高等数学教案第十一章
11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
高数下册第11章解析
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
函数
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
沪科版数学第十一章教案
平面直角坐标系“平面直角坐标系”是可将平面内的‘点’迅速代数化(找到对应‘数对’)的最简捷工具之一，在一平面上建立一平面直角坐标系后，‘平面上任意一点可找到唯一确定的有序数对与之相对应，反之对任意的有序数对都可在平面上找到唯一确定的点与之相对应’。
学习中：1、定义：两条互相垂直的数轴，其中，水平方向的数轴叫做横轴或x轴，垂直方向的数轴叫做y轴，这样就构成了平面直角坐标系，这个平面称作坐标平面。
点的表示：坐标内任意一点P，过P 作x轴的垂线，垂足在x轴上的数记做x p，垂足在y轴上的数记做y p，把有序实数对（x p，y p）称作p的坐标，记做p（x p，y p）。
2、要熟记坐标系中一些关键特殊点的坐标及特征和表示：(1)坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．(2)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．注：反之亦成立．(3)关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征：关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．(4)象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．2、理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：(1)坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．(2)x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．(3)平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．3、利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补坐标方法的简单应用2、用坐标表示平移须掌握：由点的平移与点坐标的变化关系引出了图形的平移与图形上对应点的坐标的变化关系．(1)点的平移①点的平移引起的坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．②点的坐标的某种变化引起的点的平移变换．(2)图形的平移①图形上点的坐标的某种变化引起的图形的平移变换在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．②图形的平移引起的对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系内，如果把一个图形向右(或向左)平移a个单位长度，则图形上各个点的横坐标都加(或减去)a；如果把一个图形向上(或向下)平移a个单位长度，则它各个点的纵坐标都加(或减去)a．典型题例(一)有序数对1．在电影票上，将“7排6号”简记为(7，6)，则(1)6排7号可表示为________；(2)(8，6)表示的意义为________．2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________．3．如下图，是光明小区内的一幢商品房的示意图．若小赵家所在的位置用(4，2)表示。
数学11章教案
7．1．1三角形的边【教学目标】 1、知识与技能、理解三角形的表示法，分类法以及三边存在的关系，发展空间观念。
2、过程与方法：⑴经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单，最基本的几何图形，提高推理能力。
⑵培养学生数学分类讨论的思想。
3、情感态度与价值观：⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值。
⑵通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【重点】掌握三角形三边关系【难点】三角形三边关系的应用【课型】新授课【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法【学习过程】一、目标导入课件展示图片，学生欣赏并从中抽象出三角形。
问题：你能举出日常生活中三角形的实际例子吗？二、自主学习(1)： 1.自学内容：教材第63页第4―10行文字. 2.自学要求：学生理解边、角、顶点的意义而不是背其定义；让学生感受数学语言的逻辑性，严密性。
三、交流展示(1)：1：三角形定义：____________________________________________________ 2：怎样用几何符号表示你所画的三角形？什么是三角形的顶点、边、角？3、现实生活中，你看到一些形状不同的三角形，你能画出吗？四、自主学习(2)： 1.自学内容：课本63页第11行到64页‘探究‘上； 2.自学要求：学生会对三角形分类；学生明白对于同一事物可采用几种不同的分类标准．五、交流展示(2)１.三角形可采用几种不同的分类标准？如何分类？２.如何给你所画的这些形状各异的？六、自主学习(3)：自学内容：课本64页探究到例题上； 2.自学要求：学生理解三角形三边之间的关系，能进行简单说理．七、交流展示(3)1、三角形三边之间的关系定理：_________________________________,理论依据是__________________________. 2、记住：三角形三边之间的关系定理的推论：三角形的两边之差大于第三边；3、下列长度的三条线段能否围成三角形？为什么？⑴2，4，7⑵6，12，6⑶7，8，13 4、现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架（•不计接头），则在下列四根木棒中应选取（）A．10cm长的木棒B．40cm长的木棒C．90cm长的木棒D．100cm 长的木棒 5．已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____．•若x是奇数，则x的值是______；这样的三角形有______个；•若x•是偶数，•则x•的值是______；这样的三角形又有________个．八、自主学习(4)： 1.自学内容：课本64页例题； 2.自学要求：让学生体会数学的严密性。
高等数学教案第十一章
第十一章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、会利用幂级数的性质求和。
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；§1 常数项级数的概念和性质一、教学目的与要求：1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2．理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常数项级数的概念常数项无穷级数: 一般地，给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅叫做（常数项)无穷级数, 简称（常数项)级数, 记为∑∞=1n n u , 即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s ,即 s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅ 叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数)20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 解： 如果q ≠1, 则部分和 qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1.当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散. 仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1.