单调性与最大(小)值时函数的最大值最小值
函数的最大值和最小值的求解方法[1]
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根 A.有且只有一个
B.有2个
（） C
C.至多有一个
D.以上均不对
解析 ∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函 数探的究最提值高解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分 离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,则 由于当x>1时，f(x)<0,
x1 1, x2
所因所以此以f函(x数1)ff<((fx(xx)x12在2)),区即间0f((,0x1,)+-∞f()x上2)<是0,单调递减函数.
（3）由
知能迁移2 函数y=
log
1
(2x的2 递3减x区间1)为
（）
2
A
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
解析( 1作,出t=)2x2-3x+1的示意
(, 3]
[
3
4 ,)
图如图2所示，
4
新教材高中数学3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大值、最小值教师用书人教A版必修一
第2课时 函数的最大值、最小值问题导学预习教材P79－P81，并思考以下问题：1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？1．函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．函数的最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． ■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词(1)∃(存在)M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最小值是0，有f (0)＝0.(2)∀(任意)最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值为1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2 D.12，2 答案：C函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：选A.结合函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2＋2在(0，＋∞)上是增函数， 又因为x ∈N *，所以当x ＝1时，y min ＝2×12＋2＝4.答案：4图象法求函数的最值已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）.(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值． 【解】 (1)函数的图象如图所示．由图象可知f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f (0)＝－1.图象法求最值的一般步骤1．函数f (x )在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－2，f (2)B ．2，f (2)C ．－2，f (5)D ．2，f (5)解析：选C.由函数的图象知，当x ＝－2时，有最小值－2；当x ＝5时，有最大值f (5)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x （0≤x ≤2），2x －1（x >2），求函数f (x )的最大值和最小值．解：作出f (x )的图象如图．由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.利用函数的单调性求最值已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )是增函数．证明如下： ∀x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2），因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．[注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝x 2＋1x.(1)判断函数f (x )在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数f (x )在[－3，－1]上的最大值． 解：(1)函数f (x )在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x 1＜x 2≤－1，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 2x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2，由－3≤x 1＜x 2≤－1可得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， 即有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 可得f (x )在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数f (x )在[－3，－1]上递增， 所以f (x )的最大值为f (－1)，即为－2.函数最值的应用问题某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N . (2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大，最大利润为3.6万元．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)解：设摊主每天从报社买进x (180≤x ≤400，x ∈N )份晚报，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188，180≤x ≤400，x ∈N .因为函数y ＝－0.6 x ＋1 188在180≤x ≤400，x ∈N 上是减函数，所以x ＝180时函数取得最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．1.函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)解析：选B.观察函数图象知，f (x )的最大值、最小值分别为f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：选D.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x <0），画出f (x )的图象可知(图略)，f (x )既无最大值又无最小值．3．若函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________．解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数， 所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4. 答案：44．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程为x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． 所以f (x )在[1，2]上递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．[A 基础达标]1．函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2D ．3解析：选B.函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.2．(2019·河南林州一中期末考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1－x 2＋2，x <1的最大值为( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.3．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C.当a ＞0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2， 所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．函数f (x )＝2－3x在区间[1，3]上的最大值是________．解析：因为f (x )＝2－3x在[1，3]上为单调增函数，所以f (x )的最大值为f (3)＝2－1＝1.答案：16．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________． 解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是直线x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3， 解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：67．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______m.解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值18.