抽象函数的单调性
抽象函数的单调性课件
03
波的传播
波动传播的速度和方向可以用抽象函数表示，通过分析这些函数的单调
性，可以了解波动的传播规律和变化趋势。
在其他领域的应用
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群数量的变化可以用抽象函数表示，通过分析 这些函数的单调性，可以了解种群数量的增长或减少趋势。
详细描述
利用单调性解不等式的方法主要包括比较法和构造法。比较法是通过比较不等式两边的 函数值来判断不等式的真假，而构造法则是通过构造辅助函数并利用其单调性来解不等
式。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右上升。
举例
$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上单 调递增。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都 有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函 数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右 下降。
单调性与函数图像的走势
单调性可以决定函数图像的走势。如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该 区间内的函数图像会呈现出上升或下降的趋势。
单调性与不等式的关系
单调性与不等式的解法
单调性可以用来解决一些不等式问题。 例如，利用函数的单调性可以判断不 等式的解集范围。
单调性与不等式的性质
单调性可以用来推导不等式的性质。 例如，如果函数在某个区间内单调递 增，则对于该区间内的任意两个数x1 和x2，有f(x1) < f(x2)，即函数的值 随着自变量的增大而增大。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
抽象函数的单调性与奇偶性讲解
抽象函数单调性与奇偶性抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =] 指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
抽象函数的单调性
在证明函数单调性时经常有下面几个变形：
f (x2 ) f [(x2 x1) x1]
f (x2 )
f ( x2 x1
x1 ]Biblioteka （1）求f(1)的值； （2）判断f(x)的单调性；
（3）若f(x+8)-f(x) 2，求x的取值范围.
5.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y 都有：f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，f(x)>1 且 f (0) 0 .
（1）求f(0)的值； （2）证明:对任意的x都有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若 f (x) f (2x x2 ) 1,求x的取值范围.
3.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y都有： f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)<0且f(2)=-1.
（1）求f(0)的值； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性； （3）证明函数f(x)的单调性； （4）求函数f(x)在[-6,6]上的值域。
4.函数f(x)的定义域为 (0, ) ，且对任意 x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时，f(x)>0 且f(3)=1.
抽象函数:
通常是指没有给出函数的具体解析式，只给 出了其他一些条件（如：定义域，经过的特 殊的点、解析递推式、部分图象特征等）。
合理赋值，整体思考， 借助特殊点，利用递推式
1.设f(x)的定义域为[0,1],则f(2x+1)的定 义域为 [ 1 , 0]
2
2.函数f(x)为定义在R上的奇函数，在(0, ) 上单调递增，且f(3)=0,则不等式f(x)>0的 解集是 (3,0) (3, )
抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断 例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由.解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０．∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f＝)(12x x f -＞０．∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数．例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数，证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介．设12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， ()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-．由假设可知1200x x ->->，，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数，于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <，()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数．例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0,当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由．解析：此函数的原型函数可以为x y 1=．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数．对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０设1x ，2x ∈（０，＋∞），且1x ＜2x ．则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===＜１， ∴ )(1x f ＞)(2x f ， 故)(x f 在（０，＋∞）上为减函数．一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
抽象函数单调性
x 0时，f (x) 0，f (1) 2（1）令x y 0，则f(0+0)=f (0) f (0)，f (0) 0.
(1)求f (0)、f (3)的值； (2)判定f (x)的单调性.
f(1)=2 f(3)=f (2) f (1) f(1+1)+f (1) 3 f (1) 6
f (x2 x1) 0 即f (x1) f (x2 ) f (x)在R上为增函数.
例2、已知定义在0, 上的函数f (x)满足：①对任意的x, y 0, ，
都有f (x y) f (x) f ( y)；②当0 x 1时，f (x) 0.
(1)判断并证明的单调性
(2)已知f (9) 2,且f ( 1) f (x), x
f (x1) f (x2 x1) f (x1)-1
f (x2 x1)+1 x2 x1 0,当x 0时, f (x) 1
f (x2 x1)+1 0 即f (x1) f (x2 ) f (x)在R上为增函数.
