2019年北大清华数学金秋营完整试题及解析
北大金秋营试题-10份,正反精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 2016年北大金秋营试题1、在ABC ∆内部有一点P 满足4C A P CB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ∆的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠.2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=11112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中，),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值.3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立.4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(m od 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价：（1）p 为模q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解.5、记函数∑==40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值.6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值.7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方.8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.。
2020年北京大学金秋营试题
年北京大学金秋营试题（考生回忆版）
第一天
1.对于非负实数，，，，考虑如下个实数
其中，记为这个数中所有正数之和，的条件下，求的
最小值
2.中，为的中点，，分别为，中点，
外接圆与射线，交于点，，交于点，证明：
若、、共点，则、交点在上
3.数列满足：，，已知求证：
4.求的最小值，使得将方格挖去个格后，剩余图形不存在字形（字形指一个方
格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）
第二天
，直线，，分别交对边于，，，若四边形，
，都有内切圆，求证：
6.若自然数可以写成若干个自己的不同的因数的和，其中有个为，就称为好数，证明：对任意大于，存在无穷个的正倍数为好数，且最小的倍数不大于，其中是最大的奇素因数（若为二的幂，则为）
7.为素奇数，
8.求所有的，使得平面上有个完全相同的凸多边形，且满足对任意个凸多边形，所有在他们之中且不在其余多边形中的点的集合为凸多边形（非退化）。
2019北京清华附中高三(下)开学考试数学(理)含答案
2019北京清华附中高三（下）开学考试数学(理)一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）1.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A.B.C.D.2.已知圆的极坐标方程为，则其圆心坐标为（）A.B.C.D.3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A.4B.3C.D.4.设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上概率不小于，则的最小值为（）A.4B.5C.6D.76.自点A（﹣3，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则A到切点的距离为（）A.B.3C.D.57.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）A B.C.D.8.已知点是平面区域内的动点,点为坐标原点,设的最小值为,若恒成立,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（共6小题；共6×5＝30分）9.在等差数列中，若,则该数列的通项公式=_____10.展开式中的常数项为，则_________．11.若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．12.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．13.已知非零向量，满足||＝1，与的夹角为30°，则||的最小值是_____．14.在平面直角坐标系x O y中，对于⊙O：x2+y2＝1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P＝r；若P不与O重合，射线O P与⊙O的交点为A，S P＝A P的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1＝0在圆内部分点到⊙O的最长距离为_____；（2）若线段M N上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段M N，都有S T≥S P成立．则线段M N的最大长度为_____．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知函数，（其中），其部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）已知横坐标分别为、、的三点都在函数的图像上，求的值．16.某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：编号项目收案（件）结案（件）判决（件）1刑事案件2400240024002婚姻家庭、继承纠纷案件3000290012003权属、侵权纠纷案件4100400020004合同纠纷案件1400013000n其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．17.如图，四边形A B C D与B D E F均为菱形，∠D A B=∠D B F=60°，且F A=F C．（Ⅰ）求证：A C⊥平面B D E F；（Ⅱ）求证：F C∥平面E A D；（Ⅲ）求二面角A﹣F C﹣B的余弦值．18.已知椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线A A0垂直于直线x＝4，垂足为A0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．19.设f（x）＝x e x﹣a x2﹣2a x．（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在x＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．20.如果无穷数列{a n}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a n}具有性质P．（Ⅰ）若a n（k∈N*），判断数列{a n}是否具有性质P，并说明理由，（Ⅱ）若数列{a n}具有性质P，求证：{a n}中一定存在三项a i，a j，a k（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；（Ⅲ）若数列{a n}具有性质P，则{a n}中是否一定存在四项a i，a j，a k，a l，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．2019北京清华附中高三（下）开学考试数学(理)参考答案一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）1.【答案】A【解析】因为，所以应选答案A．2.【答案】B【解析】【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意知，圆的极坐标方程为，即，即，所以，所以圆心坐标为，又由，可得圆心的极坐标为，故选B.