棱柱棱锥棱台的表面积和体积—人教版高中数学新教材必修第二册课件
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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(2课时)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
（二）多面体的表面积
由刷漆原理可知：
(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
温馨提示：对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其
表面积是唯一确定的.
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例1 如图，四面体－的各棱长均为，求它的表面积．
方法提示：这道题考察了求解多面体的表面积.
四
成果展示1(迁移变通)
例1 如图，四面体－的各棱长均为，求它的表面积．
解：由题意可知四面体－是由4个边长为的正三角形
面围成
∵正三角形 = ° = ×
一
复习导入——正方体、长方体的体积公式及其表面积公式（导学）
（三）问题
那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？
相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.
二
探究新知1—— 多面体的表面积（互学）
（一）探究：各位同学，如果你是一名刷漆工人，面对如下的三棱柱－′′′，要求用不同的颜色给三
积是棱锥体积的3倍；
（2）反之，等底等高的
棱锥体积是棱柱体积的
.
五
探究新知2——棱柱、棱锥、棱台的体积（互学）
（四）棱锥的体积
由灌注原理可知：
一般地，如果棱锥的底面积是，高是，那么这个棱锥的体积为
棱锥 = 棱柱 =
简述为：“
棱锥的体积等于与它等底等高棱柱体积的
”
注：棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的
人教A版高中数学必修第二册第八章8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(共10张PPT)
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示， 本节进一步认识简单几何体的表面积和体积. 表面积是几何体表 面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的 大小.
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的表面积吗？ S正方体=6a2(a为正方体的棱长)
底面上任意一点向下底 面作垂线，这点与垂足 之间的距离.
其中S'、S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.
V棱台=观31察(S棱 +柱、SS棱+锥S、)h棱,台它的们体之积间公有式什：么V关棱系柱=?S你h、能V用棱锥棱=柱31 、Sh棱、锥、 棱台的结构特征来解释这种关系吗?
S'=S
S'=0
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
例2 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个 四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方 形，那么这个漏斗的容积是多少立方米?
解：如右下图，由题意知
V长方体ADCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3)，
V棱锥P-ABCD=
1 3
×1×1×0.5=
1 6
PE= PB2 EB2 52 32 4
所以S△PAB= 6×4÷2=12 于是正四棱锥P-ABCD的表面积 SP-ABCD= 4×12+6×6= 84
D AE
C B
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
V正方体=6a3(a为正方体的棱长)
V长方体=abc(a、b、c为长方体的长、宽、高)
P
延长，交BC于D. 由正四面体概念可得：
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的表面积吗？ S正方体=6a2(a为正方体的棱长)
底面上任意一点向下底 面作垂线，这点与垂足 之间的距离.
其中S'、S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.
V棱台=观31察(S棱 +柱、SS棱+锥S、)h棱,台它的们体之积间公有式什：么V关棱系柱=?S你h、能V用棱锥棱=柱31 、Sh棱、锥、 棱台的结构特征来解释这种关系吗?
S'=S
S'=0
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
例2 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个 四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方 形，那么这个漏斗的容积是多少立方米?
解：如右下图，由题意知
V长方体ADCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3)，
V棱锥P-ABCD=
1 3
×1×1×0.5=
1 6
PE= PB2 EB2 52 32 4
所以S△PAB= 6×4÷2=12 于是正四棱锥P-ABCD的表面积 SP-ABCD= 4×12+6×6= 84
D AE
C B
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
V正方体=6a3(a为正方体的棱长)
V长方体=abc(a、b、c为长方体的长、宽、高)
P
延长，交BC于D. 由正四面体概念可得：
新教材人教版高中数学必修第二册 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学课件
第八页，共十九页。
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.能利用计算公式求多面体的表面积与体积. 3.能用计算公式解决与多面体相关的简单实际问题.
棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.多面体的表面积就是围成多面体① 各个面 的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的② 各个面 的面积的和.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,
俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中
点,则三棱锥P-A1MN的体积是
.