答案：38．求函数y ＝f (x )＝x 2x －3在区间[1，2]上的最大值和最小值．解：∀x 1，x 2，且1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22（x 1－3）（x 2－3）＝（x 2－x 1）[3（x 1＋x 2）－x 1x 2]（x 1－3）（x 2－3），因为1≤x 1<x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4， 即6<3(x 1＋x 2)<12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0，x 1－3<0，x 2－3<0， 故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1，2]上为减函数，y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)若y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为x ∈[－5，5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1， 当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为直线x ＝－a . 因为f (x )在[－5，5]上是单调的， 故－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.[B 能力提升]10．设f (x )为y ＝－x ＋6和y ＝－x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知f (x )的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为6. 答案：611．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y )；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润．12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数； (2)求f (x )在[－3，3]上的最小值． 解：(1)证明：∀x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调递减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上也是减函数，所以f (x )在[－3，3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3，3]上的最小值是－2.[C 拓展探究]13．请先阅读下面材料，然后回答问题．对应问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．所以当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．(2)试研究函数y ＝1x 2＋x ＋2的最值情况． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，试研究其最值的情况． 解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0.正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4.当0＜u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14； 当u ＜0时，1u＜0，即f (x )＜0. 所以f (x )＜0或f (x )≥14. 即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)因为x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74， 所以0＜y ≤47，所以函数y ＝1x 2＋x ＋2的最大值为47⎝⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时，没有最小值． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)． 令u ＝ax 2＋bx ＋c ，①当Δ＞0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a＜0； 当4ac －b 24a ≤u ＜0时.1u ≤4a 4ac －b 2， 即f (x )≤4a 4ac －b 2； 当u ＞0时，即f (x )＞0.所以f (x )＞0或f (x )≤4a 4ac －b 2， 即f (x )既无最大值，也无最小值．②当Δ＝0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＝0，结合f (x )＝1u知u ≠0， 所以u ＞0，此时1u＞0，即f (x )＞0， f (x )既无最大值，也无最小值．③当Δ＜0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＞0，即u ≥4ac －b 24a＞0. 所以0＜1u ≤4a 4ac －b 2， 即0＜f (x )≤4a 4ac －b 2， 所以当x ＝－b 2a 时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，f (x )既无最大值，也无最小值．当Δ＜0时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2， 此时x ＝－ b 2a)，没有最小值．。
《单调性与最大(小)值》课标解读
《单调性与最大（小）值》课标解读教材分析本节的主要内容是函数的单调性、函数的单调区间、增函数与减函数、函数的最大值与最小值.函数的单调性是本节的重要内容，研究函数的单调性在高中阶段通过两次来进行，第一次是利用函数单调性的定义，第二次利用导数来研究.通过图形观察，了解函数的单调性，体会函数自变量的变化引起函数的值变化规律，能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质，在动态中感悟x与y之间的变化关系。
本节的重点是函数单调性的定义，难点是函数单调性的证明与应用.突破重点与难点的关键，首先是理解其含义，其次要结合具体实例进行体会，要结合函数图象的直观意义去理解.本节内容所涉及的主要数学核心素养有：直观想象、数学抽象、数学运算等. 学情分析对学生而言，前面已经学习了函数的概念，在初中已经掌握了正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象.初中学段的学习只是谈到函数图象的变化趋势，还没有上升到函数的性质，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的.学生学习本节内容时可能会在以下两个方面感到困难：一是增（减）函数形式化定义的形成，这个困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解；二是利用增（减）函数的定义判断函数的单调性，其主要原因是比较大小的能力不够，因此对函数的复杂程度要加以控制，同时要明确判断函教单调性的基本步骤.教学建议函数的单调性描述了函数的整体特征，观察函数图象时，首先要注意的是图象的上升或下降（单调性），然后是图象在某些特殊位置的状态（如最大值或最小值、零点）.但是由函数图象直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以论证.在内容处理上，教师要充分利用函数图象，让学生观察图象获得对函数基本性质的直观认识，这样处理体现了直观想象的数学核心素养.教学时，要特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概况过程，并要引导学生用数学语言表达出来.这往往是形成数学概念，培养学生探究能力的契机，体现了数学抽象的核心素养.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以缩短学生画函数图象的时间，使学生有更多的时间用于思考、探究函数的单调性等性质.第1课时 函数的单调性学科核心素养目标与素养1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.理解用符号形式表达数学定义的必要性，掌握这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间，达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次.4.理解增（减）函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性，达到数学运算核心素养学业质量水平三的层次.情境与问题1.案例一以复习“函数的概念及表示法，全称量词与存在量词的写法”引入，引导学生复习相关内容，为研究函数的性质做准备.2.案例二以阅读教材内容，回答问题：“函数2()f x x 的图象如图，观察其变化规律，指出图象中体现的x ，()f x 之间的变化关系是什么”引入，引导学生探求新知，掌握新知.内容与节点函数的单调性是函数性质的重要内容，增函数、减函数、单调区间是研究函数的重要特征，需要熟练掌握.过程与方法1.理解运用由特殊到一般，由具体到抽象，由图形语言和自然语言到符号语言表达的过程，发展学生的数学抽象素养.2.在把握函数单调性定义时，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，发展学生的逻辑推理素养.3.在函数单调性证明的过程中，发展学生的数学运算素养.教学重点难点重点借助图象、表格和自然语言、数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单的问题.