8.1.2多项式教案公开课
八年级数学《多项式的运算》代数技巧教案
八年级数学《多项式的运算》代数技巧教案教学目标：1. 掌握多项式的基本概念及运算法则。
2. 熟练运用代数技巧解决多项式运算问题。
3. 培养学生的逻辑思维和解题能力。
教学过程：一、导入（10分钟）1. 导入前述知识，复习多项式的定义和相关术语。
2. 引入新知识，介绍多项式的运算法则。
二、多项式的加减法（15分钟）1. 定义多项式的加法和减法。
2. 示例演示，解释运算规则。
3. 练习题，巩固加减法的运算技巧。
三、多项式的乘法（20分钟）1. 定义多项式的乘法。
2. 示例演示，解释运算规则。
3. 练习题，训练乘法的运算技巧。
四、多项式的除法（15分钟）1. 定义多项式的除法。
2. 示范演示，解释运算规则。
3. 练习题，强化除法的运算技巧。
五、多项式的展开与因式分解（20分钟）1. 解释多项式的展开和因式分解的概念。
2. 示范演示，展示展开和因式分解的步骤。
3. 练习题，培养学生的解题技巧和思维能力。
六、综合运用（20分钟）1. 案例分析，结合实际问题进行综合运用。
2. 学生合作，解决多项式的实际问题。
3. 教师点评，展示优秀解答方法。
七、总结与拓展（10分钟）1. 小结多项式的运算法则和代数技巧。
2. 拓展思考，提出一些扩展问题。
八、作业布置（5分钟）1. 布置相应的练习题，巩固今天的知识。
2. 引导学生查找相关拓展阅读材料。
教学反思：通过本课的教学，学生能够正确理解和运用多项式的运算法则，掌握代数技巧解决多项式运算问题。
同时，我们注重培养学生的逻辑思维和解题能力，通过案例分析和综合运用，提高学生的应用能力和问题解决能力。
在教学过程中，我们还引入了合作学习的方式，促进学生之间的互动和合作，共同解决问题。
多项式(公开课)
2.已知多项式-2x2y2n+1z+3x2y+1是八次三项式, 求n的值.
解: 因为2+(2n+1)+1=8 则 n=2
已知多项式-
1 2 x y 3
2
m 1
+ xy
2
-3x +6是六次四项式，
3
单项式3x 2n y
m+n的值
的次数与这个多项式的次数相同。求
系数：单项式中的数字因数。 单项式 次数:所有字母的指数的和。 整 式
（３）单项式里所有字母的指数的和叫做单项
式的次数。
2 什么是多项式？什么是多项式的项、项数 及次数？
(2) x–y 2 (5) 3x - 5x +7 5 (6) x - 1
(7) x 4y2– x3 y+x-1
(9) x2 y + xy2 – xy +x + y+ 1
(1)几个单项式的和叫做多项式。 (“和”为代数和）
（１）常数项； （２）一次项； (2)多项式里的每一个单项式叫做多项式的项。（３）二次项； （４）三次项； ……等等。 (3)多项式里项的个数的多少的数叫做项数。 (4)多项式里次数最高的单项式的次数叫做多项式的次数。
检测
(1) ab (2) x–y 2 (3) 6a 2 2 (4) πr (5) 3x - 5x +7 5 (6) x - 1
2a
7 3 的系数是2,次数是10 .(
×
) √
)
2 （4）3a- __ +4是多项式。 （ b
（5）5R +2 是四次二项式。 （
） ） （ ） （ ）
3 2 （6）2x +xy+3y 是七次三项式。
《多项式教案》
《多项式教案》word版一、教学目标：1. 让学生理解多项式的概念，掌握多项式的定义及其相关性质。
2. 培养学生运用多项式进行数学运算的能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生团队协作精神，提高学生数学思维能力。
二、教学内容：1. 多项式的定义与相关性质2. 多项式的运算规则3. 多项式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：多项式的概念、性质及运算规则。
2. 难点：多项式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解多项式的定义、性质及运算规则。
2. 运用案例分析法，分析多项式在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子，引导学生思考多项式的概念。
2. 讲解：详细讲解多项式的定义、性质及运算规则。
3. 案例分析：分析多项式在实际问题中的应用。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题思路。
5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对多项式概念的理解程度，通过课堂提问和作业批改进行评估。
2. 评价学生多项式运算的熟练程度，通过课堂练习和小测验进行评估。
3. 评价学生在实际问题中应用多项式的能力，通过案例分析和课后项目进行评估。
七、教学资源：1. 教材：《高中数学教材》相关章节。
2. 课件：制作多媒体课件，辅助讲解多项式的定义和性质。
3. 练习题：准备一系列的多项式运算练习题，用于课堂练习和学生自学。
4. 案例分析材料：收集一些实际问题，用于引导学生应用多项式解决问题。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍多项式的定义和基本性质。
2. 第二课时：讲解多项式的运算规则。
3. 第三课时：案例分析，展示多项式在实际问题中的应用。
4. 第四课时：小组讨论，学生展示自己的解题过程。
5. 第五课时：总结本单元内容，布置课后作业。
九、课后作业：1. 完成教材后的多项式练习题。
高中数学人教B版必修第三册 第八章 8.1.2
