安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题理含答案

安徽省江淮十校2021届高三第一次联考

数学试题理

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（） A ．3i

B ．3i -

C ．3

D ．-3

2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，

2π2cos 5b f ?

?= ??

?，()

0.62c f =的大小关系为（）

A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．b a c >>

D ．c a b >>

3．若实数x ，y 满足约束条件10

1010x y x y x -+≥??

++≤??-≤?

，则2z x y =+（）

A ．既有最大值也有最小值

B ．有最大值，但无最小值

C ．有最小值，但无最大值

D ．既无最大值也无最小值

4．已知函数3

7()e e x x

x f x -=+在[-6，6]的图像大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法

抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（）

A ．样本容量为240

B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成

C ．总体中对方式二满意的学生约为300人

D ．样本中对方式一满意的学生为24人

6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）

A ．9π782

B ．9π784-

C ．78π-

D ．9π

452

7．若6

(1)2x x x ?+ ?

展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（）

A ．±3

B ．±2

C ．3

D ．2

8．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（） A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件 B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件 C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件

D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件

9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。右边的数字三角形可以看作当n 依次取0，1，2，3，…时()n

a b +展开式的二项式系数，

相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ．例11a =，211a =+，312a =+，…，设数列{}n a 的前项和为n S .如果20222a a =+，则2020S =（）

A ．a

B ．2a +

C ．2a

D ．24a +

10．已知函数2

()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立．则

M 的最小值为（）

A 33

B 3

C 33

D 23

11．已知抛物线C ：2

4x y =，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M ，N 和M ，P 两点，其中2l 过焦点F ，

MR RN =，令(),R R R x y ，若1R y MN =-，则MFN ∠的最大值为（）

A ．

π6

B ．

π4

C ．

π3

D ．

π2

12．已知函数()()()ln f x x f x x '=+，且()f x 在(0,)+∞上单调递减，则1e f ?? ???

的取值范围为（）

A ．1,e ?-+∞?????

B ．1,e

??-∞- ??

C ．(],1-∞-

D ．[)1,-+∞

二、填空题：

13．已知非零向量a ，b 满足4b a =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为________.

14．已知P 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>右支上一点（非顶点），1F 、2F 分别为双曲线的左右焦点，

点M 为12PF F △的内心，若12122

MPF MPF MF F S S S -=

△△△，则该双曲线的离心率为________. 15．经过班级同学初选后，将从5名男生和3名女生中选出4人分别担任班长、学习委员、劳动委员，文

艺委员．其中男生甲不适合担任学习委员，女生乙不适合担任劳动委员现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选。则安排方法种数为________.

16．在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，1PA AB ==，2BC =，2

BAC π

∠

≥

，M 是线段BC 上

的动点，记直线PM 与平面ABC 所成的角为θ，若tan θ的最大值为

，E 为线段AC 的中点，过点E 作三棱锥P ABC -外接球的截面，则该截面面积的取值范围为________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知函数2

()23sin cos 2cos 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）已知ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中7c =，若锐角C 满足()2f C =，且40ab =，求sin sin A B +的值．

18．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2312a a +=，416a =，2log n n b a =．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求()*(1)2n

n n

n a c n S -=

∈N 的前n 项和n T . 19．如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C ，60COB ∠=?，点P 是弧AC 上的动点，点D 是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO 、PD 、CD ．（1）当//AB PCD 平面时，求PC 的长；

（2）当三棱锥P COD -体积最大时，求二面角D PC O --的余弦值．

20．加大对未成年人保护力度我校为宣传未成年保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，两人组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分为1p ，2p ．

（1）若134p =

，22

p =，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）若126

p p +=，且每轮比赛互不影响，则在竞赛中甲乙同学要想获得“优秀小组”次数为9次，则理论

上至少要进行多少轮竞赛才行?并求此时1p ，2p 的值.

21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点31,2??

???

且离心率为12.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若1A ，2A 分别为C 的左右顶点，G 为直线1x =上的任意一点，直线1GA ，2GA 分别与C 相交于M 、

N 两点，连接MN ，试证明直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.

