2014年清华大学高中生金秋营数学试题(扫描版)
(word版)2024年清华大学暑假文科营数学试题
2024 年清华大学暑假文科营数学试题2024 年7 月23 日一、填空题(每小题3.5分)1. 已知复数满足,则_________.2. 若不等式对任意均成立,则实数的取值范围是_________.3. “ ”的充要条件是_________.4. 已知4 个男生和3 个女生排成一圈, 则3 个女生不相邻的概率是_________.5. 已知双曲线经过点,某条斜率为1 的直线既经过点又经过双曲线的一个顶点，则此双曲线的标准方程为_________.6. 平面直角坐标系中满足约束条件的整点个数为_________.7. 已知复数,则当取得最大值时, _________.8. 已知不等式的解集为,若,则实数的取值范围是_________.二、多选题(每小题 6 分)9. 已知函数,则下列判断正确的是( )A. 是周期函数B. 的值域是C. 的图像关于直线对称D. 在上有3 个零点10. 已知实数满足,若增加一个条件,使得的最大值不变,则下列选项中符合条件的有( )A. B. C. D.三、解答题(每小题15分)11. 在中,角所对的边分别为,且.（1）若,①求; ②求边的中线长；（2）求面积的最大值.12. 已知公差不为0 的等差数列满足且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,①求证: ; ②是否存在,使得.13. 如图,直线平面, 点为中点.（1）若,求的长;（2）若,求直线与平面所成的角.14. 已知椭圆,直线经过坐标原点. 与平行的直线与椭圆交于两点,其中点,当直线轴时,直线经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的方程;（2）若点满足,直线交于点,直线交于点,求面积的取值范围.。
专题21 数列解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共84页)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题目录题型一：数列的概念和通项公式...............................................................1题型二：等差数列的定义与性质...............................................................9题型三：等比数列的定义与性质.............................................................12题型四：数列的求和..................................................................................13题型五：数列中的新定义问题.................................................................15题型六：数列中的证明问题.....................................................................45题型七：数列与其他知识的交汇.............................................................62题型八：数列的综合应用. (81)题型一：数列的概念和通项公式1．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．2．(2014高考数学湖南理科·第20题)已知数列{}n a 满足*+∈=-=N n p a a a nn n ,,111，(Ⅰ)若{}n a 是递增数列，且3213,2,a a a 成等差数列，求p 的值；(Ⅱ)若21=p ，且{}12-n a 是递增数列，{}n a 2是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)13p =(2)141(1)332nn n a --=+⋅解析：(I)因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=。
2014北京高考数学试题及答案word
2014北京高考数学试题及答案word一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a+b=（）A. 2B. 3C. 4D. 8答案：C2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,3}答案：B3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=100，则a_7+a_8=（）A. 18B. 20C. 22D. 24答案：B4. 已知函数y=f(x)的图象关于点(2,3)对称，则函数y=f(4-x)的图象关于点（）对称。
A. (2,3)B. (0,0)C. (4,6)D. (6,0)答案：C5. 已知函数y=x^3-3x+1，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a+b=（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D6. 已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a与向量b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B7. 已知函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递增，若f(2)=3，则f(1)与f(3)的大小关系为（）A. f(1)<f(3)B. f(1)>f(3)C. f(1)=f(3)D. 不能确定答案：A8. 已知函数y=x^2-6x+8，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a-b=（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
