第四次实验最佳平方逼近
最佳平方逼近方法
2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数肖夏， 29，R数学12-1班一、算法理论设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a,b]上的连续函数，并且在[a,b]上线性无关。
以此函数组为基，生成空间C[a,b]上的一个子空间H =Span{φ0,φ1,…，φm }则H 中的任意一个元素为p (x )=∑c j φj (x )mj=0对空间C[a,b]的任意两个函数f ，g ，定义内积(f,g )=∫ω(x )f (x )g (x )dx ba对于给定的函数f(x)∈C[a,b]，若p ∗(x )∈H ，满足(f −p ∗,f −p ∗)=min p∈H (f −p,f −p )则称p ∗(x )为子空间H 中对于f(x)的最佳逼近平方元素。
特别地，若φj (x )=x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ∗(x )∈H ，为函数f (x )在区间[a,b]上带权ω(x )的m 次最佳平方逼近多项式。
设f(x)∈C[a,b]，p ∗(x )∈H 是子空间H 中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(f −p ∗,φj )=0，(j =0,1,…,m)或对于任意一个p (x )，总有(f −p ∗,p )=0。
求最佳平方逼近元素p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0，只要求出c k ∗。
因(f −p ∗,φj )=(f,φj )−∑c k ∗(φi ,φj )=0mk=0得∑c k ∗(φi ,φj )=(f,φj )mk=0得((φ0,φ0)⋯(φ0,φm )⋮⋱⋮(φm ,φ0)⋯(φm ,φm ))(c 0∗⋮c m ∗)=((f,φ0)⋮(f,φm )) 求出c k ∗，带入p ∗(x )=∑c k ∗φk (x )m k=0即可。
二、算法框图三、算法程序function S=abc(n,a,b) //创建一个函数，里面填入次数，和区间范围base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义quan=inline('1','x');for k=1:(n+1)for j=1:(n+1)syms xl(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b); endy(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是f(x) endl;y';c=vpa(inv(l)*y',3)p=0;for i=1:(n+1)p=p+c(i)*base(x,i);endp四、算法实现例1.求f (x )=√x 2+1在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
3_最佳平方逼近问题
( 0 , * f ) 0 * ( 1 , f ) 0 ( , * f ) 0 n
yfnie@
5
几何意义
平方逼近误差
f
*
* *
2 2
( f , f )
* *
*
( , ) 2 ( , f ) ( f , f )
yfnie@
8
基于正交基的最佳平方逼近（续）
( 0 , f ) ( 1 , f ) ( n , f ) * C , , , ( , ) ( , ) ( n , n ) 0 0 1 1
*
T
( 0 , f ) ( 0 , 0 )
)
3
0
平方误差计算
直接计算：
b a
* 2x a b sin x 2 ( ) dx ba
2 1
2
间接计算：
ab ba ba * 1 sin( 2 t 2 ) 2 ( t ) dt 2
yfnie@ 16
求 (x ) c 0 0 c 1 1 c n n , 使 得
* * * *
n n n n * * f c i i , f c i i min f c i i , f c i i . i0 i0 ci R i0 i0
c0 ( f , 0 ) c1 ( f ,1 ) cn ( f , n )
即 { i } i 0 是线性空间
的一组正交基。
T
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近是一种数学方法，用于逼近一个函数或数据集。
这种方法通过选择一个简单的函数（如多项式）来逼近目标函数或数据集，使得逼近误差的平方和最小。
最佳平方逼近的误差是指逼近函数与目标函数之间的误差。
这个误差可以通过最小化逼近误差的平方和来获得。
具体来说，对于一个给定的数据集，我们可以选择一个多项式函数来逼近它。
然后，我们可以通过最小化逼近函数与数据集之间的平方误差来找到最佳的逼近多项式。
最佳平方逼近的误差可以通过以下步骤计算：
确定逼近函数的形式，例如多项式函数。
确定逼近函数的系数，使得逼近函数能够最佳地逼近目标函数或数据集。
计算逼近函数与目标函数或数据集之间的平方误差。
最小化平方误差，以获得最佳的逼近效果。
最佳平方逼近的误差通常是一个衡量逼近效果好坏的指标。
如果误差较小，则说明逼近效果较好；如果误差较大，则说明逼近效果较差。
在实际应用中，我们通常会选择一个合适的逼近函数和系数，以使得逼近误差最小化。
研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 6 15
可知
q1(t)
2 3
L0 (x)
6 15
L1 ( x)
2 3
6 15
t,
1 t 1
把 t =2x-1代人 q1(t) 得 x 在区间[0，1]上的一次最佳平方 逼近多项式
p1(t)
2 3
6 15
(2x
1)
4 15