例2 证明级数1+3+5+⋅ ⋅ ⋅+（2n -1）+⋅ ⋅ ⋅ 是发散的.证 此级数的前n 项部分和为135 (21)(1)n s n n n =+++⋅⋅⋅+-=+. 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的.例3 判别无穷级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性. 解 由于 111)1(1+-=+=n n n n u n ,因此 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n 从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: 111)1(1+-=+=n n n n u n . 二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .证明： 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与n , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21.这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
整体概述
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2
第十一章 线性代数
高等数学教案ch 11 无穷级数
第十一章 无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点 ：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。
教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
§11. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为∑∞=1n n u ,即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u , 其中第n 项u n 叫做级数的一般项.级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数)20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 解 如果q ≠1, 则部分和 qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1.当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散.仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1.例2 证明级数 1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅ 是发散的. 证 此级数的部分和为 2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数 )1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性. 解 由于 111)1(1+-=+=n n n n u n ,因此 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n 从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks . (如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks . )这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21.这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的, 级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的,级数)1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(1-1)+(1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .（性质5的等价命题：若0lim 0n n u →≠，则级数∑∞=1n n u 发散 ）证 设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数13121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n 是发散的.证 假若级数∑∞=11n n 收敛且其和为s , s n是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面, 2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.证 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和s n =u 1+u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n ≤v 1+ v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立,则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=p p p p p n n n的收敛性, 其中常数p >0.解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数pn n11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n p p n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s .所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3 (比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u n nn =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n nn n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散. 例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性.解 因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sinn n发散. 例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim22=+∞→n n n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的.并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + nn n )1(1+=. 例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为21)1(221limlim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.定理6 (极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散;(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn , 则级数∑∞=1n n u 收敛.例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性.解 因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故 11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn n n u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解 因为 222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如,1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛.设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证 这是一个交错级数. 因为此级数满足(1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性.解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛.例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n nn ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数.幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件,有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=.因为当|x |<|x 0|时, 等比级数n n x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n nn x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |>R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n nn x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 1R .简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径.解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n xn n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nn x 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n nt .因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n, 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n nnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a , 减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===010001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ),逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1. 在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s . 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx x dx x x x n n --=-==⎰⎰∑∞=, 所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=, 从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s . 在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .§11. 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题: 给定函数f (x ), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f (x ). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f (x )在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f (x )能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f (x ).泰勒多项式: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f (x )近似等于 )(!2)())(()()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间). 泰勒级数: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ ,f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , 则当n →∞时, f (x )在点x 0的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 成为幂级数)(!3)()(!2)())(()(300200000⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+x x x f x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数f (x )的泰勒级数. 显然, 当x =x 0时, f (x )的泰勒级数收敛于f (x 0). 需回答的问题: 除了x =x 0外, f (x )的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f (x )?定理 设函数f (x )在点x 0的某一邻域U (x 0)内具有各阶导数, 则f (x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x )的泰勒公式中的余项R n (x )当n →0时的极限为零, 即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.证明 先证必要性. 设f (x )在U (x 0)内能展开为泰勒级数, 即)(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f , 又设s n +1(x )是f (x )的泰勒级数的前n +1项的和, 则在U (x 0)内s n +1(x )→ f (x )(n →∞). 而f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是R n (x )=f (x )-s n +1(x )→0(n →∞). 再证充分性. 设R n (x )→0(n →∞)对一切x ∈U (x 0)成立.因为f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是s n +1(x )=f (x )-R n (x )→f (x ), 即f (x )的泰勒级数在U (x 0)内收敛, 并且收敛于f (x ).麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x 0=0, 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2n n x n f x f x f f , 此级数称为f (x )的麦克劳林级数.展开式的唯一性: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f (x )的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f (x )在点x 0=0的某邻域(-R , R )内能展开成x 的幂级数, 即f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ,那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f '(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+na n x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ ,f ''(x )=2!a 2+3⋅2a 3x + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅(n -1)a n x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ ,f '''(x )=3!a 3+ ⋅ ⋅ ⋅+n ⋅(n -1)(n -2)a n x n -3 + ⋅ ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅f (n )(x )=n !a n +(n +1)n (n -1) ⋅ ⋅ ⋅ 2a n +1x + ⋅ ⋅ ⋅ ,于是得a 0=f (0), a 1=f '(0), !2)0(2f a ''=, ⋅ ⋅ ⋅, !)0()(n f a n n =, ⋅ ⋅ ⋅. 