8．1.2 向量数量积的运算律学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度)等．知识点 向量数量积的运算律 1．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 2．向量数量积的运算性质多项式乘法 向量数量积 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2思考 若a ·b ＝b ·c (b ≠0)，是否可以得出结论a ＝c ? 答案 不可以． 理由如下：如图，a ·b ＝|a ||b |cos β＝|b ||OA |， b ·c ＝|b ||c |cos α＝|b ||OA |.所以a ·b ＝b ·c ，但是a ≠c .1．λ·(a ·b )＝λa ·λb .( × )2.AB →·AC →＋AB →·CD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AD →.( √ ) 3．若(λa )·b ＝0，则a ⊥b .( × ) 4．|a |2－|b |2＝(a ＋b )·(a －b )．( √ )一、求两向量的数量积例1 (1)已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.(2)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 是CD 的中点，求AE →·BD →的值． 解 AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2－12AB →·AD →＝1－12×4－12×2×1×12＝－32.反思感悟 求两向量的数量积的两种常见题型(1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解． (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解．跟踪训练1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，点E ，F 满足AE →＝2EB →，AC →＝2FC →，点D 为BC 的中点．求EF →·AD →.解 如图所示，E 为AB 的三等分点，F 为AC 的中点，设AB →＝a ，AC →＝b ，∴|a |＝3，|b |＝4且〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×12＝6，∴EF →·AD →＝(AF →－AE →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →＝⎝⎛⎭⎫12b －23a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝－13a 2－112a ·b ＋14b 2＝－13×9－112×6＋14×16＝12.二、求向量的模和夹角例2 (1)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，则|3a ＋b |＝________. 答案 20解析 ∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2 ＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5， ∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20.(2)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思感悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，再求角．注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练2 已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a －b 的夹角．解 方法一 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，使|OA →|＝|OB →|，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， ∴BA →＝a －b . 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |， 即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|，∴∠AOC ＝60°，∠AOB ＝120°， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 的夹角为30°. 方法二 |a |＝|b |＝|a ＋b |，∴a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴a 2＝b 2＝－2a ·b ， ∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝a 2－⎝⎛⎭⎫－12a 2＝32a 2. |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3a 2＝3|a |，∴cos 〈a ，a －b 〉＝a ·(a －b )|a |·|a －b |＝32a 2|a |·3|a |＝32.又0°≤〈a ，a －b 〉≤180°， ∴〈a ，a －b 〉＝30°， ∴a 与a －b 的夹角为30°. 三、与垂直有关的问题例3 已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 由题意知，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝m ·n 34|n |2＝13，所以m ·n ＝14|n |2＝14n 2，因为n ·(t m ＋n )＝0， 所以t m ·n ＋n 2＝0， 即14t n 2＋n 2＝0， 所以t ＝－4.反思感悟 解决有关垂直问题时利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练3 已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，求向量a 与b 夹角的大小． 解 设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0， 所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°， 即a 与b 的夹角为60°.平面几何中利用向量数量积证明垂直问题典例 已知O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE ⊥BC . 