2m -s m =()423mm m s s s +-=4300=7521、证明：由lga m =3n+5,得a n =103n +5,n n a a 1+=()535131010+++n n =1000.∴数列{a n }是公比为1000的等比数列.22、由a n+1=a n +2n 得a n =a n-1+2n-1即a n -a n-1=2n-1a n-1- a n-2=2n-2a n-2- a n-3=2n-3……a 2- a 1=2∴ a n -a 1=()212121---n =2n -2.因此,a n=2n-2+a1=2n+1.。
专题02 简易逻辑
简易逻辑条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第1课时逻辑联结词和四种命题1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： . 2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（）A．p:0＝∅；q:0∈∅B．p：在∆ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；:q y＝sin x在第一象限是增函数C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)．变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”真值不同D ．命题q 和命题p 的真值不同解： D例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．⎪⎩⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或；(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤21312m m m ．综合，得m 的取值范围是{21≤<m m 或3≥m }．变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 ： 由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x ax （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a ≤;21若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤21或a ≥1.例4. 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，则0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x 0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π．00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．变式训练4：已知下列三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.解：设已知的三个方程都没有实根．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a 解得123<<-a ．故所求a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－23．1．有关“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．第2课时 充要条件p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．2．必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．3．充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．例1．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由．1． A ：R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根；2． A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=；3．A ：132>-x ；B ：0612>-+x x ；4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：.)(2222r b a c +=分析：要判断A 是B 的什么条件，只要判断由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可．解：(1) 当2≥p ，取4=p ，则方程0742=++x x 无实根；若方程+2x 03=++p px 有实根，则由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件．(2)若πβαk 2=+则βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又所以βαβαsin sin )sin(+=+成立若βαβαsin sin )sin(+=+成立 取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立，故A 是B 的充分不必要条件． (3) 由21132><⇒>-x x x 或，由0612>-+x x 解得23>-<x x 或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ，故A 是B 的必要非充分条件．(4) 直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的距离r d =，即22b a c +＝2c r ⇔＝222)(r b a +.所以A 是B 的充要条件.变式训练1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）在△ABC 中，p ：∠A=∠B ，q ：sinA=sinB （2）对于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6; （3）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B（4）已知x 、y ∈R ，p ：（x-1）2+（y-2）2=0，q ：（x-1）（y-2）=0.解： （1）在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，若sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例2. 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：若方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2． 则0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．又若－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．则方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件． 综上所述，p 是q 的必要非充分条件．