【2014中考复习方案】中考数学复习权威专题课件第10单元四边形
∵AO＝CO，
∴△AOD≌△COB. ∴OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形．
考点聚焦
包考探究
第3 节
矩形
第3节┃考点聚焦
考 点 聚 焦
考点 矩形 直角 的平行四边形叫做矩形 有一个角是________
矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴
矩 形 的 性 质 对称性 矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线 的交点
方法点析
考点聚焦
包考探究
第2节
平行四边形
第2节┃考点聚焦
考 点 聚 焦
考点1 平行四边形的定义与性质
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (1)平行四边形的两组对边分别________ 平行 ； 相等 ； (2)平行四边形的两组对边分别________ 相等 ； (3)平行四边形的两组对角分别________ (4)平行四边形的对角线互相________ 平分 ； (5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对 角线的交点
第1 节 第2 节 第3 节 第4 节 第5 节 第6 节
多边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形
第1 节
多边形
第1节┃考点聚焦
考 点 聚 焦
考点1
多边形 的定义
多边形
在同一平面内，不在同一直线上的一些线段____________ 首尾顺次 相 接组成的图形叫做多边形
内角和 外角和
(n－2)•180° n(n≥3)边形的内角和为__________________
考点聚焦
包考探究
第1节┃考点聚焦
(3)用三种不同的正多边形镶嵌 用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m个正三 常见 角形、n个正方形、k个正六边形，则有60m＋90n＋120k＝
形式
360，整理得_______________________ 2m＋3n＋4k＝12 ，因为m，n，k为整
数，所以m＝_____ 1 ，n＝_____ 2 ，k＝______ 1 ，即用______ 两 个 正方形，______ 一 个正三角形和______ 一 个正六边形
推论
相等 夹在两条平行线间的平行线段________
考点聚焦
包考探究
第2节┃包考探究
包 考 探 究
类型一、平行四边形的性质
例1．如图10－2－1 ABCD的对角线AC，BD交于点O，若 ABCD的周长为16，△BOC和△AOB的周长分别为10和9， 11 ． 则AC＋BD＝________
图10－2－1
考点聚焦 包考探究
第2节┃包考探究
类型二、平行四边形的判定
例2．如图10－2－2，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点 O，且AO＝CO，AD∥BC.求证：四边形ABCD为平行四边 形．
图10－2－2
考点聚焦包考探究源自第2节┃包考探究解
析
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，
∠DAC＝∠ACB.
任意多边形的外角和为360°
多边形 的性质
多边形 对角线 不稳定性
n（n－3） n(n≥3)边形共有_______________条对角线 2
n(n>3)边形具有不稳定性
拓展
3 n(n≥3)边形的内角中最多有________ 个是锐角
考点聚焦
包考探究
第1节┃考点聚焦
正多 边形
定义 对称性
相等 ，各条边都________ 相等 的多边形 各个角都________ 叫正多边形
矩形定义
定理 推论
直 角； (1)矩形的四个角都是______ 相等 (2)矩形的对角线互相平分并且______ 斜边 的 在直角三角形中，斜边上的中线等于________ 一半
考点聚焦
包考探究
第3节┃考点聚焦
矩形的 判定 拓展
(1)定义法 (2)有三个角是直角的四边形是矩形
轴 对称图形，边数为偶数的 正多边形都是________ 正多边形是中心对称图形
考点聚焦
包考探究
第1节┃考点聚焦
考点2
平面图形的镶嵌 平面图形 进行 用______ 形状 、______ 大小 完全相同的一种或几种__________ 拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面 镶嵌 图形的________
定义
性质
总结
若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直 线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心， 且这条直线等分平行四边形的面积
考点聚焦
包考探究
第2节┃考点聚焦
考点2
平行四边形的判定
序号
1 2 3 4 5
方法
定义法 两组对角分别________ 相等 的四边形是平行四边形 两组对边分别________ 相等 的四边形是平行四边形
在同一顶点的几个角的和等于360°
定义
平面镶嵌 的条件
考点聚焦
包考探究
第1节┃考点聚焦
常 见 形 式
六 个 (1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________ 正三角形或________ 四 个正四边形或________ 三 个正六边形 (2)用两种正多边形镶嵌 ①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________ 两 个 正四边形； 四 个正三角形和 ②用正三角形和正六边形镶嵌：用________ ________ 一 个正六边形或者用________ 两 个正三角形和________ 两 个正六边形； 一 个正四边形和 ③用正四边形和正八边形镶嵌：用________ 两 个正八边形 ________
拓展
能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的
和等于360°
考点聚焦
包考探究
第1节┃包考探究
包 考 探 究
类型、多边形的内角和与外角和
3 已知一个多边形的内角和是外角和的 ，则 2 5 这个多边形的边数是________ ． 例 [2012· 德阳]
考点聚焦
包考探究
第1节┃包考探究
如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边 数n.对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形 的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题 常常有化难为易的效果．
相等 的四边形是平行四边形 一组对边平行且________
对角线_________________ 的四边形是平行四边形 互相平分
考点聚焦
包考探究
第2节┃考点聚焦
考点3
平行四边形的面积
平行四边形 的面积 拓展 两条平行线 间的距离
平行四边形的面积＝底×高 同底(等底)等高(同高)的平行四边形的面积相等 在两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直 线上的距离叫做两条平行线间的距离
2014年中考数学二轮精品复习试卷(四边形)含答案解析
