高一数学必修一教案《函数模型及其应用》
函数模型及应用教案
函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。
函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。
一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。
2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。
3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。
4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。
2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。
3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。
4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。
5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。
三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。
2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。
3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。
4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。
四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案
高一数学必修1《函数模型及其应用》教案教学设计一、教学目标1. 知识目标：（1）认识到函数的概念及其分类。
（2）掌握函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法。
（3）了解函数的基本性质。
（4）学会应用函数进行实际问题的解决。
2. 能力目标：（1）能够分析函数图像，判断函数的单调性和奇偶性。
（2）能够利用函数求解实际问题。
3. 情感目标：（1）了解函数在数学中的应用价值，增强数学学科的兴趣和信心。
（2）培养学生分析问题和解决问题的能力。
（3）培养学生的创新思维和实践能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：函数的符号表示、图像表示与应用。
2. 教学难点：函数模型的建立和应用题的解决。
三、教学方法1. 演示法。
通过演示，帮助学生理解函数的概念及其符号表示、图像表示和应用。
2. 实验法。
通过实验让学生探究函数的性质和应用，增强学生的实践能力。
3. 讲授法。
注重理论的概括和归纳，掌握函数的基本知识。
四、教学步骤1. 函数的概念及其分类初始练习：小组讨论，举例说明实际生活中函数的应用。
①引入函数的概念和分类，让学生观察一些常见的图像。
②讲解一元函数和多元函数的概念，引导学生理解函数的本质。
③引导学生根据一系列具体问题分类讨论实践中不同的函数：1. 一元函数：y=f(x)。
2. 二元函数：z=f(x,y)。
3. 多元函数：f(x1,x2,x3,……,xn)。
4. 隐函数：F(x,y)=0。
2. 函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法①通过实例来说明函数的符号表示和图像表示。
②掌握函数的定义域与值域的求法。
③针对各种具体问题进行训练，巩固理论知识点，引导学生学会函数的应用。
3. 函数的基本性质①单调性和奇偶性的判定。
②零点和极值的确定。
③函数的连续性和可导性。
④复合函数的构造与性质。
⑤利用函数的基本性质进行具体问题的求解。
4. 函数模型及其应用①通过实际案例引入函数模型的建立。
②通过练习加深学生对模型的理解。
高一数学必修一教学设计 3.4.2函数模型及其应用
3.4.2函数模型及其应用明目标、知重点 1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题.2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识.3.通过实例了解函数模型的广泛应用，进一步巩固函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法．1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．[情境导学]我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决一个实际问题．探究点一一次函数模型的应用例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C (万元)、单位成本P (万元)、销售收入R (万元)以及利润L (万元)关于总产量x (台)的函数关系式． 解 总成本C (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为C ＝200＋0.3x ，x ∈N *.单位成本P (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为P ＝200x ＋0.3，x ∈N *.销售收入R (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为R ＝0.5x ，x ∈N *. 利润L (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为L ＝R －C ＝0.2x －200，x ∈N *.反思与感悟 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． 跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开北京2 h 内行驶的路程．解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶时间t h 所行驶路程为120t ，所以，火车运行总路程s 与匀速行驶时间t 之间的关系是s ＝13＋120t (0≤t ≤115)．2 h 内火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233 (km)．探究点二 指数型函数模型的应用例2 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T α＝(T 0－T α)·(12)th ，其中T α表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)? 解 由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h，即14＝(12)20h，解之，得h ＝10，故T －24＝(88－24)·(12)10t，当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)10t，即(12)10t＝1164，两边取对数，用计算器求得t ≈25.4. 因此，约需要25.4 min ，可降温到35℃.反思与感悟 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解．本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要借助计算器进行计算．