2019年人教版数学中考总复习之选择压轴题专项训练：二次函数(附详细答案)

选择压轴题专项训练：二次函数1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣23．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，（a＞b），x1、x2是此方程的两个实数根，且x＜x2．现给出四个结论：1①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④x1＜x2＜b＜a其中正确结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④5．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A 作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB＝AD时相似D．无法确定6．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的1点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A（x n+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中n+1存在美丽抛物线．A．或B．或C．或D．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a ﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b＝0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，记抛物线y＝﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，P n﹣2P n﹣1Q n﹣1的面积分别为S1，S2，…，n﹣1这样就有S1＝，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+S n﹣1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A．B．C．D．12．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处的挑射正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y＝ax2+bx+c（如图所示）则下列结论：①a＜﹣，②﹣＜a＜0，③a﹣b+c＞0，④0＜b＜﹣24a，其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc ＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C．D．15．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）A．πB．πC．πD．条件不足，无法求16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．317．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④18．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝3，AB＝2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE＝1，则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a﹣b＝0；④4a﹣2b+c＝3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE＝9．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③20．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣21．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y＝x2的图象上，则使得S△ABC ＝2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．3．解：如图所示，关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，x，x2是抛物线y＝x2﹣（a+b）x+ab与直线y＝1的交点的横坐标，（不妨设x1＜x2且a 1＜b）观察图象可知，x1≠x2，故①正确设抛物线的对称轴为x＝h，x2＝h+m，x1＝h﹣m，b＝h+n，a＝h﹣n，m＞n，∴x1•x2＝h2﹣m2，ab＝h2﹣n2，∵m＞n，∴x1•x2＜ab，故②正确，∵＝，∴x1+x2＝a+b，∴x12+2x1x2+x22＝a2+2ab+b2，∵2x1x2＜2ab，∴x12+x22＞a2+b2，故③错误，观察图象可知x1＜b＜a＜x2，故④错误．故选：B．4．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．5．解：令x＝0，则y＝1，∴OP＝1，设点A的横坐标为m，则AD＝﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，在Rt△POD中，PD＝＝＝，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴＝，即＝，解得，PE＝m2，∴PA2＝PD•PE＝m4+m2，∴＝，∵∠APE＝∠DPA，∴△PAD∽△PEA，即，△PAD与△PEA始终相似．故选：B．6．解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；①若B②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B．7．解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．8．解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．9．解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0＝a（1+1）2+4，a＝﹣1，即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4．当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），∴点A的横坐标的最大值为2．故选：B．10．解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），∴y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x＝＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；（4）当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故④正确．故选：D．11．解：由图象知S3＝，总结出规律：，则w ＝S 1+S 2+…+S n ﹣1＝++…+＝＝＝＝﹣﹣+﹣＝﹣﹣，当n 越来越大时，可知W 最接近的常数为．故选：C ．12．解：由抛物线的开口向下知a ＜0，对称轴为x ＝＞0，∴a 、b 异号，即b ＞0．与y 轴的交点坐标为（0，2.4），∴c ＝2.4把点（12，0）代入解析式得：144a +12b +2.4＝0．∴144a ＝﹣2.4﹣12b ，12b ＝﹣2.4﹣144a∴144a ＜﹣2.4，12b ＜﹣144a∴a ＜﹣，b ＜﹣12a ，∴2b ＜﹣24a ，即b ＜﹣12a ，∴b ＜﹣24a ，∴①④正确，②错误∵此题是实际问题，∴x 不能取﹣1，∴③a﹣b+c＞0错误．故选：B．13．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．14．解：根据题意得：A i B i＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：A．15．解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s＝＝．故选：B．16．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．17．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝2a，∴b﹣2a＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，又∵b＝2a，∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．18．解：由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；又OA＝3，AB＝2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c＝3，选项②错误；又A和B关于对称轴对称，且AB＝2，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，选项③正确；∴B（﹣2，3），将x＝﹣2，y＝3代入抛物线解析式得：4a﹣2b+c＝3，选项④正确；由OE＝1，利用对称性得到CD＝OE＝1，又OC＝AB＝2，∴DE＝CD+OC+OE＝1+2+1＝4，又OA＝3，则S梯形ABDE＝OA（AB+DE）＝9，选项⑤正确，综上，正确的个数为3个．故选：C．19．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a＝﹣，﹣＝1，∴b＝﹣2a＝，∴n＝a+b+c＝c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：D．20．解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．21．解：∵S△ABC＝×2×2＝2，可见，当O与C重合时，S△ABC＝2，作CD⊥AB，∵AO＝BO＝2，可见，△ACB为等腰直角三角形，CD＝2×cos45°＝2×＝．、C2，由图易得，到AB距离为的点有C、C作CC3∥AB，则CC3的解析式为y＝﹣x，将y＝﹣x和y＝x2组成方程组得，，解得，，，则C3坐标为（﹣1，1），可见，有四个点，使得S△ABC＝2．故选：A．。

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中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1；（2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4．（2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米．（3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4．（2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8．（3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

2019-2020年中考数学二次函数压轴题汇总训练(50题含答案和解析)

解答题（共50题）1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S=S△ABN﹣S△BMN△AMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x 轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）=1知此时t=﹣4；②当⊙T在△ABC内部时，当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）=1，知此时t=0；当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）=1知T3M=2，∵AB=BC=8、∠ABC=90°，∴∠C=∠T3DM=45°，则T3D===2，∴t=4﹣2，故此时0≤t≤4﹣2；③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）=1知T4N=2，∵∠T4DC=∠C=45°，∴T4D===2，∴t=4+2；综上，t=﹣4或0≤t≤4﹣2或t=4+2．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出A、B两点坐标，即可解决问题；（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴交BE于N．构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P坐标，作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，因为FK=OF，推出PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，解直角三角形即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可；【解答】解：（1）由题意A（1，3），B（3，3），∴AB=2．（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴J交BE于N．∵直线BE的解析式为y=x，∴N（m，m），=×2×（﹣m2+3m）=﹣m2+3m，∴S△PEB∴当m=时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3），∴PH=﹣3=，作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，∵FK=OF，∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，。

