lecture04递推求解new
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奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第四讲：递推方法
第四讲 递推方法
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是 1，比 1 大 1 的数是 2，接下来比 2 大 1 的数是 3，…由此得到了自然数数列：1， 2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第 n 个数为 an，则 an+1=an+1; 即 由自然数中第 n 个数加上 1，就是第 n+1 个数.由此可得 an＋2=an＋1＋1，这样就可以得到自然 数数列中任何一个数. 一般来说， 如果一个与自然数有关的数列中的任一项 an 可以由它前面 的 k（≤n－1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这 个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推 关系式.通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法.这里所说的递推方法是指对于 某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，所谓用递推法解题，就是根据题目 的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系.递推关系一 般可以用归纳、猜想等途径获得.利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递 推关系；(3)利用递推关系求通项. 例 1．把一个圆分成 n(n 2) 个扇形，依次设为 s1 , s2 , , sn ，每个扇形都可用红、黄、蓝 3 种不同的颜色之一涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问共有多少种涂色方法？ 解：设不同的涂色方法有 an (n 2) 种.当 n 2 时，对 s1 有 3 种涂色方法，继而对 s2 有两 种涂色方法，得 a2 6 . 下面确定 an 的递推关系，如图所示，若先涂 s1 有 3 种涂法；继 而涂 s2 , s3 , , sn 1 均有 2 种涂法.最后到 sn ，如果只要求 sn 与 sn 1 的颜 色不同，而不顾及 sn 与 s1 的颜色是否相同，仍有 2 种涂法，这样就 共有 3 2n 1 种涂法.但是这 3 2n 1 种涂法分成了两类： 一类是 sn 与 s1 的 颜色不同，其方法数是 an ；另一类是 sn 与 s1 的颜色相同，这种涂法 不符合题意， 但把 sn 与 s1 合成一个扇形， 得出这类涂法的总数为 an 1.
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是 1，比 1 大 1 的数是 2，接下来比 2 大 1 的数是 3，…由此得到了自然数数列：1， 2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第 n 个数为 an，则 an+1=an+1; 即 由自然数中第 n 个数加上 1，就是第 n+1 个数.由此可得 an＋2=an＋1＋1，这样就可以得到自然 数数列中任何一个数. 一般来说， 如果一个与自然数有关的数列中的任一项 an 可以由它前面 的 k（≤n－1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这 个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推 关系式.通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法.这里所说的递推方法是指对于 某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，所谓用递推法解题，就是根据题目 的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系.递推关系一 般可以用归纳、猜想等途径获得.利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递 推关系；(3)利用递推关系求通项. 例 1．把一个圆分成 n(n 2) 个扇形，依次设为 s1 , s2 , , sn ，每个扇形都可用红、黄、蓝 3 种不同的颜色之一涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问共有多少种涂色方法？ 解：设不同的涂色方法有 an (n 2) 种.当 n 2 时，对 s1 有 3 种涂色方法，继而对 s2 有两 种涂色方法，得 a2 6 . 下面确定 an 的递推关系，如图所示，若先涂 s1 有 3 种涂法；继 而涂 s2 , s3 , , sn 1 均有 2 种涂法.最后到 sn ，如果只要求 sn 与 sn 1 的颜 色不同，而不顾及 sn 与 s1 的颜色是否相同，仍有 2 种涂法，这样就 共有 3 2n 1 种涂法.但是这 3 2n 1 种涂法分成了两类： 一类是 sn 与 s1 的 颜色不同，其方法数是 an ；另一类是 sn 与 s1 的颜色相同，这种涂法 不符合题意， 但把 sn 与 s1 合成一个扇形， 得出这类涂法的总数为 an 1.
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
《ACM递推求解》课件
2 How do recursive algorithms work?
递推算法通常由一个基本情况和一个递推关系组成。当问题达到基本情况时，递归过程 结束并返回结果。否则，递归算法将继续调用自身来解决较小的子问题。
3 What are some common examples of recursive algorithms?
Why are ACM递推 problems important?
ACM递推问题是计算机科学和编程中的重要部 分。通过解决这些问题，我们可以提高自己的 编程能力和算法思维，同时也可以应用递推算 法解决实际的问题。
递推算法基础知识
1 What is a recursive algorithm?
递推算法是一种通过不断调用自身来解决问题的算法。它可以将大问题分解成多个较小 的子问题，并通过解决子问题的方式来得到最终的解。
3 减少递归深度
通过优化递归算法的终止 条件和边界情况，可以减 少递归的深度，降低递归 算法的时间复杂度。
递推问题的时间复杂度分析
What is time complexity?