12 15
m
m
[ * ( xi )
i 1
yi ]2
min ( x )
[ ( xi )
i 1
yi ]2
其中 (x) 为函数类Φ 中任意函数。
因此，用最小二乘法解决实际问题包含 如下2个基本环节：
（1）确定函数类Φ ，即确定 (x) 的形式。 这不是一个单纯的数学问题，还与其
12 15
所求的最佳平方逼近元素为
p(x) 4 12 x, 15 15
0 x 1
二、正交函数系在最佳平方逼近中的应用 对于一般的基底 0 (x),1(x),,n (x)
当 n 较大时，计算法方程中的 (k , j ) 以及求解法方程的计算量都是很大的。 1, x, x2 ,, xn 作基底，当ρ(x)≡1时， 虽然 (k , j ) (xk , x j ) 容易计算，但由此形成 的法方程系数矩阵G在 n稍大时是病态矩阵， 在计算机上求解法方程，其结果不太可靠。
§6 函数的最佳平方逼近 一、最佳平方逼近的概念与解法
用简单函数 p (x)去近似一个给定区间[a， b]上的连续函数 f (x)，是函数逼近要研究的 问题。度量逼近误差标准有许多种，这里 介绍一种称为平方逼近的函数逼近。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
最佳平方逼近
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
否则，就线性无关。 区间[a,b]上c11 ( x) .... cm m ( x) 0成立 就一定有c1 ... cm 0
假定1 ( x),....m ( x)是子空间S的基， 若函数g是最佳逼近元，则
( f g , 1 ( x)) 0,( f g , 2 ( x)) 0 ...., f g , m ( x)) 0 (
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f ( x) C[a, b], 求次数不超过n的 多项式p( x)，使得
b
a
w( x)( f ( x) p( x)) dx min
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a， ，am， .....
从而得到f ( x)在子空间S中的最佳平方 逼近元g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x)
MATLAB上机实验——最佳平方逼近
用MATLAB 语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M 文件）。
并用此程序进行数值试验，写出计算实习报告。
二. 程序功能要求：在后面的附一leastp.m 的基础上进行修改，使其更加完善。
要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。
所编程序具有以下功能：1.用Lengendre 多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。
可利用递推关系0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....n n n P x P x xP x n xP x n P x nn --===---⎡⎤⎣⎦=2.被逼近函数f(x)不用内联函数构造，而改用M 文件建立数学函数。
这样，此程序可通过修改建立数学函数的M 文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。
3.要考虑一般的情况。
因此，程序中要有变量代换的功能。
]1,1[],[)(+-≠∈b a x f 4.计算组合系数时，计算函数的积分采用变步长复化梯形求积法（见附三）。
5.程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。
另外，程序中也要有必要的反馈信息。
6.程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点(可以是一个数值或向量)0x （2）区间端点：a,b 。
7. 程序输出：（1）拟合系数：012,,,...,nc c c c （2）待求的被逼近函数值00001102200()()()()()n n s x c P x c P x c P x c P x =++++ 三：数值试验要求：1.试验函数：；也可自选其它的试验函数。
()cos ,[0,4]f x x x x =∈+2.用所编程序直接进行计算，检测程序的正确性，并理解算法。
3.分别求二次、三次、。
最佳平方逼近函数。
）x s (4.分别作出逼近函数和被逼近函数的曲线图进行比较。
）x s ()(x f （分别用绘图函数plot(,s())和fplot(‘x cos x ’,[x 1 x 2,y 1,y 2])）0x 0x 四：计算实习报告要求：1.简述方法的基本原理，程序功能，使用说明。
最佳平方逼近
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
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13
多项式正交函数族：切比雪夫多项式、勒让德多项式 、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等
§ Legendre多项式与最佳平方逼近
Legendre polynomials: (x) 1, [a, b]=[-1,1], {1, x, …, xn,…}, 经Schmidt正交化 ， 即得Legendre多项式(Legendre, 1785年定义) 1814年，Rodrigul（罗德里克）提出一种简便形式：
n
把区间[-1,1], 通过变换把转化到[a,b]上处理.