2019年中考二次函数综合题专项训练 (附详细分析与解答)

2019年二次函数综合题专项训练一、面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．备用图2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．四、等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．五、综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析与解答1、分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2、分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（32，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3、分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4、分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．（10分）5、分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．6、分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．7、分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8、分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9、分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．10、分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11、分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12、分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．。

最新中考数学压轴题专项训练：二次函数(有答案)

2019年中考数学压轴题专项训练：二次函数1．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣x ﹣n （n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）若AB ＝4，求n 的值；（2）如图，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当y ＝0时， x 2﹣x ﹣n ＝0，解得：x 1＝，x 2＝，∴点A 的坐标为（，0），点B 的坐标为（，0）．∵AB ＝4，∴﹣＝4，整理，得：9+8n ＝16，解得：n ＝．（2）当x ＝0时，y ＝x 2﹣x ﹣n ＝﹣n ，∴点C 的坐标为（0，﹣n ）．∵△ABC 为直角三角形，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO +∠BCO ＝90°，∠CBO +∠BCO ＝90°，∴∠ACO ＝∠CBO ．又∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，∴△AOC ∽△COB ，∴＝，∴OA •OB ＝OC 2，即﹣•＝n 2，整理，得：n 2﹣2n ＝0，解得：n 1＝0（舍去），n 2＝2．（3）由（2）可知，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x ＝．设点P 的坐标为（m ， m 2﹣m ﹣2），分两种情况考虑，如图2所示：①若BC 为边，当四边形BCP 1Q 1为平行四边形时，﹣m ＝4﹣0，解得：m ＝﹣，∴点P 1的坐标为（﹣，）；当四边形BCQ 2P 2为平行四边形时，m ﹣＝4﹣0，解得：m ＝，∴点P 2的坐标为（，）．②若BC 为对角线，设BC ，P 3Q 3的交点为M ，∵点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），∴点M 的坐标为（2，﹣1），∴+m ＝2×2，解得：m ＝，∴点P 3的坐标为（，﹣）．综上所述：存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为（﹣，），（，）或（，﹣）．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）交直线y＝kx+n（k＞0）于A（1，1），B两点，交y轴于点C，直线AB交y轴于点D．已知该抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求a，b的值；（2）记直线AB与抛物线的对称轴的交点为E，连结CE，CB．若△CEB的面积为，求k，n的值．解：（1）由题意，得，解得，故所求a 的值为1，b 的值为﹣5；（2）如图，设点B （m ，m 2﹣5m +5），过A 作AG ⊥y 轴于G ，过B 作BF ⊥x 轴于F ，延长GA 交BF 于H ．∵DG ∥BF ，∴＝，即＝，∴DG ＝m ﹣4，∴CD ＝m ．∵S △CEB ＝S △CDB ﹣S △CDE ，∴m 2﹣m ×＝，解得m 1＝﹣（舍去），m 2＝6．把A （1，1），B （6，11）代入y ＝kx +n ，得，解得．故所求k 的值为2，n 的值为﹣1．3．如图，已知直线＝﹣2x +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，且点A （1，4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求m 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（3）①当∠ABP＝90°时，直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，则直线PB的表达式中的k值为，设直线PB的表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式得：0＝3+b，解得：b＝﹣，即直线PB的表达式为：y＝x﹣，当x＝1时，y＝﹣1，即点P（1，﹣1）；②当∠AP（P′）B＝90°时，点P′（1，0）；故点P的坐标为（1，﹣1）或（1，0）．4．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m）且tan∠COD＝（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标．解：（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝，则m＝3，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+3，即：a+3＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；（2）设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，令y＝0，则x＝1+，令x＝0，则y＝2+n，∵OA＝OB，∴1+＝2+n，解得：n＝1或﹣2（舍去﹣2），则点A的坐标为（3，0），故点E（3，﹣1）．5．如图，抛物线y＝ax2﹣bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，连接AB，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P到直线AB的距离为时，求点P的横坐标；（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．解：（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①，则点A（0，3）；（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G，则∠ABO＝∠HPG＝α，在△AOB中，tan ABO＝＝3＝tanα，设PG＝n，则HG＝3n，PH＝，即：n2+9n2＝（）2，解得：n＝，则直线直线AB的表达式为：y＝﹣3x+3，设点H（m，3﹣3m），则点P（m+，﹣3m），将点P坐标代入①式并整理得：3m2+11m﹣14＝0，解得：m＝1或﹣，故点P的横坐标为：或﹣；（3）参考（2）作△P′G′H′，过点O作OM⊥AC于点M，∵△AC P和△ABC的面积相等，∴P′H′＝OM，∵OA＝OB，∴∠ACO＝45°，∴OM＝，即：P′H′＝OM＝，按照（2）的方法，同理可得：点P′的坐标为（，）或（，）．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于B、C两点，与y 轴交于点A，抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．（1）连接EA、EB，取线段AC的中点Q，当△EAB面积最大时，在x轴上找一点R使得|RE 一RQ|值最大，请求出R点的坐标及|RE﹣RQ|的最大值；（2）如图2，在（1）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP 为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．