跟踪训练2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y ＝y 0e rt ，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解 (1)设1951～1959年的人口增长率分别为r 1，r 2，…，r 9.由55 196·(1＋ r 1) ＝ 56 300，可得1951年的人口增长率r 1≈0.020 0.同理可得，r 2≈0.021 0，r 3≈0.022 9，r 4≈0.025 0，r 5≈0.019 7，r 6≈0.022 3，r 7≈0.027 6，r 8≈0.022 2，r 9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r ＝(r 1＋r 2＋…＋r 9)÷9≈0.022 1.令y 0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y ＝55 196e 0.022 1t ，t ∈N .根据表中的数据作出散点图，并作出函数y ＝55 196e 0.022 1t (t ∈N )的图象．由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合． (2)将y ＝130 000代入y ＝55 196e 0.022 1t ，由计算器可得t ≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．探究点三 二次函数模型的应用例3 在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台(x ∈N *)的收入函数为R (x )＝3 000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？ 解 由题意知，x ∈[1,100]，且x ∈N *.(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝3 000x －20x 2－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000， MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000－[－20x 2＋2 500x －4 000] ＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20x 2＋2 500x －4 000＝－20(x －1252)2＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )的最大值为74 120元．因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )的最大值为2 440元．因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值． 反思与感悟 数学应用题的一般求解程序：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论；(4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．跟踪训练3 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，∴租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x (x ≥3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 00050)(x －150)－x －3 00050×50，整理后得：y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，∴当x ＝4 050时，y 的最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．1．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为________．答案 y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) 解析 由题意得：y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x ) ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)．2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24)．∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.3．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 将x ＝3分别代入y ＝x 2＋1及y ＝3x －1，得y ＝32＋1＝10，y ＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．4．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少x2，则面积最大．此时x ＝________，面积S ＝________.答案 1 252解析 根据题目条件0<x2<3，即0<x <6，所以S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2 ＝－12(x 2－2x －24)＝252－12(x －1)2(0<x <6)．故当x ＝1时，S 取得最大值252.[呈重点、现规律]解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.一、基础过关1．一等腰三角形的周长为20，底边y 是关于腰x 的函数，它的解析式为__________________． 答案 y ＝20－2x (5＜x ＜10)解析 由题意得2x ＋y ＝20，所以y ＝20－2x . ∵y ＞0，∴20－2x ＞0，∴x ＜10. 又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞y ，y ＝20－2x ，解得x ＞5，∴5＜x ＜10.2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元． 答案 300解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为________元． 答案 42解析 设每天获得的利润为y 元，则 y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432， ∴当x ＝42时，获得利润最大，应定价为42元．4．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费S (元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元． 答案 10解析 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ；当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150分钟时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元)．5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． 答案 45.6解析 依题意，可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0且x ∈N )． ∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．