时间复杂度是用来衡量算法执行时间与输入规模之间关系的一种指标。它可以帮助我们评估 算法的效率和性能。
How to analyze the time complexity of a recursive algorithm?
总结与展望
1 递推算法的重要性
递推算法在算法设计和问题求解中起着重要的作用。通过掌握递推算法的基本知识和常 见求解方法，我们可以更好地解决问题并优化算法。
2 未来的发展方向
未来，随着计算机科学和技术的进步，递推算法将继续发展和创新，为解决更复杂的问 题提供更高效的求解方法。
《ACM递推求解》PPT课 件
递推算法通常由一个基本情况和一个递推关系组成。当问题达到基本情况时，递归过程 结束并返回结果。否则，递归算法将继续调用自身来解决较小的子问题。
3 What are some common examples of recursive algorithms?
Why are ACM递推 problems important?
ACM递推问题是计算机科学和编程中的重要部 分。通过解决这些问题，我们可以提高自己的 编程能力和算法思维，同时也可以应用递推算 法解决实际的问题。
递推算法基础知识
1 What is a recursive algorithm?
递推算法是一种通过不断调用自身来解决问题的算法。它可以将大问题分解成多个较小 的子问题，并通过解决子问题的方式来得到最终的解。
3 减少递归深度
通过优化递归算法的终止 条件和边界情况，可以减 少递归的深度，降低递归 算法的时间复杂度。
递推问题的时间复杂度分析
What is time complexity?
时间复杂度是用来衡量算法执行时间与输入规模之间关系的一种指标。它可以帮助我们评估 算法的效率和性能。
How to analyze the time complexity of a recursive algorithm?
总结与展望
1 递推算法的重要性
递推算法在算法设计和问题求解中起着重要的作用。通过掌握递推算法的基本知识和常 见求解方法，我们可以更好地解决问题并优化算法。
2 未来的发展方向
未来，随着计算机科学和技术的进步，递推算法将继续发展和创新，为解决更复杂的问 题提供更高效的求解方法。
《ACM递推求解》PPT课 件
递推求解new课件
31得到递推的通 项公式：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n>3)
然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 显然：
F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊 处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4
9 2019/10/18
Fibnacci 数列：
即：1、2、3、5、8、13、21、34…
10 2019/10/18
思考:
递推公式的伟大意义——？ 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？）
11 2019/10/18
简单思考题:
在一个平面上有一个圆和n条直 线，这些直线中每一条在圆内 同其他直线相交，假设没有3条 直线相交于一点，试问这些直 线将圆分成多少区域。
如果所坐的不是5人而是n人，写出第n 个人的年龄表达式。
5 2019/10/18
显然可以得到如下公式:
化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2
6 2019/10/18
再来一个简单题:
7 2019/10/18
再来一个简单题:
蟠桃记
8 2019/10/18
递推公式?
F(n)=(F(n-1)+1)*2
仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到 n的推导过程。
35 2019/10/18
Any question?
36 2019/10/18
HDOJ作业：
一、课后在线练习: 《ACM Programming》Exercise（3）
二、相关题目： 1290 献给杭电五十周年校庆的礼物 1297 Children’s Queue 1438 钥匙计数之一 1465 ~1466 1480 钥匙计数之二 2013 蟠桃记 2018 母牛的故事 2041~2042 2044~2050 (10/5专题练习)
F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n>3)
然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 显然：
F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊 处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4
9 2019/10/18
Fibnacci 数列：
即：1、2、3、5、8、13、21、34…
10 2019/10/18
思考:
递推公式的伟大意义——？ 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？）
11 2019/10/18
简单思考题:
在一个平面上有一个圆和n条直 线，这些直线中每一条在圆内 同其他直线相交，假设没有3条 直线相交于一点，试问这些直 线将圆分成多少区域。
如果所坐的不是5人而是n人，写出第n 个人的年龄表达式。
5 2019/10/18
显然可以得到如下公式:
化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2
6 2019/10/18
再来一个简单题:
7 2019/10/18
再来一个简单题:
蟠桃记
8 2019/10/18
递推公式?