解：（1）∵y ＝0时，﹣x 2﹣x +2＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1 ∴B （﹣3，0），C （1，0）∵x ＝0时，y ＝2，∴A （0，2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b∴ 解得：∴直线AB 的解析式为：y ＝x +2设点E （e ，﹣e 2﹣e +2），则点F （e ， e +2）∴EF ＝﹣e 2﹣e +2﹣（e +2）＝﹣e 2﹣2e∴S △EAB ＝OB •EF ＝×3•（﹣e 2﹣2e ）＝﹣e 2﹣3e ＝﹣（e +）2+ ∵﹣3＜e ＜0∴当e ＝﹣时，△EAB 的面积最大，∴﹣e 2﹣e +2＝∴此时点E 坐标为（，）如图1，连接并延长EQ ，交x 轴于点R ，则此时|RE ﹣RQ |＝EQ 值最大 ∵Q 是AC 中点∴Q （，1）设直线EQ 解析式为：y ＝ax +c∴ 解得：∴直线EQ 解析式为：y ＝x +当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝∴R （，0）此时|RE ﹣RQ |的最大值EQ ＝（2）设点P '坐标为（m ，n ）∵EP ⊥x 轴，E （，）∴P （，0），EP ＝，AP ＝i ）当∠P 'PA ＝90°时，如图2，过点P '作P 'M ⊥x 轴于点M ， ∴∠P 'MP ＝∠POA ＝90°，∠PP 'M +∠P 'PM ＝∠P 'PM +∠APO ＝90° ∴∠PP 'M ＝∠APO∴△PP 'M ∽△APO∴ 即：整理得：4n +3m ＝①∵EP '＝EP∴（m +）2+（n ﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：（舍去）∴P '（，）ii ）当∠PAP '＝90°时，如图3，过点P '作P 'N ⊥y 轴于点N ，由△P 'AN ∽△APO 得即：整理得：3m +4n ＝8①∵EP '＝EP∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：∴P'（，）或（，）综上所述，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，点P′的坐标为（，）或（，）或（，）7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，求tan∠BDE的值．（1）解：∵直线y＝x﹣3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，﹣3），∵y＝x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）解：如图，过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，C（0，﹣3）．∴D（2，﹣3）．从而得CD＝OE＝2，DE＝3．∵B（3，0），∴BE＝1．在Rt△DEB中，∠DEB＝90°．∴tan∠BDE＝＝．8．如图，对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（﹣3，0），C 为抛物线与y 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC ＝2S △BOC ，求点P 的坐标．解：（1）∵抛物线的对称轴为x ＝﹣1，A 点的坐标为（﹣3，0），∴点B 的坐标为（1，0）．将点A 和点B 的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b ＝2，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3．（2）∵将x ＝0代y ＝x 2+2x ﹣3入，得y ＝﹣3， ∴点C 的坐标为（0，﹣3）． ∴OC ＝3．∵点B 的坐标为（1，0）， ∴OB ＝1．设点P 的坐标为（a ，a 2+2a ﹣3），则点P 到OC 的距离为|a |． ∵S △POC ＝4S △BOC ，∴OC •|a |＝OC •OB ，即×3×|a |＝2××3×1，解得a ＝±2．当a ＝2时，点P 的坐标为（2，5）；当a ＝﹣2时，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）． ∴点P 的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．9．定义：若抛物线的顶点和与x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．概念理解：（1）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．试证明：以点A 为顶点，且与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过x 轴的两点E 、F （E 在F 的左边），E （1，0）且EF ＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9向下平移9个单位后得新的抛物线y 2．抛物线y 2的顶点为P ，与x 轴的两个交点分别为M 、N （M 在N 左侧），把△PMN 沿x 轴正半轴无滑动翻滚，当边PN 与x 轴重合时记为第1次翻滚，当边PM 与x 轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标．解：（1）证明：∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点∴AD ＝BD ＝CD ＝BC∵抛物线以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点 ∴AD ＝AC ∴AD ＝AC ＝CD ∴△ACD 是等边三角形∴以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E （1，0）且EF ＝2，点F 在x 轴上且E 在F 的左边 ∴F （3，0）∵一条经过x 轴的两点E 、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为G ∴△EFG 是等边三角形∴x G ＝，|y G |＝①当G （2，）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2+把点E （1，0）代入得：a +＝0∴a ＝﹣∴y ＝﹣（x ﹣2）2+②当G （2，﹣）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣把点E （1，0）代入得：a ﹣＝0∴a ＝∴y ＝（x ﹣2）2﹣综上所述，这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣2）2+或y ＝（x ﹣2）2﹣（3）∵抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9＝﹣（x ﹣）2+12∴y 1向下平移9个单位后得抛物线y 2＝﹣（x ﹣）2+3∴P （，3），M （0，0），N （2，0）∴PM ＝MN ＝PN ＝2∴△PMN 是等边三角形∴第一次翻滚顶点P 的坐标变为P 1（4，0），第二次翻滚得P 2与P 1相同，第三次翻滚得P 3（7，3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n 能被3整除时，点P 纵坐标为3，横坐标为：+n ×2＝（2n +1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标为（4039，3）．10．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M ′．将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ′，当直线l ′与直线AM ′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d 1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．解：（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴3＝﹣3a，∴a＝﹣1，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），S＝S四边形OAMB ﹣S△AOB＝S△OBM +S△OAM﹣S△AOB＝×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S取得最大值．（3）由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′＝90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，∴x＝，cos∠M′BG＝＝，∵l1∥l′，∴∠BCA＝90°，∠BAC＝45°；方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，则BD＝d1，ME＝d2，∵S△ABM′＝×AC×（d1+d2）当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM′时取得最小值．根据B（0，3）和M′（，）可得BM′＝，∵S△ABM＝×AC×BM′＝，∴AC＝，当AC⊥BM′时，cos∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝45°．11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，∴A（3，0），B（0，﹣3），∵点B关于x轴的对称点是C，∴C（0，3），∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C，∴∴b＝2，c＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），∵D落在二次函数在第四象限的图象上，∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，m 1＝1，m2＝﹣6（舍去），∴D（4，﹣5），（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），∴解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，令y＝0，则x＝，∴M（，0），∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C（0，3），∴AO＝3，OC＝3，∴∠OAC＝45°，过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC，∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝，∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝，①当△COM∽△PFC，，∴，解得m＝0，舍去，，1②当△COM ∽△CFP 时，，∴，解得m 1＝0（舍去），，综合可得P 点的横坐标为或．