6．已知某皮鞋厂一天的生产成本C (元)与生产数量n (双)之间的函数关系是C ＝4 000＋50n .若每双皮鞋的售价为90元，且生产的皮鞋全部售出．则每天至少生产________双皮鞋，才能不亏本． 答案 100解析 由题意得：P ＝90n －(4 000＋50n )＝40n －4 000(n ∈N *)． 要不亏本，必须P ≥0，解得n ≥100. 故每天至少生产100双鞋，才能不亏本．7.为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48. 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54； 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56. 由于56与53.9的误差较大， ∴选y ＝ax ＋b 较好． 二、能力提升8．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．9．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm 2. 答案 2 3解析 设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm. ∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥2 3. 10．已知甲、乙两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s 表示为时间t 的函数，则此函数表达式为____________________________． 答案 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5＜t ＜3.5)325－50t (3.5≤t ≤6.5)解析 当0≤t ≤2.5时s ＝60t ，当2.5＜t ＜3.5时s ＝150，当3.5≤t ≤6.5时s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t ，综上所述，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150 (2.5＜t ＜3.5)，325－50t (3.5≤t ≤6.5).11．某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6 000包，每包进价为2.8元，销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 包，已知每次进货运输费为62.5元，全年保管费为1.5x 元，求使利润最大的x 的值，并求出最大利润？ 解 设获得利润为y 元，则y ＝(3.4－2.8)×6 000－6 000x×62.5－1.5x＝－1.5(x ＋400×625x)＋3 600，(x ∈N *,0＜x ≤6 000)．由于函数g ＝x ＋400×625x 在(0,500]上递减，在[500，＋∞)上递增，所以x ＝500时，g min ＝1000.所以y max ＝－1.5×1 000＋3 600＝2 100(元)．答 每次进货均为500包全年利润最大，最大利润为2 100元．12.在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解 设每件棉衣日租金提高x 个5元，即提高5x 元，则每天棉衣减少6x 件，又设棉衣日租金的总收入为y 元． ∴y ＝(50＋5x )×(120－6x )， ∴y ＝－30(x －5)2＋6 750 ∴当x ＝5时，y max ＝6 750，这里每件棉衣日租金为50＋5x ＝50＋5×5＝75(元)，∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元． 三、探究与拓展13.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨． (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增；当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)<26.4；当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)<26.4；当x ∈(43，＋∞)时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5(吨)； 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5(吨)， 付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).。
高一数学《函数模型及其应用》教案
高一数学《函数模型及其应用》教课设计函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.认识解实质应用题的一般步骤;2.初步学会依据已知条件成立函数关系式的方法;3.浸透建模思想，初步拥有建模的能力.自学评论1.数学模型就是把实质问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反应或近似地反应实质问题，得出对于实质问题的数学描绘 .2. 数学建模就是把实质问题加以抽象归纳成立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的重点.3. 实质应用问题成立函数关系式后一般都要观察定义域.【精模典范】例 1.写出等腰三角形顶角 (单位：度 )与底角的函数关系 . 例 2.某计算机企业企业生产某种型号计算机的固定成本为万元 ,生产每台计算机的可变为本为元,每台计算机的售价为元 .分别写出总成本(万元 )、单位成本(万元 )、销售收入(万元 )以及收益(万元 )对于总产量(台 )的函数关系式.剖析：销售收益销售收入成本,此中成本(固定成本可变成本 ).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是 ,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。
为什么?仍是没有完全“记死”的缘由。
要解决这个问题 ,方法很简单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。
能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。
这样 ,一年便可记 300 多条成语、300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。
这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。
单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。
看与说是一致的，看禁止就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的察看能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在察看事物、察看生活、察看自然的活动中，累积词汇、理解词义、发展语言。
高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计
人教版数学必修①3.2 函数模型及其应用【课时安排】第4 课时【教学对象】高一学生【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】知识与技能（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；（2）掌握框图2——数学建模的过程。
