典型例题：正弦定理的变形应用
正弦定理公式变式
正弦定理公式变式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正弦定理，又称正弦公式，是三角形中的重要定理之一，它描述了三角形中三个边和三个角之间的关系。
正弦定理公式有多种变式，适用于不同情况的三角形。
本文将介绍正弦定理公式及其变式的详细内容，并展示如何应用这些公式解决三角形的问题。
让我们回顾一下正弦定理的基本形式。
对于任意三角形ABC，其三条边长度分别为a，b，c，对应的角度分别为A，B，C，正弦定理可以表示为：\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]这个公式说明了三角形中每条边与其对应角的正弦值之间的比例关系。
通过这个公式，我们可以计算出三角形中任意一个角的正弦值，或者通过已知的正弦值来求解三角形中的边长。
而在实际问题中，我们经常会遇到一些特殊情况，需要使用不同形式的正弦定理来求解。
以下是一些正弦定理的变式：1. 以角度为基准的正弦定理当我们已知一个角的正弦值以及其他两个角时，可以利用以这个角为基准的正弦定理来求解三角形的边长。
已知三角形中角A的正弦值为sinA，角B和角C的度数已知，则可以利用以下公式计算边长：通过这个公式，我们可以在已知一个角的情况下，求解出其他两个角所对应的边长。
2. 两倍角正弦定理在某些情况下，我们需要计算三角形中角度的两倍角的正弦值，这时可以使用两倍角正弦定理来求解。
该公式表示为：\[2\sin A\cos A = \sin 2A\]通过这个公式，可以将角A的正弦值和余弦值联系起来，进一步求解角A的两倍角的正弦值。
3. 倒数定理有时候我们需要找到一个角的余弦值，但只知道其正弦值，这时可以使用倒数定理来求解。
倒数定理表示为：\[\cos A = \frac{1}{{\sec A}} = \frac{1}{{\frac{1}{{\cos A}}}} =\frac{1}{{\frac{1}{{\sin A\div\sqrt{\sin^{2}A+\cos^{2}A}}}}} =\frac{\sqrt{\sin^{2}A+\cos^{2}A}}{\sin A}\]总结而言，正弦定理及其变式是解决三角形问题的基础工具之一。
正弦定理及应用
∴c － 6c＋1＝0，∴c＝
.
2
2
6＋ 2
a2＋c2－b2 1
当 c＝
时，cos B＝
＝ ，
2
2
2ac
∴B＝60°，C＝180°－(45°＋60°)＝75°.
6－ 2
a2＋c2－b2
1
当 c＝
时，cos B＝
＝－ ，
2
2
2ac
∴B＝120°，C＝180°－(45°＋120°)＝15°.
跟踪训练1. [北师大版必修5P47习题T2改编]在 △ 中，已知 ∠ = 60∘ ，
sin 135°
6－ 2
∴在 Rt△BED 中，BE＝BDsin 15°＝20 2×
＝10( 3－1)(米)．
4
10
在 Rt△ABE 中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan 30°＝ (3－ 3)(米)．
3
10
故所求的塔高为 (3－ 3)米．
3
跟踪训练 1.甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60°的方向，相距 a
.
a
2
10 2×
2 ＝1，∴C＝30°；
当 a＝20 时，a>c，∴sin C＝
2
20
当 a＝10 2时，a＝c，∴C＝45°；
当 a＝
20 3
3
时，a<c，sin C＝ ，∴C＝60°或 120°；
3
2
当 a＝10 时，a＜c，sin C＝1，∴C＝90°；当 a＝5 时，sin C＝2，无解．
跟踪训练 1. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝18，
题型一 正弦定理的简单应用
2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广
2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广（1）已知△ABC 中，∠A =60︒，a ,则++sin +sin +sin a b cA B C=A ．1B ．2C ．D ．无法求解（2）已知△ABC 中，∠B =45︒，b =A ． BCD ．无法求解（3）在ABC △中，若::A B C =1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1 2D ．2∶1【参考答案】（1）B ；（2）B ；（3）C ． 【试题解析】（1）根据正弦定理的变形，可得2sin sin sin sin a b c aA B C A++==++．故选B ．（2）根据正弦定理的推广，可得2sin sin 45b R B ===︒，即R =，故△ABC ，故选B ．（3）设A ＝k ，B ＝2k ，C ＝3k ，由++180A B C ︒＝，得6k ＝180°，k ＝30°，∴A ＝30°，B ＝60° ，C ＝90°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12．故选C ． 【解题必备】正弦定理的常见变形及推广如下： （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c======． （2）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++．（3）::sin :sin :sin a b c A B C =．（4）正弦定理的推广：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC △外接圆的半径． （5）===2sin sin sin a b c R A B C的两种变形的应用： ①（边化角）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ②（角化边）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===． 熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒,a =ABC△的外接圆的面积为 A ．2πB ．23π C ．πD ．4π2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的外接圆的半径是3，3a =，则A =A ．30︒B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △中最长的边是 A ．a B ．bC ．cD ．b c 或4．已知ABC △的外接圆的半径R =cm ，A ＝60°，则BC 边的长为______________ cm ．1．【答案】C 【解析】由2sin aR A=得1R =，所以ABC △的外接圆的面积为π，故选C ． 2．【答案】D【解析】根据正弦定理，得2sin a R A =，31sin 262a A R ===， ∵0180A <<︒︒，∴30A =︒或150A =︒．故选D ． 3．【答案】A【解析】由正弦定理可知sin cos B B =，sin cos C C =，所以45B C ==︒， 故90A =︒，所以a 为最长的边．故选A ． 4．【答案】9【解析】根据正弦定理的推广可知2sin BCR A=，所以2sin BC R A =9==cm ．。
《解三角形》常见题型详解
《解三角形》常见题型总结1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒∴（150°-A ）.∴°·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4综合①②可得a+b 的取值范围为考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
正弦定理应用
正弦定理应用正弦定理是解决三角形中角度和边长关系的一个重要定理。
它给出了一种计算三角形中任意一边与角度之间的关系的方法。
在三角形abc中，假设a、b、c分别表示三个角的度数，而A、B、C分别表示相对应角的对边的边长。