2014年中考数学二轮精品复习试卷：四边形1、如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是【】A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC2、（2013年四川资阳3分）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是【】A．48 B．60 C．76 D．803、正六边形的边心距与边长之比为A．B．C．1：2 D．4、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为A．78°B．75°C．60°D．45°6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A．B．C．D．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为【】A．B．C．D．128、如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为【】A．14 B．15 C．16 D．179、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为【】A．1 B．2 C．3 D．410、下列命题中是假命题的是【】A．平行四边形的对边相等B．菱形的四条边相等C．矩形的对边平行且相等D．等腰梯形的对边相等11、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为A．B．C．4 D．812、如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为A．cm2B．cm2 C．cm2D．cm213、下列命题中的真命题是A．三个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形14、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有A．1个B．2个C．3个D．4个15、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【】A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC16、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为【】A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm17、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有【】个．A．2 B．3 C．4 D．518、顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是【】A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形19、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=A．B．C．2 D．120、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞CD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。
中考数学总复习-四边形专题模块-矩形的性质及判定讲义教师版
知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【考点】矩形的性质和判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】2BC AB =例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质 及判定【例2】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB ∥CD在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中BC CBAC BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABC ∆≌Rt DCB ∆ (HL )∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【考点】矩形的性质和判定 【题型】选择 【难度】1星 【关键词】 【解析】省略 【答案】A【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵E 、F 、G 、H 分别是四边的中点∴EF 、GH 为中位线∴EF GH BD ∥∥且12EF GH BD ==∴四边形EFGH 为平行四边形∴四边形EFGH 是矩形．【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =， 180A D ∠+∠=︒∵M 是AD 的中点，∴AM MD =在ABM ∆和CDM ∆中AM DM MB MC AB CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABM ∆≌CDM ∆ (SSS )，∴A D ∠=∠ ∴90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，安顺市中考 【解析】省略【答案】⑴ ∵AF BC ∥，AFE DCE ∠=∠E 是AD 的中点，∴AE DE = ∵AFE DCE AE DE AEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF DEC ∆∆≌ ∴AF DC =，∵AF BD = ∴BD CD =（2）四边形AFBD 是矩形∵AB AC =，D 是BC 的中点（利用全等） ∴AD BC ⊥ ∴90ADB ∠=︒∵AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形 又90ADB ∠=︒∴四边形AFBD 是矩形．【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】⑴证明：ED DC DF DC ==，⑵当D 为AC 的中点时，四边形AECF 为矩形【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ．⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【考点】矩形的性质和判定，菱形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，襄樊市中考 【解析】省略【答案】⑴ Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴AC DC =，60ACB ACD ∠=∠=︒ ∴ACD ∆是等边三角形 ∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在 直线翻转180︒得到∴AC AF =，90ABF ABC ∠=∠=︒ ∴180FBC ∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线 ∴AFC ∆是等边三角形 ∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF === ∴四边形AFCD 是菱形． ⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E ∴AE EC =，又∵AG BC ∥∴EAG ECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠ ∴AEG CEB ∆∆≌，∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒ ∴四边形ABCG 是矩形．