难点在形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性.第2课时函数的最大（小）值学科核心素养目标与素养1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题的能力，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.理解函数最值的定义，会求函数在给定区间上的最值，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.情境与问题复习函数的单调性，并创设情境：观察本节的图，可以发现，二次函数2的图象上有一个最低点(0,0)，对于这个最低点我们如何来进行描述呢f x x()如果二次函数的开口向下，有没有最高点呢引导学生探求新知，通过思考问题，引出新知，掌握新知，达成要求的核心素养学业质量水平.内容与节点函数的最大（小）值，是在学习了函数的单调性之后进行学习的内容，由此可见研究函数的最值不能仅靠观察最高点与最低点的方法，还要通过函数单调性的方法来进行，最大（小）值是函数较重要的特征，需要熟练掌握.过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，发展学生的直观想象素养.2.通过探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确，发展学生的数学抽象与数学运算素养.3.通过对生活中的最值问题研究的过程，理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象.教学重点难点重点函数最大（小）值的定义和求法.难点如何求一个具体函数的最值.。
函数单调性和最大值最小值
考点二 求函数的单调区间 1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性． (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定 义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象给出的，或 者 f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性 写出它的单调区间． (4) 导数法：利用导函数取值的正负确定原 函数的单调区间．
②由 x2－3x＋2≥0 得 x≥2 或 x≤1 设 u(x)＝x2－3x＋2，则 y＝1－ u x∈(－∞，1]时，u(x)为减函数 x∈[2，＋∞)时，u(x)为增函数 而 u≥0 时，y＝1－ u为减函数 ∴y＝1－ x2－3x＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区 间为[2，＋∞)． ③y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) 令 y′>0 得 x>1 或 x<－1，
5．(2010 年江苏省苏北四市期末联考模拟试题)函数 y＝ x2＋2x－3的单调减区间是________．
解析：∵y＝ x2＋2x－3，∴x2＋2x－3≥0，∴x∈(－∞， －3]∪[1，＋∞)， ∴y＝ x2＋2x－3的单调减区间为(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
考点一 函数单调性的判断与证明
由 y′<0 得－1<x<1，
∴y＝x3－3x 的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间 为(－1,1)．
1 变式迁移 2 (2010 年天津模拟)求函数 y＝log (－x2－2x 2 ＋3)的单调区间．
解析：由－x2－2x＋3>0，得－3<x<1， 1 所以函数 y＝log (－x2－2x＋3)的定义域是{x|－3<x<1}． 2 又函数 μ＝－x2－2x＋3 在区间(－3，－1)上单调递增，在 区间(－1,1)上单调递减，由复合函数单调性的判定方法知函数 1 y＝log (－x2－2x＋3)的单调递减区间是(－3，－1)，单调递增 2 区间是(－1,1)．
调性与最大(小)值第2课时函数的最大值、最小值
请同学们仿此给 出函数最小值的
定义
6
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高 点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函 数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都 有f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高 点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无 最高点时，我们就说这个函数没有最大值.
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17
由二次函数的知识，对于函数
h(t) 4.9t我2 们1有4.7：t 18
当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2 (4.9)
h 4 (4.9) 18 14.72 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这 时距地面的高度约为29m.
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7
探究点2 函数的最小值 观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
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8
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象 上最低点的纵坐标叫什么名称？ 提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中 的最小值,即函数的最小值.
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思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？ 提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在 x0∈A,使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) ,那么称f(x0) 为函数y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0).
2021/4/2123来自2. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间 (-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( D)
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)教学设计 - 高一数学 人教A版2019 必修第一册
《3.2.1单调性与最大（小）值》教学设计第2课时函数的最值教材内容：函数的最大、最小值与函数的单调性有着密切的关系。
通常要想求出函数的最大、最小值，首先要求出函数的单调性。
本节课是对函数的单调性内容的进一步深化，也是对值域这一函数性质的进一步学习。
同时，本节课所展现出的极限的数学思想对于接下来学习幂函数、函数的实际应用也有着不可替代的作用。
教学目标：1.理解函数的最大(最小)值及几何意义，培养学生数学抽象的核心素养；2.利用图象、单调性求最值，提升直观想象和数学运算的核心素养；3.会利用单调性解决比较大小、解不等式等问题，提升逻辑推理的核心素养。
教学重点与难点：1.重点：函数最值的定义；函数最值的求法。
2.难点：单调性求最值；讨论二次函数的最值问题．教学过程设计：（一）新知导入1. 创设情境，生成问题科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？【提示】气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。
2.探索交流，解决问题【探究1】观察下列两个函数的图象,回答有关问题:【问题1】比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?【提示】图①中函数y=−x2的图象上有一个最高点;图②中函数y=-x的图象上没有最高点.【问题2】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R,都有f(x)≤f(0)，f(0)是最大值。
【探究2】观察下列两个函数的图象,回答有关问题.【问题3】比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?【提示】图①中函数y=x2的图象有一个最低点.图②中函数y=x的图象没有最低点.【问题4】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R都有f(x)≥f(0)，f(0)是最小值。
【设计意图】通过探究，引导学生直观感受函数的最大值是函数图象的最高点纵坐标，最小值是函数图象最低点的纵坐标，并尝试用数学语言表示函数的最值，提高学生用数形结合的思维方式思考并解决问题的能力。
3.2.1函数单调性与最大(小)值-第2课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
3．函数 f(x)＝ ，x∈[ 1,2] ，则 f(x)的最大值为________，
x
最小值为________．
【答案】1 ,
1
【解析】∵f(x)＝ 在区间[ 1,2] 上为减函数，
x
1
∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即 ≤f(x)≤1.