思路点拨 把三棱锥P-A1MN的体积转化为三棱锥A1-PMN的体积,再转化为三棱锥P-AMN 的体积.
∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△EAB=2S△BEF.
∴V =V = V F-EBC C-EFB
C-ABE
= VE-ABC= × VE-ABCD= . ∴V=VE-ABCD+VF-EBC =6+ = .
答案 D
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,求四面体C-A1BC1的体积.
思路点拨 利用等底同高的棱锥体积相等可以证明三棱柱被分割成的三个部分体积相等,进而 求得答案.
思路点拨 由VC-PBD=VP-BCD,结合三棱锥的体积公式即可求解.
解析 因为PA是四棱锥P-ABCD的高, 所以PA是三棱锥P-BCD的高, 所以VC-PBD=VP-BCD= ×S△BCD×PA= × ×1×1×2= .
运用“割补法”求几何体的体积
孔明锁,也叫八卦锁、鲁班锁,是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器,是 曾广泛流传于中国民间的智力玩具,它还有“别闷棍”“六子联芳”“莫奈何”“ 难人木”等叫法.
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.能利用计算公式求多面体的表面积与体积. 3.能用计算公式解决与多面体相关的简单实际问题.
棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.多面体的表面积就是围成多面体① 各个面 的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的② 各个面 的面积的和.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,
俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中
点,则三棱锥P-A1MN的体积是
.
思路点拨 把三棱锥P-A1MN的体积转化为三棱锥A1-PMN的体积,再转化为三棱锥P-AMN 的体积.
∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△EAB=2S△BEF.
∴V =V = V F-EBC C-EFB
C-ABE
= VE-ABC= × VE-ABCD= . ∴V=VE-ABCD+VF-EBC =6+ = .
答案 D
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,求四面体C-A1BC1的体积.
思路点拨 利用等底同高的棱锥体积相等可以证明三棱柱被分割成的三个部分体积相等,进而 求得答案.
思路点拨 由VC-PBD=VP-BCD,结合三棱锥的体积公式即可求解.
解析 因为PA是四棱锥P-ABCD的高, 所以PA是三棱锥P-BCD的高, 所以VC-PBD=VP-BCD= ×S△BCD×PA= × ×1×1×2= .
运用“割补法”求几何体的体积
孔明锁,也叫八卦锁、鲁班锁,是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器,是 曾广泛流传于中国民间的智力玩具,它还有“别闷棍”“六子联芳”“莫奈何”“ 难人木”等叫法.
8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作SD BC ，交BC于点D．
∵ BCa, SD SB2 BD2 a2 (a )2 3 a
2
2
S
SSBC
1 BC SD 2
1a 2
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC的表面积为
A
讲 课
思考:面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
讲
课
人
：
邢
启
强
3
学习新知
在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方 体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积 展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
讲
3
3
= 1 Sh 1 S S x
S
S
33
h
1 Sh 1 S S Sh
33
S S
x
S h
1 Sh 1 S S 33
S S
1 h S SS S
讲
课
人
1 ：
邢
V h(S 启 3 强
棱台
SS S ) 3
Sh
14
学习新知
在棱台体体积公式中，若S′=S，S′=0， 则公式分别变形为什么？
S 4 3 a2 3a2
B人
：
D
C
邢
4
启
强
7
学习新知 体积:几何体所占空间的大小
长方体体积：V abc
(a,b,c分别是长方体的长、宽、高） 正方体体积：V a3
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作SD BC ，交BC于点D．
∵ BCa, SD SB2 BD2 a2 (a )2 3 a
2
2
S
SSBC
1 BC SD 2
1a 2
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC的表面积为
A
讲 课
思考:面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
讲
课
人
：
邢
启
强
3
学习新知
在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方 体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积 展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
讲
3
3
= 1 Sh 1 S S x
S
S
33
h
1 Sh 1 S S Sh
33
S S
x
S h
1 Sh 1 S S 33
S S
1 h S SS S
讲
课
人
1 ：
邢
V h(S 启 3 强
棱台
SS S ) 3
Sh
14
学习新知
在棱台体体积公式中，若S′=S，S′=0， 则公式分别变形为什么？
S 4 3 a2 3a2
B人
：
D
C
邢
4
启
强
7
学习新知 体积:几何体所占空间的大小
长方体体积：V abc
(a,b,c分别是长方体的长、宽、高） 正方体体积：V a3
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
＝1＝4，
2
sin 30°
2
1
∴S 正四棱锥侧＝ ×(4×4)×4＝32，
2
S 正四棱锥表＝42＋32＝48，
即该正四棱锥的侧面积是 32，表面积是 48.