【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BAGMF E DC BA【考点】平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的三线五心 【题型】解答 【难度】6星 【关键词】【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =∴12AM =【答案】12【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FDBCM【考点】矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】延长BF 交AD 于M ，连结DB ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC AD BC AC BD ==∥，， ∴M EBF ∠=∠，∵F 是AE 中点，∴AF EF =，在AFM △和EFB △中， ∵M EBF MFA BFE AF EF ∠=∠∠=∠=，，∴AFM EFG ∆∆≌．∴AM BE =，MF BF =，∴AD AM BC BE CE DM +=+== ∵CE AC AC BD ==，，∴DM DB = ∵MF BF =，∴BF DF ⊥【答案】见解析板块二、矩形的性质及应用【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
中考数学复习专题特殊平行四边形
中考(Kao)数学复习专题特殊平行四边形小(Xiao)题）1．下列性质中，菱形具有(You)而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平(Ping)行且相等B．对角线互(Hu)相平分C．对角线互相(Xiang)垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．138．如(Ru)图，E，G，F，H分(Fen)别是矩形(Xing)ABCD四条边上的(De)点，EF⊥GH，若(Ruo)AB=2，BC=3，则(Ze)EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确(Que)定9．如(Ru)图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°12．如(Ru)图，矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，O为(Wei)AC中点(Dian)，过点(Dian)O的(De)直线分别与(Yu)AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中(Zhong)，菱形(Xing)ABCD在第一象(Xiang)限内，边(Bian)BC与(Yu)x轴(Zhou)平行，A，B两点(Dian)的纵坐标分别为(Wei)3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE 垂直AC交AD于点E，则DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=．18．如图所示(Shi)，在矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，AB=6，AD=8，P是(Shi)AD上(Shang)的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于(Yu)F，则(Ze)PE+PF的值(Zhi)为．评卷人得分三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE 交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图(Tu)：在△ABC中(Zhong)，CE、CF分(Fen)别平分∠ACB与它的(De)邻补角∠ACD，AE⊥CE于(Yu)E，AF⊥CF于(Yu)F，直(Zhi)线(Xian)EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中(Zhong)考数学复习专题(Ti)--《特殊平行(Xing)四边形》参考答案与试题解(Jie)析一．选择(Ze)题（共(Gong)12小(Xiao)题）1．下列性质(Zhi)中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱(Ling)形的性质有：①菱形的四条(Tiao)边都相等，且对边平行，②菱(Ling)形的对角相等，③菱形的对角(Jiao)线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质(Zhi)是对角线相等，故(Gu)选(Xuan)D．4．以下条件不(Bu)能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．5．顺(Shun)次连接四边形(Xing)ABCD各边(Bian)中点所成的四边形为菱形，那么四边形(Xing)ABCD的(De)对角线(Xian)AC和(He)BD只需满足的条件(Jian)是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．7．如图，在(Zai)平行四边形(Xing)ABCD中，用直尺(Chi)和圆规作∠BAD的(De)平分线(Xian)AG交(Jiao)BC于(Yu)点(Dian)E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．故选：A．8．如(Ru)图，E，G，F，H分别(Bie)是矩形(Xing)ABCD四(Si)条边上的点，EF⊥GH，若(Ruo)AB=2，BC=3，则(Ze)EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法(Fa)确定【解(Jie)答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，则∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．故(Gu)选(Xuan)B．9．如(Ru)图：点(Dian)P是(Shi)Rt△ABC斜(Xie)边(Bian)AB上的一(Yi)点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CP，此时，S△ABC即(Ji) ×20×15=×25•CP，解(Jie)得(De)CP=12．故(Gu)选(Xuan)A．10．如图(Tu)，在菱形(Xing)ABCD中(Zhong)，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故(Gu)选(Xuan)D．11．