应注意的问题: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这个幂级数就是f (x )的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f (x )的麦克劳林级数在点x 0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f (x ). 因此, 如果f (x )在点x 0=0处具有各阶导数, 则f (x )的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f (x )却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步 求出f (x )的各阶导数: f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ .第二步 求函数及其各阶导数在x =0 处的值:f (0), f '(0), f ''(0), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )( 0), ⋅ ⋅ ⋅ .第三步 写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+n n x n f x f x f f , 并求出收敛半径R .第四步 考察在区间(-R , R )内时是否R n (x )→0(n →∞).1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ是否为零. 如果R n (x )→0(n →∞), 则f (x )在(-R , R )内有展开式!)0( !2)0()0()0()()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=n n x n f x f x f f x f (-R <x <R ). 例1 将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数.解 所给函数的各阶导数为f (n )(x )=e x (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 因此f (n )(0)=1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 于是得级数 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1!2112n x n x x ,它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(| |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ, 而0)!1(||lim 1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式)( !1!2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例2 将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数.解 因为)2 sin()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),所以f (n )(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, ⋅ ⋅ ⋅ ((n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n ,它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有 )!1(|| |)!1(]2)1(sin[| |)(|11+≤+++=++n x x n n x R n n n πξ→0 (n →∞).因此得展开式)( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n .)( !1!2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例3 将函数f (x )=(1+ x )m 展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数.解: f (x )的各阶导数为f '(x )=m (1+x )m -1,f ''(x )=m (m -1)(1+x )m -2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,f (n )(x )=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1)(1+x )m -n ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,所以 f (0)=1, f '(0)=m , f ''(0)=m (m -1), ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(0)=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1), ⋅ ⋅ ⋅于是得幂级数!)1( )1( !2)1(12⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++n x n n m m m x m m mx . 可以证明)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m .间接展开法:例4 将函数f (x )=cos x 展开成x 的幂级数.解 已知)!12()1( !5!3sin 12153⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--n x x x x x n n (-∞<x <+∞). 对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n . 例5 将函数211)(x x f +=展开成x 的幂级数. 解 因为)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , 把x 换成-x 2, 得)1( 1112422⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+n n x x x x (-1<x <1). 注: 收敛半径的确定: 由-1<-x 2<1得-1<x <1.例6 将函数f (x )=ln(1+x ) 展开成x 的幂级数.解 因为xx f +='11)(, 而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (-1<x <1)的和函数: )1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x. 所以将上式从0到x 逐项积分, 得)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n . 解: f (x )=ln(1+x )⎰⎰+='+=x x dx xdx x 0011])1[ln( ∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n n x n n n n x dx x (-1<x ≤1). 上述展开式对x =1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x =1时收敛, 而ln(1+x )在x =1处有定义且连续.