12．如图1，将抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线P 2：y 2＝a （x +h ）2+k ，抛物线P 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线P 2与x 轴交于A 1，B 1两点，与y 轴交于点C 1．（1）当m ＝1时，a ＝，h ＝ ﹣1 ，k ＝ ﹣3 ；（2）在（1）的条件下，当y 1＜y 2＜0时，求x 的取值范围；（3）如图2，过点C 1作y 轴的垂线，分别交抛物线P 1，P 2于D 、E 两点，当四边形A 1DEB 是矩形时，求m 的值．解：（1）∵抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线解析式为：y 2＝（x ﹣m ）2﹣3∴y 2＝a （x +h ）2+k ＝（x ﹣m ）2﹣3 又∵m ＝1 ∴h ＝﹣m ＝﹣1故答案为：；﹣1，﹣3（2）∵当y 2＝（x ﹣1）2﹣3＝0时，解得：x 1＝﹣2，x 2＝4∴由图象可知，当﹣2＜x ＜4时，y 2＜0当y 1＝y 2时， x 2﹣3＝（x ﹣1）2﹣3 解得：x ＝，∴由图象可知，当x ＜时，y 1＜y 2∴当y 1＜y 2＜0时，x 的取值范围是﹣2＜x ＜（3）当y 1＝x 2﹣3＝0时，解得：x ＝±3 ∴A （﹣3，0），OA ＝3 根据平移性质得：AA 1＝DC 1＝m ∵四边形A 1DEB 是矩形 ∴∠A 1DE ＝∠DA 1B ＝90° ∴四边形A 1DC 1O 是矩形 ∴OA 1＝DC 1＝m ∴OA ＝AA 1+OA 1＝2m ＝3∴m ＝13．已知：如图，抛物线的顶点为A （0，2），与x 轴交于B （﹣2，0）、C（2，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝2OP ．若点Q 正好落在该抛物线上，求点P 的坐标；（3）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝mOP （m 为常数）；①证明点Q 一定落在抛物线上；②设有一个边长为m +1的正方形（其中m ＞3），它的一组对边垂直于x 轴，另一组对边垂直于y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线和组成的封闭图形上，求线段PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q 的坐标．解：（1）由条件可设抛物线y＝ax2+2，将C（2，0）代入1可得抛物线；（2）如图，作PE⊥x轴，FQ⊥x轴设点P（t，），利用△PEO∽△OFQ可求得点Q（﹣2t，t2﹣4）．把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，得：t2﹣4＝，∴3t2＝6，，∴（3）①证明：设点P（t，），利用相似可求得点Q（﹣mt，）．将x＝﹣mt代入中，得：．∴点Q一定落在抛物线上；②如图所示∵正方形的边长为m+1，由抛物线的对称性可知正方形右边两个顶点横坐标为，将x＝代入抛物线解析式可得两点纵坐标分别为：和，∴﹣＝m+1，解得：．∵m＞3，∴∴正方形右边两个顶点横坐标为＝＝，将x＝代入得：＝，∴正方形右下顶点的纵坐标为﹣（）＝．∴正方形右下顶点的坐标为（，），同理，正方形左下顶点的坐标为（，）．设PQ与y轴所成的角为α，当PQ与正方形上下两边相交时，PQ被正方形上下两边所截线段的长＝，当α增大时，cosα减小，增大，当PQ经过正方形右下顶点时，α最大，PQ被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q 与正方形右下或左下顶点重合；当PQ与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着α的增大，PQ被正方形上下两边所截线段的长减小，综上所述，当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q的坐标为（，）或（，）．14．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为点P．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣，故点C坐标为（3，0），点P（1，﹣2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC＝∠BAC＝α，由题意得：AB＝2，AC＝6，BC＝4，PC＝2，S＝×AC×BH＝×BC×y A，△ABC解得：BH＝2，sinα＝＝＝，则tanα＝，由题意得：GC＝2＝PG，故∠PCB＝45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD＝MC＝x，在△PMD中，tanα＝＝＝，解得：x＝2，则CD＝x＝4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：＝﹣2，则直线A′N表达式中的k值为，设直线A′N的表达式为：y＝x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b＝，故直线A′N的表达式为：y＝x+…①，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②两个方程并求解得：x＝﹣，故点N（﹣，）．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x 轴分別交于C、D两点（点C在点D的左侧）．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，连接OM．①求MN的最大值；②当△OMN为直角三角形时，直接写出点M的坐标；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分別交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝﹣（x +1）2+4，即y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）①设直线OB 对应的函数表达式为y ＝kx （k ≠0），将B （﹣2，3）代入y ＝kx ，得：3＝﹣2k ，解得：k ＝﹣，∴直线OB 对应的函数表达式为y ＝﹣x ．联立直线OB 和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：，．设点M 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m +3）（﹣2＜m ＜），则点N 的坐标为（m 2+m ﹣2，﹣m 2﹣2m +3），∴MN ＝m ﹣（m 2+m ﹣2）＝﹣m 2﹣m +2＝﹣（m +）2+．∵﹣＜0，∴当m ＝﹣时，MN 最大，最大值为．②∵MN ∥x 轴， ∴∠ONM ≠90°，∴分两种情况考虑（如图3所述）：（i ）当∠OMN ＝90°时，线段OM 在y 轴上． ∵当m ＝0时，y ＝﹣m 2﹣2m +3＝3， ∴点M 的坐标为（0，3）；（ii ）当∠MON ＝90°时，OM ⊥OB ， ∵点B 的坐标为（﹣2，3）， ∴点（3，2）在直线OM 上，∴直线OM 对应的函数表达式为y ＝x ．联立直线OM和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴点M的坐标为（，）．综上所述：点M的坐标为（0，3）或（，）．（3）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0）．设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1）．∵点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0），∴直线CP对应的函数表达式为y＝（1﹣n）x+3﹣3n，直线DP对应的函数表达式为y＝﹣（n+3）x+n+3（可利用待定系数法求出）．∵点A的坐标为（﹣1，4），AE∥y轴，∴直线AE对应的函数表达式为x＝﹣1．当x＝﹣1时，y＝（1﹣n）x+3﹣3n＝2﹣2n，y＝﹣（n+3）x+n+3＝2n+6，∴点F的坐标为（﹣1，2﹣2n），点G的坐标为（﹣1，2n+6），∴EF＝2﹣2n，EG＝2n+6，∴EF+EG＝8．∴EF+EG的和为定值，该定值为8．16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A ．C 两点，∴，∴b ＝﹣，c ＝2，∴y ＝﹣x 2﹣x +2；（2）①如图1，令y ＝0，∴﹣x 2﹣x +2＝0，∴x 1＝﹣4，x 2＝1，∴B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1：S 2＝DE ：BE ＝DM ：BN ，设D （a ，﹣a 2﹣a +2），∴M （a ， a +2），∵B （1.0），∴N （1，），∴S 1：S 2＝DM ：BN ＝（﹣a 2﹣2a ）：＝﹣（a +2）2+；∴当a ＝﹣2时，S 1：S 2的最大值是；②∵A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC ＝2，BC ＝，AB ＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （﹣，0），∴PA ＝PC ＝PB ＝，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan （2∠BAC ）＝，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图2，∴∠DCA＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即RC：DR＝，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴（﹣a2﹣a）：（﹣a）＝1：2，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，∴yD＝3，∴点D的坐标为（﹣2，3）．。

