2018届高考数学二轮复习第一部分层级二保分专题十概率与统计随机变量及其分布列课件理
解析：从1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有 9×8 7 2 C 9 ＝C 9 ＝ ＝36种，因为1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以 2
3 从(故这七
4 1 个数的平均数是5的概率P＝ ＝ . 36 9
答案：C
3 ． (2017· 贵州适应性考试 ) 已知区域 Ω ＝ {(x ， y)||x|≤ 2 ， π π 0≤y≤ 2}，由直线 x＝－ ，x＝ ，曲线 y＝cos x 与 x 轴 3 3 围成的封闭图形所表示的区域记为 A.若在区域 Ω 内随机 取一点 P，则点 P 在区域 A 的概率为 2 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 6 D. 4 ( )
2 2 袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×C 4 ×A 2 ＝36种，根据
36 4 古典概型概率公式得，能获奖的概率P＝ ＝ . 81 9
[答案]
B
(2)(2017· 全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内 的图形来自中国古代的太极图．正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中 心成中心对称．在正方形内随机取一点，则 此点取自黑色部分的概率是 1 A. 4 [解析] ( )
古典概型与几何概型
[师生共研·悟通]
1．古典概型的概率公式 m A中所含的基本事件数 P(A)＝ n ＝ . 基本事件总数 2．几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
[典例]
(1)(2017· 福建质检)某食品厂制作了3种与“福”字
保分专题(十) 概率与统计、随机变量及其分布列
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 考查内容及考题位置 数学文化、有关面积的几何概型·T2 正态分布、二项分布的性质及概率、方差·T19 二项分布的方差计算·T13 频率分布直方图、独立性检验·T18
卷Ⅲ 频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18 与长度有关的几何概型·T4 卷Ⅰ 柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望·T19
π 1 π B. C. D. 8 2 4 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为
4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝ π 2 π 1 π S圆＝ ，故此点取自黑色部分的概率P＝ ＝ . [答案] 2 2 4 8
B
[类题通法]
1．利用古典概型求概率的关键及注意点 (1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这 常常用到排列、组合的有关知识． (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及应用关键 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑 使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域 和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需 要的区域．
有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善 福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐3种卡片才可 获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为 3 A. 16 3 C. 8 4 B. 9 8 D. 9 ( )
[解析]
将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中，
根据分步乘法计数原理可知共有34＝81种不同放法，4个食品
命题分析 1．概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之 一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一 道解答题． 2．选择或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的 位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型， 难度一般． 3．概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多 以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：(频率分布直方 图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相 交汇来考查；(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归 或独立性检验相交汇来考查，难度中等．
π －0 2 1 π π 5π π > ，得 ≤θ＋ < ，即 0≤θ< .因此，所求的概率 P＝ 2 3 3 6 2 π－ 0 1 ＝ . 2
答案：B
广东五校协作体第一次诊断考试)从1至9共9个自然数中 2．(2017· 任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( 2 A. 3 1 B. 3 1 C. 9 1 D. 8 )
k n－k P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) n
(p 为发生的概率)
[典例]
(2017· 天津高考)从甲地到乙地要经过 3 个十字路
❶
口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概
[解答示范 ] 找突破口 (一 )搭桥—— (一)搭桥——找突破口 第 (2) 问： 欲求 2 辆车共遇到 第 (1) 问：欲求随机变量 X的 (1)记 X 表示一辆车从甲 分布列和数学期望，应先确定X ❷ 1 个红灯的概率，应明确所求事 的取值，再利用事件相互独立求X 地到乙地遇到红灯的个数， 值对应的概率，从而求出X的分布 件的意义，再求概率． 列，由期望公式求出期望； 求随机变量 X 的分布列和数学期望；
解析：SΩ＝2 2× 2＝4， SA＝ cos xdx＝sin x
π π ＝sin －sin－3 3
3 3 ＝ －－ ＝ 3， 2 2 3 所以所求概率 P＝ . 4
答案：C
相互独立事件和独立重复试验
[师生共研·悟通]
类型 相互独立事 件同时发生 独立重 复试验 特点 事件互相独立 一次试验 重复 n 次 概率求法 P(AB)＝P(A)P(B) (A，B 相互独立)
[即学即用·练通]
π 1 1．(2017· 洛阳统考)若θ∈[0，π]，则sinθ＋3 > 成立的概率为 2
( 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 D.1
)
π π π 4π 解析： 依题意， 当 θ∈[0， π]时， θ ＋ ∈ 3 ， 3 ， 由 sinθ＋3 3
2016
卷Ⅱ
几何概型、随机模拟·T10 互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望·T18
卷Ⅲ 折线图、相关性检验、线性回归方程及其应用·T18 相互独立事件的概率与独立重复试验的概率公式·T4 卷Ⅰ 散点图、线性回方程及应用、回归分析·T19 2015 卷Ⅱ 茎叶图、数据的平均值和方差、相互独立事件的概率·T18