变式训练2：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：若ac<0,则b 2-4ac>0,且ac<0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=ac<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3. 已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.解： 由题意知：命题：若┒p 是┑q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p : |1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q : x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0，∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1＋m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9310121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)变式训练3：已知集合{||1||3|8}M x x x =++->和集合2{|(8)80}P x x a x a =+--≤，求a 的一个取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要不充分条件. 解：}53|{>-<=x x x M 或，}0)8)((|{≤-+=x a x x P 由,}85|{时≤<=x x P M ,3,35≤≤≤-a a 此时有}85|{3≤<=≠>≤x x P M a 但所以}85|{3≤<=≤x x P M a 是是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.例4. “函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x轴上方，若)(x f 是一次函数，则10)1(40542=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+a a a a若函数是二次函数，则：[]⎪⎩⎪⎨⎧<-+--->-+0)54(12)1(4054222a a a a a 191<<⇒a 反之若19|<≤a ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是19|<≤a ．变式训练4：已知P ＝{x | |x －1| | >2}，S ＝{x | x2＋}(1)0a x a ++>，P x ∈且的充要条件是S x ∈，求实数a 的取值范围．分析：P x ∈的充要条件是S x ∈，即任取S x P x ∈⇒∈S P ⊆∴，反过来，任取P x S x ∈⇒∈P S P S =∴⊆∴据此可求得a 的值．解： P x ∈的充要条件是S x ∈.S P =∴∵P ＝{x || x －1|＞2}}＝),3()1,(+∞--∞S ＝{x | x2＋(a ＋1)x ＋a ＞0)}＝{x | (x ＋a)(x ＋1)＞0}1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念． 2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．简易逻辑章节测试题一、选择题1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈∈那么或""x MP ∈是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是 （ ）A.a ≥1B.a ≤1C.a ≥-3D.a ≤-34.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）7.(2008·浙江理，3)已知a,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m 2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A ∩B={4}”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 9.若数列{a n }满足221nn a a +=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10.命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=2|1|--x 的定义域是(][)∞+--∞，，31 ，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 二、填空题11．已知数列}{n a ，那么“对任意的n ∈N*，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的 条件．12.设集合A={5,log 2（a+3）}，集合B={a ，b}，若A ∩B={2}，则A ∪B= .13.已知条件p ：|x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，则非p 是非q 的 条件.14.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,则a 的取值范围为 .15.已知下列四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题16．设命题p ：（4x-3）2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.18．设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是 的必要不充分条件，求a 的取值范围.19．(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.20．已知0>c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减，q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．简易逻辑章节测试题答案1．B2.A3.A4.C5.B6.B7. D8.A9.B 10. D11．充分而不必要条件 12.{1，2，5} 13.充分不必要 14.a ≥115.若①③则②（或若①②则④或若①③则④）16．解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知A={x|21≤x ≤1},B={x|a ≤x ≤a+1}.由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范围是［0，21］.17．解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于01<+a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1. 方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0, ∴x=1满足条件；若a ≠0，∵Δ=(a 2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a 2+a)+1-4a(a+1)=(a 2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa a a a 解得a ≤-1,∴至少有一正根时应满足a>-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1. 