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.【答案】A【解析】执行程序框图，，第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第五次循环，结束循环，输出故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.【详解】由（a﹣b）a2＜0得到：，则a＜b成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题. 5.【答案】A【解析】由题意得,选A.6.【答案】D【解析】【分析】求出圆心和半径，求出A C的值，可得切线的长度.【详解】圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1表示以C(2,3)为圆心，1为半径的圆，由于且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，故切线长为：故选：D【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.7.【答案】B【解析】【分析】由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解.【详解】A B C D E底面可以看成直角梯形A D E B和直角三角形B E C构成，则：故选：B【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.8.【答案】C【解析】试题分析：直线恒过定点，当时，约束条件对应的可行域如图，则的最小值为，满足，当时，直线与轴重合，平面区域为图中轴右侧的阴影区域，则的最小值为，满足，当时，由约束条件表示的可行域如图，点与点重合时，的最小值为，联立，解得，所以，由，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题（共6小题；共6×5＝30分）9.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式.【详解】解：设等差数列的公差为d，由①，可得②，可得②-①，，可得，把代入①，可得，可得，可得数列的通项公式，故答案：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.10.【答案】或【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a的值．【详解】（+）10展开式中的通项公式为T r+1=•a r•，令5﹣=0，求得r=2，可得它的常数项为a2•=180，故a=±2，故答案为或【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.11.【答案】(或)【解析】函数的图象过点，则，，，.,,,有于在为减函数，所以，解得.【点睛】根据函数图象过已知点，求出，借助的范围求出的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据的范围研究的范围，有时还要关注的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.12.【答案】【解析】由题意设所求双曲线的方程为，∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即．答案：13.【答案】．【解析】【分析】构造满足题意的三角形，根据几何意义求出||的最小值.【详解】根据题意：作过C作，垂直为D，则C D的长度即为||的最小值，，故||的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14.【答案】(1).1(2).4【解析】【分析】（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，即得解；（2）分析可得S P≤1，因此当线段M N过原点时，当线段M N过原点时，M N的最大长度为4，即得解.【详解】作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，取得最小值，此时P到⊙O的距离最长，此时O P，则A P＝1﹣O P＝1．（2）∵点T⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S P成立，∴S P≤1，∀点P∈线段M N，若P在圆内，都满足S P≤1；若P在圆外，P必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界）∴当线段M N过原点时，M N的最大长度为1+2+1＝4，【点睛】本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题（共6小题；共80分）15.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力.第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到，再利用特殊点（1,1）解出的值，从而得到解析式；第二问，先利用、、的三点都在函数的图像上，得到点坐标，从而利用两点间距离公式得到边M N、M P、P N的长，利用余弦定理得到的值，最后利用平方关系得到，法二：还可以利用向量的数量积来计算.试题解析：（1）由图可知，，最小正周期∴又∵，且∴，∴．（2）解法一:∵，∴，，从而，∵，∴.考点：三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.16.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）；【解析】【分析】（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解;（Ⅲ）设4类案件的均值为，则,代入运算，得解.【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100＝9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法，设“在该结案案件中取1件判决案件”事件B，则P（B）；（Ⅲ）；设4类案件的均值为，则[][][][]．【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 17.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，由，知，由此能够证明平面；（Ⅱ）因为四边形与均为菱形，所以，平面平面，由此能够证明平面；（Ⅲ）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为为中点，所以，故平面，由两两垂直，建立空间直角坐标系，设，因为四边形为菱形，，则，所以，，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由此能求出二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：设A C与B D相交于点O，连接F O．因为四边形A B C D为菱形，所以A C⊥B D，且O为A C中点．又F A=F C，所以A C⊥F O．因为F O∩B D=O，所以A C⊥平面B D E F．（Ⅱ）证明：因为四边形A B C D与B D E F均为菱形，所以A D∥B C，D E∥B F，所以平面F B C∥平面E A D．又F C⊂平面F B C，所以F C∥平面E A D．（Ⅲ）解：因为四边形B D E F为菱形，且∠D B F=60°，所以△D B F为等边三角形．因为O为B D中点，所以F O⊥B D，故F O⊥平面A B C D．由O A，O B，O F两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣x y z．…（9分）设A B=2．因为四边形A B C D为菱形，∠D A B=60°，则B D=2，所以O B=1，．所以．