教材 (Text Book)数值计算方法 郑慧娆等 编著 (武汉大学...汇总课件.ppt
合集下载
数值计算方法第1章
y
n
1
yn
k1 k
2
hf hf
(
t (
n
t
,
n
1 6 yn
(k1
) h, 2
yn
2k
2 k1 ) 2
2k3
k4
)
k3
hf
(tn
h 2
,
yn
k2 2
)
k 4 hf ( t n h , y n k 3 ))
这里 , f ( x , y ) y 2 x ； h 为步长。 y
行数值求解有 I2 0.746855379 。
例1.1.3 求解初值问题
dy y 2 x
dx
y
y(0) 1
解 该方程是 Bernoulli 方程，令 u y 2解得
解析解 y 2 x 1。本题数值方法很多， 如 我们选择经典的四阶 R K方法 :
20 截断误差： sin
由Taglor 展式：sin [ 3 5 ...]
3! 5! 30 观察误差： g 9.8米 / 秒2 , l长度
40 舍入误差 .：,,*, /,开方
误差的分类
模型误差 从实际问题建立的数学模型往 往都忽略了许多次要的因素,因此产生的 误差称为模型误差.
有的方法在理论上虽不够严格，但通过 实际计算，对比分析等手段，被证明是 行之有效的方法，也可以采用。因此， 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密 科学性的特点，又有应用的广泛性与实 验的高度技术性特点，是一门与使用计 算机密切结合的实用性很强的数学课程。
第一章 数值计算方法 绪论.ppt
|
En
|
|
In
I
n
|
|
(1
nIn1 )
(1
nI
n1
)
|
n
|E n1|
n
!|
E0
|
初始的小扰动| E0 | 0.5108迅速积累，误差快速递增。
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： In 1 n In1
I 10
0.03059200
I 12
1
12
I 11
0.63289600
I 13
1
13
I 12
7.2276480
I 14
1
14
I 13
94.959424
I 15
1
15
I 14
1423.3914
What happened
?!
考察第n步的误差 En
（科学出版社，2001年）
• 提问：数值计算方法是做什么用的？
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自
变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之 间函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
dy
2x
dx
y(0) 1
求函数解析表达式 y y(x)
求函数y y(x)在某些点
的
能够控制误差
设
计
便于编程实现：逻辑复杂度要小
数值计算方法--绪论
* * * * * y* = f ( x1* , x2 , ⋯ , xn )。假设函数在 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 处可微，则
有：
* * ¶f ( x1* , x2 , ⋯, x n ) e( y ) » df ( x , x ,⋯, x ) = å × e ( xi* ) ¶xi i=1
�
�
Mathematic，
Maple Lindo
�
交互式数学系统：MathCAD，Calcwin
作业：书后练习 弄清楚几个基本概念
误差的来源及分类 绝对误差、相对误差与有效数字 概念及计算 数值运算中误差传播规律 数值运算中应注意的原则 （5个）
谢谢大家！
数值运算中误差传播规律
乘法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
除法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的绝对误差限：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的相对绝对误差限：
数值运算中应注意的原则
� 选用数值稳定性好的算法 � 相近两数应避免相减 � 绝对值相对太小的数不宜作除数 � 要防止大数“吃掉”小数的危害 � 使用计算复杂性好的算法
数值计算方法
� 主讲：唐旭清
� Email:
txq5139@ txq5139@
� 教材：1)《数值计算方法
》, 北理工出版社 ,丁丽娟; 2) 《数值计算方法 》,江南大 学，蔡日增
�
用数学方法解决实际问题的过程：实际问题 →建立数学模型→确定数值计算方法 →编程 并计算近似解
绝对误差、相对误差与有效数字
�
�
若近似值 x 的绝对误差限不超过小数点后第n * n 位数字的半个单位，即 ε = 1 × 10 − 。则 x 称 精确到小数点后第n位。 2 * 若近似值 x 的绝对误差限不超过某一位数字的 * 半个单位，而从该位数字到 x (从左边起)的第 一个非零数字共有n位，则称 x * 具有n位有效 数字。
有：
* * ¶f ( x1* , x2 , ⋯, x n ) e( y ) » df ( x , x ,⋯, x ) = å × e ( xi* ) ¶xi i=1
�
�
Mathematic，
Maple Lindo
�
交互式数学系统：MathCAD，Calcwin
作业：书后练习 弄清楚几个基本概念
误差的来源及分类 绝对误差、相对误差与有效数字 概念及计算 数值运算中误差传播规律 数值运算中应注意的原则 （5个）
谢谢大家！
数值运算中误差传播规律
乘法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
除法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的绝对误差限：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的相对绝对误差限：