F(n)=(F(n-1)+1)*2
仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到 n的推导过程。
35 2019/10/18
Any question?
36 2019/10/18
HDOJ作业：
一、课后在线练习: 《ACM Programming》Exercise（3）
二、相关题目： 1290 献给杭电五十周年校庆的礼物 1297 Children’s Queue 1438 钥匙计数之一 1465 ~1466 1480 钥匙计数之二 2013 蟠桃记 2018 母牛的故事 2041~2042 2044~2050 (10/5专题练习)
高中数学解递推数列的方法和实例分析
高中数学解递推数列的方法和实例分析在高中数学中，递推数列是一种常见且重要的数列类型。
通过递推数列的解题，可以培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
本文将介绍高中数学解递推数列的方法，并通过具体的题目进行分析和说明。
一、递推数列的定义和性质递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
常见的递推数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
解题时，我们需要找到递推数列的递推关系，即通过前一项或前几项的数值关系来确定后一项的数值。
以等差数列为例，其递推关系为：an = an-1 + d，其中an表示第n项，d表示公差。
我们可以通过这个递推关系来求解等差数列中任意一项的数值。
二、递推数列的求解方法1. 直接法直接法是指通过递推关系式直接求解递推数列中任意一项的数值。
例如，已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第n项an的值。
根据递推关系an = an-1 + d，我们可以得到an = a1 + (n-1)d。
代入已知条件，可以得到an = 2 + (n-1)3 = 3n-1。
因此，第n项an的值为3n-1。
2. 通项公式法通项公式法是指通过求递推数列的通项公式来求解递推数列中任意一项的数值。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过已知的首项和公差（或公比）来推导出通项公式。
以等差数列为例，已知首项a1和公差d，我们可以通过求解递推关系式得到通项公式an = a1 + (n-1)d。
例如，已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第n项an的值。
根据通项公式，我们可以得到an = 2 + (n-1)3 = 3n-1。
因此，第n项an的值为3n-1。
3. 递推法递推法是指通过已知的前几项来逐步推导出后面的项的数值。
递推法常用于求解斐波那契数列等特殊的递推数列。
以斐波那契数列为例，已知前两项为1，1，求第n项的值。
根据递推关系式，我们可以得到an = an-1 + an-2。
通过逐步推导，可以得到斐波那契数列的前几项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...通过递推法，我们可以逐步计算出斐波那契数列的每一项的值。
ACM课件递推求解new
说明1：“Z”的两端应看成射线 说明2：“Z”的两条射线规定为平行的
19 2020/1/14
总结：递推求解的基本方法：
首先确认，是否能很容易的得到简单情 况的解
假设规模为N-1的情况已经得到解决
重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所 有的情况，并且要确保对于每一种子情况都 能用已经得到的数据解决。
一把钥匙有N个槽，2<N<26槽深为1，2，3， 4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽 其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。
本题无输入
对2<N<26，输出满足要求的钥匙的总数。
34 2020/1/14
详见解题报告：
/forum/read.php?tid=2294&pa ge=1&toread=1
仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到 n的推导过程。
35 2020/1/14
Any question?
36 2020/1/14
HDOJ作业：
1290 献给杭电五十周年校庆的礼物
1297 Children’s Queue 1438 钥匙计数之一 1465 不容易系列之一 1466 计算直线的交点数 1480 钥匙计数之二 2019 蟠桃记 2018 母牛的故事 2041 超级楼梯 2042 不容易系列之二 2044~2050 (10/5专题练习)
为什么?
