经济数学基础(线性代数)讲义

经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1，矩阵：A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，称为矩阵。

认识矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列， 第一行依次0,1,2， 第二行1,1,4 第一列0,1,2这是一个三行三列矩阵， 再给出一个三行四列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，这个矩阵记作n m A ⨯，表明这个矩阵有m 行，n 列，注意行m 写在前面,列n 写在后面，括号里面的称为元素，记为ij a ，i 是行，j 是列， 例如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12614231213252是三行四列矩阵，也说成43⨯矩阵，注意行3在前面，列4在后面，这里211=a （就是指的第一行第一列那个数） 123-=a （就是指的第二行第三列那个数） 2，矩阵加法矩阵加法，满足行列相同的矩阵才能相加，对应位置的数相加。

例如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101010+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021512220 减法是对应位置的数相减。

,3，矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则：注意字母对应⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=333323321331323322321231313321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b =⎦⎢⎢⎢⎣⎡33323122211211c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b ，注意是对应元素相乘，再求和。

乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

依次类推，结果元素ij c 等于第i 行乘以第j 列，举例：矩阵 A AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1412 第一行乘以第一列，)2(4)2(1061-=⨯-+⨯+⨯ 第一行乘以第二列，11)2(2031=⨯-+⨯+⨯ 第二行乘以第一列，4401)2(61=⨯+⨯-+⨯ 第二行乘以第二列，1102)2(31-=⨯+⨯-+⨯可以乘的条件：第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同，就是尾首必须相同，v w n m B A ⨯⨯可以乘必须是A 矩阵脚标的尾n 等于B 矩阵脚标的首w 相等，w n =例如: 3332⨯⨯B A 可乘3432⨯⨯B A 不可乘，只要尾首相同就可乘，v w n m B A ⨯⨯乘积为v m ⨯矩阵 例如: 3332⨯⨯B A 可乘，乘积结果为32⨯C 矩阵2334⨯⨯B A 可乘，乘积结果为24⨯C 矩阵矩阵的数乘，一个数乘以一个矩阵，等于这个矩阵的每个元素乘以这个数例：A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，3A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--063603. 矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法不可交换，一般情况下BA AB ≠ 4，矩阵的转置矩阵A 转置矩阵记为T A ,转置就是把矩阵的行列元素对调，也可以看成沿主对角线翻转！AA 则⎢⎢⎢⎣⎡-=T AA T 是3×2矩阵（3行2列），2012年1月考题：设A 为3×4矩阵，B 为5×2矩阵，且乘积矩阵AC T B T 有意义，则C 为（ B ）矩阵。

A. 4×2B. 2×4C. 3×5D. 5×3分析：根据尾首相同法AC T B T 可表示为（3×4）（ ）（2×5），中间一个就是4×2，注意是C T ，所以C 就是2×4。

对称矩阵：对称矩阵的元素依主对角线对称：1．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵．5，求矩阵的逆预备知识：（1），在数的学习中，数的单位是1，1313=⨯， 矩阵的单位是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 I ,除主对角是1以外，其余全是0，并且，单位矩阵全是方阵（行数与列数相等）任何矩阵乘以单位阵不变AI =A ，（可以试一试）例，3阶单位阵，I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001，我们以3阶阵来说逆， 已知A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210 与前面1313=⨯类似，能不能找到一个矩阵，使得A 乘以这个矩阵等于单位阵？ 记为I AA =-1,1-A 称为A 的逆，（2）矩阵的初等变换，①将矩阵的任意两行互换，②把某一行乘以一个数（指对这一行的每个元素都乘以这个数）， ③把某一行乘以一个数，然后加到另外一行。

求逆求逆原理：][][1-→A I I A ,举例：设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 分析： 第一步：把A 和单位阵I 写在一起,[A I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001012411210 第二步：初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100001010012210411，（由于第一行第一个数是0，要化成前面是单位阵，这里就不能是0，于是交换1,2行，随便两行都可以交换，因为第二行第一个数是1，简单，所以就1,2行互换）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→120001010830210411第一行乘以-2加到第三行，目的是化0，除主对角以外，其他全部化成0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→123001010200210411第二行乘以3加到第三行， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123001011200210201现在开始化上面，第二行乘以-1加到第一行 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→123124112200010001第三行直接加到第一行；加到第二行 把对角线上的都化成1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 第三行乘以21-，这一步是把前面化成单位阵，这个就是我们要的][1-A I ，前半部分是I ，后半部分就是1-A所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112这是个考题，具体计算可以省略些步骤，给出解题答案为：设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 解 因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112另一种题型，解矩阵方程，其原理是对B AX =两边左乘（就是靠在左边）1-A ，得B A AX A 11--=,因为I A A =-1,所以B A X 1-=，注意任何矩阵乘以单位阵保持不变。

例：已知B AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ，求X ． 分析：先求逆，在计算。

解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→121100255010364021121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A 由矩阵乘法和转置运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X考题举例： 1，2．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 解 因为AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1412 (AB I ) =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1210011210140112 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→121021210112101102 所以 (AB )-1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1221213．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2522314．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ． 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12 5．设矩阵 A =102120-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，B =123012-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，计算(AB T )-1． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=231201021201T AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2347 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-272321)(1TAB 6．设矩阵A =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥1213，且有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+2453TAB A ，求矩阵B ． 解：T A AB -⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2453 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--32112453245311A A AB T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-52621A ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11231A 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114281052621123B 7. 设矩阵 A =1536-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，B =11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，计算(A-I )-1B ． 设矩阵A=[-1-6]，B=[1] 解：8. 已知B AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ，求X ． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→121100255010364021121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A 由矩阵乘法和转置运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X 9．已知AX B =，其中122110135A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求.X10．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110111.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣------=843722A ，I 是3阶单位矩阵，求1)(--A I ． 解：由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I 利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ →----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111 →---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111 即 ()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111 12.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001即 ⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=-1461351A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-7641121461351341B A 13. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321B ，求B A I )2(T -. 解 因为T 2A I -= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000100012T113421201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--142120311=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311所以B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--9310 14．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=521,322121011B A ，求B A 1-． 解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001即 ⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=-1461351A 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-9655211461351341B A 15．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ． 解 因为 (A I )= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1001120101240013613⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100112210100701411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→1302710210100701411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→172010210100141011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→210100172010031001 所以 A -1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210172031 16．1A ）（I ,121511311A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=求解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+++-++++-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+021501310)1(0)2(01050)1(1103010)1(1121511311100010001A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+100001010021310501100010001021501310][I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−-11233556101123355610100010001112001011003105011100010105203105011A ）（I17．设矩阵100101,011212A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求1()T B A -。