(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算
第十三章概率与统计本章知识结构图第一节 概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。
对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为Aμ.()P A =AμμΩ。
五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ 。
2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。
()()1P A p A =- 。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是ξ 0 2 4 P82740811781【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ，这是本题求解的关键. (2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)· P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2.②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为X 20 60P 1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X120 60 100P 162316X1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P 162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11.②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为X 012P 25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48. 热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b^＝l xy l xx＝2480＝0.3， a^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷 读书迷总计 男 15 女 45 总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X ). 解 (1)完成2×2列联表如下：非读书迷 读书迷 总计 男 40 15 55 女 20 25 45 总计6040100K 2＝100×（40×25－15×20）60×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. (2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3).X 的分布列为 X0 1 2 3 P27125 54125 36125 8125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018届高考数学二轮复习第二讲大题考法——概率与统计课件(全国通用)
主要考查随机事件的概率、 古典概型、频率分布直方 图、茎叶图等的应用.
[典例感悟]
[典例1] (2016· 全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机 器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器 时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器 在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
主要考查线性回归方程的求解 与应用.
[典例感悟]
[典例2]
(2016· 全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生
活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系， 请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
i＝ 1
ti－ t yi－ y
i＝ 1
n
^ b t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^ b＝
，
ti－ t 2
i＝ 1
n
^ a ＝ y －^ b t.
[解]
7 2
(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，
i＝1
(ti－ t ) ＝28,
7 7
i＝1
yi－ y ＝0.55， (ti－ t )(yi－ y )＝
参考数据： yi＝9.32， tiyi＝40.17,
i＝ 1 i＝ 1 7 7
yi－ y 2＝0.55，
i＝ 1
7
7≈2.646.
参考公式：相关系数r＝
ti－ t yi－ y
最新-2018届高三数学一轮复习 第十章统计与概率10-8课件 精品
• 为随机变量X的分布列(或概率分布)．
• X的分布列也可简记为：
• P(X＝xi)＝pi，i＝1、2、…、n. • (2)离散型随机变量的分布列的性质：
• ①pi≥0，i＝1,2，…n； • ②p1＋p2＋p3＋…pn＝1. • 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个
(2)由于随机变量ξ表示取得合格品前已取出的次品 数，所以ξ可能的取值为0、1、2；
∵P(ξ＝0)＝56，P(ξ＝1)＝353， P(ξ＝2)＝122·111·1100＝616. ∴ξ的分布列为
ξ0 1
2
P
5 6
5 33
1 66
• 点评：要注意超几何分布的特点，是总数为N件的A、 B两类物品，其中含M件A类物品，从中任取n件(n≤N) 时恰含有A类物品m件，要严格按其特点作出判断．
(1)P(A)＝1050＝0.05.
(2)解法1：第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产
品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品
的概率为949.
解法2：根据条件概率的定义计算，需要先求出事件
AB的概率：
P(AB)＝CC105202＝4195，
1 所以有P(B|A)＝PPAAB＝4955＝949. 答案：(1)0.05
• 重点难点
• 重点：随机变量分布列的意义，两点分布、二项分布、 条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式运 用．
• 难点：各种概率分布的判断及应用．
• 知识归纳
• 1．随机变量
• (1)如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且 X随试验结果的不同而变化，那么变量X叫做随机变 量．
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018届高考数学(理)二轮复习命题热点课件 专题 7.3 随机变量及其分布
C2 5
=
4 10
,P(AB)= = .
4 1
C2 2 C2 5
=
1 10
.由条件概率计算公式,得
关闭
P(B|A)= = ������ (������) B
������ (������������ )
1 10 4 10
解析
答案
高频考点 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
-10-
(2)甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工的零件为一等品的 2 3 概率分别为 3 和 4 ,加工的两个零件是否为一等品相互独立,则这两 个零件中恰有一个一等品的概率为 .