例7 将函数f (x )=sin x 展开成)4(π-x 的幂级数. 解 因为)]4sin()4[cos(22)]4(4sin[sin ππππ-+-=-+=x x x x , 并且有)( )4(!41)4(!211)4cos(42+∞<<-∞⋅⋅⋅--+--=-x x x x πππ, )( )4(!51)4(!31)4()4sin(53+∞<<-∞⋅⋅⋅--+---=-x x x x x ππππ, 所以 )( ] )4(!31)4(!21)4(1[22sin 32+∞<<-∞⋅⋅⋅+-----+=x x x x x πππ. 例8 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数. 解 因为)411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n n n n n n n x x)31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n . 提示: )211(2)1(21-+=-+=+x x x ,)411(4)1(43-+=-+=+x x x . ∑∞=<-<---=-+0)1211( 2)1()1(2111n n n n x x x , ∑∞=<-<---=-+0)1411( 4)1()1(4111n n n n x x x , 收敛域的确定: 由1211<-<-x 和1411<-<-x 得31<<-x .展开式小结: )11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x , )( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n , )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n , !2)1(1)1(2⋅⋅⋅+-++=+x m m mx x m )11( !)1( )1(<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+x x n n m m m n .§11. 5 函数的幂级数展开式的应用一、近似计算例1 计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001.解 因为5/1455)311(33243240-=-=, 所以在二项展开式中取51=m , 431-=x , 即得 ) 31!3594131!254131511(32401238245⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅-=. 这个级数收敛很快. 取前两项的和作为5240的近似值, 其误差(也叫做截断误差)为) 31!451494131!3594131!2541(3||164123822⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=r ] )811(8111[31!25413282⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅< 200001402725181111312568<⋅⋅=-⋅⋅=. 于是取近似式为)31511(324045⋅-≈, 为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10-4, 计算时应取五位小数, 然后四舍五入. 因此最后得9926.22405≈.例2 计算ln 2的近似值, 要求误差不超过0.0001.解 在上节例5中, 令 x =1可得1)1( 312112ln 1⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=-n n .如果取这级数前n 项和作为ln2的近似值, 其误差为11||+≤n r n . 为了保证误差不超过410-, 就需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了, 我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n 中的x 换成-x , 得)11( 432)1ln(432<≤⋅⋅⋅-----=-x x x x x x , 两式相减, 得到不含有偶次幂的展开式:)1ln()1ln(11lnx x x x --+=-+)11( ) 5131(253<<-⋅⋅⋅+++=x x x x . 令211=-+xx , 解出31=x . 以31=x 代入最后一个展开式, 得 ) 31713151313131(22ln 753⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=. 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为) 31131311113191(2||131194⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=r ] )91(911[32211⋅⋅⋅+++< 7000001341911132911<⋅=-⋅=. 于是取 )31713151313131(22ln 753⋅+⋅+⋅+≈. 同样地, 考虑到舍入误差, 计算时应取五位小数:33333.031≈, 01235.031313≈⋅, 00082.031515≈⋅, 00007.031717≈⋅. 因此得 ln 2≈0.6931. 例3 利用3!31sin x x x -≈ 求sin9︒的近似值, 并估计误差. 解 首先把角度化成弧度,91809⨯=π (弧度)20π=(弧度), 从而 ()320!312020sin πππ-≈ .其次, 估计这个近似值的精确度. 在sin x 的幂级数展开式中令20π=x , 得20!7120!5120!312020sin 753⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππ. 等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为20sin π的近似值, 起误差为 3000001)2.0(120120!51||552<⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛≤πr . 因此取 157080.020≈π, 003876.0203≈⎪⎭⎫ ⎝⎛π 于是得 sin9︒≈0.15643.这时误差不超过10-5.例4 计算定积分 dx e x ⎰-21022π 的近似值, 要求误差不超过0.0001（取56419.01≈π）. 解 将e x 的幂级数展开式中的x 换成-x 2, 得到被积函数的幂级数展开式 !3)(!2)(!1)(1322222⋅⋅⋅+-+-+-+=-x x x e x )( !)1(20+∞<<-∞-=∑∞=x n x n n n . 于是, 根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得dx x n dx n x dx e n n n n n nx ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=--=-=2102021020210!)1(2]!)1([222πππ ) !3721!25213211(1642⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅+⋅-=π. 前四项的和作为近似值, 其误差为900001!49211||84<⋅⋅≤πr , 所以212246111)0.520523252!273!x e dx -≈-+-≈⋅⋅⋅⋅⋅. 例5 计算积分dx xx⎰10sin的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 由于1sin lim0=→xx x , 因此所给积分不是反常积分. 如果定义被积函数在x =0处的值为1, 则它在积分区间[0, 1]上连续. 展开被积函数, 有)( !7!5!31sin 642+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x . 在区间[0, 1]上逐项积分, 得!771!551!3311sin 10⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-=⎰dx x x. 