三视图问题分类解析

三 视 图 问 题 分 类 解 析
三视图问题是近年中考中一类必考题型，它主要考察学生观察问题、分析问题的能力，以及空间想象能力.多以填空题、选择题的形式出现.本文试举数例，进行分类剖析，供同学们参考.
基本概念：
从不同的方向观察几何体时，可以得到不同的平面图形.
1、主视图（正视图）：从正面看到的图形，叫做主视图 （新课标北京师大版教材《七年级（上）·数学》）；又叫正视图（新课标华东师大版教材《七年级（上）·数学》）.
2、左视图：从左面看到的图形，叫做左视图 .
3、俯视图：从上面看到的图形，叫做俯视图. 一、由几何体画三视图
例1．如图1是由6个相同的小立方块搭成的几何体，分别画 出这个几何体的主视图左视图和俯视图.
解析：对六个小正方体编号：前排为1， 第二排左起依次为2、3、4，第三排为5，上层为6.
画主视图时，小正方体“1”、“5”不起作用，可以将其“移走”，
即做到“视而不见”.那么观察由小正方体“2”、“3”、“4” 、“6”块木块，从正面“拍摄”，所得到的“照片”即为 图2-1；
画左视图时，可以设想小正方体“2”、“4”不起作用，将其“移走”；将“1”平移至“3”的正面.那么观察由小正方体“1’”、“3”、“5” 、“6”四块立方块，从左面“拍摄”，所得到的“照片”即为 图2-2；
画俯视图时，可以设想将第二层、第三层……等依次“移走”（从底层开始数，依次为第一层、第二层，……）.在这里，可将小正方体“6”“移走”那么观察余下六块，立方块，从上面“拍摄”，所得到的“照片”即为图2-3.
例2. 由几何体画它的的主视图
(1) 用三个正方体，一个圆柱体，一个圆锥的积木摆成如图3所示的几何体，其正视图
(图2-1 图2-2 图2-3 )
A B C D
图7
为( ) (2007永州)
(2)小明从正面观察下图4所示的两个物体，看到的是（）(2007临安)
解析：（1）画主视图时，小正方体“1”不起作用，可以将其“移走”，即做到“视而不见”.那么观察由小正方体“2”、“3”及圆柱体、圆锥这四块积木，从正面“拍摄”，所得到的“照片”即为 (A).
(2) 观察图4中的两个几何体，从正面看时，我们看不到圆柱体顶部的圆，也看不到正方体顶部的正方形.所以得到的主视图为(C).
例3．画几何体的俯视图
(1)如图5，表示一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，当俯视这一物体时看到的图形形状是（）(2007 临沂)
(2) 一个全透明的玻璃正方体，上面嵌有一根黑色的金属丝，如图7，金属丝在俯视图中的形状是（）（2006荆州）
解析：本题中的两个物体，画其俯视图时，可将物体从上往下“挤压”成“薄饼”得到.
(1)、(2)分别选择B、C.
例4.如图7是由五个大小相同的的正方体搭成的几何体,
则关于它的视图，下列说法正
A B C D
(图5)
A B
C
D
(图3)
B
A C D
确的是( ) （2007浙江湖州）
A.正视图的面积最小 B .左视图的的面积最小
C.俯视图的面积最小
D. 三个视图的面积一样大 解析：右图的三个视图分别是：
所以，左视图的的面积最小.选（B ）. 二、由几何体的三视图还原几何体
例5．如图8，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）（2006重庆课改）
A.3
B.4
C. 5
D. 6
解析：由俯视图可知，原几何体的底层有三块立方体，如图9-1；再由主视图可知，原几何体上下共
两层，且第二层只有一块，放在左侧，如图9-2，此图也 符合左视图的要求 .故原几何体即为图（2）所示立方体.有 4块,选(B).
例6．某几何体的其主视图、左视图和俯视图如下图10-1
所示，则该组视图所对应的几何体是图10-2中的（ A ）（2007泰安）
三、由几何体的俯视图还原几何体
(1)已知俯视图中小正方体的数字，画出主视图、左视图
(图
7 )
（图10-1）
主视图 左视图 俯视图
俯视图
左视图
主视图
图8
（图10-2）
A ．
B ．
C ．
D ．
例7．图11是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）（2006南宁）
解析： 根据题图可画出几何体如图12，所以几何体的 主视图是（B ）
例8.由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图 13所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的 个数，那么，这个几何体的左视图是 ( )(2007河南)
解析：根据题图可画出几何体如图14，所以几何体的 左视图是（A ）
小结：
从以上两例，我们可以归纳出根据俯视图中 小正方体的数字画主视图、左视图的简要方法:
(1)主视图的列数=俯视图的列数，而主视图该列的高（行数） =俯视图中相应列中最大的数字；
(2)左视图的列数=俯视图的行数，而左视图该行的高（行数）=俯视图中相应行中最大的数字.
例9.如图15是由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方体 中的数字表示在该位置的小立方块的个数，画出它们的主视图、 左视图.
解：由俯视图及小正方形上的个数，这个几何体的主视图和 左视图分别为：
A ．
B ．
C ．
D ．
俯视图 图Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
图
11 图12
（图15）
例10．与如图17所示的三视图对应的几何体是( B ) （2007浙江宁波）
四、由几何体的二视图（主视图和俯视图）还原不确定的几何体 例11.用小立方块搭成的几何体的主视图和俯视图如图18所示，（1）符合要求的几何体是否唯一？若不唯一，试画出6种以上可能情况的几何体；（2）摆成这样的几何体需要小立方体最少多少块？最多多少块？
解:由主视图确定俯视图中小正方体的数字，可
以尝试摆出从正面看到的几个小立方体如图19-1，有上下三层，6块；从上面看到的几何体有6块：
（1）符合要求的几何体不唯一. 可以画出如下一些几何体（如图20
）：
正面(图
19-1)
（图17）
主视图 俯视图
(图18) 上面
（图19-2）
主视图 左视图
(图16)
将编号为a 的小立方体移到b 上或c 上，或直接在b 上再放一块，在此前提下，又可画出一些几何体.
（2）最少9块,有6种情况，其俯视图如下（图21）：
最多有14块，其俯视图为（如图22）:
观察正视图可知，不论怎样摆放，左侧一列，a 、b 、c 三个“柱体”中，必须有一个的高
度为“3”； 中间一列，d 、e 两个柱体中，必须有一个柱体的高度为2，
f 的高度为1.
附：练习题
1．将如图所示的Rt △ABC 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图是( D )( 2007重 庆)
12块
13块
14块
（图21）
（图22）
俯视图
左视图
主视图
2．
某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是（ A ）(2007山东威海)
3．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 （2007宜宾）
4．由一些大小相同的小正方形组成的几何 体三视图如图所示，那么，组成这个几何体的小 正方体有 ( B )（2006河南）
A ．6块
B ．5块
C ．4块
D ．3块
俯视图
A ．
B ．
C ．
D ．
主视图
左视图
俯
视图
D C B A C
B
A
5 题图(1题图)。