22．已知函数2

()2ln f x x x ax =+-．（1）讨论函数()f x 的单调性：

（2）令函数()()ln()g x f x ax =-，对于任意()1,3a ∈时，总存在[]1,3x ∈使()()24g x k a <-+成立，求实数k 的取值范围.

安徽省江淮十校2021届高三第一次联考

数学试题参考答案（理科）

一、选择题：

1．D 详解：∵z 满足3zi i =-+，∴2

3(3)()

13i i i z i i i -+-+-===+-，所以13z i =-，所以z 虚部是-3，故答案选D.

2．B 详解：3332log 9log 13log 273=<<=；202cos

2cos 153

ππ

<<=，0.611222<<=，即：0.6322cos

122log 135

<<<<，∵()f x 为偶函数，∴()()33log 13log 13a f f =-=，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴()()0.632log 1322cos

5f f f π?

->> ??

，即a c b >>，本题正确选项B. 3．B 详解：作出可行域，如图所示：由图可知，当直线2z x y =+经过点()1,0M -时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大，因为直线2z x y =+在y 轴上的截距无最小值，所以z 有最大值.

4．B 详解：3

7()x x

x f x e e -=+，因为()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，排除选项C ，当0x >时()0f x >，排除选项D ，2456(2)1e f e =+，()4

844841

e f e =+，

()()

242864

4848

56e 448e 56e (2)(4)e 18e 8e 0e 1e 1e 1e 1f f ??-=-=+--

6003001250

0.3586000

++=，错误，选项C ，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满

意人数约为150020%300?=，该选项正确；选项D ，样本中对方式一满意人数为20004%30%24??=，该选项正确.故选B.

6．B 详解：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个1

球，如图所示

∴

27π9π9

33235478π

424

S=??+??-+=-.故答案为：

78π

7．B 详解：因为

的通项公式为

166

(1)(1)2

r r r r x r

T C C a x r

=-???=-????

，

若得到常数项，当()1

x+收1时，令

-=，当()1

x+取x时，令

-=-，解得4

r=或

r=（舍），所以4

r=，因为

(1)

展开式的常数项为60，所以()44644

1C260

-???=，解得2

a±.故答案为：B.

8．C 详解：A．m，n可能平行；B．α，β可能相交；C正确；D．当α，β相交且两条平行线垂直于交线时可以满足条件.

9．A 详解：因为

321432202120202019202220212020

,,,

a a a a a a a a a a a a

=+=+=+=+，相加得

()

342022232021122020

a a a a a a a a a

++=+++++++，所以

202222020

a a S

-=，所以

2020

S a

=. 10．C 详解：因为

()

222222

()2cos sin sin22cos cos24cos sin2cos cos sin

f x x x x x x x x x x x

'=-+=-+-

()

222

2cos14sin8cos sin sin

x x x x x

????

=-=-+-

???

????

，又因为

()

()cos()sin(22)

f x x x f x

πππ

+=+?+=，所以()

f x的周期为π，所以当

ππ

∈--

时，()0

f x

'<，()

f x单调递减，当

ππ

∈-

时，()0

f x

'>，单调递增，当

ππ

∈ ?

时，()0

f x

'<，()

f x单调递减，

ππ

f f

????

-==

? ?

????

，

π33

所以()(

)12ππ664f x f x f f ????-≤--=

? ?????

，即M ≥M

11．C 详解：()11

(11)122

R M N y y y MF NF MN =

+=-+-=-，2MF NF MN +=.由余弦定理可得(

)22

36||||||

111cos 2||||

MF NF MF NF MF NF MN MFN MF NF MF NF

MF NF

+?+-∠=

-≥-=???，当且仅当

MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为π

12．B 解析：因为()()ln xf x f x x x '-=-，22

()()()ln ln f x xf x f x x x

x x x x x ''--??===- ???

，又()()ln f x f x x x '=

-，ln 1ln 1()x x f x x x x +''=--=-

，所以()f x '在10,e ?? ???单增，1,e ??