（2）解： f (4) f (2)+f (2)-1，f (4)=5 5 2 f (2) 1，f (2)=3
2、如何判断抽象函数的单调性. 判断抽象函数的单调性，仍然要紧扣单调性的定义，并且适当
运用题设条件. 一般地，若f(x)满足：
f (x y) f (x) f ( y), 则f (x1) f (x1 x2 x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 );
f (x y)
f (x)
f ( y), 则f (x1)
(3)求不等式f (x 1) 6的解集（. 2）任取x1, x2 R，且x1 x2
f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 x1 x1)
抽象函数单调性的证明和应用实例
一
一
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摘要： 函数是 中学 数 Ｉ Ｉ
学 重 内 函 的 ＝ 的 点 容，数 单 Ｉ ： 甫 调 是 数 重 性 ，二 性 函的 要 质
工 高中证 委 篓用数学的基本 南 具定 明 单 义 譬 Ｉ ， 函 数 调 性是
１） ｎ １＝ … — ）… １ ）
处理含参不等式恒成立的某些问题时， 若能适时地把主元变量和 ｙ ｘ ｏ ＝ ＃Ｏ 参数变量进行“ 换位” ， 思考 往往会使问题降次、 简化。 证 明 ：１ 当 ｙ Ｏ ￣ｘ Ｏ （ ） ＝ 时 ｌ＋ ） 例 ４ 对于满足 ０ ≤４的所 有实数 ａ求使不 等式 ＋舛 ＞ ≤口 ０ ） ４ ｏ ３都成立的 的取值范围。 ＋ ＿ 因为存在 １ 使得 ≠ ） 解： 不等式变形为 ＋（－ ＋ ＞ 。 ｘ１ ｋ一 ３ ０ ２所以 ） ） ， 不恒为 ０ 。 设， （ 一４ ＋ ， ＝（一１ ｋ＋ ｘ ３ 则其是关于 ａ 的一个一次函数 ： 是单 所以 ， ） 。 《 ＝１ ０ 调函数。 （ ） ＇ ≠０ ２令 ， ， 结 胍有 △ 二 得 １ 或 则有 ７ ） ） ｛ ） 因为存在 Ｘ≠孙 使得 ｌ 总之， 含参不等式恒成立问题 因其覆盖知识点多， 方法也多种多 ２ ） ， 样， 但其核心思想还是等价转化 ， 抓住 了这点 ， 才能 以“ 不变应万变” ， 所 以对任 意值 ，判断 ） 掌握解题方法和技巧。 的值的符号为正号。
（ ） １ ：
‘ ．
’ ．
Ｏ
从而，对任意的 ∈ 都 Ｒ， 有 ） ） ０ ） 即 ） ） 。
高中抽象函数的单调性习题总结
10月2日 抽象函数的单调性1、()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在[]3,3x ∈-上的值域.2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3.3、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
5、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a fb b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,6、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ；（1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数 （3）当161)4(=f 时，解不等式41)5()3(2≤-⋅-x f x f7、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，总有()(()())0a b f a f b ++>．（1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)f x f x -<-；（3）若2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．。
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抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。
思路：添项法。
类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。
或例1、()f x对任意,x y R∈都有：()()()f x y f x f y+=+，当0,()0x f x><时，判断()f x在R上的单调性。
()()()()()()上是增函数在解：RxfxfxfxxfxxxxxxfxfxfxxfxfxxxfxfxfxxRxx)(,0)(,0)()()()(,,212121212122212221212121<-∴<->-∴>-=-+-=-+-=-<∈∀例2、f(x)对任意实数x与y都有()()()2f x f y f x y-=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R上是增函数；（2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3()()25232)()2()32(3)2(2)12()1()2(,1,22)()(,02)(2)(,0,2)()(,12121212121212121>>-∴<-∴=∴--=-==∴>->--∴>>>->--=->∈<∀aaRxffafffffyxRxfxfxfxxfxfxxxxxxxfxfxfxxRxx解得上是增函数在又原不等式可化为则）令（上是增函数在则时，当）解：（【专练】：1、已知函数f x()对任意x y R，∈有f x f y f x y()()()+=++2，当x>0时，f x()>2，f()35=，求不等式f a a()2223--<的解集。
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R都有()()()f x y f x f y-=-，且当0,()0x f x<<时(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．或例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
()()3221322-1,9122)91(),2()2()()3(0)(,0)(0)(,10)()()()()()()(0),,0(,22)91(2)31()31()3131(,311)31(),3()31()331(,3,310)1(),3()1()31(,3,1122212121212122212221212121+<<>-∴=-=-+><-∴<>∴>>=-+=-=->>+∞∈∀==+=⨯===+=⨯===+=⨯==x x x f x x f x f x f x x f x f x f x xf x x x x x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f x x x x f f f f y x f f f f y x f f f f y x 解得原不等式可化为：且上是减函数。
在函数）（即则令解得则令解得则）令解：（例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()af f a f b b=-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f yxf -=且当01x <<时，()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f ；2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式2(21)2f x -<3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。
（1）求证：()()()xf f x f y y=-； （2）若(5)1f =，解不等式(1)(2) 2.f x f x +-<或例1、定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，,1)(>x f 且对任意,,R y x ∈有()()(),f x y f x f y +=⋅又知(1) 2.f = （1）求)0(f 的值； （2）求证：对任意R x ∈都有0)(>x f ；（3）解不等式4)3(2>-x x f ；【专练】：1、定义在R 上的函数()y f x =对任意的,m n 都有()()()f m n f m f n +=，且当0x >时，0()1f x <<，（I ）证明：R x ∈都有0)(>x f ；（II ）求证：()y f x =在R 上为减函数；（III ）解不等式f(x)·f(2x-x 2)>1。
2、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ； （1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数 （3）当161)4(=f 时，解不等式41)5()3(2≤-⋅-x f x f ；或例1、已知函数()f x 满足：①对任意,x y R ∈，都有()()()f xy f x f y =，②(1)1,(27)9,01f f x -==≤<且当时，[)()0,1f x ∈。
（I ）判断()f x 的奇偶性，（II ）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并证明。
（III ）若0a ≥，且(1)f a +≤a 的取值范围。
例1、定义在[]1,1-上的奇函数()y f x =有(1)1f =,且当[],1,1m n ∈-时,总有:()()0,()f m f n m n m n+>≠+,（I ）证明:()f x 在[]1,1-上为增函数,(II)解不等式:11()()21f x f x +<-,(III)若2()21f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数t 的取值范围.例2、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当时，有， （1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；【专练】：1、已知定义在(),1(1,)-∞-+∞上的奇函数满足：①(3)1f =；②对任意的2x >，均有()0f x >；③对任意的,x y R +∈，均有(1)(1)(1)f x f y f xy +++=+；（1）试求(2)f 的值；（2）求证：()f x 在(1,)+∞上是单调递增；（3）已知对任意的(0,)θπ∈，不等式2(cos sin )3f a θθ+<恒成立，求a 的取值范围，2、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x -y ）=f (x )·f (y )＋1f (y )－f (x )成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．3、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，总有()(()())0a b f a f b ++>．（1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)f x f x -<-；（3）若2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．。