选 择 题 填 空 题 解 答 题
高频考点 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
-3-
条件概率与相互独立事件的概率 【思考】 如何求事件的条件概率?判断相互独立事件的常用方 法有哪些? 例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随 机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
������(������������) P(B|A)= . ������(������)
2.判断相互独立事件的三种常用方法: (1)利用定义,事件A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)· P (B ). (2)利用性质,A 与 B 相互独立,则 A 与������, ������与 B,������与������也都相互独立. (3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.
2018年浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题3 突破点7 随机变量及其分布
突破点7 随机变量及其分布(对应学生用书第26页)[核心知识提炼]提炼1离散型随机变量的分布列离散型随机变量X的分布列如下：则(1)p i(2)p1＋p2＋…＋p i＋…＋p n＝1(i＝1,2,3，…，n)．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为X的均值或数学期望(简称期望)．D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(x i－E(X))2·p i＋…＋(x n－E(X))2·p n叫做随机变量X的方差．(4)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．(5) 两点分布与二项分布的均值、方差①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).提炼2几种常见概率的计算(1)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．(2)独立重复试验的概率如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k·(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .[高考真题回访]回访1 离散型随机变量及其分布列1．(2013·浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝53，D η＝59，求a ∶b ∶c . 【导学号：68334087】 [解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，1分P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， 2分P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，3分P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， 4分P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 5分所以ξ的分布列为6分(2)由题意知η的分布列为所以E (η)＝a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3，10分D (η)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0. 13分解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 15分回 访2 离散型随机变量的均值与方差2．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)A [由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布，∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)． 又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)．把方差看作函数y ＝x (1－x )， 根据0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．故选A.]3．(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )【导学号：68334088】A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)A [随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝m ＋n＋m ＋n ＝m ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2m C 2m ＋n ＝3m ＋nm ＋n ，所以E (ξ1)<E (ξ2)．因为p 1＝m m ＋n ＋nm ＋n ·12＝2m ＋n m ＋n，p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2n C 2m ＋n ·13＝3m ＋nm ＋n，p 1－p 2＝nm ＋n>0，所以p 1>p 2.] 4．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.25[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.](对应学生用书第27页) 热点题型1 相互独立事件的概率题型分析：高考主要考查相互独立事件概率的求解及实际应用，对事件相互独立性的考查相对较频繁，难度中等.【例1】 (1)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36D ．0.312(2)如图71，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.图71①求p ；②求电流能在M 与N 之间通过的概率．(1)A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.](2)记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4，A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过．①A －＝A －1A －2A －3，A －1，A －2，A －3相互独立，2分P (A －)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3)＝(1－p )3.3分又P (A －)＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 4分 故(1－p )3＝0.001，p ＝0.9. 6分②B ＝A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3，10分P (B )＝P (A 4∪A －4A 1A 3∪A －4A －1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A －4A 1A 3)＋P (A －4A －1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A －4)P (A 1)P (A 3)＋P (A －4)P (A －1)P (A 2)·P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.15分[方法指津]求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解． (2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．[变式训练1] (2017·杭州学军中学高三模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则E (X )＝________.【导学号：68334089】710 35 [由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为25，35，在乙箱中抽中红球、白球的概率分别为12，12.抽奖一次不获奖的概率为35×12＝310，所以其(对立事件)获奖的概率为1－310＝710.因为每次获得一等奖的概率为25×12＝15，3次抽奖相互独立，故E (X )＝np ＝3×15＝35.] 热点题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差题型分析：离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.【例2】 (1)(2017·萧山中学高三仿真考试)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A.1 C [由题可得16＋p 1＋13＝1，解得p 1＝12.所以E (X )＝0×16＋2×12＋a ·13＝2，解得a ＝3.所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X －3)＝4D (X )＝4，故选C.](2)(2017·绍兴市方向性仿真考试)设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，若E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2＝( )A.53B.73C.113D ．