2019年中考专题：二次函数压轴题(精编含解析)

二次函数压轴题解析版
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（1，0）、B（4，0），C（0，2）三点，直线 y＝kx+t 经过 B、C 两点，点 D 是抛物线上一个动点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）当点 D 在直线 BC 下方的抛物线上运动，使线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标；（3）点 D 在运动过程中，若使 O、C、D、E 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点 D 的坐标．
令 m2﹣2m＝2，
解得 m＝2
，
∴此时 D（2+2 ，3﹣ ）或（2﹣2 ，3+ ），
综上所述，点 D 的坐标是（2，﹣1）或（2+2 ，3﹣ ）或（2﹣2 ，3+ ）时，都可以使 O、C、D、E 为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平行四边形的判定与性质等知识点．
，利用二次函数的性质，即可求得当△
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式 m＝（n﹣ ）2﹣ ，然后根据 n 的取值得到最小值．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3；
（2）令﹣x2+2x+3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3，即 B（3，0），设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b′，
∴
，
解得：
，
∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，
设 P（a，3﹣a），则 D（a，﹣a2+2a+3），

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案二次函数是中考数学的必考点，每年的中考数学试题中，二次函数都占了不少的比例，考题或以综合题的形式出现，或以选择题的形式出现，或以填空题的形式出现，不论以哪种形式出现，都旨在考查学生对二次函数的理解，以及应用二次函数解决实际问题的能力，下面我们一起来看中考网为大家带来的"2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案"，希望通过本题的练习，能加强考生对二次函数性质的理解。

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。

点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。

伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。

点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。

设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）。

（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是________（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形?若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。

分析：(1)先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离;(2)作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式;(3)当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t;(4)①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC2=QC2解得t;②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t. 解答：二次函数的性质是考生必须掌握的考点，在中学数学学习中占有重要的地位，本文为考生提供的2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案除了考查学生利用二次函数的相关知识处，同时还考查了学生对相似三角形的判定定理、线段比的知识，做题时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大。

2019年中考数学总复习--二次函数经典题型汇总(附答案)