证明 AE →＝OE →－OA →＝OB →＋OC →，BC →＝OC →－OB →， ∵AE →·BC →＝(OB →＋OC →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OB →2， 又O 为△ABC 的外心．∵|OA →|＝|OC →|＝|OB →|，∴OC →2－OB →2＝0， ∴AE →·BC →＝0， ∴AE →⊥BC →，∴AE ⊥BC .[素养提升] 用向量表示题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题体现了逻辑推理的核心素养．1．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a ·b 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 B解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3．在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，M 为BC 上一点，且BM →＝2MC →，则AM →·NM →等于( )A ．48B ．36C ．24D ．12答案 C解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →) ＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23AD →·⎝⎛⎭⎫12AB →－13AD → ＝12AB →2－29AD →2 ＝12×82－29×62＝24，故选C. 4．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为________． 答案 π6解析 |a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，设向量a 与a －b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·(a －b )|a ||a －b |＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]， 所以θ＝π6.5．已知向量a ·b 满足|a |＝3，|b |＝4，且|a ＋b |＝|a －b |，则|2a －3b |＝________. 答案 6 5解析 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴(a ＋b )2＝(a －b )2， 得a ·b ＝0， ∴|2a －3b |＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×9＋9×16＝6 5.1．知识清单：(1)向量数量积的运算律．(2)利用向量数量积证明垂直、求夹角、模．2．方法归纳：数形结合，转化与化归． 3．常见误区：忽视向量数量积不满足结合律．1．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 答案 A解析 方法一 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 方法二 由题意知2a ＝b ， ∴|2a ＋3b |＝|4b |＝4|b |＝16.2．已知|a |＝4，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则(a ＋b )·(2a －b )等于( ) A ．32 B ．24 C ．26 D ．8 答案 B解析 依题意a ·b ＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝32－4－4＝24.3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 C解析 ∵(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝0， ∴2a ·b ＋b 2＝0，∵a ·b ＝－12b 2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|b ||b |＝－12，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°.4．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1 答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.5.如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝60°，DC →＝2BD →，则AD →·BC →等于( )A.32 B ．－92C.12 D ．－32答案 D解析 令AB →＝a ，AC →＝b ，则|a |＝|b |＝3，cos 〈a ，b 〉＝12，∴a ·b ＝3×3×12＝92，∴BC →＝b －a ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23a ＋13b .∴AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ·(b －a )＝－23a 2＋13a ·b ＋13b 2＝－23×9＋13×92＋13×9＝－32. 6．已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6， 所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.7．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 ∵OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →) ＝OA →·OB →－OA →2＝OA →·OB →－9＝0，即OA →·OB →＝9.8．