+∞ ???单减，即11()10e e f x f ef ????''≤=+≤ ? ???

，即11e e

f ??≤- ???

. 二、填空题： 13．

π3

详解：∵(2)a a b ⊥-，∴(2)0a a b ?-=，∴220a a b -?=，即2

2cos ,0a b a b -??=.∵4b a =，∴22

124cos ,2a a a b -??=，∴π,3

a b ??=.

14．2 解析：由题意知，M 为12

PF F △的内心，设12PF F △内切圆半径为r ，因为12122MPF MPF MF F S S S -

△△△，所以12121122PF r

PF r F r -=

即1212

2PF PF a F -==

=，所以e =15．930 详解：岩甲乙都入选，则从其余6人中选出2人，有2

6C 15=种，男生甲不适合担任学习委员，女生乙不适合担任劳动委员，则有4

432A 2A A 14-+=种，故共有1514 210?=种；若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有3

6C 20=种，女生乙不适合担任劳动委员，则有1

33C A 18=种，故共有

2018360?=种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出4人，有46C 15=种，再全排，有4

4A 24=种，

故共有1524360?=种，综上所述，共有210360360930++=，故答案为930. 16．3π5π,44??

详解：如图，作AM BC ⊥，连接PM ，由题意可得2AM =，所以12BM =，又2BC =，

所以3 2

MC=，3

AC=，所以

BAC

∠=.过BC中点O'作OO ABC

'⊥平面，连接OE，此时OE AC

⊥，以AC为直径的截面为最小截面，经过球心O的截面为最大截面.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解：（1）由题意知，

()2sin2

f x x

，

所以函数()

f x的单调递增区间为

ππ

ππ,Z

k x k k

-+≤≤+∈，即

ππ

π,π,Z

k k k

-++∈

（2）∵()2

f C=，

()2sin22

f C C

=-=

，∴锐角

C=.

由正弦定理可得2

sin33

===

sin sin)

A B a b

+=+，

∵40

ab=，又

22222

()21

cos

222

a b c a b ab c

ab ab

+-+--

===，可求得

a b

+=，∴

313

sin sin)3

A B a b

+=+=

18．解：（1）由题意知，

a q a q

a q

?+=

，所以2

q=或

q=-

因为1

q>，∴2

q=，求得

a=，∴*

2,n

a n

=∈N

log log2n

n n

b a n

===

∵数列{}n b的前n项和为

(1)

n n

=，∴

(1)(1)222

2(1)1

n n n

n a n

S n n n n

===-

，

∴

213211

2222222

213211

n n n

??????

=-+-++-=-

? ? ?

??????

19．解：（1）∵//AB PCD 平面，AB OCP ?平面，OCP PCD PC ?=平面平面，∴由线面平行的性质定理得//AB PC .又60COB ∠=?，可得60OCP ∠=?.而OC CP =，OCP △为正角形，所以1PC =. （2）∵二面角为直二面角，DO AB ⊥，所以DO COP ⊥平面，而P COD D COP V V --=， ∴当CO OP ⊥时，三棱锥P COD -体积最大

方法一：因为OP ，OD ，OC 两两垂直，所以OP ，OD ，OC 分别为X ，Y ，Z 轴建空间直角坐标系，

(1,0,0)P ，(0,1,0)D ，(0,0,1)C ，(1,0,1)PC =-，(1,1,0)DP =-

令平面DPC 的法向量为1110(,,)0PC n n x y z DP n ?=??=??=??，00x z x y -+=??-=?

，取1(1,1,1)n =

又取平面PCO 的法向量为2(0,1,0)n = 设二面角D PC O --的平面角为α，1212

cos 3

n n n n α?=

方法二：取PC 的中点H ，连接OH ，DH .因为OC OP =，DC DP =，所以OH ，DH 都与PC 垂直，即OHD ∠为所求二面角的平面角. 在Rt OPC △中可得22

OH =

，在Rt OHD △中，2

226

12DH ??=+= ? ???