如图(Tu)，在菱形(Xing)ABCD中(Zhong)，∠A=110°，E，F分别(Bie)是边(Bian)AB和(He)BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即(Ji)∠BEF=∠FPC，∵四(Si)边形(Xing)ABCD为(Wei)菱形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分(Fen)别为(Wei)AB，BC的中(Zhong)点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°；故(Gu)选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平(Ping)分，∵O为(Wei)AC中(Zhong)点，∴BD也(Ye)过(Guo)O点(Dian)，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三(San)角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在(Zai)△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错(Cuo)误．∴②错(Cuo)误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正(Zheng)确；故(Gu)选：C．二(Er)．填空题（共(Gong)6小(Xiao)题）13．如图(Tu)，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C 落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在(Zai)△DEC中(Zhong)，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案(An)为：75．14．如图，在平面直角坐标系中(Zhong)，菱形(Xing)ABCD在第一象(Xiang)限内，边(Bian)BC与(Yu)x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱(Ling)形(Xing)ABCD=底(Di)×高(Gao)=2×2=4，故(Gu)答案为(Wei)4．15．如图(Tu)：在矩形(Xing)ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，∴DE的(De)长是(Shi)3．故(Gu)答案为：3．16．平(Ping)行四边形(Xing)ABCD中，对(Dui)角线(Xian)AC、BD相交(Jiao)于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点(Dian)O为平行四边形对角线交(Jiao)点，∴BO=BD=BC，∵E为(Wei)OC中(Zhong)点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为(Wei)AB中(Zhong)点，∴P为(Wei)AE中(Zhong)点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在(Zai)△GPE和(He)△FPE中(Zhong)，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平(Ping)分∠GEF，即(Ji)④成(Cheng)立．故(Gu)答案为：①②④．17．如(Ru)图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是(Shi)等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故(Gu)答案为：30°．18．如图所示(Shi)，在矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，AB=6，AD=8，P是(Shi)AD上(Shang)的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于(Yu)F，则PE+PF的值为．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∴S △AOD =S △DOC =S △AOB =S △BOC =S 矩(Ju)形(Xing)ABCD =×6×8=12，在(Zai)Rt △BAD 中，由勾股(Gu)定理得：BD===10，∴AO=OD=5，∵S △APO +S △DPO =S △AOD ， ∴×AO ×PE +×DO ×PF=12，∴5PE +5PF=24， PE +PF=，故答(Da)案为：．三．解(Jie)答题（共(Gong)6小(Xiao)题） 19．如(Ru)图，在(Zai)Rt △ABC 中(Zhong)，∠ACB=90°，D 为(Wei)AB 的中(Zhong)点，AE ∥CD ，CE ∥AB ，连(Lian)接(Jie)DE 交(Jiao)AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，===24．∴S菱(Ling)形(Xing)ADCE20．已知(Zhi)，如图，BD为平(Ping)行四边形(Xing)ABCD的对(Dui)角线，O为(Wei)BD的(De)中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解(Jie)答】证(Zheng)明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四(Si)边形(Xing)DEFG是平行四边(Bian)形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在(Zai)△DGB和(He)△DEC中(Zhong)，，∴△DGB≌△DEC（AAS），∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解(Jie)答】（1）证(Zheng)明：∵AE⊥CE于(Yu)E，AF⊥CF于(Yu)F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又(You)∵CE、CF分别(Bie)平分∠ACB与它的(De)邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，∴三个角为直角的(De)四边形AECF为矩形．（2）结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），∴N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则(Ze)M1N是(Shi)△ABC的中位(Wei)线，MN∥BC，而(Er)MN∥BC，M1即(Ji)为点(Dian)M，。
中考数学专题复习《以平行四边形为背景的计算与证明》经典题型讲解
中考数学专题复习《以平行四边形为背景的计算与证明》经典题型讲解类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图Z11－1，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .求证：BE ＝DF .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF .又∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CFD ，∵AB ＝CD ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD ，∴BE ＝DF .【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．【中考变形】1．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，连结AF ，CE .求证：AF ＝CE .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠ADB ＝∠CBD .