17 2020/1/14
趁热打铁， 来个差不多的
18 2020/1/14
附加思考题（还没加到OJ）： “佐罗”的烦恼
说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具， 恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一 个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把 平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果 平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分 呢？
专升本计算机 递推算法 知识点
一、概述专升本计算机考试是专科大专学位等级升本科的一种途径，其中的计算机专业课程是考生们需要重点备考的内容之一。
递推算法作为计算机领域的重要知识点之一，对于考生来说无疑是必须掌握的内容。
本文将针对专升本计算机递推算法的知识点展开详细的介绍和讲解，希望能帮助考生更好地准备和备考。
二、递推算法的概念和特点递推算法是指通过已知的初始条件和递推关系求解问题的一种数学方法。
其特点主要包括：1. 递推关系：递推算法通过一个已知的初始条件和一个递推关系来求解问题，递推关系是问题的各个阶段之间的数学关系。
2. 初始条件：递推算法需要一个或多个已知的初始条件来作为起点，根据递推关系逐步推导出问题的解。
3. 递推公式：递推算法最终可以通过递推关系得出一个递推公式，用于直接计算问题的解，而不需要逐步推导。
三、递推算法的应用领域递推算法在计算机科学和数学领域有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 斐波那契数列：递推算法可以用来求解斐波那契数列中任意一项的值，通过递推关系和初始条件可以得出通用的递推公式。
2. 排列组合问题：在组合数学中，递推算法可以用来求解排列组合问题，通过递推关系和初始条件可以逐步计算出各种排列组合的数量。
3. 动态规划：在算法设计中，递推算法常常与动态规划方法结合使用，用来解决各种优化问题和最优化问题。
四、递推算法的实际案例以斐波那契数列为例来说明递推算法的具体应用。
斐波那契数列是一个经典的递推数列，其递推关系为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，初始条件为F(0)=0，F(1)=1。
可以通过递推关系和初始条件得出斐波那契数列的递推公式：```F(n) = 1/sqrt(5) * ( ((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n )```通过这个递推公式，可以直接计算斐波那契数列中任意一项的值，而不需要逐步推导。
五、递推算法的学习方法要掌握递推算法，考生需要掌握以下几点学习方法：1. 熟练掌握递推关系和初始条件的建立方法，对于各种经典数列和问题要能够准确地建立递推关系和初始条件。
递推关系的建立及其求解方法
区域①是一个凸k边形,区域②是一个凸n-k+1边形,区域①的拆分方案总数是f(k) 区域②的拆分方案数为f(n-k+1),故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为 f(k)* f(n-k+1)种
F(n)=
∑ f(i) * f(n - i + 1)
i =2
n 1
问题二: 问题二:二叉树数目 问题描述: 个结点能构成不同二叉数的数目. 问题描述:求n个结点能构成不同二叉数的数目. 个结点能构成不同二叉数的数目 【问题分析】: 设F(n)为n个结点组成二叉树的数目. 容易知道:f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5
现在要求把1柱上 个圆盘按下述规则移到 柱上: 现在要求把 柱上n个圆盘按下述规则移到 柱上: 柱上 个圆盘按下述规则移到m柱上 (1) 一次只能移一个圆盘; 一次只能移一个圆盘; (2) 圆盘只能在 个柱上存放; 圆盘只能在m个柱上存放 个柱上存放; (3) 在移动过程中,不允许大盘压小盘. 在移动过程中,不允许大盘压小盘.
通过以上步骤我们可以初步得出: 通过以上步骤我们可以初步得出: f[i] = 2*f[j]+2^(i-j)-1
j可取的范围是 可取的范围是1<=j<I,所以对于不同的 ,得到的 可能 可取的范围是 ,所以对于不同的j,得到的f[i]可能 是不同的, 是不同的,本题要求最少的移动次数
f[i] = min{2*f[j]+2^(i-j)-1},其中1<=j<I
n
F(n)=
∑ f(i - 1) * f(n - i)
i =1
4,第二类Stirling数 ,第二类 数 问题一: 问题一:放置小球 n个有不同的球放到 个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数用 个有不同的球放到m个相同的盒子中 要求无一空盒, 个有不同的球放到 个相同的盒子中, S(n,m)表示,称为第二类 表示, 表示 称为第二类Stirling数 ,求S(n,m). 数 . 设有n个不同的球,分别用b1,b2,……bn表示.从中取出一个球bn,bn 的放法有以下两种: 1)bn独自占一个盒子;那么剩下的球只能放在m-1个盒子中,方案数为 S(n-1,m-1) 2)bn与别的球共占一个盒子;那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个 盒子中,然后再将球bn可以放入其中一个盒子中,方案数为 mS(n-1,m)
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说明1：“Z”的两端应看成射线 说明2：“Z”的两条射线规定为平行的
18 2020/11/23
总结：递推求解的基本方法：
首先确认，是否能很容易的得到简单情 况的解
假设规模为N-1的情况已经得到解决
重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所 有的情况，并且要确保对于每一种子情况都 能用已经得到的数据解决。
强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定是从N-1到N的分析
19 2020/11/23
思考题：平面分割方法
问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何
两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三 条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭 曲线把平面分割成的区域个数。
20 2020/11/23
14 1
Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n^2 – n + 1
为什么?
