高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列同步测控北师大选修2-3创新
高中数学第2章概率2.1.2离散型随机变量及其分布列课件北师大版选修23
(1)P(X＝1 或 X＝2)；
1 7 (2)P2<X<2. 【精彩点拨】
先由分布列的性质求 a，再根据 X＝1 或 X＝2，12<X<72的含
义，利用分布列求概率．
【自主解答】 (1)∵i＝41pi＝1a＋2a＋3a＋4a＝1，
∴a＝10，
第二十三页，共35页。
则 P(X＝1 或 X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
X －2 －1
0
1
2
4
P
5 22
2 11
1 66
4 11
4 33
1 11
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[探究共研型]
离散型随机变量的分布列的性质及应用
探究 1 设 ξ 是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ
－1
0
1
P
1 2
1－2q
q2
能否求出 q 的值？ 【提示】 由分布列的性质得，1－2q≥0，q2≥0，12＋(1－2q)＋q2＝1，∴q
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[再练一题]
3．设随机变量 X 的分布列为 PX＝5k＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值；
(2)求 PX≥35；
(3)求
1
7
P10<X<10.
【解】 题目所给随机变量 X 的分布列为：
X＝i
1 5
2 5
3 5
4 5
1
P(X＝i)
a 2a 3a 4a 5a
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“三步法”判定离散型随机变量 1．依据具体情境分析变量是否为随机变量． 2．由条件求解随机变量的值域． 3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型 随机变量；否则，不是离散型随机变量．
北师版数学高二-选修2-3教学设计2.1离散型随机变量及其分布列(一)
离散型随机变量及其分布列（一）教学目标(一)教学知识点1．随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样就可以用变量来刻画随机试验的结果以及随机事件，以便更好的借助于数学工具对随机现象进行研究2．在第二册（下B）对“概率”初步学习的基础上，了解随机变量、离散型随机变量的意义，掌握离散型随机变量在概率中的应用。
(二)能力训练要求1．掌握随机变量的真实含义，灵活运用随机变量的意义分析随机现象的规律.2．会运用函数观念研究随机现象的问题，具有一定的函数思想.3．能对日常生活和生产实践中的随机现象进行总结和概括,训练学生的概括能力教学重点1.在掌握概率中随机现象的基础上,引入随机变量这个概念2.深刻理解随机变量的三个特征教学难点自然随机现象中的随机试验的结果是千姿百态的,这些结果如何去刻画他们,于是有了随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量等概念的建立.教学过程1.情境引入情境1：在射击运动中，运动员每次射击的成绩具有什么特征？（随机性）运动员每次射击的成绩是一个什么事件？（随机事件）如何刻画每个运动员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会的比赛才能使得获胜的概率大？解决这个问题要涉及到离散型随机变量的概率分布模型。
情境2：高尔顿是英国生物学家和统计学家，他设计了一个著名的游戏——高尔顿板游戏。
如图，在一块木板上钉上钉着若干排相互平行并相互错开的圆柱形小模块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前后挡有玻璃，然后让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最后会堆积成什么形状？这个问题近似地服从正态分布，它是很多自然现象和生产、生活实际问题中经常遇到的一种连续型随机变量的概率分布模型。
以上两个问题就是我们本章要学习的两个重要的随机变量概率分布模型，本章的课题是——随机变量及其分布。
引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。
高中数学 第二章 概率 1 离散型随机变量及其分布列教学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-
§1离散型随机变量及其分布列[对应学生用书P20]离散型随机变量(1)掷一枚均匀的骰子，出现的点数．(2)在一块地里种下10颗树苗，成活的棵数．(3)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，所含红球的个数．问题1：上述现象有何特点？提示：各现象的结果都可以用数表示．问题2：现象(3)中红球的个数x取什么值？提示：x＝0,1,2,3,4.问题3：掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？提示：可以，如用数1和0分别表示正面向上和反面向上．1．随机变量将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母X，Y来表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.离散型随机变量的分布列1．抛掷一枚均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数．问题1：X的可能取值是什么？提示：X＝1,2,3,4,5,6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.问题3：试用表格表示X 和P 的对应关系． 提示：X 1 2 3 4 5 6 P161616161616问题4：试求概率和． 提示：其和等于1.1．离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)，(1)或把上式列成表X ＝a i a 1 a 2 … P (X ＝a i )p 1p 2…上表或(1)式称为离散型随机变量X 的分布列． 2．离散型随机变量的性质 (1)p i ＞0；(2)p 1＋p 2＋p 3＋ (1)1．随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量．2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率．[对应学生用书P21]随机变量的概念[例1] 写出以下各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.[思路点拨] 把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关系．[精解详析] (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k 号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.假设以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，那么X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．[一点通] 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．