）9. 已知函数y=x^2-4x+c，若其图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是______。
答案：(-∞,4)∪(4,+∞)10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=24，则a_4+a_5+a_6=______。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 2 页 共 11 页
2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 4 页 共 11 页
而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 5 页 共 11 页
2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编专题04 函数解答题(理科)(解析版)
2k
0 故 x11 D
结合 D , x4 x2, x1 x3, 和函数的图像
可得 f (x) f (1) 的解集为 x11, x4 x2 , x9 x8, x1 x3, x10
附
：
g x 的
大
致
图
像
为
-1
x4
x 2
x6
f x 的大致图像为
x 1 x3 x 5
x1 1 2 k 1, x2 1 2 k 3 ，故 x8, x9 D
x10 x3 1
2k 4 1
2k
2k 4
2k=
k 6 2k 4
2k
0 ，故 x10 D
x4 x11
2k 4
2 k 2k 4 2 k
2k 4 2 k
k 6 2k 4
令 M (x) x2 2tx 3t2 2 ，当 0 t2 1， 8t2 8 0, 1 t 1 ，
此时 n m 2 t 2 1 7 ，当1 t2 2 ， 8t2 8 0 ，
但 4x2 8 4 t3 t x 3t4 2t2 对任意的 x [m, n] [ 2, 2] 恒成立．
1
，其中 k 2 ，
(x2 2x k)2 2(x2 2x k) 3
(1)求函数 f (x) 的定义域 D ；(用区间表示)
(2)讨论 f (x) 在 D 上的单调性； (3)若 k 6 ，求 D 上满足条件 f (x) f (1) 的 x 的集合(用区间表示)．
【答案】解：(1)依题意有 (x2 2x k)2 2(x2 2x k) 3 0
, x4 x2, x1 x3, ，即 D , x4 x2, x1 x3, (2)令 g x =(x2 2x k)2 2(x2 2x k) 3, x D
进入清华北大的捷径 全国高中生竞赛汇总
进入清华北大的捷径全国高中生竞赛汇总----0487421a-6ebd-11ec-b91a-7cb59b590d7d进入清华北大的捷径-全国高中生竞赛汇总（竞赛导论系列1）随着高校招生改革，高中是否有必要学习竞赛？是否学竞赛是很多中学家长和同学纠结的问题。
尤其是高考改革之后，自主招生形势变的不再明朗，竞赛在高中还有必要学么？对于那些对这些科目感兴趣并有余力的学生来说，高中一年级是值得学习的。
高一的主要困难是科目多、数学和物理和初中风格迥异，如果能很快的适应和解决这两个问题，并且学有余力的同学，完全可以在高一阶段，学1门竞赛，锁定在自己最感兴趣的科目。
这样才能事半功倍，为将来的自主招生、各种大学招生的夏令营、乃至出国求学，做多一手的准备。
如果到了高二，还能保持这种全科成绩还不错，一个科目有优势的情形，就可以继续拼一个比较大的奖。
如果到了高二，竞赛学习牵扯精力过多，耽误了其他科目的学习，就得早点收手。
毕竟现在影响最大的还是全科的成绩、和最终高考的成绩。
对于那些在进入顶尖高中方面没有什么问题的初中优秀学生，他们可以提前参加高中学习竞赛。
因为这些孩子的目标应该是锁定在名校的实验班和竞争班。
许多学校，如RDF和第四中学，经常设计高中竞赛的内容和方法。
提前学习的好处会更大。
从长远来看。
如果孩子将来计划在科学和工程方面取得成就。
高中阶段的竞争性学习也是一个很好的提前准备。
例如，参加物理竞赛的孩子在普通物理和高等数学方面往往有很大的优势。
化学生物学竞赛基本上是提前学习大学课程。
这样一来，孩子们进入大学后，在头两年他们将有很多时间用于更深入的学习和研究。
对于那些希望直接加分并通过比赛的学生来说，比赛就快结束了。
竞赛现在加分保送的影响范围缩小到了国家级一等奖，换句话讲，也就是孩子得考到全国前50名左右才能获得保送的资格。
算到北京也一般一科只有个位数。
所以绝大多数孩子希望渺茫。
长话短说。
如果竞争性学习的目标是行走并赢得奖励，那么这确实是一个很大的风险，所以我们应该谨慎学习。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)_PDF压缩
2
，
即 tan an
3n 2 ． 3
…………………10 分
因此
sin
a1
sin
a2
sin
am
tan sec
a1 a1
tan sec
a2 a2
tan sec
am am
tan a1 tan a2 tan am （利用①） tan a2 tan a3 tan am1
……………8 分
(2)
因 为 a = −2
b
b
，故直线
PO
的斜率
k1
2
，直线
PR
的斜率
k2
4
．设
OPR ，则 为锐角，且
PQ QR
1 1 k1k2 tan k1 k2
1 b2 b4 b b