，所以2

2cos 36OHD ∠==所以：二面角D PC O --320．解：（1）由题可知，所以可能的情况有①同学甲答对1次，同学乙答对2次；②同学甲答对2次，同学乙答对1次；③同学甲答对2次，同学乙答对2次.

故所求概率2222

1221222

22222312321322443433433

P C C C C C C ????????=??+??+?= ? ? ? ????????? （2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为

()()()()()()()()2

12212

2211222122221221212121123P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-

因为1265p p +=

，所以()2

12121235

P p p p p =- 因为101p ≤≤，201p ≤≤，1265p p +=，所以1115p ≤≤，2115p ≤≤，又2

12129225p p p p +??

≤= ???

所以

1219

525

p p ≤≤

，令12t p p =，则2

12212()335525

P h t t t t ??==-+=--+ ??? 19,525t ??∈????

所以当925t =

时，max 297

625

P =，他们小组在n 竞赛中获“优秀小组”次数ξ满足)~,(B n p ξ

由max ()9np =，则9625

1929733625

n =

=≈，所以理论上至少要进行19轮比赛. 此时1265p p +=，12925p p =，123

p p ==

21．解：（1）22222

914112a b

c a a b c ?

?+=???=??=+????

解得：24a =，2

3b =，21c =，椭圆的标准程为：22143x y += （2）由题知MN 有斜率，令直线MN 方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y 联立椭圆2

3412

x y +=得

(

)

222

4384120k x ktx t +++-=，1222

12284341243kt x x k t x x k -?

+=??+?-?=?+?

，令()01,G y 、∵G 、M 、1A 三点共线，11A M A G k k =，∴

01132

y y

x =+，同理G 、N 、2A 三点共线，22A N A G k k =

∴

212

y y x =

-- ∴()()220121

22202

2922y y x y y x ?=?+???=

?-?

两式相除得：

()()

()

()()()()()()()22

121212122

2121212221131222224419222423124x x y x x x x x x x x x x x x x x y x x ??-- ?----++??====+++++??+-+ ??

化简得()12122580x x x x -++=即

22282440804343t kt

k k -++=++， 22540t kt k ++=，解得t k =-或4t k =-

当t k =-时，直线MN 的方程为(1)y k x =-，恒过点（1，0），当G 点不在x 轴时，120y y ?>，故不满足，舍去；

当4t k =-时，直线MN 的方程为()4y k x =-，恒过点（4，0），符合题意. 22．解：（1）∵()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x x a x ??

'=+-

???

当4a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,)+∞单调增；

当4a >时，()0f x '>

，解得04a x -<<

或4a x +>

()0f x '<

，解得

a a x -+<< 综上：当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调增；

当4a >时，()f x

在? ??

，?

+∞????单调增，

在??

单调减.

（2）由题意得2

()2ln ln()g x x x ax ax =+--，且()()min 2 4k a g x -+>，

而1()2g x x a x '=

+-，因为[]1,3x ∈，11923,3x x ??

+∈????

，且(1,3)a ∈

所以()0g x '>，()g x 在[1，3]单调增.min ()(1)1ln g x g a a ==--，即(2)41ln k a a a -+>--对于任意(1,3)a ∈时恒成立.

即令()(2)ln 30a k a a a φ=-+++>，对于任意(1,3)a ∈时恒成立. 解法一：1

()1a k a

φ'=++

，其中141,23a ??+∈ ???.

①当2k ≤-，()0a φ'<，()a φ单调减，此时()30φ≥即可，即6ln32k --≤≤-；

②当4

3k ≥-，()0a φ'>，()a φ单调增，此时()10φ≥即可，(1)40k φ=-≥，4k ≤，所以此时4

k -≤≤；

③当423k -<<-

，()a φ在11,1k ?? ?--??单调增，在1,31k ??

?--??

单调减，此时

()140k φ=->，(3)6ln30k φ=++>，所以()0a φ>恒成立.