又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， 图Z11－1图Z11－2∴∠AED ＝∠CFB ，AE ∥CF .∴△AED ≌△CFB (AAS )．∴AE ＝CF .∴四边形AECF 是平行四边形．∴AF ＝CE .2．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H .求证：AG ＝CH .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CFH ，∠EAG ＝∠FCH ，∵E ，F 分别为AD ，BC 边的中点，∴AE ＝DE ＝12AD ，CF ＝BF ＝12BC ，∵AD ＝BC ，∴AE ＝CF ＝DE ＝BF .∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ∥DF ，∴∠AEG ＝∠ADF ，∴∠AEG ＝∠CFH ，在△AEG 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAG ＝∠FCH ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AEG ≌△CFH (ASA )，∴AG ＝CH .【中考预测】[2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E ，F 分别是▱ABCD的边BC ，AD 上的点，且BE ＝DF .(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若四边形AECF 是菱形，且BC ＝10，∠BAC ＝90°，图Z11－3图Z11－4求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，中考预测答图∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE ＝12BC＝5.类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．图Z11－5 经典母题答图解：如答图，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴菱形ABCD 的四个内角度数分别为∠B ＝∠D ＝60°，∠BAD ＝∠BCD ＝120°.【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．【中考变形】1．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E .(1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)只需添加一个条件，即__AD ＝BC __，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC (SSS )；(2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由如下：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，由(1)得△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形．故答案为AD ＝BC (答案不唯一)．2．[2017·白银]如图Z11－7，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC＝4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； 图Z11－6图Z11－7(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB ＝OD ，∴∠OBE ＝∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA )，∴EO ＝FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x ，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴x 2＝42＋(6－x )2，解得x ＝133，∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213，∴OB ＝12BD ＝13，∵BD ⊥EF ，∴OE ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.3．[2017·盐城]如图Z11－8，矩形ABCD 中，∠ABD ，∠CDB 的平分线BE ，DF 分别交边AD ，BC 于点E ，F .(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵BE 平分∠ABD ，DF 平分∠BDC ，∴∠EBD ＝12∠ABD ，∠FDB ＝12∠BDC ，图Z11－8∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．4．[2016·株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．解：(1)证明：正方形ABCD中，∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE＝90°，在△ADF与△ABE中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，∴△ADF≌△ABE(SAS)；(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，∴AE＝10，ED＝CD2＋CE2＝5，∵S△AED＝12ED·AH＝12AD·BA＝92，图Z11－9∴AH ＝95， 在Rt △AHD 中，DH ＝AD 2－AH 2＝125，∴EH ＝ED －DH ＝135，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝913.5．[2017·上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD 中，AD∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE (SSS )，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．图Z11－106．如图Z11－11，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．图Z11－11中考变形6答图解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA，∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG，∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形，∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．理由：如答图，连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)，∴BO＝DO，即O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2，∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.【中考预测】如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.图Z11－12(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，∴∠EFD＝∠BCD.。