所以，．设平面B F C的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面A F C的法向量为=（0，1，0）．由二面角A﹣F C﹣B是锐角，得|c o s＜，＞|==．所以二面角A﹣F C﹣B的余弦值为．18.【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用即可得解；（Ⅱ）设A B方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点.【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：y2＝1（m＞1）的离心率为，∴⇒m＝4，（Ⅱ）当直线A B与x轴不重合时，设其方程为x＝m y+1．A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．∴，．因为A0（4，y1），，所以直线A0B的方程为：y﹣y1，⇒y．∵，∴，∴直线A0B的方程为：y，当直线A B与x轴重合时，直线A0B与x轴重合，综上，直线A0B恒过定点（，0）【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.19.【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．【解析】【分析】（Ⅱ）分a≤0，a＞0两种情况分析导数极值，得到f（l n2a）是极大值，由极大值小于0，求a的取值范围.【详解】（Ⅰ）f'（x）＝e x+x e x﹣2a x﹣2a＝（x+1）（e x﹣2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，所以由题意得：0，∴a；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a≤0时，即a≤0时，e x﹣2a≥0，∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）有极小值，无极大值；当a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝l n2a，当l n2a＞﹣1时，即a，∴x∈（﹣∞，﹣1）和（l n2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣1＜x＜l n2a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（﹣1）为极大值，且f（﹣1）a，由题意得：f（﹣1）＜0，∴；当l n2a＜﹣1时，即0＜a，∴x∈（﹣∞，l n2a）和（﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（l n2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（l n2a）极大值，且f（l n2a）＝2a l n2a﹣a l n22a﹣2a l n2a＝﹣a l n22a＜0恒成立；当l n2a＝﹣1时，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）单调递增，无极值，舍去；综上所述：符合条件的a的取值范围：（0，）∪（，）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.20.【答案】（Ⅰ）数列{a n}具有性质P．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分n为奇数，n为偶数讨论，研究a n包含的数的情况，即得解;（Ⅱ）考虑，令，从开始寻找第一个大于M的项，记为：,分为奇数，偶数讨论，分别构造，为公差为奇数的等差数列，即得证.（Ⅲ）构造反例：为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反证法，即得证,【详解】（Ⅰ）解：∵a n（k∈N*），∴数列{a n}具有性质P．理由如下：当n为奇数，n∈N*时，a n＝n+1包含所有的正偶数，当n为偶数，n∈N*时，a n＝n﹣1包含所有的正奇数，∴无穷数列{a n}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，∴数列{a n}具有性质P．（Ⅱ）证明：不妨设考虑，令，从开始寻找第一个大于M的项，记为：，则中含有1，2，且为前j项中的最大项()(i)若为奇数，，所以在之后，记为，则，为公差为奇数的等差数列;(i i)若为偶数，令，则，为公差为奇数的等差数列.故结论成立.（Ⅲ）不一定存在例如为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,即每三项构成一组，第k组的通项公式为：2k-1,4k-2,4k，假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差，由于中，任意一项奇数后面的偶数都大于等于2，因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差.故假设不成立.【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.。
2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)
清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x =，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离B ．||AB 的最小值为4C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误．5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ）A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅．6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π， 类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】由于x z y x 311121≤++=，故63≤≤x ．若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ；若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ． 10．集合},,,{21n a a a A =，任取Aa a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ． 3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβα D ． 3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zx zx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx x z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyz zy x zx yz xy ．答案BD ．12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0B ．xyz 的最大值为274-C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ） A ．nn n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数 D ．781-+n n a a 为完全平方数【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误． 说明：若数列}{n a 满足nn n a pa a -=++12，则nn n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+z z ，则z 可以取到的值有（ ）A ．