1．以下变量中属于离散型随机变量的有________．①在2 014X已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取一X，被取出的编号数为X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③从2 014X已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取3X，被取出的卡片的号数和X；④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X；⑤投掷一枚骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X.解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X的取值为某一X围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量．⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．答案：①②③2．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取次数为X，那么X＝3表示的试验结果是________．解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4〞表示的试验结果．解：设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意得X＝x－y.那么－5≤X≤5，即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．那么X＞4⇔X＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．离散型随机变量分布列的性质[例2]X＝i 1234 5P(X＝i)110310a110110(1)求a；(2)求P(X≥4)，P(2≤X＜5)．[思路点拨] (1)利用分布列中所有概率和为1的性质求解．(2)借助互斥事件概率求法求解．[精解详析] (1)由110＋310＋a ＋110＋110＝1，得a ＝25.(2)P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝110＋110＝15，P (2≤X ＜5)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋25＋110 ＝45. [一点通] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的． (2)p 1＋p 2＋…＝1，且p i ＞0，i ＝1,2，….4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，那么a 的值为( )A ．1 B.913C.1113D.2713解析：由分布列的性质，知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝a ·13＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1327a ＝1.∴a ＝2713.答案：D5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4.求：(1)P (X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72. 解：∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4，(1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝110＋210＝310. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.离散型随机变量的分布列[例3] (10分)袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设X 表示取出3个球中的最大，求X 的分布列．[思路点拨] 先确定X 的所有可能取值，然后分别求出X 取各值时的概率即可． [精解详析] 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6.X ＝3，即取出的3个球中最大为3，其他2个球的为1,2.所以，P (X ＝3)＝C 22C 36＝120；(2分)X ＝4，即取出的3个球中最大为4，其他2个球只能在为1,2,3的3个球中取．所以，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；(4分)X ＝5，即取出的3个球中最大为5，其他2个球只能在为1,2,3,4的4个球中取．所以，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；(6分)X ＝6，即取出的3个球中最大为6，其他2个球只能在为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P ＝(X ＝6)＝C 25C 36＝12.(8分)所以，随机变量X 的分布列为X ＝x i 3 4 5 6 P (X ＝x i )12032031012(10分)[一点通] (1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．6．在射击的试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 射中，0，未射中，如果射中的概率为0.8，求随机变量X 的分布列．解：由P (X ＝1)＝0.8，得P (X ＝0)＝0.2.所以X 的分布列为：X ＝x i 1 0 P (X ＝x i )0.8 0.27．(某某高考改编)一个盒子里装有7X 卡片，其中有红色卡片4X ，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3X ， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4X 卡片(假设取到任何一X 卡片的可能性相同)．(1)求取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4X 卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片〞为事件A ，那么P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4X 卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 P13543527478．(某某高考改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y10结算时间(分钟/人) 11.522.53这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解： (1)由得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310， P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15， P (X ＝3)＝10100＝110. X 的分布列为X 1 1.5 2 2.5 3 P32031014151101．随机变量X 是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X 的线性组合Y ＝aX ＋b (a ，b 是常数)也是随机变量．