3D [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋13x 2＝43，23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，因为x 1＜x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝1＋2＝3，故选D.] [方法指津]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： 1明确随机变量可能取哪些值.2结合事件特点选取恰当的计算方法，计算这些可能取值的概率值. 3根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.[变式训练2] (1)(2017·温州九校协作体高三期末联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是________，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则E ξ＝________. 【导学号：68334090】6581 43 [甲班级没有分到同学的概率为1＋1＋C 14＋C 24＋C 3434＝1681，所以甲班级至少有一位同学的概率为1－1681＝6581.随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝1681，P (ξ＝1)＝C 14＋1＋C 23＋C 1334＝3281，P (ξ＝2)＝C 24＋1＋34＝2481，P (ξ＝3)＝C 34×234＝881，P (ξ＝4)＝134＝181，于是E ξ＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.](2)(2017·金华十校高考模拟考试)设随机变量X的分布列为则a＝3 1095[由分布列的概念易得12＋15＋a＝1，解得a＝310，则E(X)＝1×12＋2×15＋3×310＝95.]。
2018届高考数学二轮复习层级二保分专题十概率与统计随机变量及其分布列课件理
命题分析
1．概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之 一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一 道解答题．
2．选择或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的 位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型， 难度一般．
3．概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多 以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：(频率分布直方 图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相 交汇来考查；(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归 或独立性检验相交汇来考查，难度中等．
往往也用这种方法求解．
[即学即用·练通] 1．(2017·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次
机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的 200 个机械元件情
况如下： 使用时间 10～ 21～ 31～ 41～ 51～
/天
20 30 40 50 60
个数 10 40 80 50 20
若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取 3 个，
列，由期望公式求出期望；
求随机变量 X 的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，
❸
求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．
(二)建桥——寻关键点
有什么
想到什么
注意什么
信息①：工作相 互独立，各路口 遇到红灯的概率
在三个路口遇到 不是红灯的概率
(1)准确理解随机变量表 示的意义，写出所有随 机变量的取值
保分专题(十) 概率与统计、随机变量及其分布列
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别
考查内容及考题位置
2017 2016 2015
卷Ⅰ
卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ
卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅱ
2018届高考数学二轮复习专题十概率与统计文 精品优选公开课件
2．从 2,3,4,5,6 这 5 个数字中任取 3 个，则所取 3 个数之和为 偶数的概率为________． 解析：依题意，从 2,3,4,5,6 这 5 个数字中任取 3 个，共有 10 种不同的取法，其中所取 3 个数之和为偶数的取法共有 1 ＋3＝4 种(包含两种情形：一种情形是所取的 3 个数均为偶 数，有 1 种取法；另一种情形是所取的 3 个数中 2 个是奇数， 另一个是偶数，有 3 种取法)，因此所求的概率 P＝140＝25. 答案：25
命题分析
1.对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为 “一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．
2.选择或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置， 主要考查古典概型、几何概型，难度一般．
3.概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多以 交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分 布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、 方差相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图) 择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．
3．(2017·新疆第二次适应性检测)在△ABC 中，AB＝2，AC ＝5，cos A＝45，在△ABC 内任意取一点 P，则△PAB 的 面积大于 1 且小于等于 2 的概率为________． 解析：如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D，则 CD＝AC·sin A＝3， 在线段 CD 上取点 E，F，使得 DE＝EF ＝FC＝1，分别过点 E，F 作 AB 的平 行线 M1N1，M2N2，其中 M1，M2 位于边 BC 上，N1，N2 位 于边 AC 上，此时当点 P 位于直线 M1N1 上时，S△PAB＝1，
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不 低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；
2018高考数学理二轮复习课件：1-6-4 高考中的概率与统计解答题型 精品
所以随机变量 X 的分布列为：
X 678 9
10
P
11 5 1 4 3 18 9
1 36
所以 E(X)＝6×41＋7×31＋8×158＋9×19＋10×316＝232. ③s∈(20,22]．
(2)[2015·太原一模]某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取 40 件产品，测量这 些产 品的重量( 单位：克 )，整理后 得到如下的频 率分布直方 图(其中重 量的分组区 间分别为 [490,495] ， (495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515])．
求本例(2)中②的期望和方差．
解 期望：E(Y)＝5×0.3＝1.5. 方差：D(Y)＝5×0.3×0.7＝1.05.
求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点 (1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事 件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解． (2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至 多”等问题往往也用这种方法求解． (3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在 每次试验中，事件发生的概率相同． (4)牢记公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义．
P(A0B＋A1B＋A2B)＝P(A0B)＋P(A1B)＋P(A2B)＝235＋285＋115＝3785.
超几何分布的特点 超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成，比如“男，女”“黑，白”“正，反”、“正品， 次品”等等．②选取的总个数恒定．③总体一般是有限个。
[2015·石景山统测]国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等级对应关系如下表： 下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市 2015 年 3 月某时刻实时监测到的数据：