18．解 设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0} ={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={}.24|-≥-<x x x 或方法一 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝. 则{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x|R B={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-xx {},0,3|<≥≤a a x a x x 或 则⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或方法二 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a ≤-4或3a ≥-2,又∵a<0, ∴a ≤-4或-32≤a<0. 19．解（1）当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时， “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求. 20．解：函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c 不等式||2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数 |2|c x x y -+=，在R 上恒大于1⎩⎨⎧<≥-=-+∴cx c cx c x c x x 2,22,22|2| ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2 ∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R2112>⇔>⇔c c ，如果p 正确，且q 不正确 则210≤<c ，如果p 不正确，且q 正确，则1≥c ，所以c 的取值范围为[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,121,0．。
(寒假总动员)2019年高三数学寒假作业 专题02 简易逻辑及其应用(学)
（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题02 简易逻辑及其应用（学）学一学------基础知识结论1.四种命题及其关系四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假②两个命题互为逆命题或否命题，他们的真假性不确定充分条件、必要条件与充要条件“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q ，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果既有p⇒q，又q⇒p ,记作p⇔q，则p是q的充分条件，p也是q的必要条件.一个等价关系互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断.命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断p q p∧q p∨q ⌝p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真例1. 【2014泉州一模】若p是真命题，q是假命题，则（）⌝是真命题A. p∧q是真命题B. p∨q是假命题C. ⌝p是真命题D. q全称量词与存在量词全称命题与特称命题①短语“所有的”“任意一个”这样的词语，一般在指定的范围内都表示食物的全体，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x M ∈，则p(x)成立.②短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可以用符号简记为：0x M∃∈，则0()p x 成立.例 2.【2014年四川高三上（文）第一次测试卷】设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则 （ ）A ．:,2p x A xB ⌝∃∈∈B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉（2）含有一个量词的命题的否定 命题命题的否定∀x M ∈，p(x)0x M∃∈，0()p x0x M∃∈，0()p x∀x M ∈，p(x)学一学------方法规律技巧 两种方法充分条件、必要条件的判断方法：定义发：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假. 集合法：记{},{}A x x pB x x q =∈=∈.若A B ⊆，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B =，则p 是q 的充要条件.例 3.（2013年高考福建卷（文））设点),(y x P ,则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件一个逆用p ∧q 为真，可知p ，q 都为真，p ∨q 为真，可知p ，q 至少有一个为真，p ∨q 为假，两个一定都假. 两点提醒注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提.注意命题所含的量词，对于两次隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定. 例4.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠.⑴若22a =,求1a 及na ;⑵若21a >-,求证:1()2n n nS a a ≤+,并给出等号成立的充要条件.。
第一章《简易逻辑》复习
（2）特称命题：
含有存在量词的命题. 含有存在量词的命题. 存在量词的命题 形式： 形式： x ∃
0 ∈M, P(x0 )
复习练习：
• 练1、写出下列命题的否命题 （1）若a、b都是偶数，则a+b是偶数； （2）若 x 2 = 1 ，则x=1或x=-1； （3）若 x 2 + y 2 = 0 ，则x=0,且y=0； （4）若abc=0,则a、b、c至少有一个为0. •
3、复合命题的真假判断
p∨q p∧q ¬p
一真则真 一假则假 你真我假
“¬”
2、简单命题与复合命题
（1）简单命题：
不含逻辑联结词的命题. 不含逻辑联结词的命题. 逻辑联结词的命题
（2）复合命题：
由简单命题和逻辑联结词构 简单命题和逻辑联结词构 成的命题. 成的命题. 常见形式： 常见形式：
p∨q p∧q ¬p
三、全称量词 与 存在量词 注意：
1、全称量词与存在量词
任意的、所有的、对一切、 如：任意的、所有的、对一切、…
3、全称、特称命题的否定
否定为： ∀x∈M, P(x) 否定为：
（1）全称量词： （读作：任意的）（1）全称命题的否定： ∀ 读作：任意的） （2）存在量词：∃ 读作：存在） （读作：存在）
必要不充分 条件 ) 练2、 (1“−2 ≤ a ≤ 2”是“一元二次方程 x + ax + 1 = 1或x < −3，q : 5 x − 6 > x 2 ,则¬ p是¬ q的 充分不必要 条件
的充分不必要条件， （3） p : x + 1 > 2， q : x > a ，且 ¬ p 是 ¬ q 的充分不必要条件，则 取值范围是 a的
简易逻辑的复习