21B ．21-C ．215-D ． 215+【答案】CD【解析】因为11||1||=+≤-z z z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A ．6552B ．4536C ．3528D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=b a（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b ab a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则k b a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有nI 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n n n n n C n n C n A C I ．答案：AB ．关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯． 21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23．22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ．【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322-【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ． 【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ．27．已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z ．【答案】12i - 【解析】根据题意，有i z z z z z z 35sin 35cos 122223+=-=+=+++ππ28．已知z 为非零复数，z z 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .【答案】2003003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29．若334tan =x ，则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ．【解析】根据题意，有x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<< 21．若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
2019-2020北京大学和清华大学强基计划数学笔试试题
2019年北京大学博雅计划笔试试题1.金字塔的底座为边长是200米的正方形。
如果一个游客处于距离底座中心200米的圆周上，则游客可以同时看到金字塔两个塔面的概率为________。
A. 13B. 12C. √32D.以上答案都不对2. 已知f (x )=a sin x ,x ∈[0,π2]. 其中a >0. 若f(x)与其反函数y =f −1(x)有两个交点，则实数a 的取值范围是_________。
A.0<a <1 B. 1<a <π2C. 2π<a <π2D.以上答案都不对3.f (x )=√1+x 2+1−x 21+x 2的取值范围是___________。
A.(−2,1]B.(−2,98]C.(−2,98)D.以上答案都不对4.四面体P −ABC 的底面是边长为2的正三角形ABC ，PC 垂直于面ABC ，PC =1. M,N 分别为AB,BC 的中点，则异面直线PN,CM 的夹角的正弦值为__________。
A. 14B. √54C.√104D.以上答案都不对5.已知函数f(x)满足对任意的x ≠0或1，均有f (x )+f (11−x )=x . 求f (2). 6. 已知点A (12,√32)关于直线y =kx 的对称点A′落在圆(x −2)2+y 2=1上，则k的值为_________。
A. 12B. √33C.1D.以上答案都不对7.已知x,y,z 均为正实数。
则f (x,y,z )=xyz(1+4x)(9x+y)(4y+z)(9z+1)的最大值为_____。
A. 1576B. 11024 C. 11296D.以上答案都不对8.已知a,b,z 均为复数，对任意的|z |=1，均有|z 4+az 2+b |=1. 则ab 的值为_________。
A.i B.−i C.1 D.以上答案都不对9.从6名男员工和4名女员工中各抽取2人，组成羽毛球混合双比赛。
关于金秋营面试、北大数学营考试难度等的讨论
关于金秋营面试、北大数学营考试难度等的讨论闽+16信数-米苏“清华还看重平时综合成绩，北大更不拘小节”这点在信息科上没有体现出来。
我记得申请清北信息夏令营时,填的报名表让我有相反的看法，清华只要求我们填历次竞赛的成绩与名次，北大除了这些之外,还要各科综合成绩,还要年段排名,还有兴趣爱好,得奖的要求也不限于信息,允许有数学\音乐等等，我记得当时填表时,对北大的申请表非常头痛，折腾好久，但是我老公因此看上北大,让孩子选了北大夏令营，当时两所都通过了资格审查。
粤+15数学-大王清华会关注孩子的平时综合成绩，有时单凭综合成绩而签约。
北大的表让人头痛，让人反感，但感觉北大没看表内容，最后签约很爽快。
闽+16信数-米苏还有一点，两校夏令营差别也很大,我只说信息，信息夏令营上,我儿同学有去清华的,两天考两场,一场机试,一场面试,还参观学校等等,感觉比较轻松。
北大是两天考六场，四场机试,一场数学,一场面试,面试还要面两次.时间安排非常紧，但是签约时两校基本都是根据考试成绩签的。
粤+16数学-酸橙信息金牌多去清华，数理化金牌多去北大。
牛孩多选择去最强的学校，但最强的学校并不见得是最适合孩子的学校，不见得是让孩子有最多机会的学校。
能签最强的当然好，退一步有时可能更好。
工科就业较理科容易，就算是做研究性的工作，在大学任教，工科教授的薪酬也是高过理科的。
孩子如果不是一心只想学理科，建议签专业时考虑签工科类的。
理科越往后学，出路越窄，不是真心热爱很难坚持的。
鄂+16化学-玛丽@粤+16数学-酸橙你孩子签的是北大还是清华？粤+16数学-酸橙选择的是清华。
也许本科阶段的竞争不会那样激烈，孩子的压力不会那么大。
最合适的才是最好的。
闽+16信数-米苏我前段看到高中群发了一个博客中有一段话,觉得蛮受用的，在本科阶段，学生不一定需要获得多么艰深的专业知识，更重要的在于，他们能够通过系统性的学术训练，为未来发展打下坚实的基础，掌握正确的思维方法，养成良好的阅读和思考习惯，在面对复杂资讯和局面时知道从哪个方向入手去解决问题，获得终身学习的能力。
北京市清华大学附属中学2019届高三下学期入学检测数学(理)试题 Word版含解析
高三第二学期入学检测试卷数学(理)一、选择题（共8小题；共8×5＝40分）1.已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A. 1i -B. 1i +C.1122i - D.1122i + 【答案】A 【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 2.已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B. 32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B . 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 4B. 3C. 2-D. 3-【答案】A 【解析】执行程序框图，2i = ，第一次循环，2;s = 3i = ，第二次循环，1;s =-4i = ，第三次循环，3;s =5i = ，第四次循环，2;s =-6i = ，第五次循环，4;s =7i = 结束循环，输出4,s =故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4.设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可.