例题剖析
练习：已知正四棱台上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：(法一)设正四棱台为ABCD − A1 B1 C1 D1 ，如图.设B1 F为斜高.
的体积相等．
概念讲解
问题1：由祖暅原理你能得到什么启发？棱柱的体积是？
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱 = Sh.
棱柱的高是指两底面之间的距离
概念讲解
问题2：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积
有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，
PART.01
情境引入
情境导入
埃及金字塔被誉为世界奇迹,在生产工具
很落后的时代,埃及人是怎样采集、搬运数
量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如
此宏伟的金字塔的?这真是一个十分难解的
谜.图中的金字塔外形是一个正四棱锥.
思考：如何求金字塔的体积和表面积？
问题提出
对于空间几何体，我们分别从结构特征和直观图两个方面进行了研究，但为
例题剖析
解：(2)设三棱锥A − A1 BD的高为h，则
V三棱锥A−A BD
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ S∆A1 BD ∙ h = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵V三棱锥A−A BD = V三棱锥A −ABD = a3 ，
2
sin 30°
2
1
∴S 正四棱锥侧＝ ×(4×4)×4＝32，
2
S 正四棱锥表＝42＋32＝48，
即该正四棱锥的侧面积是 32，表面积是 48.
例题剖析
练习：已知正四棱台上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：(法一)设正四棱台为ABCD − A1 B1 C1 D1 ，如图.设B1 F为斜高.
的体积相等．
概念讲解
问题1：由祖暅原理你能得到什么启发？棱柱的体积是？
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱 = Sh.
棱柱的高是指两底面之间的距离
概念讲解
问题2：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积
有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，
PART.01
情境引入
情境导入
埃及金字塔被誉为世界奇迹,在生产工具
很落后的时代,埃及人是怎样采集、搬运数
量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如
此宏伟的金字塔的?这真是一个十分难解的
谜.图中的金字塔外形是一个正四棱锥.
思考：如何求金字塔的体积和表面积？
问题提出
对于空间几何体，我们分别从结构特征和直观图两个方面进行了研究，但为
例题剖析
解：(2)设三棱锥A − A1 BD的高为h，则
V三棱锥A−A BD
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ S∆A1 BD ∙ h = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵V三棱锥A−A BD = V三棱锥A −ABD = a3 ，
新人教版高中数学必修2课件：8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图,掌握棱柱、棱锥、棱台
的表面积公式及体积公式,能用公式解决简单的实际问题.(直观
想象、数学抽象)
2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积,理解棱柱、
棱锥、棱台的体积之间的关系.(数学运算)
2 3的正六边形,它可以分成 6 个全等的正三角形,所以底面积为
3
6× ×(2 3)2=18 3(m2).故容器的表面积为
4
6 39+48 3+18 3=(6 39+66 3)(m2).
探究二
棱柱、棱锥、棱台的体积
例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部
分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.
于是 S 侧=6×3 15=18 15(cm2).
3 2
3 2
故 S 表面积=S 侧+S 上底+S 下底=18 15+6× 4 ×2 +6× 4 ×4 =(18 15+30 3)(cm2).