教师：杨老师年级：高二科目：数学姓名:________日期: 2014 年月日★教学内容：简易逻辑的复习★教学目标：1.解命题的概念和命题的构成．2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3.会分析四种命题的相互关系．4.理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．5.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．★重难点：1.考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．★教学步骤：一、作业检查二、错题讲解三、上节回顾四、本节内容知识点梳理：一、命题及简要逻辑1．命题（1）命题的定义：可以判断真假的陈述句叫做命题．（2）四种命题的形式：（3）四种命题的关系：方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则⌝q”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p，则⌝q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论2.全称量词与存在量词（1）全称量词：“所有的”、“任意一个”，用“∀”表示。
含有全称量词的命题叫全称命题。
（2）存在量词：“存在一个”、“至少一个”，用“∃”表示。
含有存在量词的命题叫特称命题。
（3）含有一个量词的否定（4）常见关键词的否定基础自测1．（2012重庆高考）命题“若p，则q”的逆命题是（）A ．若q ，则pB ．若p ⌝，则q ⌝C ．若q ⌝，则p ⌝D ．若p ，则q ⌝ 2．（2012安徽高考）命题“存在实数x ，使1x > ”的否定是（ ） A ．对任意实数x ， 都有1x > B ．不存在实数x ，使x 1≤ C ．对任意实数x ， 都有x 1≤ D ．存在实数x ，使x 1≤3．（2012海淀二模）已知命题p ：x R ∃∈，x x 21sin <． 则p ⌝为（ ） A ．x R ∃∈，x x 21sin = B ．x ∀∈R ，x x 21sin <C ．x R ∃∈，x x 21sin ≥D ．x ∀∈R ，x x 21sin ≥4．（2012东城二模）下列命题中，真命题是（ ）A ．x ∀∈R ，210x --<B ．0x ∃∈R ，2001x x +=-C ．x ∀∈R ，2104x x -+> D ．0x ∃∈R ，200220x x ++< 典例剖析【例1】（2012济南质检）已知,,a b c R ∈，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是（ ） A ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++< B ．若3a b c ++=，则2223a b c ++< C ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥ D ．若2223a b c ++≥，则3a b c ++=【变式】（2012湖北高考）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数考点2 命题真假的判断【例2】（2012朝阳二模）如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则（ ） A ．命题“p ⌝或q ”是假命题B ．命题“p 或q ”是假命题C ．命题“p ⌝且q ”是真命题D ．命题“p 且q ⌝”是真命题【变式】（2012广州二模）下列说法正确的是（ ） A ．函数1()f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“210x R,x x ∃∈++>”的否定是“210x R,x x ∀∈++<”D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则⌝p 是假命题考点3 利用命题的真假求参数的取值范围【例3】（2012济南质检）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；命题q ：方程22(2)10x m x +-+=无实根．若“p 且q ” 为真命题，求实数m 的取值范围．【变式】(2013安徽师大附中)已知命题p ：∃R m ∈，10m +≤，命题q ：R x ∀∈，210x mx ++>恒成立．若q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≥B ．2m ≤-或1m >-C ．2m ≤-或2m ≥D ．22m -≤≤二、判定充分条件、必要条件的三种方法： 1．定义法：若A B ⇒，则A 是B 的 充分 条件，B 是A 的 必要 条件． 若B A ⇒，则A 是B 的 必要条件，B 是A 的 充分条件． 若B A ⇔，则A 是B 的 充要 条件． 2．利用集合的包含关系若A B ⊆，则A 是B 的 充分 条件，B 是A 的 必要 条件． 若AB ，则A 是B 的 充分不必要 条件．若A B =，则A 是B 的 充要 条件．基础自测1．（2012茂名二模）“0>>b a ”是“22b a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．（2012济南质检）“21x ≥”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．（2012韶关一模）下列命题正确的是（ ）A ．2000,230x R x x ∃∈++= B ．32,x N x x ∀∈>C ．1x >是21x >的充分不必要条件D ．若a b >,则22a b >4．（2012东莞一模）下列命题中的假命题．．．是（ ） A ． 0,3<∈∃x R x B ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件 C ． 02,>∈∀x R x D ．“2x <”是“2x <”的充分不必要条件典例剖析考点1 充分条件与必要条件的判定【例1】（2011湖南高考）设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【变式】（2012惠州一模）“0a >”是“20a a +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例2】“2=a ”是“函数1)(2++=ax x x f 在区间[1,)-+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式】（2012山东高考）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点2 充分条件与必要条件的应用 【例3】（2013聊城质检）已知p ：20100x x +≥⎧⎨-≤⎩， q ：11(0)m x m m -≤≤+>，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．【变式】已知命题 p ：2220(0)x ax a a --≤>，命题 q ：260x x --<，若p ⌝是q ⌝的必要不充分 条件，则实数a 的取值范围是_______．课堂练习： 一、选择题1．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 2．(2012·山东高考)设命题p：函数y＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( )A．p为真 B ．非q为假 C．p∧q为假 D ．p∨q为真3．下列命题中的真命题是( ) A．x 0∈R，使得sin x 0＋cos x 0＝32 B．x∈(0，＋∞)，e x＞x＋1 C．x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0 D．