【详解】由（a ﹣b ）a 2＜0得到：0,0a a b ≠-<，则a ＜b 成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.5.将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】由题意得1151()4216nn -=⇒= ,选A. 6.自点 A （﹣3，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1的切线，则A 到切点的距离为（ ）B. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出AC 的值，可得切线的长度.【详解】圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1表示以C (2,3)为圆心，1为半径的圆，由于AC =且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，5= 故选：D【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.7.某几何体三视图如图所示，在该几何体的体积是（ ）A.103B.203C.25D.45【答案】B 【解析】 【分析】由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥，其中PA ⊥平面ABCD ，作BE CD ⊥，垂足为E 底面可以看成直角梯形ADEB 和直角三角形BEC 构成， 则：1121204(222)3223V +=⨯⨯⨯+⨯⨯= 故选：B【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.8.已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A. 11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：直线()4x m y=-恒过定点(0,4)，当0m>时，约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m=时，直线()4x m y=-与y轴重合，平面区域()4{04yx yx m y≤-≤≥-为图中y轴右侧的阴影区域，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m<时，由约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-表示的可行域如图，点P与点B重合时，()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB=u u u r，联立{(4)y xx m y==-，解得44(,)11m mBm m--，所以421mOBm=-u u u r，由4221mm≤-，解得1135m-≤≤，所以13m-≤≤，综上所述，实数m的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题（共6小题；共6×5＝30分） 9.在等差数列{}n a 中，若()246n n a a n n N *++=+∈,则该数列的通项公式na=_____【答案】21n + 【解析】 【分析】由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由246n n a a n ++=+ ①， 可得24414n n a a n +++=+ ② ，可得②-①，48n n a a +-=，可得2d =， 把1n =代入①，可得12410a +=，可得13a =， 可得数列的通项公式32(1)21n a n n =+-=+， 故答案：21n +.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.10.102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a =_________．【答案】2或2- 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a 的值．【详解】2a x ）10展开式中的通项公式为 T r+1=10r C •a r •552r x -， 令5﹣52r =0，求得r=2，可得它的常数项为a 2•210C =180，故a=±2， 故答案为2或2-【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11.若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是____． 【答案】π7π(,)1212(或π7π[,]1212) 【解析】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(，则2sin ϕ=sin ϕ= ，0,23Q ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤Q ,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤.【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.12.经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -=【解析】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=13.已知非零向量a r ，b r 满足|b r |＝1，b r 与b a r r -的夹角为30°，则|a r|的最小值是_____．【答案】12． 【解析】 【分析】构造满足题意的三角形，根据几何意义求出|a r|的最小值.【详解】根据题意：作,,30o CB a CA b b a BA A ==∴-=∠=u u u r r u u u r r r r u u u r过C 作CD AB ⊥，垂直为D ，则CD 的长度即为|a r|的最小值，1=sin 302o CD CA =，故|a r|的最小值为12故答案为：12【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙O ：x 2+y 2＝1来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S P 的定义如下：若P 与O 重合，S P ＝r ；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙O 的交点为A ，S P ＝AP 的长度（如图）．（1）直线2x +2y +1＝0在圆内部分的点到⊙O 的最长距离为_____； （2）若线段MN 上存在点T ，使得： ①点T 在⊙O 内；②∀点P ∈线段MN ，都有S T ≥S P 成立．则线段MN 的最大长度为_____．【答案】 (1). 124- (2). 4 【解析】 【分析】（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，此时P 到⊙O 的距离最长，即得解；（2）分析可得S P ≤1，因此当线段MN 过原点时，当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为4，即得解.【详解】作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，|OP|取得最小值，此时P 到⊙O 的距离最长， 此时OP 22124822===+，则AP ＝1﹣OP ＝124-． （2）∵点T⊙O 内，∴S T ≤1，∵S T ≥S P 成立，∴S P ≤1，∀点P ∈线段MN ，若P 在圆内，都满足S P ≤1；若P 在圆外，P 必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界） ∴当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为1+2+1＝4，【点睛】本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题（共6小题；共80分）15.