2
二、知识回顾
函数最大值与最小值
最大值
最小值
＝
.
x1x2
x1x2
∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理 f(x)在[ 2,4] 上是增函数．
∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5.
题型三 函数最值的实际应用
【规律方法】
解实际应用题的四个步骤
1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量
的条件关系.
2建模：建立数学模型，列出函数关系式.
3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取
值范围.
4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
【跟踪训练】
3．将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这
1
D. ，2
2
【答案】C
【解析】由图可知，f( x)的最大值为 f( 1)＝2，f(x) 的最小
值为 f(－2)＝－1.
2．设函数 f(x)＝2x－1(x<0)，则 f(x)(
)
A．有最大值
B．有最小值
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求函数 f (x) 3x 在区间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9，最小值是-3.
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1.（2012·洛阳高一检测）函数f(x)=x2+4ax+2在区间
(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( D )
(A)a≥3
(B)a≤3
(C)a≥-3
4
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点 处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数 f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有 f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点时， 我们就说这个函数有最大值.当函数图象无最高点时， 我们就说这个函数没有最大值.
h(t) 4.9t2 1我4.们7t有：18
当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2 (4.9)
h 4 (4.9) 18 14.72 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m.
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例4.已知函数 f (x) 2 (x [2,6]) ，求函数f(x)的最大 x 1
第2课时 函数的最大值、最小值
1
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点） 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）
2
观察下列函数的图象，找出函数图象上的最 高点或者最低点处的函数值.
最低点处的函数值是0.
最高点处的函数值是0.
3
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点 处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数 f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有 f(x)≥f(0). 最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低 点时，我们就说这个函数有最小值.当函数图象没有最低 点时，我们就说这个函数没有最小值.
值和最小值。 分析：这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正 值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的 增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上是减函数， 因此这个函数在定义的两个端点上取得最值.
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2
则f
( x1)
f
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5.求函数 f (x) x2 2ax 在区间[0,4]上的最小值.
( x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1) .
( x1 1)( x2 1)
( x1 1)( x2 1)
单调性求最 值
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由2 x1 x2 6, 得x2 x1 0, (x1 1）(x2 1) 0,
于是f (x1)所以，函数 f（x）=是2区间[2,6]上的减函数.
（1）对任意的 x I ，都有 f (x) N ；
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) N . 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
7
探究点2 对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M.并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
x-1
因此，函数 f（x）=在2区间[2,6]的两个端点上分别取得最大
x-1
值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在 x=6时取得最小值，最小值是0.4.
【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然 后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程 分为两个部分，证明函数在[2，6]上是减函数，求这个函 数的最大值和最小值.
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探究点1 函数最大（小）值的定义
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
请同学们仿此 给出函数最小
值的定义
6
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果存在实数N满足：
9
分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意 就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值， 以及这个最大值是多少.
解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐 标就是这时距地面的高度.
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由二次函数的知识，对于函数
最大值M.如函数 f (x) x, x (1,1) ,虽然对定义域上
的任意自变量都有 f (x) 1 ，但1不是函数的最大值.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函 数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小 的函数值.
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探究点3 例题解析
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时 间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出 后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多 少（精确到1 m）？
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等， 今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值
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4.求函数f(x)=kx+2在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一 次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答. 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
(D)a≤-3
2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2,
+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为__[_2_1_,_4_9_]____.
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3.求函数 f (x) x2在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减 函数，在区间(0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取 得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的. 【答案】最大值是9，最小值是0.