江西财经大学历届线性代数期末考试试卷及详细答案解析

江西财经大学07—08第一学期期末考试试卷【请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效】一、 填空题（要求在答题纸相应位置上，不写解答过程，本大题共5个小题，每小题3分，共15分）。

1.设4⨯4矩阵A=()234,,,αγγγ，B=()234,,,βγγγ，其中,α234,,,,βγγγ均在4维列向量，且已知A =4，B =1，则行列式A B += ；2.设A 为n 阶矩阵，A ≠0，*A 为A 的伴随矩阵，若A 有特征值λ，则*A 的一个特征值为 ；3.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()R A =n-1，则线性方程组AX =0的通解为 ；p133 4.设()1,2,,Tn a a a α=，()12,,Tn b b b β=为非零向量，且满足条件)(,0αβ=，记n 阶矩阵TA αβ=，则2A = ； 5.设二阶矩阵A=712y x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与B=1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦相似，则x = ,y = 。

二、 单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案。

并将其代号写在答题纸相应位置处。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题3分，共15分）。

1. 设三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则22A I -=【 】 A. 0 B. 24 C. -14 D. 202. 设有向量组()11124α=-，()20312α=，()330714α=，()41220α=-，()521510α= 则该向量组的极大无关组是【 】123.,,A ααα 124.,,B ααα 125.,,C ααα 1245.,,,D αααα3. n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的【 】 A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D.即非充分也非必要条件 4.设A 为n 阶方阵，且A =0，则 【 D 】 A. A 中至少有一行（列）的元素为全为零B. A 中必有两行（列）的元素对应成比例C. A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合D. A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 5.设A 、B 为同阶可逆矩阵，则【 D 】 A. AB=BAB.存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=C.存在可逆矩阵C ，使T C AC B =D.存在可逆矩阵P 和Q ，使PAQ B =三、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）计算行列式abac ae D bdcd de bfcfef-=-- 四、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）设A 满足100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足*A BA=2BA-8I ，求B五、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）根据K 的取值求解非齐次线性方程组123123123322kx x x k x kx x x x kx ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩六、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分） 设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123,A αααα=++2232,A ααα=+ 32323,A ααα=+（1）求三围矩阵B ，使()123A ααα= ()123B ααα；（2）求矩阵A 的特征值。

七、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）用正交矩阵将实对称矩阵220212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对角化。

八、 证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明步骤，本大题共2小题，每小题5分，共10分）1. 设A,B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：AB-BA 是n 阶反对称矩阵。

2. 设1X ，2X 为某个齐次线性方程组的基础解系，证明：12X X +，122X X -也是该齐次线性方程组的基础解系。

3.江西财经大学4.07-08第一学期期末考试试卷参考答案5. 试卷代码：03043A 授课课时：486. 课程名称：线性代数 适用对象：本科7. 试卷命题人 试卷审核人8.9.一、填空题（本大题共5个小题，每个小题3分，共15分）10. 1.40 2.Aλ3.111k k R ⎛⎫ ⎪ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭4.05.-2，-111. 二、单项选择题（每个小题3分，共15分）12. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 13. 三、计算题（本题12分）14. 111111(6')4(6')111D abcdef abcdef -=-=- 15. 四、计算题（本题12分） 16. ||2A =- (2')17. *(2)8I A BA I -= (2') 18. 而*11||2A A AA --==-故1()4I A BA I -+= (2')19. 上式左乘A ，右乘1A -得()4A IB I += (2') 20. 14()B A I -=+ (2')21. 12241422-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2')22. 五、计算题（本题12分）23. 211||11(2)(1)11kA kk k k==+-24. 当2k ≠-且1k ≠时非齐次线性方程组有唯一解。

25. 唯一解：3123112121(1)1(2)(1)2k k kk k x A k k k -----===+-+ 26. 22231121123(1)3(2)(1)2k k kk x A k k k -----===-+-+ 27. 23213121123(1)3(2)(1)2k k k k x Ak k k -----===-+-+ (4') 28. 当2k =-时，非齐次线性方程组的增广矩阵29. 211512121212011011220003A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦30. ∵()2R A = ()3R A = ∴非齐次线性方程组无解 (4') 31. 当1k =时，非齐次线性方程组的增广矩阵32. 111211121112000011120000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦33. 因为()()13R A R A ==< 所以非齐次线性方程组有无穷多解34. 通解为：12211010001X k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12,k k 为任意实数 (4')35. 六、计算题（本题12分）36. （1）123123100(,,)(,,)122113A αααααα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (3') 37. 100122113B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3') 38. （2）由123,,ααα是线性无关的三维列向量知，矩阵123()C ααα=可逆，即矩阵A 与B 相似，故矩阵A 与B 有相同的特征值。

(3') 39. 由40. 2100||122(1)(4)0113I B λλλλλλ--=---=--=---41. 得矩阵B 的特征值，即矩阵A 的特征值121λλ== 34λ=。

(3') 42. 七、计算题（本题12分） 43. A 的特征多项式为44. 220||212(2)(1)(4)02I A λλλλλλλ--=-=+-- 45. 故A 特征值为1232,1,4λλλ=-== (2')46. 对于14202,2320022X λ-⎡⎤⎢⎥=-⇒-=⇒⎢⎥⎢⎥-⎣⎦基础解系1122β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2') 47. 对于21201,2020021X λ-⎡⎤⎢⎥=⇒=⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦基础解系2212β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (2') 48. 对于32204,2320024X λ⎡⎤⎢⎥=⇒=⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦基础解系3221β⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2') 49. 由于A 是实对称阵，特征向量123,,βββ分别属于不同的特征值123,,λλλ，故123,,βββ正交。

将其单位化，得50. 123122333212,,333221333ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (2')51. 令122333212333221333T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得1214T AT --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2')52. 八、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 53. 1．T A A =- T B B =- (1')54. ()()()TTTAB BA AB BA -=- (1') 55. TTTTB A A B =- (1')56. ()()()()B A A B BA AB =-----=- 57. ()AB BA =--58. AB BA ∴-是n 阶反对称矩阵 (2')59. 2.由于12,X X 是某个齐次线性方程组的基础解系，故该齐次线性方程组的基础解系中含有2个解向量，且1212,2X X X X +-也是该齐次线性方程组的解，现只需证明1212,2X X X X +-线性无关即可。

(2') 60. 设有一组数12,k k ，使112212()(2)0k X X k X X ++-= 61. 即121122(2)()0k k X k k X ++-= 由于12,X X 线性无关 62. 1212200k k k k +=⎧∴⎨-=⎩ 120k k ==63. 1212,2X X X X ∴+-线性相关64. 故1212,2X X X X +-也是齐次线性方程组的基础解系。

(3')江西财经大学09－10第一学期期末考试试卷试卷代码：03043B 授课课时：48课程名称：线性代数 适用对象：本科试卷命题人 试卷审核人［请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效］一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）不写解答过程。

1. 设4阶矩阵234234(,,,),(,,,)A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知4,1,A B ==则行列式A B +=_________；2. 设01000010,00011000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则1_____A -=；3. 设(),()ij p p ij p q A a B b ⨯⨯==且(),R B p =如果0,AB =则()____;R A =4. 设3阶方阵A 的特征值为1,2(二重),I 是3阶单位矩阵，*A 是A 的伴随矩阵, 1A -是A 的可逆矩阵,则矩阵*12A A I -++的特征值为__744_______； 5. 如果向量组12:,,,t A βββ可由向量组12:,,,s B ααα线性表示,且,t s >则向量组12:,,,t A βββ线性_________。