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．【答案】（1）()sin()44f x x ππ=+；（2）45. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到ω，再利用特殊点（1,1）解出ϕ的值，从而得到()f x 解析式；第二问，先利用1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，得到,,M N P 点坐标，从而利用两点间距离公式得到边MN 、MP 、PN 的长，利用余弦定理得到cos MNP ∠的值，最后利用平方关系得到sin MNP ∠，法二：还可以利用向量的数量积来计算.试题解析：（1）由图可知，1A =， 最小正周期428,T =⨯=∴2ππ8,.4T ωω===又∵π(1)sin()14f ϕ=+=，且ππ22ϕ-<< ∴ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==∴()sin()44f x x ππ=+．（2） 解法一: ∵ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin(51)14f =+=-， ∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，MN MP PN ==从而3cos 5MNP ∠==-，∵()0,MNP π∠∈，∴4sin 5MNP ∠==. 考点：三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.16.某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题． （Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ，方差为S 12，如果表中n x =，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S 22，试判断S 12与S 22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）． 【答案】（Ⅰ）9395；（Ⅱ）1229；（Ⅲ）2212S S ＞； 【解析】 【分析】（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解; （Ⅲ）设4类案件的均值为x ，则34x xX x +==,代入运算，得解. 【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件， 共有2400+3000+4100＝9500种取法， 其中取到的是结案案件方法数为 2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ， 则P （A ）9395=； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法， 其中是判决案件有1200种取法， 设“在该结案案件中取1件判决案件”事件B ，则P （B ）1229=； （Ⅲ）2212S S ＞；设4类案件的均值为x ，则34x xX x +== 2214S =[22221234()()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[()2222123()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[222123()()()x x x x x x -+-+-] 13＜[222123()()()x x x x x x -+-+-]21S =． 【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.17.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）155【解析】试题分析：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点，由FA FC =，知AC FO ⊥，由此能够证明AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以//,//AD BC DE BF ，平面//FBC 平面EAD ，由此能够证明//FC 平面EAD ；（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=o ，所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点，所以FO BD ⊥，故FO ⊥平面ABCD ，由,,OA OB OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=o，则2BD =，所以3,0,3CF =u u u v，)3,1,0CB =u u u v，求得平面BFC 的法向量为()1,3,1n =--r ，平面AFC 的法向量为()0,1,0v =v，由此能求出二面角A FCB --的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC⊥BD，且O 为AC 中点． 又 FA=FC ，所以 AC⊥FO． 因为 FO∩BD=O， 所以 AC⊥平面BDEF ．（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD∥BC，DE∥BF，所以平面FBC∥平面EAD．又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD．（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（9分）设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．18.已知椭圆E：2xmy2＝1（m＞1）3过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用221c b a a=-即可得解；（Ⅱ）设AB方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：2xm+y2＝1（m＞1）的离心率为3，∴2213112c ba a m=-=-=⇒m＝4，（Ⅱ）当直线AB与x轴不重合时，设其方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），由22144x myx y=+⎧⎨+=⎩⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．∴12224my ym-+=+，12234y ym-=+．因为A0（4，y1），2124A By ykx-=-，所以直线A0B的方程为：y﹣y1()21244y yxx-=--，⇒y21221212122122144444y y x y y x y yx y xx y y x y y⎛⎫⎛⎫----=-+⋅=+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21122122144y y my y y yxx y y⎛⎫--+=+⎪--⎝⎭．∵()121232my y y y =+，∴()121221212154522y y my y y y y y y y --+==---， ∴直线A 0B 的方程为：y 212542y y x x -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，当直线AB 与x 轴重合时，直线A 0B 与x 轴重合， 综上，直线A 0B 恒过定点（52，0） 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.19.设f （x ）＝xe x ﹣ax 2﹣2ax ．