x∈(0，π)，sin x ＞cos x4．(2013·深圳调研)已知a＞0，函数f(x)＝ax 2＋bx＋c，若x 1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( ) A．x 0∈R，f(x 0)≤f(x 1)B ．x 0∈R，f(x 0)≥f(x 1) C．x∈R，f(x)≤f(x 1)D ．x∈R，f(x)≥f(x 1)5．(2013·广州模拟)已知命题p：m∈R，m＋1≤0，命题q：x∈R，x 2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则实数m的取值范围为( ) A．m≥2B．m≤－2或－1＜m＜2 C．m≤－2或m≥2 D ．－2≤m≤2二、填空题6．(2013·河源质检)命题：“对任意k＞0，方程x 2＋x－k＝0有实根”的否定是________． 7．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面． 命题p：若α∥β，m α，n β，则m∥n； 命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q. 真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．三、解答题8．已知函数f(x)＝x 2，g(x)＝x－1.若0∈R使f(x 0)＜b·g (x 0)，则实数b的取值范围是________．9．已知命题p：“[1，2]，x 2－a≥0”，命题q：“∈R，x 20＋2ax 0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．10．(2013·清远质检)已知a＞0，命题p：＞0，x＋ax≥2恒成立；命题q：，直线kx－y＋2＝0与椭圆x 2＋y2a 2＝1有公共点．是否存在正数a，使得p∧q为真命题，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由．11．(2013·广东五校联考)设p：f(x)＝2x－m在区间(1，＋∞)上是减函数；q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1，1]恒成立．若非p∧q为真，试求实数m的取值范围．课后作业：一、选择题1．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝0，b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，a，b∈R，则a≠0或b≠0B．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a＝0或b＝0，则a2＋b2＝0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 3．(2013·佛山质检)已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．(2013·佛山质检)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题6．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．7．(2013·潮州模拟)已知p：1≤x≤5，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是________．8．“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充要条件是________．◆学生对本周课小结：___________________________________________________________◆教师点评：学生签名：家长签名：______年_＿月_＿日。
简单逻辑
简单逻辑与充要条件第一节 简易逻辑【知识必备】1．逻辑联结词与四种命题（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p 且q ，p 或q ，非p ；（3）复合命题的真假：①对p 且q 而言，当q 、p 为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假。
②对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真。
③对非P 而言，当p 为真时，非p 为假；当p 为假时，非p 为真。
(命题的否定)（4）四种命题：记“若p 则q ”为原命题，则：否命题为: ，逆命题为: ，逆否命题为: 。
其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。
因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
2.全称量词与特称量词（1）全称量词与存在量词①全称量词：用符号“”表示。
②存在量词：用符号“”表示。
（2）全称命题与特称命题①全称命题：含有全称量词的命题。
“对任意x ∈M ，有p （x ）成立”简记成 。
②特称命题：含有存在量词的命题。
“存在x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成 。
【题型分析】题型一: 复合命题中以非P 考察最多1.如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ” 是真命题，那么 （ ）A.命题p 一定是真命题B.命题q 一定是真命题C.命题q 一定是假命题D.命题q 可以是真命题也可以是假命题2.已知命题，命题的解集是，下列结论：①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题；③命题“”是真命题； ④命题“”是假命题其中正确的是 （ ）A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④3.（1）p ：有些质数是奇数，写出“非p”： 。
（2）p ：方程x2-5x+6=0有两个相等的实根，写出“非p”： 。
（3）p ：四条边相等的四边形是正方形。
写出“非p”： 。
4.写出下列命题的否定，并判断其真假(1)不论m 取什么实数，20x x m +-=必有实根。
∀∃tan 1p x R x ∃∈=：，使2320q x x -+<：{|12}x x <<p q ∧p q ∧⌝p q ⌝∨p q ⌝∨⌝(2)存在一个实数x ，使得210x x ++≤。
高考数学专题复习全集-03简易逻辑--反证法
原结论词 有无穷多个
存在唯一的
对任意 x, 使…恒成立
反设词 只有有限多个 不存在或至少存在两个 至少有一个 x, 使…不成立
4.引出矛盾的形式 ①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立; ②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立; ③由假设结论 q 不成立, 得到一种恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.
①结论本身以否认形式出现; ②结论是“最少”、“至多”、“唯一”、“都是” 等③形 结式 论涉; 及“存在或不存在”，“有限或无限”等 形④式 结;论的背面比原结论更具体或更易于证明.
3.特殊结论的反设
原结论词 大于(>) 小于(<) 都是
都不是
至少 n 个 至多 n 个
反设词 不大于(≤) 不小于(≥) 不都是 至少有一个是 至多 n-1 个 至少 n+1 个
∴△1, △2, △3 中最少有一种非 故 负所. 述三个方程中最少有一种方程有实数根.