综上所述，k 的取值范围为[6ln 3,4]--. 解法二：因为(2,1)1a -∈-

①当2a =时，(2)5ln 20φ=+>恒成立，此时k R ∈；

②当()2,3a ∈时，ln 32a a k a ++>

-，令ln 3()2a a n a a

++=-，22

4ln ()(2)

a a m a a +

+'=

- ∴()m a 单增，此时()3k m ≥，即6ln3k ≥--； ③当()1,2a ∈时，ln 3

2a a k a

++<

-，由上，()m a 仍单增，()1k m ≤，即4k ≤.

综上所述，k 的取值范围为[6ln 3,4]--.

高考复习：高三生如何准备月考模拟考

高考复习：高三生如何准备月考模拟考未 2014-01-10 0832 高考复习：高三生如何准备月考模拟考高三的日子，黑板上距高考倒计时的数字被放大了无数倍，生活由语数外理化生拼凑而成，铺天盖地的考试是一年的主旋律。高三的月考，尽管你心里清楚这只是高考的练兵，但走进考场，依然忐忑，依然期待通过考试来验证自己的进步。那么，充分的考前准备就是你胜利的第一重保障，我们一起来想一想，月考之前要准备些什么。知己知彼百战不殆《兵法》有云：“知己知彼，百战不殆。”了解月考的考试内容和考试目的是第一步。高三的四次月考，会各有侧重。首先，考试内容会配合复习进度，考查阶段学习重点和难点，其次，四次考试会以变换题型的方式对高考进行“围追堵截”，真正实现高考前预备战的补漏作用。另外，月考的难度系数可能会略高于高考，这样才能起到“带着沙包奔跑”的加码作用。这样，我们在考前复习时，就应针对以上的内容进行。不管现在复习的内容在高考所占比例有多少，都以阶段学习为界，寻找重点，提前加强训练。前两次月考已经考过的题型可以减少训练，贴近高考却一直没有考查过的题型作为复习重点。中等难度，甚至高难度的习题应该集中练习，以避免出现考试当中措手不及的惶惶然。复习中也不要采取“题海战术”，题要做，但要有针对性地做，明确考试对象，主攻考试重点，能让你有限的复习时间“事半功倍”。在三中，一些善于思考，对高考有计划、有全局准备的同学，甚至可以推断出下次考试的某些题型和考查内容。有的放矢，才能射中靶心。有些同学不太愿意为了月考放弃自己的高考长期计划，觉得月考没有那么重要，这种全局式的复习值得提倡，但，我要提醒你，如果你从来没有在任何一次考试中找到全力出击的感觉，到了高考，也许就失去了临场战斗力！月考给你带来的益处并不仅仅是每次考查的知识点，更重要的是你能对每场考试全力以赴的准备，超越自我的发挥。临阵磨枪不快也光 “临时抱佛脚”是学生在学习生涯中很难避免的尴尬局面，所以“不快也光”成了我们挂在嘴边的自我安慰。其实，有时候临阵磨好了枪，还能打个胜仗呢！时间短，任务重，怎么磨才够光呢？最接近考试状态的就是计时做套题，这是最能模仿考试状态的做法。在做题过程中，注意合理分配做题时间，核对答案后，及时弥补自己知识上的漏

高三数学第一次月考数学(理)试题

河南内乡一高高三数学第一次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （注意：在试题卷上作答无效） 1..已知集合 {}1|23,|lg 4x x A y y B x y x -? ?==+==?? -??，则A B =（） A. ? B. ()3,+∞ C. ()3,4 D. ()4.+∞ 2. 若函数()(1)cos f x x x =， 02x π ≤< ，则()f x 的最大值为（） A ．1 B ．2 C 1 D 2 3.命题“存在0x ∈R ，0 2 x ≤0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）（A ）不存在 0x ∈ R, 0 2x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 4.“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的（）条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6.设＜b,函数的图像可能是（）（） 7.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则(2009)(2010)f f -+的值为 A ． B ． C ． D ． )(x f (4)()f x f x -=-(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<