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝33，且∠BAC ＝30°，点D 为BC 的中点，则AD 的长为________． 答案792解析 由题意得AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)＝14⎝⎛⎭⎫16＋2×4×33×32＋27＝794，∴|AD →|＝792. 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 上的投影的数量．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a ·b ＝4×16－3×9－4a ·b ＝61，解得a ·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋9－12＝13，∴|a ＋b |＝13. (2)设a 与a ＋b 的夹角为θ，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴a 在a ＋b 上的投影的数量为|a |cos θ＝a ·(a ＋b )|a ＋b |＝101313.10.如图，等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝2AD ＝2DC .证明：AC ⊥BC .证明 令AB →＝a ，AD →＝b ， 则DC →＝12a ，且|a |＝2|b |，∴AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b ，∵AC →·BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝b 2－14a 2 ＝b 2－14×4b 2＝0，∴AC →⊥BC →，∴AC ⊥BC .11．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A.π6 B.2π3 C.π3 D.5π6 答案 C解析 由向量垂直，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3. 12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则β的余弦值为( )A ．－23B ．－223 C.223 D.23 答案 C解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223. 13．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案 [0,1]解析 ∵b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝0或|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 因为E 为CD 的中点，所以BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，因为AC →·BE →＝1，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AB →·AD →＝1，即1－12AB →2＋12|AB →|cos 60°＝1，所以－12AB →2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.15．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2 ＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18. 故选B.16．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa ＋b 与a －2b 垂直？解 (1)∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴|a ＋b |＝|c |.∴(a ＋b )2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2，∴a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝49－9－252＝152. 又∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴152＝3×5×cos θ， ∴cos θ＝12，θ＝60°. (2)假设存在，∵(μa ＋b )⊥(a －2b )， ∴(μa ＋b )·(a －2b )＝0，∴μa 2－2b 2－2μa ·b ＋a ·b ＝0，∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0，∴μ＝－8512. ∴存在μ＝－8512， 使得μa ＋b 与a －2b 垂直．。
多项式的教案
多项式的教案标题：多项式的教案教案目标:- 理解多项式的基本概念、术语和符号，并能够正确使用它们。
- 掌握多项式的加法和减法运算，能够进行简单的多项式运算。
- 理解多项式的乘法规则和特殊情况，能够使用这些规则进行多项式的乘法运算。
- 了解多项式的因式分解，能够简化和分解给定的多项式。
- 应用多项式解决实际问题。
教案步骤:引入阶段:1. 创造兴趣: 通过提出一个有趣的数学问题或引言，激发学生对多项式的兴趣，如“你有没有过一次多项式运算的经历？”或者“你想知道如何因式分解一个多项式吗？”。
2. 激活思维: 向学生展示几个简单的代数表达式，并引导他们思考这些表达式之间是否存在某种关系。
讲解阶段:3. 多项式基础知识: 介绍多项式的定义、术语和符号，如项、系数、次数等。
提供一些具体的例子来解释这些概念。
4. 多项式的加法和减法: 解释多项式的加法和减法运算规则，并通过一些实例演示如何进行多项式的相加和相减运算。
5. 多项式的乘法: 介绍多项式的乘法规则和特殊情况，如同底数幂相乘、乘方公式等。
提供一些实例来说明这些规则的应用。
6. 多项式的因式分解: 讲解多项式的因式分解方法，并演示如何根据特定因式分解公式将多项式简化或分解。