1、如图，抛物线 y=ax2+bx ﹣与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．（1）求此抛物线的解析式；（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为=，求出点 E 的坐标；（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点，是否存在点 D，使 DA2=DM•DN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．2、抛物线经过点A和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.3、如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．5、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6、如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x，0）、B（x2，0）（x11＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．9、如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．10、如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x 轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．11、如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．15、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．16、如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD 的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．18、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P 不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．19、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．．20、如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1、解：（1）将 A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得解得，抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；（2）∵EF⊥x 轴于点 F，∴∠AFE=90°．∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，∴△AOD∽△AFE．∵==∵AO=1，∴AF=3，OF=3+1=4，当 x=4 时，y=﹣×42+×4﹣=，∴E 点坐标是（4，），（3）存在点 D，使 DA2=DM•DN，理由如下：设 D 点坐标为（0，n），AD 2=1+n 2，当 y=n 时，﹣x 2+x ﹣=n化简，得﹣3x 2+21x ﹣18﹣4n=0，设方程的两根为 x 1，x 2， x 1•x 2=DM=x 1，DN=x 2，DA 2=DM•DN ，即 1+n 2=，化简，得3n 2﹣4n ﹣15=0，解得 n 1=，n 2=3，∴D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．2、解：设线段AB 所在直线为：y=kx+b解得AB 解析式为：∴CD=CE-DE=23、解：（1）由题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x，令y=0，得x2﹣2x=0，解得x=0或2，结合图象知，A的坐标为（2，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤2；（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得，∴y=3x﹣6，设直线AP的解析式为y=kx+c，∵PA⊥BA，∴k=，则有，解得c=，∴，解得或，∴点P的坐标为（），∴△PAB的面积=|﹣|×||﹣×||×﹣×|﹣|×||﹣×|2﹣1|×|0﹣（﹣3）|=．4、解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（3分）（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），易得直线BC的解析式为：y=﹣x+4，①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC=4，OB=8，∴BC==4，在Rt△PDE中，PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB=PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，），则E（t，），∴PG=﹣，EG=﹣t+4，∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t=﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t=4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD==，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；（7分）②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∴AC2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，BC2=42+82=80，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△COA∽△BOC，当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，∵相似三角形的对应角相等，∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO，（I）若∠PCD=∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，此时CP∥OB，∵C（0，4），∴y P=4，∴）=4，解得：x1=6，x2=0（舍），即Rt△PDC∽Rt△COB时，P（6，4）；（II）若∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，∴PF∥OC，∴∠PFC=∠BCO，∴∠PCD=∠PFC，∴PC=PF，设P（n，+n+4），则PF=﹣+2n，过P作PN⊥y轴于N，Rt△PNC中，PC2=PN2+CN2=PF2，∴n2+（+n+4﹣4）2=（﹣+2n）2，解得：n=3，即Rt△PDC∽Rt△BOC时，P（3，）；综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3，）．（12分）5、解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•O B=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．6、解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4 整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）连BC、CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）7解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，∴对l上任意一点有MD=MC，联立方程组，解得（不符合题意，舍），，∴B（﹣4，1），当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，过点B作BE⊥x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC==，|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，∴∠BCE=45°，在Rt△ACO中，∵AO=CO=3，∴∠ACO=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，过点P作PQ⊥y轴于Q点，∠PQA=90°，设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴=，即==，∴=，解得x1=1，x2=0（舍去），∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，∴P（1，6），②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，∴△PGA∽△ACB，∴=，即==3，∴=3，解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）∴此时无符合条件的点P，综上所述，存在点P（1，6）．8解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5解得∴y=x2﹣4x﹣5∴顶点坐标为D（2，﹣9）（2）①存在设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）把B（5，0），C（0，﹣5）代入得∴BC解析式为y=x﹣5当x=m时，y=m﹣5∴P（m，m﹣5）当x=2时，y=2﹣5=﹣3∴E（2．﹣3）∵PF∥DE∥y轴∴点F的横坐标为m当x=m时，y=m2﹣4m﹣5∴F（m，m2﹣4m﹣5）∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m ∵E（2，﹣3），D（2，﹣9）∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6如图，连接DF∵PF∥DE∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形即﹣m2+5m=6解得m1=3，m2=2（舍去）当m=3时，y=3﹣5=2此时P（3，﹣2）∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形．②由题意在Rt△BOC中，OB=OC=5∴BC=5∴C△BOC=10+5∵PF∥DE∥y轴∴∠FPE=∠DEC=∠OCB∵FH⊥BC∴∠FHP=∠BOC=90°∴△PFH∽△BCO∴即C△PFH=∵0＜m＜5∴当m=﹣时，△PFH周长的最大值为9解：（1）将A，E点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是y=﹣x2+4x+5，（2）设AE的解析式为y=kx+b，将A，E点坐标代入，得，解得，AE的解析式为y=x+1，x=0时，y=1即C（0，1），设F点坐标为（n，n+1），由旋转的性质得：OF=OB=5，n2+（n+1）2=25，解得n1=﹣4，n2=3，F（﹣4，﹣3），F（3，4），当F（﹣4，﹣3）时如图1，S△ABF=S△BCF﹣S△ABC=BC•|x F|﹣BC•|x A|=BC•（x A﹣x F）S△ABF=×4（﹣1+4）=6；当F（3，4）时，如图2，S△ABF=S△BCF+S△ABC=BC•|x F|+BC•|x A|=BC•（x F﹣x A）S△ABF=×4（3+1）=8；（3）如图3．∵∠HCG=∠ACO，∠HGC=∠COA，∴△HGC∽△COA．∵OA=OC=1，∴CG=HG=，由勾股定理，得HC==2，直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，l的解析是为y=x+3，l1的解析是为y=x﹣1，联立解得x1=，x2=，，解得x3=，x4=，F点的坐标为（，），（，），（，），（，）．10解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，∴S△ABC=AB•CD=﹣．（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣ =2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．11解：（1）由x2﹣4=0得，x=﹣2，x2=2，1∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣2，0），∵直线y=x+m经过点A，∴﹣2+m=0，解得，m=2，∴点D的坐标为（0，2），∴AD==2；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，y=x2+bx+2=（x+）2+2﹣，则点C′的坐标为（﹣，2﹣），∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），∴直线CC′的解析式为：y=x﹣4，∴2﹣=﹣﹣4，解得，b1=﹣4，b2=6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2．12解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），13解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D（，）；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．14解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．15（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4），根据待定系数法易得BC的解析式为y=﹣x+4，∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+4与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4），∴PF=PH=t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，∴PE=PG=﹣t2+2t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+，当t=时，PE+EF的最大值为；（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=，设D（，y），则BC2=42+42=32，DC2=（）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣）2+y2=+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即32+（）2+（y﹣4）2=+y2，解得y=5，此时D点坐标为（，）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即32++y2=（）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此时D点坐标为（，﹣）；综上所述，符合条件的点D的坐标是（，）或（，﹣）；②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（）2+（y﹣4）2++y2=32，解得y1=，y2=，此时D点坐标为（，）或（，），所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为＜y＜或﹣＜y＜．16解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y=x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．17解：（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣），把C（0，﹣3）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC==，∴∠OAC=60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD=30°，∴OD=OA•tan30°=1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y=x﹣1，由题意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），∵FH=PH，∴1﹣m=m﹣1﹣（m2+m﹣3）解得m=﹣或（舍弃），∴当FH=HP时，m的值为﹣．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），∵AH⊥AE，∴∠EAO=60°，∴EO=OA=3，∴E（0，3），∵C（0，﹣3），∴HC==2，AH=2FH=4，∴QH=CH=1，在HA上取一点K，使得HK=，此时K（﹣，﹣），∵HQ2=1，HK•HA=1，∴HQ2=HK•HA，可得△QHK∽△AHQ，∴==，∴KQ=AQ，∴AQ+QE=KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值==．18（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（0﹣1）=3，解得a=﹣1，抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴，∴EF==；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴，∴EG===2（t+3），∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．19解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析是为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，BC的解析是为y=x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，当n=时，PM最大=；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣（不符合题意，舍），n3=，n2﹣2n﹣3=2﹣2﹣3=﹣2﹣1，P（，﹣2﹣1）．当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣7（不符合题意，舍），n3=1，n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，P（1，﹣4）；综上所述：P（1，﹣4）或（，﹣2﹣1）．20解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，，解得∴y=-2x2-4x+6,令x=0，则y=6,∴C(0，6)；（2）=-2（x+1）2+8,∴抛物线的对称轴为直线x=-1.设H为线段AC的中点，故H（，3）.设直线AC的解析式为：y=kx+m，则有，解得，，∴y=2x+6设过H点与AC垂直的直线解析式为：，∴∴b=∴∴当x=-1时，y=∴M（-1，）（3）①过点A作交y轴于点F，交CB的延长线于点D∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°∴∠DAO=∠ACO∵∠ACO=∠ACO∴ΔAOF∽ΔCOA∴∴∵OA=3,OC=6∴∴直线AF的解析式为：直线BC的解析式为：∴，解得∴∴∴∠ACB=∵∠ABE=∠ACB∴∠ABE=2过点A作轴，连接BM交抛物线于点E∵AB=4，∠ABE=2∴AM=8∴M（-3，8）直线BM的解析式为：∴，解得∴y=6∴E（-2，6）②当点E在x轴下方时，过点E作，连接BE，设点E∴∠ABE= 2∴m=-4或m=1（舍去）可得E（-4，-10）综上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）。

