自动控制基本知识

系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入 信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
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第三节 二阶系统分析 一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。 二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
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二阶系统分析 系统结构图：
微分方程：
J
d 2c
dt 2
F
d c
dt
Kc
Kr
闭环传递函数：
c (s) r (s)
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第五节 稳定性分析及代数判据
一、稳定的概念及条件
⒈ 稳定概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态， 而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称 系统是稳定的。
⒉ 稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于ｓ平面的左半平 面。
二、判定系统稳定的方法：代数判据
应用劳斯判据等其它代数判据。
（1）求该系统的自然振荡角频率和阻尼比； （2）求该系统的超调量和调节时间； （3）若要阻尼比等于0.707，应怎样改变放大倍数K？
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例题
解（1）系统的闭环传递函数为
(s)
s2
4 s
4
写成标准形式
(s)
s2
n2 2n s
n2
对比，可知
n 2 0.25
29
例题
（2）超调量和调节时间
将阻尼系数和无阻尼振荡频率代入性能公式
解：列劳斯表：
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s a1a2 a0a3 0
a1
s0
a3
系统稳定的充分必要条件是 ： a0 0, a1 0, a2 0, a3 0
(a1a2 a0a3 ) 0
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稳定性分析及代数判据 四、劳斯判据的其它应用
1.分析系统参数对稳定性的影响 例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的 范围。
本方法是分析系统的最早、也是最基本的分析 方法，时域分析法直覌、物理概念清晰。
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号 数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号 数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
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稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
anS n an1S n1 a1S an 0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
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Js 2
k Fs
k
二阶系统！ 16
二阶系统分析
为了使二阶系统的分析结果具有普遍及指导意义，提出下面 的数学模型，作为二阶系统的典型的数学模型：
典型系统结构
开环传递函数 闭环传递函数
Gk
(s)
s(s
n 2 2n
)
(s)
(s2
n 2 2n s
n2
)
注：式中 --阻尼系数(比)
n --无阻尼自振荡频率
T dy y r dt
G(s) 1 Ts 1
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一阶系统分析
三、典型输入响应 1、单位阶跃响应
t
y(t) 1 e T t 0
y(t)的特点： （1）由动态分量和稳态分量两部分组成。
（2）单调上升的指数曲线； （3）当t=T时，y=0.632；
（4）曲线的初始斜率为1/T。
性能：
（1）超调量 不存在(0) 。
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高阶系统分析
四、高阶系统的分析方法
(1)、降阶(看成2阶、1阶)
*闭环主导极点的概念：
距离虚轴最近，又远离零点的闭环极点，在系统过渡 过程中起主导作用，这个极点称为主导极点。
主导极点若以共轭形式出现，该系统可近似看成二阶 系统；若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。
(2)、计算机仿真实验
2
Tt
T
2
(1
t
eT
)
t0
2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t) Te T t 0
当 t 时， y() 0
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一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
阶跃响应：
yt 1 ent 1 nt
y(t)
响应曲线
1
0
t
21
二阶系统分析
4、过阻尼（ >1）的情况
特征根及分布情况： p1 2 1 n
p2 2 1 n
阶跃响应：
Ys
s
s2
n2 2ns
n2
ss
n2
p1 s
p2
y t
1 2
1
e
2
1
2 1 nt
2 1
e
2 1 nt
2 1
y 1
响应曲线
0
t
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二阶系统分析
典型二阶系统的阻尼系数与单位阶跃响应， 見表3-2；图3-11。
结论： 1、不同阻尼比有不同的响应、有不同的动态性能。 2、实际工程系统中，欠阻尼情况最具有实际意义， 在系统设计时，往往也按欠阻尼情况选择控制器相关 参
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二阶系统分析
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
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二阶系统分析
t tp
2、超调量 ：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对 求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
1.比例-微分（PD）串联校正
未加校正网络前闭环传递函数：
(s)
s2
n2 2n s
n2
加校正网络后闭环传递函数：
(s)
(1 s)n 2
s2
2(
1 2
n
)n s
n2
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二阶系统分析
校正后的等效阻尼系数
1
1 2
n
1
阻尼系数比校正前要大。由超调量的计算公式知， 阻尼系数上升，超调量下降，从而提高了系统的动态 性能。
% e 1 2 100 % 47%
ts (5%)
3
n
6s
（3）要求 0.7，07即要求超调量为4%时
n
1
2
1 rad / s 2
k n2 0.5
注：超调量变小了，系统的动态性能变好了，但由于放大系数小了，
由第六节可知，造成精度变差了。
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二阶系统分析
五、提高二阶系统动态性能的方法
稳定性分析及代数判据
2、列劳斯表：
Sn
an an2 an4
S a a a n1
n1
n3
n5
S n2 b1
b2
b3
S n3 c1
c2
c3
S 2 e1 e2
S1
f1
S 0 g1
注意：1、共n+1行
an6 an7 b4 c4
公式：b1
an1an2 anan3 an1
b2
an a 1 n4 anan5 an1
特征方程：
s2 2ns n2 0
特征方程的根： S1'2 n n 2 1
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二阶系统分析
三、典型二阶系统的单位阶跃响应
在初始条件为0下，输入单位阶跃信号时，系统输出的拉 氏变换式为
y(s) R(s)(s) 1
2 n
s (s2 2ns n2 )
阶跃响应为 y(t) L1y(s) L1R(s)(s)
（2）ts=3T 或4T。
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一阶系统分析
2、单位斜坡响应
t
y(t) (t T ) Te T t 0
y(t)的特点： （1）由动态分量和稳态分量两部分组成。 （2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时
间常数“T”。
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一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)
1
t
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稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s3 6s2 5s K 0
列劳斯表
s3
1
5
s2 6 K
s 30 K 0 6
s0 K
稳定必须满足
30 K 0 6
k 0
所以
0 K 30
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稳定性分析及代数判据
2、确定系统的相对稳定性
稳定裕量：系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部 最大的特征根与虚轴的距离。
四、二阶系统动态特性指标 （0< <1）
由前面知，欠阻尼时系统的输出：
yt 1
1 ent sin
1 2
1 2nt
y(
响应曲线： t)
0 tr tm ts
t
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二阶系统分析
t 1、上升时间 ： r 在暂态过程中第一次达到稳态值的时间，由
yt 1
e nt
1 2
sin
n
12t
令 t t时r ，则
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A