过程与方法（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；情感态度价值观（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
教学手段】计算机、PPT、几何画板。
教学过程设计】、教学流程设计1：教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图（五）最优解的探究：预计时间7 分钟我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的横截面积。
如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方案进行设计，结果又如何呢？教师将学生分成五个小组，并巡视指导学生解决问题。
由于缺少导数工学生动手探究各自的设计方案1、让学生经历数学建模中的优化过程；2、培养学生的探究意识。
数学建模过程：预计时间2 分钟引导分析讲解听讲思考这一实际问题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。
下面，我们将全班分成 5 个小组，分别探 究五个方案的设计。
高中数学人教A版必修1教案-3.2_函数模型及其应用_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标解应用题的一般思路2. 教学重点/难点解应用题的一般思路3. 教学用具4. 标签教学过程2.解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。
(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。
3．常见函数模型(1)应用的模型解决有关增长率及利息等问题。
(2)分段函数模型。
(3)应用二次函数模型解决有关最值问题。
(4)数列模型。
二．题型剖析例1：书P30例1。
（增长率）练习．（成才之路P99变式2）某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。
（1）根据题中条件填空，m= （元/担）（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。
解:设平方和为y例2：书例2（分段函数）例3：书例3（二次不等式）练习（基本不等式）：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为3150px2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？三．小结1．解应用题的一般步骤：审题、建模、求模、作答2．常见函数模型及应用。
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计
人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计一、教学目标1.理解函数模型的概念，并掌握基本函数模型的构成和性质；2.掌握函数模型在实际问题中的应用方法；3.学会使用函数模型解决实际问题。
二、教学重点1.函数模型的构成和性质；2.函数模型在实际问题中的应用方法；3.使用函数模型解决实际问题的能力。
三、教学难点1.函数模型的抽象概念；2.函数模型在实际问题中的应用方法的理解和掌握；3.解决实际问题的能力培养。
四、教学内容和教学方法1. 教学内容本节课的教学内容是函数模型及其应用，其具体包括如下几个方面。
(1) 函数模型的概念•函数的定义；•函数的性质；•基本函数模型的构成和性质。
(2) 函数模型在实际问题中的应用•通过实际问题建立函数模型；•利用函数模型解决实际问题；•利用函数模型进行分析和预测。
2. 教学方法本节课的教学方法包括如下几种。
(1) 导入新知识引入新知识需要考虑让学生能够以不同的方式理解和掌握知识点。
推荐以下两种方式：•讲授法：通过讲解、演示、PPT等方式，向学生介绍函数模型及其应用的基本概念；•互动式教学法：引导学生进行讨论和思考，提高学生对知识的探究和理解能力。
(2) 训练实际应用能力针对练习实际应用能力的训练，可以采用以下方式：•例题讲解法：通过讲解一些有代表性的例题，引导学生了解函数模型的实用性；•自主创作法：鼓励学生尝试自行分析实际问题，创作并解决问题。
(3) 评估学习效果通过考试和检测学生的作品，了解学生掌握知识和应用能力的程度，为后续教学打好基础。
五、教学步骤1. 教师引入通过PPT、讲课、互动等方式，向学生介绍函数模型和应用的基本概念，引导学生开始对新知识感兴趣并逐渐理解。
2. 学生探究将学生分为小组，给每个小组分配一组实际问题，让他们分析并在小组内讨论问题的解决办法，然后将结果展示给全班。
3. 老师讲解针对学生提出的问题和讨论，教师进行针对性的讲解，帮助学生掌握和理解函数模型的应用方法。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)
函数模型及其应用一、教学目的1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程第一课时几类不同增长的函数模型1、复习引入师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。
今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课（用幻灯片展示例题）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1）每天回报40元；2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）教师提示：1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
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高一数学必修一教案《函数模型及其应用》心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其应用》》希望对你的学习有帮助！建立函数模型刻画现实问题函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。
在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。
;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。
同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。
因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。
在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。
(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.(2)了解函数模型的广泛应用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用建立函数模型刻画现实问题中数据的处理通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验针对上述可能出现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应该是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验.多媒体辅助教学(ppt、计算机)。