数值运算中应注意的原则
� 选用数值稳定性好的算法 � 相近两数应避免相减 � 绝对值相对太小的数不宜作除数 � 要防止大数“吃掉”小数的危害 � 使用计算复杂性好的算法
数值计算方法
� 主讲：唐旭清
� Email:
txq5139@ txq5139@
� 教材：1)《数值计算方法
》, 北理工出版社 ,丁丽娟; 2) 《数值计算方法 》,江南大 学，蔡日增
�
用数学方法解决实际问题的过程：实际问题 →建立数学模型→确定数值计算方法 →编程 并计算近似解
绝对误差、相对误差与有效数字
�
�
若近似值 x 的绝对误差限不超过小数点后第n * n 位数字的半个单位，即 ε = 1 × 10 − 。则 x 称 精确到小数点后第n位。 2 * 若近似值 x 的绝对误差限不超过某一位数字的 * 半个单位，而从该位数字到 x (从左边起)的第 一个非零数字共有n位，则称 x * 具有n位有效 数字。
数值计算方法
x⋆ − η ⩽ x ⩽ x⋆ + η or x = x⋆ ± η
14
误差与有效数字
例 用毫米刻度的直尺量一长度为 x 的物体，测得其近似值为 x⋆ = 84mm。 因直尺以 mm 为刻度，其误差不超过 0.5mm，即有
|x − 84| ⩽ 0.5 mm or x = 84 ± 0.5 mm.
15
14
误差与有效数字
定义 : 绝对误差与绝对误差限 设某个量的精确值为 x，其近似值为 x⋆，则称
E(x) = x − x⋆ 为近似值 x⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得
|E(x)| = |x − x⋆| ⩽ η 则称 η 为近似值 x⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。 η 越小，表示近似值 x⋆ 的精度越高。
5
研究数值方法的必要性
而对于行列式，可以采用 Laplace 展开定理进行计算： 定理 : Laplace 展开定理 |A| = ai1|Ai1| + ai2|Ai2| + · · · + ain|Ain|, Aij为aij的代数余子式
6
研究数值方法的必要性
实际操作中，该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计 算。事实上，设 k 阶行列式所需乘法运算的次数为 mk，则
所以，
|E⋆r (x)|
=
|x − x⋆| |x⋆|
⩽
1 2
×
10m−n
α1 × 10m−1
=
1 2α1
× 10−(n−1)
反之，由
|x
−
x⋆|
=
|x⋆|
·
|E⋆r (x)|
⩽
(α1
+
1)
14
误差与有效数字
例 用毫米刻度的直尺量一长度为 x 的物体，测得其近似值为 x⋆ = 84mm。 因直尺以 mm 为刻度，其误差不超过 0.5mm，即有
|x − 84| ⩽ 0.5 mm or x = 84 ± 0.5 mm.
15
14
误差与有效数字
定义 : 绝对误差与绝对误差限 设某个量的精确值为 x，其近似值为 x⋆，则称
E(x) = x − x⋆ 为近似值 x⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得
|E(x)| = |x − x⋆| ⩽ η 则称 η 为近似值 x⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。 η 越小，表示近似值 x⋆ 的精度越高。
5
研究数值方法的必要性
而对于行列式，可以采用 Laplace 展开定理进行计算： 定理 : Laplace 展开定理 |A| = ai1|Ai1| + ai2|Ai2| + · · · + ain|Ain|, Aij为aij的代数余子式
6
研究数值方法的必要性
实际操作中，该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计 算。事实上，设 k 阶行列式所需乘法运算的次数为 mk，则
所以，
|E⋆r (x)|
=
|x − x⋆| |x⋆|
⩽
1 2
×
10m−n
α1 × 10m−1
=
1 2α1
× 10−(n−1)
反之，由
|x
−
x⋆|
=
|x⋆|
·
|E⋆r (x)|
⩽
(α1
+
1)
数值计算方法教学大纲(本)
数值计算方法教学大纲(本)本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。
一、课程计划课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method课程定位：数学基础课开课单位：理学院课程类型：专业选修课开设学期：第七学期讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生教学方式：讲授（多媒体为主）+上机考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10%学分：3学分与其它课程的联系预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。
后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。
二、课程介绍数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。
随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。
数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。
通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。
武汉大学 计算方法Chapter1_1
定理2:若近似值的相对误差限为 则x至少有n位有效数字.