16 2020/11/23
趁热打铁， 来个差不多的☺
17 2020/11/23
附加思考题（还没加到OJ）： “佐罗”的烦恼
说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具， 恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一 个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以 把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如 果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部 分呢？
22 2020/11/23
再思考：
有1×n的一个长方形，用1×1、1×2、1×3的骨牌铺满方 格。例如当n=3时为1×3的方格，此时用1×1，1×2， 1×3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。如图
输入 n（0<=n<=30
）; 输出
铺法总数
23 2020/11/23
典型例题
仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用1×1,1×2,1×3三种 铺法,很容易就可以得出：
10 2020/11/23
简单思考题:
在一个平面上有一个圆和n条直 线，这些直线中每一条在圆内 同其他直线相交，假设没有3条 直线相交于一点，试问这些直 线将圆分成多少区域。
11 2020/11/23
是不是这个——
F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n;
化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;
27 2020/11/23
结论：
所以，通过以上的分析，可以得到递推的通 项公式：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n>3)
然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 显然：
F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊 处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4
12 2020/11/23
太简单了? 来个稍微麻烦一些的☺
13 2020/11/23
例: （2050）折线分割平面
问题描述： 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分 割成多少块?
样例输入 1 2 样例输出 2 7
14 2020/11/23
思考2分钟:如何解决?
15 2020/11/23
结论:
28 2020/11/23
附加思考题：
不容易系列之(3) —— LELE的RPG难题
有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉 (Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每 格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色 ，且首尾两格也不同色．求全部的满足要 求的涂法.
29 2020/11/23
附加思考题： 1480_钥匙计数之二
递推公式?
F(n)=(F(n-1)+1)*2
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Fibnacci 数列：
1n 0
fn
2n 1
fn1 fn2 n 2
即：1、2、3、5、8、13、21、34…
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思考:
递推公式的伟大意义——？ 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？）
ACM 程序设 计
1 2020/11/23
今天，
你 了吗？
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第三讲 递推求解
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先来看一个超级简单的例题:
有5人坐在一起，当问第5个人多少岁, 他说比第4个人大2岁，问第4个人多少 岁,他说比第3个人大2岁，依此下去， 问第一个人多少岁，他说他10岁，最 后求第5个人多少岁？
2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然 后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有 F(n-2);
2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法 的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然， 这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是 尾巴，就是说，这里说的长度是n-2的不合法串的形 式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4).
23பைடு நூலகம்
n=1 n=2
8 1
5
3
2
4
6
7
n=3
14
6
10 11 3 12 2
1 8
4
5
9 7 13
n=4
F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(n-1)
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思考题（2046）：
在2×n的一个长方形方格中,用一个1× 2的骨牌铺满方格, 例如n=3时,为2× 3方格，骨牌的铺放方案有三种(如图), 输入n ,输出铺放方案的总数
仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到 n的推导过程。
31 2020/11/23
HDOJ作业：
1290 献给杭电五十周年校庆的礼物
1297 Children’s Queue 1438 钥匙计数之一 1465 不容易系列之一 1466 计算直线的交点数 1480 钥匙计数之二 2013 蟠桃记 2018 母牛的故事 2041 超级楼梯 2042 不容易系列之二 2044~2050 (10/5专题练习)
1、如果n个人的合法队列的最后一个人是 男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制， 他只要站在最后即可，所以，这种情况一 共有F(n-1);
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2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要 求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定 了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况：
如果所坐的不是5人而是n人，写出第n 个人的年龄表达式。
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显然可以得到如下公式:
10n1
f (n)
f (n1)2n2
化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2
5 2020/11/23
再来一个简单题:
6 2020/11/23
再来一个简单题:
蟠桃记
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f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4
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最后一个思考题（有点难度）：
Children’s Queue
用F(n)表示n个人的合法队列， 作如下分析：
按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 要么是女，所以可以分两大类讨论：
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课后一定 要练习！
33 2020/11/23
Thank you!
See you next week.
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一把钥匙有N个槽，2<N<26槽深为1，2，3， 4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽 其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。
本题无输入
对2<N<26，输出满足要求的钥匙的总数。
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详见解题报告：
/forum/read.php?tid= 2294&page=1&toread=1