教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.教学内容师生活动设计意图探究新知引入：教师：大家觉得我胖吗?学生回答教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡量一个人的胖瘦一般是以自己或是他人为标准的，那么我们还见过一些用来计算人胖瘦的式子，目前全世界都使用体重指数(BMI)来衡量一个人胖或不胖：体重/身高?(以米为单位)BMI在18.5-22.5时属正常范围，BMI大于22.5为超重，BMI大于30为肥胖。
教师在黑板上计算一下自己的结果。
那既然能用一个式子来计算，说明我们可以把这个问题用数学知识来解决，要得到这个式子之类的标准，我们能用一个人的身高和体重来确定吗?学生回答教师：当然是找的人越多越好，那我们在课上先少找几个人来研究一下吧，每个小组选一个同学说一下你的身高和体重吧学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?学生回答(预期:画散点图——连线——找函数)教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合学生活动并回答教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析式，那几个小组来计算那个函数解析式……学生分小组活动……教师:(把学生算出的式子写在黑板上)大家计算出的解析式为什么会不完全相同呢?学生回答教师:我们计算的函数解析式是不是都可以用来刻画这个问题呢?学生回答教师:我们要怎么样来检验呢?学生回答(代入其它的点来验证)教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况学生分小组进行检验教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。
由此可见，所建立的模型是大体符合实际情况,看来老师是真得要下定决心减肥了.教师由生活中常见到的现象引出问题，并引导学生进行思考学生合作探究、动手实践，借助小组利用数据表格来确定可行的函数模型，并展示自己的结果教师引导学生对结果进行检验学生通过计算器与作图,利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点并突破难点通过日常生活的例子引出本节主要内容，来提高学生本节课学习的兴趣,提高小组学习的效率学生利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点的框架:函数刻画实际问题的基本过程.从而实现教学目标1,3,4 课堂小结教师:我们一起来回忆一下刚才解决问题的过程(引导学生集体回答)得出：函数建模刻画现实问题的基本过程：(教师用PPT 展示)教师:①下面大家把自己的数据输入计算一下你的情况是什么样的②大家在课下可以利用研究性学习的时间,调查一下全年级的同学的身高和体重来研究一下,并进一步体会函数建模来刻画现实问题的基本过程教师用PPT展示函数建模刻画现实问题的基本过程教师留下一个扩展性作业，让学生课后完成学生通过探究从而巩固教学目标1,2,3,4.并形成本节重点.把问题进行拓展，让学生去亲身体会函数建模刻画现实问题的基本过程,从而巩固了本节教学目标课后反思一考纲要求。
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2.搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．高考趋势。
函数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用题的主要类型之一，也是高考考查的重点内容。
三．要点回顾解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解。
其解题步骤如下：1.审题2.建模3.合理求解纯数学问题。
4.解释并回答实际问题。
四．基础训练。
1．在一定的范围内，某种产品的购买量吨与单价元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该是2.根据市场调查，某商品在最近10天内的价格与时间满足关系销售量与时间满足关系则这种商品的日销售额的值为.3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向公司交元的管理费，预计当每件产品的售价为元,则围成矩形场地面积为。
5.某建筑商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按右表折扣分别累计计算。
可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5％超过500元的部分10％某人在此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，则关于的解析式为；若元，则此人购物总金额为元。
6.在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA,由B点向A点移动，设P点移动的路程为，的面积与点P移动的路程间的函数关系式为五．例题精讲。
例 1.某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积？种植面积是多少？例2.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出车将增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，两者都由租赁公司支付。
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，公司的月收益？月收益是多少？例3.某城市现有人口100万人，如果每年自然增长率为1.2﹪，试解答下面问题(1)写出城市人口总数与年份的函数关系式(2)计算10年以后该城市人口总数(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人六.巩固练习：.1.铁路机车运行1小时所需的成本由两部分组成：固定部分元，变动部分与运行速度的平方成正比，比例系数为，如果机车匀速从甲站开往乙站，甲，乙两站间的距离为500千米，则机车从甲站运行到乙站的总成本与机车的速度之间的函数关系为2.某公司有60万元资金，计划投资甲，乙两个项目，按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不少于5万元，对项目甲投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划后，在这两个项目上共可获得的利润为3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得利润，售价应定为4.某地每年消耗木材约20万立方米，没立方米木料价格为240元，为了减少木材消耗，决定按木料价格的％征收木材税，这样每年木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则的取值范围为5.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76％，设质量为1的镭经过年后的剩留质量为，则与之间的函数关系为6.某公司一年共购买某种货物400吨，每次购买吨，运费为4万元／吨，一年总储存费用4万元，要使一年的总运★精品文档★费与总储存费用之和最小，则=.用总长为14.8的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器有一边比另一边长0.5，则它的容积为8.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量与每吨产品的价格之间的关系式为：，且生产吨的成本为，问该产品每月生产吨才能使利润达到，利润是万元9.有甲，乙两种产品经营销售这两种商品所获得的利润依次是和它们与投入的资金的关系，有经验公式，。