2.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a, bR), 当 x[-1, 1] 时, |f(x)| 的最
大值为 M,
求证:
M≥
1 2
.
证:
假设
M<
1 2
,
则
|f(1)|=|1+a+b|<
1 2
,
|f(0)|=|b|<
大值为 M,
求证:
M≥
1 2
.
3.方程 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上有解, 求实数 m 的取值范畴.
1.证: 设三个方程的鉴别式分别为△1, △2, △3,
由 △1+△2+△3=b2 -ac+c2 -ba+a2 -cb = 12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0
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寒假专题复习——简易逻辑
一、选择题：
1．若命题p ：2n －1是奇数，q ：2n ＋1是偶数，则下列说法中正确的是 （ ）
A ．p 或q 为真
B ．p 且q 为真
C ． 非p 为真
D ． 非p 为假
2．“至多三个”的否定为
（ ） A ．至少有三个 B ．至少有四个 C ． 有三个 D ． 有四个 3．“△ABC 中，若∠C=90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 （ ）
A ．△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠
B 都不是锐角 B ．△AB
C 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角 C ．△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 都不一定是锐角
D ．以上都不对
4．给出4个命题：则： （ ）
①若0232=+-x x ，则x =1或x =2； ②若32<≤-x ，则0)3)(2(≤-+x x ； ③若x =y =0，则022=+y x ；
④若*∈N y x ,，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数． A ．①的逆命题为真 B ．②的否命题为真
C ．③的逆否命题为假
D ．④的逆命题为假
5．对命题p ：A ∩∅＝∅，命题q ：A ∪∅＝A ，下列说法正确的是
（ ） A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假 C ．非p 为真 D ．非p 为假
6．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（ ） A ．“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.” B ．“若△ABC 任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.”
C ．“若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形.”
D ．“若△ABC 任何两个角相等，则它是等腰三角形.”
7．设集合M={x | x ＞2}，P={x |x ＜3}，那么“x ∈M ，或x ∈P”是“x ∈M ∩P”的
（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 8．有下列四个命题：其中的真命题为 （ ） ①“若x ＋y =0 ，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q ≤1，则x 2
＋2x ＋q =0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
9．设集合A={x |x 2
＋x －6=0}，B={x |mx ＋1=0} ，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（ ）
A ．11
,23m ⎧⎫
∈-⎨⎬⎩⎭
B ．m=2
1-
C ．11
0,,23m ⎧⎫
∈-⎨⎬⎩
⎭
D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬
⎩
⎭
10．“220a b +≠”的含义是（ ） A ．,a b 不全为0
B ． ,a b 全不为0
C ．,a b 至少有一个为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0
11．如果命题“非p”与命题“p 或q”都是真命题，那么（ ）
A ．命题p 与命题q 的真值相同
B ．命题q 一定是真命题
C ．命题q 不一定是真命题
D ．命题p 不一定是真命题
12．命题p ：若A ∩B=B ，则A B ⊆；命题q ：若A B ⊄，则A ∩B ≠B ．那么命题p 与命题
q 的关系是（ ）
A ．互逆
B ．互否
C ．互为逆否命题
D ．不能确定
二、填空题：
13．命题“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是
14．由命题p :6是12的约数，q :6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是：_ ___，“p 且q ”形式的命题是__ _，“非p ”形式的命题是__ _. 15．设集合A={x |x 2＋x －6=0}， B={x |mx ＋1=0}，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条
件是__ __.
16．设集合M={x |x ＞2}，P={x |x ＜3}，那么“x ∈M ，或x ∈P”是“x ∈M ∩P”的 三、解答题：
17．命题：已知a 、b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0.写出该命题的
逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
18．已知命题
1
:12
3
x
p
-
-≤；)0
(0
1
2
:2
2>
≤
-
+
-m
m
x
x
q若p
⌝是q
⌝的充分非必
要条件，试求实数m的取值范围．
19．（选做）已知命题p:|x2－x｜≥6，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值.
20．（选做）已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．。