因为第四项300001!771<⋅, 所以取前三项的和作为积分的近似值:9461.0!551!3311sin 10=⋅+⋅-≈⎰dx x x. 二、欧拉公式复数项级数: 设有复数项级数 (u 1+iv 1)+(u 2+iv 2)+ ⋅ ⋅ ⋅+(u n +iv n )+ ⋅ ⋅ ⋅其中u n , v n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅)为实常数或实函数. 如果实部所成的级数 u 1+u 2 + ⋅ ⋅ ⋅ +u n + ⋅ ⋅ ⋅ 收敛于和u , 并且虚部所成的级数. v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n + ⋅ ⋅ ⋅收敛于和v , 就说复数项级数收敛且和为u +iv .绝对收敛: 如果级∑∞=+1)(n n n iv u 的各项的模所构成的级数∑∞=+122n n n v u 收敛,则称级数∑∞=+1)(n n n iv u 绝对收敛. 复变量指数函数: 考察复数项级数 !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n z n z z .可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的, 在x 轴上它表示指数函数e x , 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数, 记为e z . 即 !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=n z z n z z e .欧拉公式: 当x =0时, z =iy , 于是 )(!1 )(!2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=n iy iy n iy iy e ⋅⋅⋅-++--+= !51!41!31!2115432y i y y i y iy ) !51!31() !41!211(5342⋅⋅⋅-+-+⋅⋅⋅-+-=y y y i y y =cos y +i sin y . 把y 定成x 得e ix =cos x +i sin x , 这就是欧拉公式.复数的指数形式: 复数z 可以表示为 z =r (cos θ +i sin θ)=re i θ , 其中r =|z |是z 的模, θ =arg z 是z 的辐角. 三角函数与复变量指数函数之间的联系: 因为e ix =cos x +i sin x , e -ix =cos x -i sin x , 所以e ix +e -ix =2cos x , e x -e -ix =2i sin x . )(21cos ix ix e e x -+=, )(21sin ix ix e e ix --=. 这两个式子也叫做欧拉公式. 复变量指数函数的性质: 2121z z z z e e e ⋅=+.特殊地, 有e x +iy =e x e i y =e x (cos y + i sin y ).§11.7 傅里叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性 三角级数: 级数)sin cos (2110nx b nx a a n n n ++∑∞= 称为三角级数, 其中a 0, a n , b n (n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)都是常数. 三角函数系:1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , ⋅ ⋅ ⋅, cos nx , sin nx , ⋅ ⋅ ⋅三角函数系的正交性: 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零, 即 ⎰-=ππ0cos nxdx (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ⎰-=ππ0sin nxdx (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ⎰-=ππ0cos sin nxdx kx (k , n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),⎰-=ππ0sin sin nxdx kx (k , n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, k ≠n ),⎰-=ππ0cos cos nxdx kx (k , n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, k ≠n ). 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[-π,π]上的积分不等于零, 即 ⎰-=πππ212dx ,⎰-=πππnxdx 2cos (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),⎰-=πππnxdx 2sin (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).二、函数展开成傅里叶级数问题: 设f (x )是周期为2π的周期函数, 且能展开成三角级数:∑∞=++=10)sin cos (2)(k k k kx b kx a a x f .那么系数a 0, a 1, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ 与函数f (x )之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分, 则]cos sin cos cos [cos 2cos )(1⎰⎰∑⎰⎰--∞=--++=ππππππππnxdx kx b nxdx kx a nxdx a nxdx x f k k k .类似地⎰-=πππn b nxdx x f sin )(.傅里叶系数: ⎰-=πππdx x f a )(10, ⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1, (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1, (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).系数a 0, a 1, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ 叫做函数f (x )的傅里叶系数. 傅里叶级数: 三角级数∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a。
高等数学电子教案：第11章 曲线积分与曲面积分
)i x ，)i LQ y ⎰以上这两个积分称为第二类曲线积分。
第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。
第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)作用，在xoy 平面内从点Ａ沿光滑曲线L 移动到点Ｂ时，变力Ｆ所做的功，即(,)L F ds P x dy ⋅=⎰ ,其中类似地可以推广到空间情形。
第二类曲线积分的性质：]Pdx Qdy k +=L Pdx Qdy Pdx +=⎰LPdx Qdy +⎰成立，其中平面上曲线积分与路径无关的条件：P(x,y)及Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：内积分与路径无关；LPdx Qdy +=⎰，L 为G 内任一闭曲线；,(,)Q P x y G xy∂∂=∈∂∂；）存在可微函数u(x,y)且当上述四个等价命题之一成立时有：00(,)(,))x y x y y Pdx =+⎰0(,)yy Q x y dy +⎰对于一个第二类曲线积分的计算题目，先分析其是否满足格林公式：LPdx Qdy +⎰，若成为取正向的封闭曲线，进而采用格林公式，然后再减去L 1与L 所围成区域内计算二重积分，又要有利用所围成区域满足格林公式条件。
若L 为闭区线，但连续偏导数，则可采用“挖洞’法来利用格林公式。
且区域为单连通区域时，积分与路径无关，因而我们可选取一条最简单的路经计算。
一般轴的折线，如果曲线本身是封闭的，可寻找一条更简单的封闭同向曲线，只要两条曲线不象Q P∂∂)S存在，则称这个极限iS，亦称它为第一型曲面积分。