7. 实际问题应用: 给学生提供一些实际问题，要求他们将其转化为多项式，并解决这些问题。
引导学生使用所学的知识和技巧来解决问题。
练习阶段:8. 练习与巩固: 给学生一些练习题，包括多项式的加减运算、乘法运算和因式分解题目。
鼓励学生积极参与解题过程，并及时纠正他们的错误。
9. 考核与评估: 设计一些评估题目，考察学生对多项式的理解和应用能力。
可以包括选择题、填空题或解答题。
总结阶段:10. 总结与回顾: 回顾本节课所学的内容，并概括其中的重点和难点。
强调多项式在数学中的重要性和应用领域。
11. 拓展与延伸: 提供一些相关的学习资源或推荐阅读，以便有兴趣的学生进一步扩展他们对多项式的理解和应用能力。
多项式说课稿
多项式说课稿一、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1. 知识目标：通过本节课的学习，学生能够掌握多项式的基本概念、多项式的加减乘除运算规则以及多项式的因式分解方法。
2. 能力目标：通过本节课的学习，学生能够运用多项式的知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
3. 情感目标：通过本节课的学习，培养学生对数学的兴趣和好奇心，增强学生的自信心和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：多项式的基本概念、多项式的加减乘除运算规则以及多项式的因式分解方法。
2. 教学难点：多项式的因式分解方法。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、多项式的实例题。
2. 教学材料：教材、练习册、多项式相关的实例题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）老师可以通过一个生活中的问题导入本节课的内容，如：小明买了若干本数学书和若干本英语书，其中数学书的价格是每本20元，英语书的价格是每本15元，小明一共花了120元。
请问小明买了多少本数学书和多少本英语书？通过这个问题，引导学生思考如何用数学的方式解决问题，引出多项式的概念。
2. 概念讲解（15分钟）通过投影仪展示多项式的定义和基本概念，包括多项式的项、次数、系数等。
并通过几个实例帮助学生理解多项式的概念。
3. 加减乘除运算规则（20分钟）通过投影仪展示多项式的加减乘除运算规则，并通过实例进行详细解释和演示。
引导学生掌握多项式的加减乘除运算方法。
4. 因式分解方法（30分钟）通过投影仪展示多项式的因式分解方法，包括提公因式法、配方法、分组分解法等。
并通过实例进行详细解释和演示。
引导学生掌握多项式的因式分解方法。
5. 练习与巩固（20分钟）布置一些练习题，让学生独立完成，并进行批改和讲解。
通过练习巩固学生对多项式的掌握程度。
6. 总结与展望（5分钟）对本节课的内容进行总结，并展望下节课的内容。
五、教学反思本节课通过生活中的问题引入多项式的概念，使学生能够更好地理解和掌握多项式的知识。
最新版初中数学教案《多项式2》精品教案(2022年创作)
2.1 整式第3课时多项式教学目标:1.通过本节课的学习,使学生掌握整式、多项式的项及其次数、常数项的概念.2.初步体会类比和逆向思维的数学思想.教学重点:掌握整式及多项式的有关概念,掌握多项式的定义、多项式的项和次数以及常数项等概念.教学难点:准确指出多项式的次数.教学过程一、复习引入1.列代数式:(1)长方形的长与宽分别为a、b,那么长方形的周长是;(2)某班有男生x人,女生21人,那么这个班共有学生人;(3)图中阴影局部的面积为;(4)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,那么共有头个,脚只.2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别.(1)2(a+b);(2)21+x;(3)ab-π()2;(4)2a+4b.二、讲授新课1.多项式:板书由学生自己归纳得出的多项式概念.上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样,几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项,叫做常数项.例如,多项3x2-2x+5有三项,它们是3x2,-2x,5,其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式3x2-2x+5是一个二次三项式.注意:(1)多项式的次数不是所有项的次数之和.(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.2.例题:【例1】判断:①多项式a3-a2b+ab2-b3的项为a3、a2b、ab2、b3,次数为12;②多项式3n4-2n2+1的次数为4,常数项为1.【例2】指出以下多项式的项和次数:(1)3x-1+3x2;(2)4x3+2x-2y2.【例3】指出以下多项式是几次几项式.(1)x3-x+1;(2)x3-2x2y2+3y2.【例4】代数式3x n-(m-1)x+1是关于x的三次二项式,求m、n的值.注意:多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为最高次项的次数.在例3讲完后插入整式的定义:单项式与多项式统称整式.分析例4时要紧扣多项式的定义,培养学生的逆向思维,使学生透彻理解多项式的有关概念,培养他们应用新知识解决问题的能力.【例5】一条河流的水流速度为2.5千米/时,如果船在静水中的速度,那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示?如果甲、乙两船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时,那么它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少?3.课堂练习:课本P58练习第1、2题.填空:-a2b-ab+1是次项式,其中三次项系数是,二次项为,常数项为,写出所有的项.三、课时小结1.理解多项式的定义,能说出一个多项式是几次几项式,最高次数是几,分别由哪几项组成,各项的系数分别为多少,常数项为几.2.