（Ⅰ）若y ＝f （x ）的图象在x ＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a 的值； （Ⅱ）若f （x ）存在极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）a 1e =；（Ⅱ）（0，12e ）∪（12e ，1e）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）求f '（x ）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;（Ⅱ）分a ≤0，a ＞0两种情况分析导数极值，得到f （ln 2a ）是极大值，由极大值小于0，求a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）f '（x ）＝e x +xe x ﹣2ax ﹣2a ＝（x +1）（e x ﹣2a ），f '（﹣1）＝0，f （﹣1）1e=-+a ， 所以由题意得：011ae -+=-，∴a 1e=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a ≤0时，即a ≤0时，e x ﹣2a ≥0， ∴x ＜﹣1，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， x ＞﹣1，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）有极小值，无极大值； 当a ＞0，f '（x ）＝0，x ＝﹣1或x ＝ln 2a ， 当ln 2a ＞﹣1时，即a 12e＞， ∴x ∈（﹣∞，﹣1）和 （ln 2a ，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜ln 2a 时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （﹣1）为极大值，且f （﹣1）1e =-+a ，由题意得：f （﹣1）＜0，∴112a e e＜＜； 当ln 2a ＜﹣1时，即0＜a 12e＜， ∴x ∈（﹣∞，ln 2a ）和 （﹣1，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， x ∈（ln 2a ，﹣1），f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （ln 2a ）是极大值，且f （ln 2a ）＝2aln 2a ﹣aln 22a ﹣2aln 2a ＝﹣aln 22a ＜0恒成立；当ln 2a ＝﹣1时，即a 12e=，f '（x ）＝（x +1）2≥0恒成立，f （x ）单调递增，无极值，舍去； 综上所述：符合条件的a 的取值范围：（0，12e ）∪（12e ，1e）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.20.如果无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a n }具有性质P ．（Ⅰ）若a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N *），判断数列{a n }是否具有性质P ，并说明理由， （Ⅱ）若数列{a n }具有性质P ，求证：{a n }中一定存在三项a i ，a j ，a k （i ＜j ＜k ）构成公差为奇数的等差数列；（Ⅲ）若数列{a n }具有性质P ，则{a n }中是否一定存在四项a i ，a j ，a k ，a l ，（i ＜j ＜k ＜l ）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）数列{a n }具有性质P ．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）分n 为奇数，n 为偶数讨论，研究a n 包含的数的情况，即得解;（Ⅱ）考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a +开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ,分j a 为奇数，偶数讨论，分别构造,,t j k a a a ，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列，即得证.（Ⅲ）构造反例：{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…,利用反证法，即得证,【详解】（Ⅰ）解：∵a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N *），∴数列{a n }具有性质P ． 理由如下：当n 为奇数，n ∈N *时，a n ＝n +1包含所有的正偶数， 当n 为偶数，n ∈N *时，a n ＝n ﹣1包含所有的正奇数， ∴无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列， ∴数列{a n }具有性质P ．（Ⅱ）证明：不妨设1,2,max{,}s t a a m s t === 考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a +开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ，则12,,...,j a a a 中含有1，2，且j a 为前j 项中的最大项(3j a ≥)(i )若j a 为奇数，22j j a a ->，所以22j a -在j a 之后，记为22k j a a =-，则k j t >>，,,t j k a a a 为公差为奇数的等差数列;(ii ) 若j a 为偶数，令21k j a a =-，则k j s >>，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列. 故结论成立. （Ⅲ）不一定存在例如{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…, 即每三项构成一组，第k 组的通项公式为：2k -1,4k -2,4k ，假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差， 由于{}n a 中，任意一项奇数j a 后面的偶数都大于等于2j a ， 因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差. 故假设不成立.【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.。
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
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1 ≤ 2018At(a + 1) |b1 + b2 + · · · + bt|
1 =
2018t(a + 1)
1
≤
.
2018n
. 题
IMO 金
解题
ai 大
.
题 5. n
数
数
b1 = 0, b2, . . . , bn
1 ≤ u, v ≤ n
1
1
u (b1 + b2 + · · · + bu) < v (b1 + b2 + · · · + bv + 1) .
大
.
.
2 解题
+1 题
2019 数 2019
大
−1 大
0.
大
解
.
. .
.
解题
1
题 3. f
f
f
.
.
f.
1. f
.
f
.
.
2.
A, B, C
f (A)f (B) = f (A)f (C) AB = AC.
ABC
I IBC
J f (A)f (B) = f (A)f (C)
f (A), f (I), f (J)
x2 − 1 x2 + 1
数,
(
数
).
2
a2 − b2 = c2 + d2 ab = cd
数解.
2
数 a, b, c, d
a2 − b2 = c2 + d2, ab = cd(,
) 数解 (a, b, c, d) a
.
数 p | (a, b), p | cd, p | c2 + d2,
p | c, p | d,
f
(y
)β
.