Er ( x)
1 10 n1 2(a1 1)
证明:由于
x* x x x x x x Er ( x) x
*
(a1 1) 10
（武汉大学出版社）
科普读物
石钟慈院士著 《第三种科学方法：计算机时代的科学计算》 北京 : 清华大学出版社 广州 : 暨南大学出版社, 2000
参考书目 (References)
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L
48 0
1 ( f ( x)) dx
' 2
48
0
1 (cos x) 2 dx
上述积分为第二类椭圆积分,它不能用普通 方法来计算.
本课程第六章的内容：数值积分
Axb
本课程第三章、第四章的内容： 线性方程组的数值方法！
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0
数值分析(浙江大学)全套课件
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
ห้องสมุดไป่ตู้ 学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
➢ Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
数值计算方法,第一章
设y = x1 x2 − x3，
ε ( y * ) ≤ | f ′( x * ) | ε ( x * )
若y = f ( x1，x2 )，
= =
ff * * * * * * ∂ ∂∂ ∂f f ** ** ** * * ∂ f ∂f * * ( ( x1 ) xx ,, xx ,, xx )dx )e(2x x**,,x x**,)x dx )e( x * ) ++ ( ( + (x x1 ,, x x2 ,, x x3 ))e dx 11 22 33 2 ) + ( x1(,x xx ∂ ∂x3∂x3 12 23 3 3 3 ∂x x11 1 2 3 1 ∂∂ 22
有两位有效数字
∂f ∂f * * ( x * , x * )e ( x1 )+ ( x * , x * )e ( x 2 ) ∂ x1 1 2 ∂x2 1 2 ∂f ∂f * * * * * * ε( y* ) ≤| ( x1 , x2 ) | ε ( x1 )+ | ( x1 , x2 ) | ε( x2 ) ∂ x1 ∂x2
x − x∗ ≤
1 × 10 m −−nn 2
它 们 分 别 是 2, 3, 7
17 18
绝对误差限 ⇔ 有效数字
定理 1 . 1 : x * = ± 0 .a 1 a 2 ...... a n ... × 10 m ( a 1 ≠ 0 )
x * 有 n 位有效数字
1 ε = × 10n 2
∗
⇒ ε r ( x* ) =
9 10
四舍五入的原则： 1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位 2. 舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位 凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数 0.714, 0.776, 0.733
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精选
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
精选
学习和了解科学计算的桥梁
精选
Introduction
数值分析 能够做什么？
精选
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
精选
计算机解决实际问题的步骤
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
精选
( relative error )
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
精选
εr*பைடு நூலகம்
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 an 10m(其中 a1 0）
若 | x x* | 0.510mn （即 a n 的截取按四舍五入规
精选
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
精选
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第三章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
精选
精选
举例
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
精选
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε* , 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
精选
精选
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
精选
1 10 1 10
10n1 10n1
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
精选
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出 数学模型
观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
精选
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
则），则称 x 为有n 位有效数字，精确到 10mn。
例： 3.1415926535897932; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
证明： π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014
考试方法
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
精选
学习和了解科学计算的桥梁
精选
Introduction
数值分析 能够做什么？
精选
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
精选
计算机解决实际问题的步骤
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
精选
( relative error )
er*
e* x*
x 的相对误差上限 定义为
精选
εr*பைடு நூலகம்
ε* |x|
有效数字 （significant digits ）
用科学计数法，记 x 0.a1a2 an 10m(其中 a1 0）
若 | x x* | 0.510mn （即 a n 的截取按四舍五入规
精选
教材 (Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）
参考书目 (Reference)
Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition)
数值分析 （英文版 第3版 ）
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
精选
举例
1。求下列方程的根或零点：
x2 2xsin x 1 0
（第三章的内容：非线性方程的数值解法）
Can you solve
(x 1)100 0
Can you solve
x100 100x99 4950x98 161700x97
3921225x96 100x 1 0
精选
精选
举例
2。怎么求解下列积分？
1 e x2 dx 0
（第七章的内容：数值积分）
精选
数值分析的特点
1。近似： 由此产生“误差”
在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？
1 10 1 10
原点附近
1
绝对误差 ( absolute error )
e* x x* 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。
| e* | 的上限记为 ε* , 称为绝对误差限 ( accuracy ) ，
工程上常记为 x* x ε*
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
相对误差
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
精选
精选
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系
在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵
10 1
但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？
精选
1 10 1 10
10n1 10n1
10
n
0
1
102
0
10 1 101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
精选
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出 数学模型
观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型 中参数的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）:求近似解
舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限
精选
§1.2.4 误差与有效数字
(Error and Significant Digits)
则），则称 x 为有n 位有效数字，精确到 10mn。
例： 3.1415926535897932; * 3.1415 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
证明： π* 0.31415 101 , and | π * π | 0.5 103 0.5 1014