方法点睛棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开成
一个平面图形,因而平面展开图的面积就是它的表面积.可见,棱柱、棱锥、
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
2
S2=6A1B1·OO1=48 3(m2),
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图,掌握棱柱、棱锥、棱台
的表面积公式及体积公式,能用公式解决简单的实际问题.(直观
想象、数学抽象)
2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积,理解棱柱、
棱锥、棱台的体积之间的关系.(数学运算)
2 3的正六边形,它可以分成 6 个全等的正三角形,所以底面积为
3
6× ×(2 3)2=18 3(m2).故容器的表面积为
4
6 39+48 3+18 3=(6 39+66 3)(m2).
探究二
棱柱、棱锥、棱台的体积
例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部
分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.
于是 S 侧=6×3 15=18 15(cm2).
3 2
3 2
故 S 表面积=S 侧+S 上底+S 下底=18 15+6× 4 ×2 +6× 4 ×4 =(18 15+30 3)(cm2).
方法点睛棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开成
一个平面图形,因而平面展开图的面积就是它的表面积.可见,棱柱、棱锥、
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
2
S2=6A1B1·OO1=48 3(m2),
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3
15
典型例题 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
例2如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个 四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正 方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3)?
8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积
复习引入
(1)矩形面积公式： ___S__a_b____。 (2)三角形面积公式：_S__12__ah____。
正三角形面积公式：__S_ _43_a2__。 (6)梯形面积公式： __S__12_(a__b_)h__
讲
课
人
：
邢
启 强
2
复习引入 （一）柱体、锥体、台体的表面积
3 2
1 1
3 2
讲
课
人
：
邢
启 强
10
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么， 棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 因此，一般地，如果棱锥的 底面面积为S,高为h,那么该棱锥的体积
12
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
S
S
VV大 锥V小 锥
=1Sxh1Sx
x
3
3
=1Sh1SSx
33
h
x xh
2
S S
x
S h
x S
xh
S
S S
S h
x
讲 课 人
S S
：
邢
启 强
13
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 顶点与垂足之间的距离.
V 1 Sh 3
讲 课 人 ： 邢 启 强
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
高h
底面积S
11
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
根据棱台定义，如何计算台体的体积？
设棱台的上、下底面面积分别为S′和S，高为h， 那么台体的体积公式是什么？
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任 意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面 的交点）之间的距离
S
h
S
讲 课 人 ： 邢 启 强
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
讲
课 人 ：
底面的交点）之间的距离
邢
启 强
8
学习新知
关于体积有如下几个原理： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
讲
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知 将一个三棱柱按如图所示分解成 三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积 有什么关系？它们与三棱柱的体积有什 么关系？
讲 课
1
V 人：邢启强 棱台3h(S
3
SSS)
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
S h
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学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
VV大 锥V小 锥
=1Sxh1Sx
x
3
3
=1Sh1SSx
S
33
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h
1 Sh 1 S S S h
S
33
S S
x
S h
1 S h 1 S S 33
S S
1 h S S S S
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知
几何体的侧面展开图
侧面展开图的构成 一组平行四边形
一组三角形
一组梯形
讲
课
人
：
邢
启 强
5
学习新知 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
讲 课 人
表面积=侧面积+底面积
：
邢
启 强
6
学习新知 例1．已知棱长为 ，各a 面均为等边三角
思考:面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
讲
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知
在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方体 的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积 展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作SD ，BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 (a )2 3 a
22
S
SSBC
1 2
BC
SD
1a 2
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC的表面积为
A
讲
S4 3 a2 3a 2
在棱台体体积公式中，若S′=S，S′=0， 则公式分别变形为什么？
V 1 (S SS S)h 3
S′=S
S′=0
讲 课 人 ： 邢 启 强
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
V Sh V 1 Sh
B 课
人 ：
D
C
4
邢
启 强
7
学习新知 体积:几何体所占空间的大小
长方体体积：V abc
(a,b,c分别是长方体的长、宽、高） 正方体体积：V a 3
V Sh
一般地，如果棱柱的底面积是S,高是h, 那么这个棱柱的体积V棱柱=Sh.