2019中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S 和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．。

人教中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①P （﹣1，6），②存在，M （﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【解析】【分析】（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2， ∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6），把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A （﹣2，6），B （1，0），∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，11）或（﹣1，311ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC 于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或20 13．【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，代入点C （3, 0），可得a ＝－1．∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3．（2）∵P （112t +，４），将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝2144t -， ∴M （112t +，2144t -），设直线AC 的解析式为，将A （１,４），C （３,０）代入，得：，将112x t =+代入得， ∴N （112t +，）， ∴MN， ∴， ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，∵Ｎ（112t +，），P （112t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，又∵PN ∥CQ ， ∴四边形PNCQ 为平行四边形，∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，∴，整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时， NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.5．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．6．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．7．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可；（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =2m ，PN =2（4﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×2m ×2（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ ，即4=4AQ ，解得：AQ =3，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）；②当△ABD ∽△DQA 时，BDAQ=1，即AQ ，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）．点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．8．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线29y ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3=1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 3，﹣4）．综上所述，点P 3034）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m +=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+．设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =13k-+=31k -．将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 233k -2323k k --，∴11AM AN +323231k k k ---33232k k --3(31)2(31)k k --3点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．9．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴2/6/3cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形 ()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==∴112152S MH AP x =⋅=-+ ∴22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅ =2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 210．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

人教版中考复习资料2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数(含答案)

2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数一、选择题1.（2019年四川省广安市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象的性质、二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定【解答】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．∴abc＜0．故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，故②正确；③∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c ＝﹣3a ， ∴3a +c ＝0．故③正确；④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是（3，0）． ∴当y ＞0时，﹣1＜x ＜3 故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D ．2. (2019年天津市)二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，0≠a ）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当x=21-时，与其对应的函数值0>y ，有下列结论：①0>abc ；② - 2和3是关于x 的方程t c bx ax =++2的两个根；③3200<+<n m 。