0
f
.
y0,
数
d,
yn
=
y0
+
d
−
d 2n
,
f (yn+1)
≤
C
2(n+1)α dα
f
(yn)β
.
f (yn)
≤
f (y0 2xn
)
(n
≥
0),
n=0
.
x. n(≥ 0) ,
f (yn+1)
≤
Cf (y0)β−1 dα
f (y0) . 2xnβ−(n+1)α
,
2xnβ−(n+1)α > 2x(n+1),
b2
ab + < ca
bc
+ ca = ca +(b(c + b2 < ca < c + a
)a)2 ≡
ca
−
b2 (mod b2
x=
(a + − ca
b
+ c)) <0
2
c + a − 2b
a + b + c | 2(b2 − ca). .
b2 > ca
c + a > 2b
2(b2 − ca) ≥ a + b + c
pα1 | n2 + 1.
1 pα1 (pα1 − 1) = pα2 + · · · + pαn , 2
pα2 | pα1 .
pα1 + pα2 ≥ 1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1),
pα1
|
n2
+ 1,
n2 + 1 pα1
≤
2n2 + 2 n(n + 1)
<
2,
n2 + 1 = pα1 ,
(b1, b2, . . . , bn)
数.
解
Su = b1 + b2 + · · · + bu,
v = 1, Sv + 1
v
Su < u. v=w
S1 = 0 {Si} ,
数 ,
Su
<
Sw
+1
≤
Su
+1 ,
u
w
u
4
Su
<
Sv
+1 .
u
v
w.
Su
u Sw + 1
数,
, Sw + 1 u
.
w
w
大 数 (Sw + 1, w) = d > 1, Sw/d = (Sw + 1)/d − 1, w
b2 − ca 1 a + b + c 1
x=
≥·
>.
c + a − 2b 2 c + a − 2b 2
2b2 − b − 1 a = 1, c =
3
b ≡ 1 (mod 3)
lim
b2 − ca 1 =,
b→+∞ c + a − 2b 2
1
数.
2
解题
题 2.
2019
.
.
+1
l
2 2019
大2
.
.
−1 0l
21+α1 | n2 21+α1 | n2 + 1, 21+α1 ≥ n(n + 1) > max{n2, n2 + 1},
.
,
(p, n) = (p, 1), (5, 2).
解题
5
题 7.
数 f : R≥0 → R≥0 f
.
数 C > 0, α > 0, β > 1
f (x)
≤
(x
C − y)α
x2 + ax + b, Q(x)
deg P ,
数
.
,
数 β, γ
(x + 1)β(x2 + ax + b) 数 , (x + 1)γQ(x)
数,
(x + 1)β+γ P (x)
数.
deg P = 2
,
P (x) = (x − a)2 + b,
b + a2 > 0, (x + 1)k(x − a)2 + b xn 数 An.
0,
f (y0 + d) = 0.
数学 析 题 , 4.1
. De Giorgi ,
x>y≥0 解题
题 8.
x4 − 20200y2 = 1 Z2+
解.
:
1
x4 − 2y2 = 1
数解.
1
x4 − 2y2 = 1, (x2 − 1)(x2 + 1) = 2y2, (x2 − 1, x2 + 1) = 2,
数n≤k
数m≤l
数k
∑k ai = 1,
i=1
数 a1, a2, · · · , ak
∑n
1
aj sin(jθm)
≤
. 2018n
j=1
数
数.
ai 数
大
.
P (x), P
数,
数 α,
(x + 1)αP (x)
deg P = 1 .
deg P = 2
,
deg P > 2 ,
,
P (x) = (x2 + ax + b)Q(x),
pα2 ≥ n2 + n > pα1 ,
pα1 + pα2 ≥ 1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1),
,
Si
,
解题 n数
.
pα2 ≥ n2 + n − 1,
pα2 | n2(n2 + 1), p=2 ,
1 n2(n2 + 1) − pα1 = 1 (n2 − 2)(n2 + 1) = pα2 + · · · + pαn ,
J IBC
AI J
f (ABC)
.
6.
.
7.
f
.
8. A, B, C
B A, C
B
D CD = CA
E AE = AC.
D, E
f (A), f (B), f (C)
f (B) f (A), f (C) .
.
9.
.
数
数
.
10.
.
.
.
.
.
f
.
1. f
. A, B, C
D, E DE
D, E, X
X
.
f (A), f (B), f (C)
+
a 1
+
b
+
(k
−
n
n(n − 1) + 1)(k −
n
+
2)
=
(a
−
k
n −n
+
)2 1
+
b
−
(k
−
n
n(k + 1) + 1)2(k −
n
+
2)
>
0 · · · · · · (1)
n−1
n−1
2a <
, (1)
2aБайду номын сангаас≥