迭代函数系统的分形变换

1弓丨胃 (1)

1.1迭代函数系统研宄的背景及意义 (1)

1.2论文的内容安排 (2)

2 双曲迭代函数系统的分形变换 (3)

2.1双曲迭代函数系统 (3)

2.2分形变换的主要性质 (4)

2.3定理的陈述 (10)

2.4定理的证明 (11)

2.4.1 定理A的证明 (11)

2.4.2 定理B的证明 (13)

3 具有M a rk o v分割的迭代函数系统的分形变换 (16)

3.1具有M a r k o v分割的迭代函数系统的定义 (16)

3.2 定理的陈述和证明 (20)

4 应用举例 (25)

4.1 S ie rp in s k i三角形 (25)

4.2 植物形态举例 (28)

4.3 生长的蕨叶 (35)

5 总结与展望 (45)

(46)

關 (48)

迭代函数系统的分形变换1弓I目

弓

§1.1迭代函数系统研究的背景及意义

分形的英文中是f r a c t a l,由美籍法国数学家曼徳勃罗在《自然界中的分形几何》([10]) — 书中提出来，其本义是指不规则的、破碎的、分数维数的.曼徳勃罗想用此词来描述自然

界中传统欧式几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象.例如，起伏不定的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、以及树木植物等非规则的自然景物.它们的特点都

是极不规则或极不光滑.

分形理论的提出，为我们提供了用于描述一些复杂几何图形(即分形图)的一种方法，是现在数学得一个重要内容.常采用的分形图生成算法有L-系统([11])、迭代函数系统和

逃逸时间算法([17]).通过这些算法，人们可以生成大量美丽、奇异的图案.它们用于景物

模拟和处理自然与工程中不规则图形([16]).分形图的应用几乎涉及自然科学的许多领域.

本文研宄分形图生成算法中的迭代函数法.

迭代函数系统的基本思想最早是由巴斯莱(B.M.B a r n s le y)和德门科(S.Dem ko) ([4])在1985年提出.迭代函数系统的基本思想是：认定几何对象的全貌与局部，在仿射变

换的意义下，具有自相似结构.其物理意义是把原图分解为几部分，每一部分都看作原图

在不同仿射变换下的复制品，即其图形都可以看成是通过一系列仿射变换得到的小复制品拼贴而构成.

迭代函数系统其采用确定性的算法生成分形图像.“确定性”是指用以迭代的规则是

确定的，它是由一组仿射变换([1]) f i,i=1,2,…,N构成，设最终生成的图形是A，满足集合方程A=A i U A2 U…U A n([4]).公式的含义是，F={X；f u f2,…,f N}将空间

X仿射成F(X),迭代n次，生成F n(X).不断的重复迭代过程，最终生成的极限图形为A.

本文研宄了两种迭代函数系统方法的理论依据以及在自然景物模拟([13])中的一些应用.把一步到位压缩映射推广到双曲压缩是我们在理论部分的一点创新.由此，其对应的

应用范围就有所扩大.具体地，（1)我们介绍了分形图形的生成方法，以及分形图形的之间

的相互变化；（2)介绍随时间变化的动态分形图形；（3)介绍了在两种典型的扩充方法下，各区域所对的映射均是连续的压缩映射应且给出了动态的分形图形.