8 b2 2 8b2 2
5 ．
8. 设 A ， B ， C ， D 是空间四个不共面的点，以 1 的概率在每对点之间连一条边，任 2
意两对点之间是否连边是相互独立的，则 A ， B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间
折线连接的概率为
．
答案： 3 ． 4
解：每对点之间是否连边有 2 种可能，共有 26 64 种情况．考虑其中 A ， B 可用折线
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
2011年清华大学金秋营数学试题及解答
2011年清华金秋营数学试题及解答1.求sinn πsin Λn π2sin nn π)1(-的值。
解：设ni n ππεsin cos +=（i 为虚数单位）,则1,)1(22,,-n εεεΛ为012=-nx 的根。
kk k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，sin n πsin Λn π2sin nn π)1(-=)1(2111)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεεΛ =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεεΛ=1)1(2422)1()1)(1(-----n n εεεΛ,而)())(()1(224222----n x x x εεεΛ=12)2(2)1(2+++--x x x n n Λ,n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεεΛ12)1(sin 2sinsin-=-∴n n n n n nπππΛ 2.定义符号Ord p (n)(其中n 为整数，p 为素数）满足：若Ord p (n)= m ，则表示p m|n,并且p1+m ҂n ,定义S p (n)表示n 在p 进制表示下各位数字之和.（1)求证：Ord p (n!)=1)(--P n S n P（2)利用（1）的结论证明：)!1(!)!2(+n n n 为整数.（3)利用（1）的结论证明：)!1()!())!1((++n mn m n 为整数.证明：（1）设n=a k p k+11--k k pa +Λ+a 0,a i ∈{0,1,Λ,p-1}则Ord p （n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞+=i p n i 1=a k p1-k +21--k k pa +Λ+a 2p+a 1 +a k p2-k +31--k k pa +Λ+a 2+Λ+a k=11--p p a k k +1111----p p a k k +Λ+1122--p p a +1111--p p a=1)()(0110111-+++-+++---p a a a a a p a p a p a k k k k k k ΛΛ=1)(--P n S n P(2)设p α||(n+1) (P 为n+1的任一素 因子) 即n+1=a k p k+ a 1-k p 1-k +Λa αp α(0≤a i ≤p-1,且1≤a α≤p-1)则n=a k p k+a 1-k p1-k +Λ+(a α-1)p α+(p-1)p1-α+(p-1)p2-α+Λ+(p-1)2n=2a k p k +2a 1-k p1-k +Λ+2(a α-1)p α+2(p-1)p1-α+2(p-1)p2-α+Λ+2(p-1)显然*∈+=+N C n C n n n n n n n 22,1)!1(!)!2(S p (n)=a k +a 1-k +Λ+(a α-1)+α(p-1)S p (2n)=2(a k +a 1-k +Λ+(a α-1))-α(p-1)-t(p-1) (t ≥0)Ord p （C nn 2)=Ord p （2n!)-2Ord p （n!)=1)2()(2--p n S n S p p =1)1()1(--+-p p t p α=αα≥+tnn C p 2|α∴, 即)!1(!)!2(+n n n *∈N .(3).由题知：若p 为n+1的素因子，且)1(||+n p α,则（p,m)=(1,(p,n))=1, 设n+1=a k p k+ a 1-k p1-k +Λa αp α(a α)1≥mn=b k p k + b 1-k p1-k +Λb 0(b 0)1≥ 则，n=a k p k+ a 1-k p1-k +Λ(a α-1)p α+(p-1)p1-α+Λ+(p-1)mn+n=(a k +b k )p k+(a 1-k +b 1-k )p1-k +Λ(a α+b α-1)p α+(b 1-α+p-1)p1-α+Λ(b 0+p-1)S p (n)=a k + a 1-k +Λ(a α-1)+α(p-1)S p (mn)=b k + b 1-k +Λb 0,10≥b Θ,S p (mn+n)=(a k +b k )+(a 1-k +b 1-k )+Λ(a α+b α-1)-)1()1(---p t p α (其中a k +b k ,a 1-k +b 1-k ,+Λa α+b α,共有t 次进位）显然1)!1()!())!1((+=+++n C n mn m n n n mn ，=∴+)(nn mn p C Ord Ord p （（mn+n)!)-Ord p （n!)-Ord p （(mn)!) =1)()()(-+-+p n mn S n S mn S p p p=αα≥+tnn mn C p +∴|α,即)!1()!())!1((++n mn m n *∈N 。
2011年清华大学金秋营数学试题及答案
y
k
n
=
k 0
a n, k x
n k
y (x+y)
k
an
1, k
an ,k
1
pan,k ,且 a k ,0 =a k,k =1
.