中考数学专题《四边形》复习课件(共13张PPT)
一般的平行四边形
菱形
四 边
平行四边形 特 殊 的 平行四边形
一般梯形
矩形 正方形
形梯
形
等腰梯形
特殊梯形 直角梯形
一般四边形
D
C 文字语言叙述
几何符号表述
O
①两组对边互相平行 在 ABCD中
A B ②两组对边分别相等
平 性质 ③一组对边平行且相等
行
④两组对角分别相等
四
⑤对角线互相平分
边
①两组对边分别平行的
又∵AF=CE
∴AE=CF
∴EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
典例2 如图1，2所示，将一张长方形的纸片 对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下， 将△AOB完全展开． (1)画出展开图形，判断其形状， 并证明你的结论；
(2)若按上述步骤操作，展开图形 是正方形时，请写出△AOB应满足的条件．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A E
o
F
D
B
C
B
C
证法1：∵四边形ABCD是平行四 边形
∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中
BC=AD
证法2： 连接BD，交AC于点O， 连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD, AO=CO
∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
且MA=NC，问BM和DN存在 怎样的关系？说明理由。 证明：
BM// DN，连接BD 交AC于O，连接BN、DM。
∵AB C// D，∴四边形ABCD是平行四边形 ∴OB=OD，OA=OC， ∵MA=NC
九年级数学中考专题(空间与图形)-第十讲《四边形(二)》课件(北师大版)
B
E
参考答案
一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求 解； 5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF 是等边三角形. 6、 2 1 ；7、2 1 ；8、②
参考答案
二、DDBBA 三、解答题： 14、可证△DEA≌△ABF 15、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB， EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF， ∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB， 故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形，又因EG ＝FG，故GECF是菱形.
A
D G B E F C
能力训练
16、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作 三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下 列问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点 的四边形不存在？ E F D
第十讲 四边形（二）
复习目标
1．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质 解决相关的证明和计算问题.
知识要点
1．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形 的四条边相等，对角线互相垂直平分. 2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行 四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互 相垂直的平行四边形是菱形. 3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既 具有矩形的性质又具有菱形的性质.
典型例题
例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数. 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个 等腰三角形的基本图形进行求解. 答案：45° A D
中考数学一轮复习四边形PPT学习教案
第22讲 矩形、菱形、正 方形（一）
第22讲┃ 矩形、菱形、正方形（一）
第16页/共74页
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 矩形
定义 对称性 性 质 定理
推论
判定
有一个角是___直__角___的平行四边形叫做矩形 矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴 矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点
第21讲┃ 多边形与平行四边形
第8页/共74页
12．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D
是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四
边形，则在平面内符合这样条件的点D有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上 的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有 3个．
第22讲┃ 矩形、菱形、正方形（一）
第20页/共74页
判定 面积
(1)定义法 (2)四条边__相_等_____的四边形是菱形 (3)对角线互相__垂_直_____的平行四边形是菱形 菱形的面积等于两对角线乘积的__一__半____
第22讲┃ 矩形、菱形、正方形（一）
第21页/共74页
4．已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD
第32页/共74页
(2)若菱形的周长为 8 cm，高为 1 cm，则菱形两邻角的度
数比为( C )
A．3︰1
B．4︰1
C．5︰1
D．6︰1
第22讲┃ 矩形、菱形、正方形（一）
第33页/共74页
(3)如图 22－11，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， CE∥BD，DE∥AC.若 AC＝4，则四边形 CODE 的周长是( C )
【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件 ：25 矩形、菱形、正方形(30张ppt,含13年试题)
图25－7
考点聚焦 归类探究 回归教材
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
解：(1)证明：设AF与BE交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°， ∴Rt△ADF中，∠FAD＋∠AFD＝90°.