这堂课学习了多项式,与前一节所学的单项式合起来统称为整式,使知识形成了系统.(让学生小结,师生进行补充.)四、课堂作业课本P59习题2.1的第3、4题.第2课时有理数的加法运算律一、新课导入1.课题导入：〔1〕想一想，小学里我们学过的加法运算律有哪些？〔2〕这些运算律在有理数的加法中是否还适用呢？我们先来进行以下两道计算，再答复这个问题.30+(-20),(-20)+30.上面两个算式中交换了加数的位置，两次所得的和相同吗？加法运算律在有理数运算中还适用吗？这就是今天要学习的内容——有理数加法运算律.2.三维目标：〔1〕知识与技能①能运用加法运算律简化加法运算.②理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练.〔2〕过程与方法①培养学生的观察能力和思维能力.②经历有理数的运算律的应用，领悟解决问题应选择适当的方法.〔3〕情感态度在数学学习中获得成功的体验.3.学习重、难点：重点：有理数加法运算律及运用.难点：运算律的灵活运用.二、分层学习1.自学指导:〔1〕自学内容：探究有理数加法的交换律和结合律.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：运用计算、类比来验证归纳加法的运算律在有理数加法中的运用.〔4〕探究提纲：①刚刚通过计算知道30+(-20)和(-20)+30相等，同学们再算一算以下各式：a.〔-8〕+〔-9〕=-17；〔-9〕+〔-8〕=-17.b.4 +〔-8〕=-4；〔-8〕+4=-4.根据计算结果你可发现：〔-8〕+〔-9〕=〔-9〕+〔-8〕,4 +〔-8〕=〔-8〕+4(填“>〞“<〞或“=〞)由此可得a+b=b+a，这种运算律称为加法交换律.即两个数相加，交换加数的位置,和不变.②计算：a.［8+(-5)］+(-4)，8+［(-5)+(-4)］；b.［(-12)+20］+(-8)，(-12)+［20+(-8)］.比较a、b两题计算结果，你能得出什么结论？〔仿照1〕，分别用文字和含字母的等式写出你的结论.a.［8+(-5)］+(-4)=-1，8+［(-5)+(-4)］=-1.b.［(-12)+20］+(-8)=0，(-12)+［20+(-8)］=0.根据a、b两题计算结果，可发现［8+(-5)］+(-4)=8+［(-5)+(-4)］,［(-12)+20］+(-8)=(-12)+［20+(-8)］，由此可得，〔a+b〕+c=a+〔b+c〕，这种运算律称为加法结合律.即三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.2.自学：同学们结合探究提纲进行探究学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生的探究过程及探究结论，关注他们认识过程中的疑点问题.②差异指导：a.指导那些对有理数加法法那么还不熟的学生；b.指导表达有困难的学生归纳出相应的结论.〔2〕生助生：生生互动讨论交流解决自学中的疑问.4.强化：〔1〕加法的交换律.(文字、字母表述)加法的结合律.(文字、字母表述)〔2〕在有理数加法运算中，运用加法交换律和结合律可使运算更加简便.1.自学指导:〔1〕自学内容：教材第19页例2到第20页“练习〞之前的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：仔细阅读例2的解答过程，弄清每一步的目的和依据分别是什么.认真阅读例3的解答过程，通过例3两种解法的比照，体会有理数加法运算律的作用.〔4〕自学参考提纲：①例2中是怎样使计算简化的？根据是什么？例2中，把正数和负数分别相加，从而使计算简化.这样做的依据是加法的交换律和结合律.②仿例2计算：a.23+(-17)+6+(-22)；b.(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)a.23+(-17)+6+(-22)=23+6+［(-17)+(-22)］=29+(-39)=-10b.(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)=3+1+2+［(-2)+(-3)+(-4)］=6+(-9)=-3③想一想，要解决例3中的问题，你有几种计算方法？再把自己的想法与同伴交流一下.解法一的解题思路是怎样的？这种思路大家以前就会吗？方法一：直接用加法算出10袋小麦的总质量，再减去10袋小麦的标准质量得出超出或缺乏的局部.方法二：先算出每袋小麦超出或缺乏的局部，再求和算出10袋总计超出或缺乏的局部.④例3中10袋小麦重量数与哪个数字比较接近？解法二中运用了哪些运算律？与解法一比较，哪种方法较好？好在哪里？10袋小麦重量数与90比较接近.解法二中运用了加法的交换律和结合律.解法二较好，使运算更简便.⑤某学习小组五位同学某次数学测试成绩〔分〕为83、76、94、88、74，该班全体同学测试的平均分为80分，问这五位同学的平均分超出全班平均分是多少分？用两种方法解答.解法一：先计算这5个人的平均分是多少分：〔83+76+94+88+74〕÷5=83，再计算超过平均分多少分：83-80=3.解法二：每个人的分数超过平均分的记为正数，低于平均分的记为负数，那么5个人对应的数分别为：+3，-4，+14，+8，-6.［〔+3〕+〔-4〕+〔+14〕+〔+8〕+(-6)］÷5=3.答：这五位同学的平均分超出全班平均分3分.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生对这两个例题的思路是否理解.②差异指导：对学困生启发指导.〔2〕生助生：学生通过讨论交流解决自学中的疑难问题.4.强化：〔1〕a.使用运算律使计算简便的常用方法：正数与正数相结合，负数与负数相结合；互为相反数的相结合.b.例3中解法1的方法：实际总量-按标准算总量；解法2的方法：先算每袋超〔或少〕标准量多少？再求总超〔或少〕标准总量多少？〔2〕加法运算律在有理数运算中的作用及使用方法.〔3〕练习：计算：①1+(－12)+13+(－16)；②314+(－235)+534+(－825)答案：①23；②-2.三、评价1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：自我总结本节课学习的收获与困惑.