ACM课件(lecture_03)递推

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结论:

Fn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n^2 – n + 1
为什么?
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总结：递推求解的基本方法：

首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？

然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。 最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚 举出所有的情况，并且要确保对于每一种子 情况都能用已经得到的数据解决。
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分析

此题公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)*2 (n>=4) 1.若前n-1合法，则首尾不同，再添1个时， 只有1种方法； 2.若前n-1不合法，而添1个时合法，即只是 因为首尾相同引起的不合法，这样前n-2必定 合法。此时第n个的添 加有2种方法。 3.f(1)=3;f(2)=6;f(3)=6.至此，可得。
2014-12-7 两种情况相加 F(N)= (N-1)(F(N-1)+F(N-2) 31
得到如下递推公式：
基本形式：d[1]=0; d[2]=1 递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])
这就是著名的错排公式
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思考题-骨牌铺方格（2046）
在2×n的长方形方格中,用n个1×2的骨牌铺满方格, 例如n=3时,为2×3方格，骨牌的铺放方案有三种(如 图), 输入n ,输出铺放方案的总数
4. 输入样例
4 5 2 19 1
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5. 输出样例 5 1 4181 1
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解题思路

这个题目要求很明确，因为a的规模很小， 所以递归调用不会产生栈溢出的问题。 设第n项值为f(n)，则f(n)=f(n-1)+f(n-2)。 已知f(1)=1，f(2)=1，则从第3项开始， 可以用公式求。
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推理：



假设用arr[i]表示2*i的方格一共有组成的方法数， 我们知道arr[1]=1;arr[2]=2;arr[3]=3 假设已经知道了arr[i-1]和arr[i-2],求arr[i],所谓 arr[i],不过是在2*（i-1）的格子后边加上一格2*1的 方格罢了，骨牌在这一格上横着放，竖着放，如果 前面i-1块已经铺好，则第i块只有一种铺法，就是竖 着放，如果要横着放，也只有一种铺法，不过要求 前面i-2块已经铺好！ 因此arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
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Fibnacci 数列：


2. 输入数据 第一行是测试数据的组数n，后面跟着n 行输入。每组测试数据占1行，包括一个 正整数a（1=<a<=20）。 3.输出要求 输出有n行，每行输出对应一个输入。 输出应是一个正整数，为斐波那契数列 中第a个数的大小。
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附加思考题（2）：
1480_钥匙计数之二
一把钥匙有N个槽，2<N<26槽深为1，2，3，4,5,6。每 钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之差不得 为5。求这样的钥匙的总数。 本题无输入
强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定只是从N-1到N的分析
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2013蟠桃记——程序一 #include<stdio.h> int main() { int n,i,s;
编程中的空间换时间的思想
}
while(scanf("%d",&n)!=EOF) { s=1; for(i=2;i<=n;i++) s=(s+1)*2; printf("%ld\n",s); } return 0;
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简单分析——
14 2 1 1 2 4 3 5 3 1 4 7 2 8 10 11 6 9 6 2 1 4 8 7 3 12 5 13
n=1
n=2
n=3
n=4
F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(n-1)
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1465 不容易系列之一
某人写了n封信和n个信封，如果 所有的信都装错了信封。求所有 的信都装错信封,共有多少种不 同情况。
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归纳分析
F(n-2)
F(n-1)
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
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递推公式
f(1)=1, f(2)=2 f(n)=f(n-1)+f(n-2), 当n>=3时
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再思考题：
有1×n的一个长方形，用1×1、1×2、1×3的骨牌铺 满方格。例如当n=3时为1×3的方格（如图），此时用 1×1，1×2，1×3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。
ACM程序设计
第三讲
递归求解
先来看一个超级简单的例题:

有5人坐在一起，当问第5个人多少岁, 他说比第4个人大2岁，问第4个人多少 岁,他说比第3个人大2岁，依此下去， 问第一个人多少岁，他说他10岁，最 后求第5个人多少岁？ 如果所坐的不是5人而是n人，写出第 n个人的年龄表达式。
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简单思考题:

在一个平面上有一个圆和n条直 线，这些直线中每一条在圆内同 其他直线相交，假设没有3条直 线相交于一点，试问这些直线将 圆分成多少区域。
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第n条直线与前n-1条直线有n-1个交点，第n 条直线被分成n条线段，每条线段将一个区 域一分为二
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最后一个思考题（有点难度）
1297 Children’s Queue
N=4的情况： FFFF, FFFM, MFFF, FFMM, MFFM, MMFF, MMMM
有n个人组成的队列，不能有单个女生排在队列中，要么பைடு நூலகம்没有女生，要么至少两个女生相邻。
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分析过程（1）
设：F(n)表示n个人的合法队列，则：
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输入输出样例
样例输入 1 2 样例输出 2 7
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思考2分钟:如何解决?
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分析



当第n个折线加入时，已有f(n-1)个平面， 有2(n-1)条折线， 第n条折线将与这2(n-1)条折线构成4(n-1) 个交点，将使平面多4(n-1)个区域，而第n 条折线的顶点将使平面多一个区域 故： f(n)=f(n-1)+4(n-1)+1
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分析
第1天 第2天
……
？
倒数第n天 倒数第n-1天 …… 倒数第1天
第n天 剩余1个
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递推公式?

F(n)=(F(n-1)+1)*2
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斐波那契数列

1.问题描述： 斐波那契数列是指这样的数列：数列的 第一个和第二个数都为1，接下来每个数 都等于前面2个数之和。给出一个正整数 a，要求斐波那契数列中第a个数是多少。
输入： n（0<=n<=30）; 输出： 铺法总数
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典型例题
分析过程：
仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用1×1,1×2,1×3三种铺 法,很容易就可以得出： f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4
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提示：

1297 用64位整数无法实现，要用数组模 拟大整数才能实现
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附加思考题（1）：
2045 不容易系列之(3) —— LELE的RPG难题
有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉 (Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂 一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首 尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.
显然可以得到如下公式:
化简后的公式:
F(n)=10+(n-1)*2
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再来一个简单题:2013
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2013

蟠桃记
第一天悟空吃掉桃子总数一半多一个， 第二天又将剩下的桃子吃掉一半多一个， 以后每天吃掉前一天剩下的一半多一个， 到第n天准备吃的时候只剩下一个桃子。 聪明的你，请帮悟空算一下，他第一天 开始吃的时候桃子一共有多少个呢？
按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 要么是女，所以可以分两大类讨论： 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是 男，则对前面n-1个人的队列没有任何限 制，他只要站在最后即可，所以，这种情 况一共有F(n-1);
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分析过程（2）
2、如果n个人的合法队列的最后一个 人是女，则要求队列的第n-1个人务必 也是女生，这就是说，限定了最后两 个人必须都是女生，这又可以分两种 情况：
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64位整数的使用

_int64 a[60]; printf("%I64d\n",a[n])
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思考题：平面分割方法
问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上，而任 何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何 三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封 闭曲线把平面分割成的区域个数。