其物理意义是面密度)i，∑叫做积分曲面曲面面积元素。
可以得知它具有以下性质（假定下面的曲面积分都存在）=⎰⎰)]dS k1∑2{1{,,}{x F n dS z F dxdy z P Q R dxdy⋅-⋅'+⋅ “+”， “-”的确定：若题设中曲面∑的侧与-”。
)()i xy S 存在，x,y 的曲面积分，记作)()i xy S 。
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第十一章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、会利用幂级数的性质求和。
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；§1常数项级数的概念和性质、教学目的与要求:1 •理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2 •理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常数项级数的概念常数项无穷级数：一般地，给定一个数列U l U2 .U3 ,.： ... ；.：Un .则由这数列构成的表达式U1 U2 U3 亠亠Un : “ “ “Q Q叫做（常数项）无穷级数.简称（常数项）级数.记为x u n.即nVQ0u n =5 u2 U3 亠亠u n….n =1其中第n项U n叫做级数的一般项■Q0级数的部分和：作级数' U n的前n项和nTns n =二U^U i U2 U3 亠亠U ni =1□0称为级数二:U n的部分和n =1QO级数敛散性定义：如果级数''U n的部分和数列｛S n｝有极限Sn 4即lim Si = s .n心QO则称无穷级数7 Un收敛.这时极限S叫做这级数的和.n=1并写成oOS 八比二 U i U 2 U 3E= Un ?nJ如果｛Sn ｝没有极限.则称无穷级数 二U n 发散n=1QO QO余项：当级数a U n 收敛时.其部分和Sn 是级数U n 的和S 的近似值.它们之间的差值n =1nd「n ~S -Sn Fn 2・‘---Q O叫做级数V U n 的余项n =1例1讨论等比级数（几何级数）O0' aq n = a aq aq 2：】 …aq nn =0的敛散性.其中a=0 q 叫做级数的公比解：如果q=1 .则部分和oO当|q| ：：1时.因为lim S n —.所以此时级数、aq n 收敛.其和为戶-n护 1-q心1-q00当|q|>1时.因为lim % -：：所以此时级数aq n 发散nTd n=0oO如果|q|m .则当q=1时.sn=na •：：.因此级数■- aq n 发散- n=000 当q--1时.级数a aq n成为n£a-a a-a时|q| W 时•因为Sn 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零oO所以Sn 的极限不存在.从而这时级数x aq n 也发散n=02n -1 S n =a aq aq 亠 亠aq_ a _aqni-qa i-qQ Q5 / 27cO仅当q|：：1时.几何级数v aq n a=O ）收敛.其和为n4例2证明级数1 3 5；；（ 2n-1） •…是发散的，证 此级数的前n 项部分和为s n =1 3 5圧 ........ 圧(2n -1) = n(n 1).显然.lim 片「：因此所给级数是发散的n ＞：:例3判别无穷级数因此（扛）（＞古十活从而1一)=1 lim s^ =lim (1n 「 所以这级数收敛n （n 1） n n 1二、收敛级数的基本性质QOQO性质1如果级数u n 收敛于和S.则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数7 ku n 也收敛n mn =1和为ks .综上所述 Q Q.如果|q|：：：1.则级数「aq n收敛.其和为a i-q•如果|q| 1 .则级数7 aq n 发散2丄.丄. 1 2 23 341 1 ..…n(n +1)由于Unn(n 1) n n 1n —" n 1提示：u n -证明：设a U n与v kU n的部分和分别为S n与n .则n =1 n =1lim ；「n = lim （kg 癥k®） =k lim （5 氏u n） = k lim % =ksn , n ,n , n >00这表明级数ku n收敛.且和为ksnJ表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。
性质2如果级数''U n、、' V n分别收敛于和S、.则级数a （比一*）也收敛.且其和为S_ n =1 nd n -1证明：如果7 U n、7 V n、7（U n二V n）的部分和分别为环、n、n .则n 1n =1n VIlim n = lim ［（q 二V|）（u2二v2）宀〔（u n二v n）］n ，n >二lim ［（比u2…_u n）二（V］ v2…：v n）］n心二lim （S n 二-n） =S 二二.n表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项.不会改变级数的收敛性.比如.级数——- - 是收敛的.1 2 23 34 n（n+1）1 1 1 1加一项后级数9895 也是收敛的.1 2 2 3 3 4 n（n+1）减一项后级数— 1 1也是收敛的，3 4 4 5 n（n +1）Q0性质4如果级数' U n收敛.则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛.且其和不变•nT注意：如果加括号后所成的级数收敛.则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如•级数（1-1）+ （1 -1） + ” ”收敛于零.但级数1-1 1-1却是发散的，推论：如果加括号后所成的级数发散.则原来级数也发散• 级数收敛的必要条件：Q Q7 / 27性质5如果v u n 收敛 则它的一般项U n 趋于零.即lim U n =0nJ证： QO设级数'■ Un 的部分和为s n 且lims n ^s 则 n4lim U n = lim (S n —S n /) =lim S n 「lim S nV 二s -s = 0 ^_0n ・ n ・ n y ：i注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 .例如调和级数-1=1.1.^ .1.... n 』n 2 3 n1尽管它的一般项lim 0，但它是发散的，F nO01因为 假若级数' 1收敛且其和为s s n 是它的部分和nT n显然有lim 帛=s 及lim s 2n =s ，于 是n )：:n •n 卜::：但另一方面.故lim (舫 f) =0 .矛盾.这矛盾说明级数 '、-必定发散.n)- -n§2常数项级数的审敛法 一、教学目的与要求：1 .掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
2 •掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
s2n 角n 1 n 2 2n 2n 2n2n =i3 .了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系二、重点（难点）：判定正项级数的收敛与发散三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。
正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：Q0定理1正项级数''U n收敛的充分必要条件它的部分和数列｛S n｝有界n m证设级数U1 . U2 亠亠U n ■是一个正项级数。