其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C. 2D.3 【考点】二次函数的性质【解答】由表格可知，二次函数c bx ax y ++=2过点（0，-2），（1，-2）， ∴对称轴为21210=+=x ，c= - 2, 由图可知，0,0,0<<>c b a ，∴0>abc ，所以①正确；∵对称轴21=x ，∴212=-a b ，∴a b -=， ∵当21-=x 时，0>y ，∴022141>--b a ，022141>-+a a ，∴38>a ；∵二次函数c bx ax y ++=2过点（-1，m ），（2，n ）， ∴m=n ，当1-=x 时，m=a-b+c=a+a-2=2a-2， ∴m+n=4a-4，∵38>a ，∴32044>-a ，∴③错误.故选C. 3. （2019年山东省德州市）若函数y =kk 与y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y =kx +b 的大致图象为（）A. B.C. D.【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k ＜0，根据二次函数的图象确知a ＞0，b ＜0，∴函数y=kx+b 的大致图象经过二、三、四象限，故选：C ．4. （2019年山东省济宁市）将抛物线y ＝x 2﹣6x +5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A ．y ＝（x ﹣4）2﹣6B ．y ＝（x ﹣1）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣2D ．y ＝（x ﹣4）2﹣2 【考点】了二次函数图象的平移【解答】解：y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2．故选：D ． 5. （2019年山东省青岛市）已知反比例函数y ＝的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2﹣2x 和一次函数y ＝bx +a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．故选：C．6. （2019年四川省资阳市）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0【考点】二次函数性质【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，故选：C．7. （2019年河南省）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4【考点】二次函数的性质【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝4；故选：D．8. （2019年浙江省衢州市）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3）D. （-1，-3）【考点】二次函数y=a（x-h）2+k的性质【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.9. (2019年浙江省温州市)已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2【考点】二次函数的最值问题【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．10. （2019年内蒙古赤峰市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）【考点】二次函数的性质【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），①∵a＞0，∴b＜0；∴①错误；②当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0；②正确；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3∴④正确；故答案为②③④．11. （2019年甘肃省）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【考点】二次函数的性质【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C ．12. （2019年湖北省鄂州市）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1．下列结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③（a +c ）2﹣b 2＜0；④a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．其中结论正确的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】二次函数的性质【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a ＞0， ∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴b ＜0 ∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c ＞0，∴abc ＜0，①正确；②当x ＝﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞0， ∵，∴b ＝﹣2a ，把b ＝﹣2a 代入a ﹣b +c ＞0中得3a +c ＞0，所以②正确； ③当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0， ∴a +c ＜﹣b ，∵a ＞0，c ＞0，﹣b ＞0，∴（a +c ）2＜（﹣b ）2，即（a +c ）2﹣b 2＜0，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴x ＝1时，函数的最小值为a +b +c ， ∴a +b +c ≤am 2+mb +c ，即a +b ≤m （am +b ），所以④正确．故选：D ．13. （2019年湖北省随州市）如图所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC ，对称轴为直线x =1，则下列结论：①abc ＜0；②a +12b +14c =0；③ac +b +1=0；④2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【考点】二次函数的性质【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵b=-2a，∴a+b=a-a=0，∵c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∴ac-b+1=0，所以③错误；∵A（-c，0），对称轴为直线x=1，∴B（2+c，0），∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确；故选：B．14. （2019年内蒙古呼和浩特市）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象性质、一次函数的图象性质【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．15. （2019年内蒙古通辽市）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的图象性质【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：A．16. （2019年西藏）把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y ＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数的图象性质【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x ﹣1）2+1的图象．故选：C．二、填空题1. （2019年湖北省荆州市）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【考点】二次函数的性质【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．2. （2019年山东省济宁市）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B （3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．【考点】二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数与不等式【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．3. （2019年四川省达州市）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确判断的序号是．【考点】二次函数的性质【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：，故此小题结论正确；故答案为：①③④．4. （2019年广西贺州市）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y ＞0，正确的是（填写序号）．【考点】二次函数的性质【解答】解：根据图象可得：a＜0，c＞0，对称轴：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得：y＝a﹣b+c，由抛物线的对称轴是直线x＝1，且过点（3，0），可得当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误；∵b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即：3a+c＝0，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．5. （2019年甘肃省天水市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）【考点】二次函数的性质【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜6. （2019年甘肃省武威市）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．【考点】二次函数的解析式【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．7. （2019年辽宁省大连市）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ 平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为．【考点】二次函数的性质、待定系数法、一元二次方程的解【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y ＝x +1．当x ＝0时，y ＝x +1＝1，∴点E 的坐标为（0，1）．当y ＝1时，﹣x 2+x +2＝1，解得：x 1＝1﹣，x 2＝1+，∴点P 的坐标为（1﹣，1），点Q 的坐标为（1+，1），∴PQ ＝1+﹣（1﹣）＝2．故答案为：2．三、解答题1.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点. （1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y=ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W=OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.【考点】二次函数的性质【解答】解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，又二次函数顶点为（0,4），∴c=4把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2.（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x 2+4，令y=m ，得2x 2+m-4=0. ∴4-mx=2±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则124-mx x 2+ ∴W=OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ∴当m=1时，W 取得最小值7.2.（2019年北京市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21yax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2P a-，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【考点】二次函数图象的性质【解答】（1）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴令0=x ，得ay 1-=， ∴点A 的坐标为)1,0(a -，∵点A 向右平移两个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为)1,2(a-；（2）∵抛物线过点)1,0(a A -和点)1,2(aB -，由对称性可得，抛物线对称轴为直线1220=+=x ，故对称轴为直线1=x（3）①当0>a 时，则01<-a，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点. ②当0<a 时，则01>-a. 分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时,21≤-a即 21-≤a综上所述，当21-≤a 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 3.（2019年四川省广安市）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y ＝kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A （﹣1，0），D （5，﹣6），P 点为抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE +PF 的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），则点P坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（﹣，2），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：﹣＝，2＝，解得：m＝0或﹣4（舍去0），故点P（﹣4，3）；故点P的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．4.（2019年重庆市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想、直角三角形的中线性质【解答】解：（1）如图1∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）∵点D为抛物线的顶点，且＝＝1，＝＝﹣4∴点D的坐标为D（1，﹣4）∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3∴当m＝＝2时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y 轴于点P，∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：y＝，且点F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：y＝∴点J（，）∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝∴|HF+FP+PC|min＝；（2）由（1）知，点P（0，），∵把点P向上平移个单位得到点Q∴点Q（0，﹣2）∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G①如图2G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q' 则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝∴sin∠IOQ'＝＝＝，解得：|IO|＝∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；②如图3，当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）③如图4当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）④如图5当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（﹣，﹣）5.(2019年天津市)已知抛物线c b c bx x y ,(2+-=为常数，0>b ）经过点A （-1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的点. （I ）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（II ）点D （b ，D y ）在抛物线上，当AM=AD ，m=5时，求b 的值；（III ）点Q （21+b ，Q y ）在抛物线上，当2AM+2QM 的最小值为4233时，求b 的值.【考点】二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想【解答】（I ）∵抛物线c bx x y +-=2经过点A （-1，0），∴1+b+c=0,即c=-b-1 所以当b=2时，c= - 3 ,∴4)1(3222--=--=x x x y 所以顶点坐标为（1，- 4）.（II ）由（I ）知，c= - b-1，则12---=b bx x y 因为点（b ，D y ）在抛物线12---=b bx x y 上，所以112--=--⋅-=b b b b b y D ∵b ＞0，∴ - b - 1＜0∴点D 在第四象限且在抛物线对称轴2bx =的右侧如图，过点D 作DE ⊥x 轴，则E （b ，0） ∴AE=b+1，DE=b+1即AE=DE ∴在Rt △ADE 中，∠ADE=∠DAE=45° ∴AD=2AE 又∵AM=AD ，m=5 ∴b=1-23 （III ）∵点Q （21+b ，Q y ）在抛物线12---=b bx x y 上， ∴432--=b y Q ，则点Q （21+b ，432--b ）在第四象限，且在直线x=b 的右侧, ∵2AM+2QM=2（22AM+QM ），可取点N （0，1）如图所示，过点Q 作直线AN 的垂线。

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