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任
意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与
分析：漏斗由两个多面 体组成，其容积就是两 个多面体的体积和.
解：由题意知 V长方体ABCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3),
1 V棱锥P-ABCD= 3 ×1×1×0.5=
1 6
(m3).
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典型例题 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
例2如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个 四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面ABCD是边长为1m的正 方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3)?
8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积
复习引入
(1)矩形面积公式： ___S__a_b____。 (2)三角形面积公式：_S__12__ah____。
正三角形面积公式：__S_ _43_a2__。 (6)梯形面积公式： __S__12_(a__b_)h__
讲
课
人
：
邢
启 强
2
复习引入 （一）柱体、锥体、台体的表面积
3 2
1 1
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讲
课
人
：
邢
启 强
10
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么， 棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 因此，一般地，如果棱锥的 底面面积为S,高为h,那么该棱锥的体积
12
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
S
S
VV大 锥V小 锥
=1Sxh1Sx
x
3
3
=1Sh1SSx
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h
x xh
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S S
x
S h
x S
xh
S
S S
S h
x
讲 课 人
S S
：
邢
启 强
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8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 顶点与垂足之间的距离.
V 1 Sh 3
讲 课 人 ： 邢 启 强
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
高h
底面积S
11
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
根据棱台定义，如何计算台体的体积？
设棱台的上、下底面面积分别为S′和S，高为h， 那么台体的体积公式是什么？
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任 意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面 的交点）之间的距离
S
h
S
讲 课 人 ： 邢 启 强
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
讲
课 人 ：
底面的交点）之间的距离
邢
启 强
8
学习新知
关于体积有如下几个原理： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
讲
课
人
：
邢
启 强
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学习新知 将一个三棱柱按如图所示分解成 三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积 有什么关系？它们与三棱柱的体积有什 么关系？
讲 课
1
V 人：邢启强 棱台3h(S
3
SSS)
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
S h
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学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
学习新知 8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
VV大 锥V小 锥
=1Sxh1Sx
x
3
3
=1Sh1SSx
S
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h
1 Sh 1 S S S h
S
33
S S
x
S h
1 S h 1 S S 33
S S
1 h S S S S
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知
几何体的侧面展开图
侧面展开图的构成 一组平行四边形
一组三角形
一组梯形
讲
课
人
：
邢
启 强
5
学习新知 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
讲 课 人
表面积=侧面积+底面积
：
邢
启 强
6
学习新知 例1．已知棱长为 ，各a 面均为等边三角
思考:面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
讲
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知
在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方体 的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积 展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作SD ，BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 (a )2 3 a
22
S
SSBC
1 2
BC
SD
1a 2
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC的表面积为
A
讲
S4 3 a2 3a 2
在棱台体体积公式中，若S′=S，S′=0， 则公式分别变形为什么？
V 1 (S SS S)h 3
S′=S
S′=0
讲 课 人 ： 邢 启 强
8 . 3 . 1棱柱棱锥棱台的表面积和体积— 山东省滕州市第一中学人教版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共1 9 张P P T )
V Sh V 1 Sh
B 课
人 ：
D
C
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邢
启 强
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学习新知 体积:几何体所占空间的大小
长方体体积：V abc
(a,b,c分别是长方体的长、宽、高） 正方体体积：V a 3
V Sh
一般地，如果棱柱的底面积是S,高是h, 那么这个棱柱的体积V棱柱=Sh.
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任
意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与
分析：漏斗由两个多面 体组成，其容积就是两 个多面体的体积和.
解：由题意知 V长方体ABCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3),
1 V棱锥P-ABCD= 3 ×1×1×0.5=
1 6
(m3).