a n,k (2)
是以 p 为变元的整系数多项式
an
1 ,k
an,k
0
1
pan, k
1, k 2
=C 1 (a n =C 2 a n = =C
0 k 0
+pa n
1
1 1,k 1 )+C 1 (a n 1, k 1 +pa n 1, k
1 k
+C )p a n +
2 k
2
k ,2 +
+C k p an
k
k 1
an
k ,k
1 k 1
pa n
k ,1 +C
2 k 1
p an
k,2
+C k
k 1 k 1 1p
k, k
1 +C k 1
p+C
2 k 2
2
p +
+C
n k 1 n
p
n k 1
a n,k =1+C p+C
1 k
2 k 1
2
p +
)p
1,k 2
+C 2 pa n
2 1 ,k 1 +C 2
an
1, k
p
2
1 a n k 1,1 +C k
pa n
k
1, 2 +C
2 k
专题04 函数解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(原卷版)(共4页)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题目录题型一：函数概念及其性质 (1)题型二：函数的零点问题 (2)题型三：函数的应用 (3)题型一：函数概念及其性质1．(2020江苏高考·第19题)已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．(1)若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求()h x 的表达式；(2)若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；(3)若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤2．(2014高考数学上海理科·第20题)设常数0a ≥，函数()22x x a f x a+=-．(1)若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2)根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．3．(2014高考数学广东理科·第21题)设函数()f x =，其中2k <-，(1)求函数()f x 的定义域D ；(用区间表示)(2)讨论()f x 在D 上的单调性；(3)若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合(用区间表示)．4．(2015高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值．(1)证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；(2)当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值．5．(2015高考数学上海理科·第23题)对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=；(1)验证()sin3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；(2)设a b <，证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；(3)证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+．6．(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)设定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意的1x 、2x ∈R ,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤．(1)若3()1f x ax =+,求a 的取值范围;(2)若()f x 为周期函数,证明:()f x 是常值函数;(3)设()f x 恒大于零,()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数,M 是()g x 的最大值．函数()()()h x f x g x =．证明:“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．7．(2016高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知3a ≥，函数{}2()min 21,242F x x x ax a =--+-，其中,min{,},.p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩，．(Ⅰ)求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；(Ⅱ)(ⅰ)求()F x 的最小值()m a ；(ⅱ)求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．8．已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+．(1)当5a =时，解不等式()0f x >；(2)若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．题型二：函数的零点问题1．(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2．71828…为自然对数的底数．(Ⅰ)证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；(Ⅱ)记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：(ⅰ)0x ≤；(ⅱ)00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．2．(2019·上海·第18题)已知1()1=f x ax x ++()a R ∈.(1)当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；(2)若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.3．(2016高考数学江苏文理科·第19题)已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．(1)设2a =，12b =．①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；(2)若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．题型三：函数的应用1．(2020江苏高考·第17题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+．已知点B 到OO '的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中,C E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(0k >)．问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?2．(2018年高考数学上海·第19题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()()30,0301800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩单位：分钟≤，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．3．(2015高考数学上海理科·第20题)(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t (单位：千米)．甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后在原地等待，设1t t =时，乙到达C 地．ABC (1)求1t 与()1f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由．。