10
例3 求 f(x)= x 在区间 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式. 解 令 x 1 (1 t ) 2 1 则 f ( x) 1 t g (t ), 1 x 1 2
先求g(t)在区间 [-1,1] 的一次最佳平方逼近多项式.
解 法方程为
1 1 2
1 c 2 2 0 3 2 1 c 3 1 5
4 4 解得 c0 , c1 15 5
所求的最佳平方逼近元 素为 p( x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
7
2 正交系在最佳平方逼近中的应用
b
(k , j ) k ( x) j ( x)dx,
a
( f , k )
q
a
f ( x)k ( x)dx,
6
例1 定义内积 ( f , g ) 0 f ( x) g ( x)dx
试在H1=Span{1,x}中寻求对于f(x)= x 的最佳平方逼近元素p(x).
1
找一个函数P(x) ，使P(x) 与 f(x) 之差在某种度量意义下达 到最小。
函数类 A通常是区间 [a,b] 上的连续函数，记作C[a,b] ；函数
类 B 通常是代数多项式，有理多项式，三角多项式，分段 多项式等容易计算的函数。
3
最常用的度量标准有两种：
1、一致逼近（均匀逼近） 以
a x b
f ( x) p* ( x) min f ( x) p( x)
2 pPn
2
则称 p*(x) 是在Pn中对 f (x) 的最佳平方逼近函数.
5
三、最佳平方逼近函数的求解
1、解法方程
p * ( x)
k 0
n
* ck k ( x )
(0 ,0 ) (0 ,1 ) ( , ) ( , ) 1 1 1 0 ( n ,0 ) ( n ,1 )
实验四
最佳平方逼近
1
实验内容： 最佳平方逼近多项式的求解： 解‘法方程组’； 规范正交函数组.
2
定义 近似代替又称为逼近，函数 f(x) 称为被逼近函数；P(x)
称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。
函数逼近问题可叙述为：对函数类 A 中给定的函数 f(x) ，需
要在另一类较简单的便于计算的函数类 B （B∈ A）中，
先求g(t)在区间 [-1,1] 的一次最佳平方逼近多项式.
2 2 可知 q1 (t ) t , 1 t 1 3 5
把 t=2x-1 代入 q1(t)，就得 x 在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多 项式:
4 4 p1 ( x) x. 0 x 1 15 5
12
四、程序实现
2 2 可知 q1 (t ) t , 1 t 1 3 5
把 t=2x-1 代入 q1(x)，就得 项式: 4 在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多
4 p1 ( x) x. 0 x 1 15 5
11
例3 求 f(x)= x 在区间 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式. 解 令 x 1 (1 t ) 2 1 则 f ( x) 1 t g (t ), 1 x 1 2
* ( f , 0 ) (0 , n ) c0 * (1 , n ) c1 ( f ,1 ) * ( n , n ) cn ( f , n )
9
具体步骤
遇到区间[a,b], ba x t. 2 2
把Legendre多项式规范化： wk
Lk Lk 2
求在区间[-1,1]上，f(t)的n次最佳平方逼近多项式：
pn *( x ) k 0 ( f , wk ) wk ( x ).
当 0x,1x, , nx, 是规范正交系时,求解最佳平方逼近 式非常容易.
最佳平方逼近多项式为：
* p *( x ) k 0 ck k ( x ). n
ck * ( f ,k ), k 0,1, 2,..., n
8
如何求正交函数族？ 从一组线性无关函数族出发，用 Schmidt 正交化方法 将其规范正交化成一组规范正交函数族。
max f ( x ) p ( x )
作为度量误差f(x)- P(x) 的“大小” 标准。
2、平方逼近（均方逼近） 以 (
f ( x) p( x) dx)
b a
2
1 2
作为度量误差f(x)- P(x)的“大小” 标准。
4
函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近的概念与解法
一、最佳逼近的意义 设{0x,1x, , nx} C[a, b], 它们线性无关. 又给定 f (x)C[a, b], 求 p*(x) Pn Span{0x,1x, , nx}, 使得 f (x) p*(x) 在某种意义下最小. 二、最佳平方逼近的概念 定义 对于给定的 f (x)C[a, b],若有 p*(x)Pn ,使得