考点聚焦 归类探究 回归教材
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
归 类 探 究
探究一 矩形的性质及判定的应用
命题角度： 1. 矩形的性质； 2. 矩形的判定． 例1 [2013· 白银 ]如图25－1，在△ABC中，D是BC边
上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
考点2
菱形
菱形
有一组________相等的平行四边形是菱形 邻边 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是
定义
对称性 菱形的 性质 定理
它的对称轴
菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对 角线的交点 (1)菱形的四条边________； 相等 垂直 (2)菱形的两条对角线互相________平分，并且 一组对角 每条对角线平分___________
∵D为BC中点，∴DB∶BC＝1∶2，
∴BE∶AB＝1∶2，∴E为AB中点，即BE＝AE. ∵CF＝AE，∴CF＝BE，∴CF＝FB＝BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
(2)如图，∵四边形BECF为正方形， ∴∠BEC＝90°.又AE＝CE，∴∠A＝45°.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
中考数学复习专题四边形的性质和判定
中考数学复习专题四边形的性质和判定第一局部知识梳理1.平行四边形①定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形．②性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对角线相互平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；③判定方法定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形；判定方法1：两组对边区分相等的四边形是平行四边形；判定方法2：两组对角区分相等的四边形是平行四边形；判定方法3：对角线相互平分的四边形是平行四边形；判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2.菱形①定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．②性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半；菱形是轴对称图形．③判定方法定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法1：四条边都相等的四边形是菱形；判定方法2：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．3.矩形①定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．②性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
③判定方法定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．第二局部精讲点拨考点1.平行四边形的性质【例1】如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC.，CE BD于E ，那么．变式1 □ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，假设∠A=115°，那么∠BCE= .变式2 在平行四边形ABCD中，点A1.A2.A3.A4和C1.C2.C3.C4区分AB和CD的五等分点,点B1.B2和D1.D2区分是BC和DA的三等分点,四边形A4 B2 C4 D2的面积为1,那么平行四边形ABCD面积为〔〕A.2B.C.D.15变式3 如图，□ABCD中，AD＝8㎝， AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，那么BE等于〔〕A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm变式4如图，平分，，，那么．变式5 如图，：平行四边形ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．考点小结：2.平行四边形的判定【例2】如图，平行四边形ABCD 中，M .N 区分为AD .BC 的中点，连结AN .DN .BM ，且AN .BM 交于点P ，CM .DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？变式 1 如图，在ABCD 的各边AB .BC .CD .DA 上，区分取点K .L .M .N ，使AK =CM .BL =DN ，那么四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.变式2 如图，□ABCD 中，E .F 区分在BA .DC 的延伸线上，且AE =21AB ，CF =21CD ，试证明AECF 为平行四边形. 变式3 在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证：四边形DFBE 为平行四边形.变式4 如图，在□ABCD 中，点E .F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．考点3.平行四边形综分解绩【例3】如图，△ABC 是等边三角形，D.E 区分在边BC.AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延伸至点F ，使EF=AE ，连结AF.BE 和CF 。
【中考复习方案】2015中考数学(包头)总复习课件：第十单元+第2节 平行四边形(共41张PPT)
8 ________ ．
图10－2－8
考点聚焦
包考探究
包考集训
第十单元┃ 四边形
11．如图10－2－9，在▱ABCD中，点P为对角线AC上一点，过点
P作EF∥DC分别交AD，BC于E，F两点，作GH∥BC分别交AB，DC于
3 G，H两点，则图中面积一定相等的平行四边形有________ 对．
图10－2－9
考点聚焦
包考探究
包考集训
第十单元┃ 四边形
3．如图10－2－3，在▱ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足 为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( B ) A．53° B．37° C．47° D．123°
图10－2－3
考点聚焦
包考探究
包考集训
第十单元┃ 四边形
[解析] ∵在▱ABCD中，过点C的直线CE⊥AB， ∴∠E＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
第 2节
平行四边形
第十单元┃ 四边形
考 点 聚 焦
考点1 定义 平行四边形的定义与性质 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行 ； (1)平行四边形的两组对边分别________ 相等 ； (2)平行四边形的对边________ 相等 ； (3)平行四边形的对角________ 平分 ； (4)平行四边形的对角线互相________ (5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两 条对角线的交点 若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条 直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中 心，且这条直线等分平行四边形的面积
包考集训
第十单元┃ 四边形
2．下列四个命题正确的个数为( A ) (1)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；