根据正弦定理可以得出以下关系：sinA/a = sinB/b = sinC/c这个定理可以用来解决各种与三角形中边长和角度之间的关系有关的问题。
下面将介绍几个典型的正弦定理应用。
1. 求解未知边长：当已知一个三角形的两个角以及它们对应的两边时，可以利用正弦定理求解未知边长。
假设我们已知角A和B以及它们对应的边a和b，要求解边c，可以使用以下公式：c = a * (sinC / sinA)2. 求解未知角度：当已知一个三角形的三边时，可以利用正弦定理求解未知角度。
假设我们已知边a、b和c，要求解角A，可以使用以下公式：sinA = (a / c) * sinC通过求解sinA的值，可以利用反正弦函数计算出角A的度数。
3. 判断三角形的形状：利用正弦定理，可以判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
当三角形的边长满足正弦定理的关系时，可以通过比较角度的大小来确定三角形的形状。
4. 应用于空间几何问题：正弦定理不仅适用于平面三角形，也可以应用于空间几何问题。
在空间中的三角形中，可以利用正弦定理计算各种角度和边长的关系。
总之，正弦定理是解决三角形中角度和边长关系的重要工具。
它可以帮助我们求解未知边长、未知角度以及判断三角形的形状。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的公式和计算方法来使用正弦定理，从而解决各种与三角形相关的计算问题。
解三角形经典例题
解三角形一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+- 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-=4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abcS ab C ac B bc A R ABC R ===∆为外接圆半径 （两边夹一角）；6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ∆中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-；③()tan tan A B C +=-；④sincos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C+= 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的
解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的解三角形知识点总结及典型例题>知识点复习 1、正弦定理及其变形(1 a=2Rsin A, b=2Rsin B,c=2RsinC (边化角公式)abc(2)si nA,si nB,si nC (角化边公式) 2R 2R2Ra sin A a sin Ab sinB(3) a:b:c=sinA:sinB:sin C (4) , ,-b sinBc sinC c sinC2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A 求B 时的解的情况:如果sin A^s inB ，则B 有唯一解；如果 sin A csin B cl ， 则B 有两解; 如果sin B=1，则B 有唯一解；如果sin B>1，贝B 无解. 弦定理适用情况:(1 ) S.ABC =；底高；a b csin A sin B sin C=2R （R 为三角形外接圆半径）3、余弦定理及其推论a 2= b 2c 2-2bccosAb 2 =a 2c 2 -2accosB ----------「cosA 二 2bcc a 2+c 2_b 2cosB 二 ----2ac2 2 2cos —(1）已知两边及夹角；（2） 已知三边.(2 ) S 血BC =^absi nC =fbcsi nA = fcas（两边夹一角）. inB6、三角形中常用结论(1 ) a b . c,b c . a,a c . b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) ； (2) 在 ABC 中，A .B = a b 二si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) .(3) 在八 ABC 中，A B C =二，所以 sin( A B)二 sinC ； cos(A B) = — cosC ；tan (A B) = -ta nC .A B C A B C sin cos =,cos sin =. 2 2 2 2二、典型例题 ------题型1边角互化［例1 ］在ABC 中，若 sin A: sin B : sin C = 3: 5: 7， 则角C 的度数为 【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a 、b 、c 依次为3、5、7， 则 cosC =a 2『72=32几72— 12ab 2汉 3 汉 52因为oc ：二，所以cd3［例 2 ］ 若a、b 、c是 ABC 的三边，f (x)二 b 2x 2(b 2c 2— a 2)x c 2，则函 数f(x)的图象与x 轴()A 、有两个交点B 、有一个交点C 、没有交点D 至少有一个交点c 2—c 2cos 2A 0，因此f(x) 0恒成立，所以其图像与x 轴没有交 点。
正弦定理基础知识及常见题型汇总
正弦定理一、考点、热点回顾（一）正弦定理及其变形1． 正弦定理：________＝________＝________＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 2． 正弦定理的常用变形(1)a ∶b ∶c ＝________________；(2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________； (3)sin A ＝________，sin B ＝__________，sin C ＝________；3． 三角形中边角的不等关系在三角形中，A ＞B ＞C ⇔ a ＞b ＞c ⇔ sinA ＞sinB ＞sinC 。
（二）正弦定理的应用：解三角形 1、 解三角形的概念2、 利用正弦定理解三角形利用正弦定理可解决两类解三角形问题： （1）已知两角及一边解三角形基本思路： 1)由三角形的内角和定理求出第三个角．2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．（2）已知两边及其中一边的对角解三角形基本思路：1)由正弦定理求出另一已知边所对的角．2)由三角形的内角和定理求出第三个角． 3)由正弦定理公式的变形，求第三条边．（3）解三角形的解的情况在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与射线AB 的公共点（除去顶点A ）A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解（三）三角形的面积公式S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·()()()p p a p b p c ---二、典型例题考点一、正弦定理概念及变形例1、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.变式训练1、（1）在△ ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .（2）在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.考点二、已知两角及一边解三角形例2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.变式训练2、（1）在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．43B．2 3C. 3D.3 2（2）在△ABC中，A=45°，B=75°，c=2，则此三角形的最短边的长度是。