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生学习中的行为表现进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕：本课时教学内容，学生在小学时已接触过并且带有技巧性，是学生比较喜欢的知识，教学时可依据这些特点，由教师设计现实情境，引导学生带着新奇去自主发现与交流，从而获取知识和技巧.对学生在自主探索形成的认识中缺乏的地方，教师可在指导学生解决实际问题时，针对性的补充与拓展，训练时还可采用抢答等形式，由学生自己做出评判.一、根底稳固〔70分〕1.〔30分〕－12+14+(－25)+(+310)运用运算律计算恰当的是〔A〕A.[(－12+14)]+[(－25)+(+310)]B. [14+(－25)]+[(－12)+(+310)]C. (－12)+ [14+(－25)]+(+310)2.〔40分〕计算.〔1〕5+(－6)+3+9+(－4)+(－7)；〔2〕(－0.8)+1.2+(－0.7)+(－2.1)+0.8+3.5；〔3〕(－6.8)+425+(－3.2)+635+(－5.7)+(+5.7)；〔4〕12+(－23)+45+(－12)+(－13).解：〔1〕原式=5+3+9+［(-6)+(-4)+(-7)］=17+(-17)=0；(2)原式=［(-0.8)+0.8］+1.2+3.5+［(-0.7)+(-2.1)］=0+4.7+(-2.8)=1.9；(3)原式=［(-6.8)+(-3.2)］+425+635+［(-5.7)+(+5.7)］=(-10)+11+0=1；〔4〕原式=12+(-12)+(-23)+(-13)+45=0+(-1)+45=-15.二、综合应用〔20分〕3.〔10分〕食品店一周中各天的盈亏情况如下(盈余为正)：132元，-12.5元，-10.5元，127元，-87元，136.5元，98元.一周中总的盈亏情况如何？解：132+〔-12.5〕+〔-10.5〕+127+〔-87〕+136.5+98=383.5(元)，即一周盈利383.5元.4.〔10分〕有8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，缺乏的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5.这8筐白菜一共多少千克？解：1.5+〔-3〕+2+〔-0.5〕+1+〔-2〕+〔-2〕+〔-2.5〕+25×8=194.5〔千克〕.答：这8筐白菜一共194.5千克.三、拓展延伸〔10分〕5.〔10分〕〔1〕计算以下各式的值.①(-2)+(-2)；②(-2)+(-2)+(-2)；③(-2)+(-2)+(-2)+(-2)；④(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2).〔2〕猜想以下各式的值：(－2)×2；(－2)×3；(－2)×4；(－2)×5.你能进一步猜出一个负数乘一个正数的法那么吗？解：〔1〕①-4；②-6；③-8；④-10.(2)(-2)×2=-4，(-2)×3=-6，(-2)×4=-8，(-2)×5=-10负数乘正数的法那么：符号取负号，再把两数的绝对值相乘.。
多项式课件(公开课)(共19张PPT)
• 2次项为
1 4 m 2 n 3 2 m 3 n 2 m 4 n m n 4
• 2、
• 项为 • 常数(chángshù)项为
；次数是
；
；这个多项式叫做
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思考(sīkǎo)：如果我们要按照某一个顺序来重 新排列上面两个多项式，可以怎么来排？
根据加法交换律，任意(rènyì)两项可以 交换位置，最后的结果不变。
５次 ２次 0次
称这个多项式为五次三项式
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（4）例题(lìtí) 讲解
1、把多项式t-5，3x+5y+2 ，1 ab 3.14 ，x2+2x+18
2
读一读，想一想它们的项分别是什么(shén me)，常数 项分别是什么(shén me)？
答：①t , -5 ; -5 ②3x , +5y , +2 ; +2 ③ 1 ab , 3.14; -3.14
升幂与降幂： 按某一字母指数从大到小的顺序排列(páiliè)，这种排列
(páiliè)方式叫做降幂排列(páiliè)； 按某一字母指数从小到大的顺序排列(páiliè)，这种排列
(páiliè)方式叫做升幂排列(páiliè)；
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注意：1、升幂和降幂必须按照某
（2）鸡兔同笼，鸡有a只，兔有b只，则共有(ɡònɡ yǒu)头
2
④x2, +2x, +18 ; 18
第十一页，共19页。
注意: (1)多项式的次数不是所有 (suǒyǒu)项的次数之和；
（2）多项式的项要包括它前 面的符号
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2、填空题
• 1、 3 a b32a bab2
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哈尔滨市第69中学校初一学年数学学科教案
备课时间：_______年______月_______日授课教师：
授课时间年月日课时数第课时课题8.1.2多项式
教学目标知识与技能
通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式
的项及其次数、常数项的概念
过程与方法
通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知
的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。
由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利
于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生
知识的迁移和知识结构体系的更新。
情感态度价
值观
初步体会类比和逆向思维的数学思想。
教学重点掌握整式及多项式的有关
概念，掌握多项式的定义、
多项式的项和次数，以及常
数项等概念。
教学难点多项式的次数。