其部分和为S n显然S n是一个单调增加数列，若部分和数列S n有界，则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数ZUn收敛；反之.若级数ZUn收敛，则部分和数列S n有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知｛S n｝有界CO OQ O0定理2 （比较审敛法）设£U n和为V n都是正项级数.且U nW V n （n=1 . 2 .…），若级数》V n收敛.则n =1nW nTQO QO QO级数v U n收敛•反之.若级数a U n发散.则级数a V n发散n =1n d n TQO QO证设级数V V n收敛于和二则级数V U n的部分和n =1 n =1S n=U l U2 亠"U n_V1 V2亠亠V n_；「（n =1,2, ）.co即部分和数列｛ S n｝有界.由定理1知级数v U n收敛n =1QO QO反之.设级数7 Un发散.则级数7 Vn必发散•n =1 n 4QO QO因为若级数' V n收敛.由上已证明的结论.将有级数V U n也收敛.与假设矛盾•n=1 n=1推论 设a u n 和v v n 都是正项级数 .如果级数x ' v n 收敛.且存在自然数 N .使当n 丄N 时有n =1n =1n -1QOoo U n_kV n (k 0)成立.则级数v U n 收敛-如果级数V n 发散.且当n_N 时有U n_kV n (k 0)成立.则级数ndnVQO'、' U n 发散n A例1讨论p ■级数的收敛性.其中常数p 0当p_1时级数二+发散心n p □0对于级数:丿冷活.其部分和X -天］［兴-沖…［尙-十叶金因为 lim s n 卽［1（n -1）°° 4 4°° 4nJ 冷沽］收敛从而根据比较审敛法的推论1 可知-级数雲当卩1时收 综上所述卩缀数& 冷当p 1时收敛•当p-1时发散n4 np提示 级数J [1一 一丄]的部分和为 』n —1严n pJSn =[^2pj]【齐一缶【湍 'n=1'n ；）p 」'因为 lim s n =lim[11■厂]T门护n n 品 （n +1）P 」解设p 叩，这时丄_1而调和级数n p n「丄发散.由比较审敛法知.n =1n设p 1 .此时有丄n pdxx r1 1「「■(7环百-訂 5之3,几所以级数所以级数7 [ 丄口 -召]收敛n』（n-1）P」n p」p浚数的收敛性：p-级数v -J-当P 1时收敛.当P叩时发散nd n p1例2证明级数瓦$ 是发散的,n*‘n（n +1）_1_ _1__ 1\ n(n 1) I (n 1厂n 1而级数v -^―=丄•1」是发散的.n吕n+1 2 3 n+1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3 （比较审敛法的极限形式）□0O0设a Un和a Vn都是正项级数.n =1n =1（1）如果lim U n=l （0勺:::::）.且级数' V n收敛则级数' U n收敛W n n#n T⑵如果lim Un二：l 0或lim Un=；3ao QO且级数v v n发散则级数v u n发散n T=«V n FV n n =1nT1证明由极限的定义可知.对；=才1 .存在自然数N .当n N时.有不等式l 一芍土<l」l .即丄lv n u n：3lv n.2 v n 2 2 n n 2 n再根据比较审敛法的推论 1 .即得所要证的结论，证因为1例3判别级数v tan 的收敛性.n 4 n004而级数7丄发散n 4nQO例4判别级数anm(2 n —1)(2 n +1)lim (加-叽2n V) J n r ：： 1 4 n定理4 （比值审敛法.达朗贝尔判别法）cd若正项级数V u n 的后项与前项之比值的极限等于n =1则 当二1时级数收敛•当r 1（或lim •也N ：）时级数发散• n r-' u n 当亍=1时级数可能收敛也可能发散.解 因为 limUml= lim 12 3° ° = lim 丄=0 ：：1 . u n n ^c 1 2 3 …n n H^n根据比值审敛法可知所给级数收敛 例6判别级数 — 12 12学的收敛性•10 102 10310n解 因为 lim - lim10lim 心二：.U n n H^10nF n!10根据比值审敛法可知所给级数发散根据比较审敛法的极限形式级数tan 1发散门二 n例5证明级数仔匕•也11 23( n-1)+ 1 tan —解因为lim - =1专 1解因为根据比较审敛法的极限形式.级数收敛心（2 n —1）（2 n+1）P: limP .n r : u n112 / 27例7判别级数的收敛性.n^2n （2n +1）lim 2n <2n 1)nr ： (2n 1) (2n 2)这时匸=1 .比值审敛法失效.必须用其它方法来判别级数的收敛性，11处 1 ,、—因为 --2 .而级数7 —收敛.因此由比较审敛法可知所给级数收敛（2n +1）2 n nn =n定理5（根值审敛法.柯西判别法）oO设7 U n 是正项级数.如果它的一般项U n 的n 次根的极限等于T ：n =1则当：：：1时级数收敛•当二1（或lim n U n =；3）时级数发散-n —当11时级数可能收敛也可能发散 .例8证明级数并估计以级数的部分和 S n 近似代替和S 所产生的误差 解 因为 lim n U nlim n 1n lim 丄=0 .n ^^n ^c¥ n n ^4=^ n所以根据根值审敛法可知所给级数收敛以这级数的部分和 S n 近似代替和S 所产生的误差为，-—1 1 1— (n 1)n 1 (n 1)n 2 (n 1)n 3 _ 1 "n(n 1)n '所以 根据根值审敛法知所给级数收敛limU n 1|rn | =1 (n 1)n 1 (n 2)1 例9判定级数护的收敛性解因为lim lim 丄助2+(-1)“n ， 一 n ）：：2定理6(极限审敛法)Q Q设「U n 为正项级数nJ(1)如果 lim nu n =10(或limnu n =) n ^^ 、 n _jicQ Q则级数＜；u n 发散n 」 ⑵如果 p 1而 lim n p U n =l (0G 5：s )n —Q Q则级数7 Un 收敛n=1001例10判定级数'Tn (「一2)的收敛性n z4n1 1解因为 ln(1-2)— (nr -，)故 n nlim n 2u n = lim n 2l n(1 牛)=lim n 2 占=1 n ・ n n n n根据极限审敛法知所给级数收敛O0例11判定级数7 5 • 1(1 -cos —)的收敛性nAn根据极限审敛法 知所给级数收敛、交错级数及其审敛法交错级数：交错级数是这样的级数.它的各项是正负交错的oCcd交错级数的一般形式为(-1)n ‘U n .或V (-｛山 其中U n 0 .n =1n £但、.(jM-cosn •不是交错级数 n =1n定理7 (莱布尼茨定理)od如果交错级数 a ( -1)"，U n 满足条件n =1(1)u n 血时(n= .2 .3 .…；(2) lim u n =0 .n -^则级数收敛.且其和S_U 1 .其余项r n 的绝对值『nd u n ' . 证明：设前2n 项部分和为S 2n .由 S 2n=(U 1-U 2)(U 3-U 4) … (U 2n 1 -U 2n ). 及解因为3lim n 2u n n —.=lim nn ＞：:3 2、n 1(1 -cos —) = lim n 2n r ^c叮2(产2：co例如.' ■ (-1)nn m'丄是交错级数n三、绝对收敛与条件收敛 ：□0O0绝对收敛与条件收敛：若级数X |U n |收敛.则称级数7 U n 绝对收敛•n =1n =1例如 级数7（-1）n 」冷是绝对收敛的.而级数a （-1）n ，1是条件收敛的n T n 心n oOoo定理8如果级数二U n 绝对收敛.则级数二:U n 必定收敛n =1n =1证明略odod注意：如果级数X |U n |发散.我们不能断定级数、U n 也发散n =1n =1但是.如果我们用比值法或根值法判定级数a |U n |发散n =1co则我们可以断定级数 7 U n 必定发散•n =1S 2n =U 1 _（U 2 _U 3）-（U 4 -U 5）亠 亠（U 2n 2 -U 2n 」）-U 2n （设S 2nS （n ）.则也有S 2n 1二S 2n U 2n 1 S （n ）.所以S nS （n ）.从而级数是收敛的S n ：：：U l .因为|r n |刃n 1—U n 2 •…也是收敛的交错级数.所以|r n |_U n ・1,.且例12证明级数a （-if 1收敛.并估计和及余项n =1n证这是一个交错级数.因为此级数满足(1)U n=U p 1 (n =1,2,).1⑵ lim u n 二 lim 0i^oc n由莱布尼茨定理 级数是收敛的 .且其和 S ：：：u 1=1 .余项 |r n |_Un 1 =若级数7 U n 收敛.而级数7 |U n |发散.则称级7 U n 条件收敛.n =1n =1n -1Q Q这是因为.此时|U n |不趋向于零.从而U n 也不趋向于零.因此级数^'u n 也是发散的二 sin na例13判别级数—的收敛性，nAn解因为書肚丄.而级数V 1是收敛的.n n n所以级数|竺啓i 也收敛.从而级数二s ^n n a 绝对收敛，n & nn 4 n可知lim U n=O .因此级数V (-1)n 』n (1发散n ■nW 2 n§ 3幕级数、教学目的与要求:1 •理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。