2．离散型随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．[对应课时跟踪训练九]1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各假设干个，一次倒出三个小球，以下变量是离散型随机变量的是( )A ．小球滚出的最大距离B ．倒出小球所需的时间C ．倒出的三个小球的质量之和D ．倒出的三个小球的颜色种数解析：A ，B 不能一一列举，不是离散型随机变量，而C 是常量，是个确定值，D 可能取1,2,3，是离散型随机变量．答案：D2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球之和为随机变量X ，那么X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C3．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，假设P (X <4)＝0.3，那么n ＝( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：∵X 等可能取1,2,3，…，n ， ∴X 的每个值的概率均为1n.由题意知P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10. 答案：C4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，P (Y <6)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：Y <6，即2X －1<6，∴X <3.5.X ＝1,2,3，P ＝310.答案：A5．随机变量Y 的分布列如下：Y ＝y i 1 2 3 4 5 6 P (Y ＝y i )0.1x0.350.10.150.2那么(1)x ＝________；(2)P (Y ＞3)＝________； (3)P (1＜Y ≤4)＝________.解析：(1)由 i ＝16p i ＝1，∴x ＝0.1.(2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.55 6．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck k ＋1，k ＝1,2,3，其中C 为常数，那么P (X ≥2)＝________.解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，∴C ＝43.P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝432×3＋433×4＝13.答案：137．假设离散型随机变量X 的分布列为：word11 / 11，求常数a 及相应的分布列．解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝13，或a ＝23(舍)． 所以随机变量X 的分布列为：8．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )〞为事件A ，试列举A 包含的基本事件；(2)设X ＝m 2，求X 的分布列．解：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝26＝13， P (X ＝4)＝26＝13，P (X ＝9)＝16.故X 的分布列为。
高中数学：2.1随机变量及其概率分布(一) 教案 (北师大选修2-3)
“教材分析与导入设计”第二章概率2。
1 离散型随机变量及其分布列本节教材分析教科书通过投掷骰子的试验给出了离散型随机变量的描述性的定义，并给出了离散型的分布列的概念.随机变量的分布列完全描述了随机现象的规律，了解随机现象就是要了解分布列.最后课本举例说明了如何通过求离散型随机变量的分布列来了解随机现象，以及如何利用分布列来计算随机事件的概率.三维目标(1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2)会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．教学重点,难点：（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．教学建议：分两课时完成本节内容。
第一节课主要解决取值有限的离散型随机变量,首先，让学生了解离散型随机变量的定义，进而理解随机变量;第二节课主要完成理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．上课时，第一节课运用探究法授课，第二节课运用讲练结合的形式授课，两节课采用不同的教法效果会更好点。
新课导入设计导入一：（启发提问式）在一块地里种下10棵树苗,成活的树苗棵数X是0，1，…,10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4,5，6中的某一个数;新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点?导入二：(复习引入)：1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生,则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ。
随机试验为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的,并且不止一个；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。
高中数学 第2章 概率 1 离散型随机变量及其分布列课后演练提升 北师大版选修2-3(2021年整
练提升北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章概率1 离散型随机变量及其分布列课后演练提升北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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后演练提升北师大版选修2—3一、选择题1．下列变量中，不是随机变量的是( ）A．中超足球赛某场比赛的进球数B．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾C．某日上证收盘指数D．某地110在一天内接到的报警电话数解析:由物理知识可知，在标准状况下，水在100 ℃时会沸腾，这是必然事件，不是随机变量．答案：B2．设随机变量X等可能取值1,2，…，n，如果P（X〈4）＝0.3,那么（）A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n不能确定解析：∵随机变量X等可能取值，∴p1＋p2＋…＋p n＝np i＝1。
∴P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝错误!＝错误!P(X<4)＝0。
1，∴n＝10。
答案：C3．若随机变量X的分布列如下，则m的值是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：由分布列性质得错误!＋错误!＋m＝1，∴m＝错误!.答案：B4．①某机场候机室中一天的游客数量为X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；③某水文站观察到一天中长江的水位为X；④某立交桥一天经过的车辆数为X.其中不是离散型随机变量的是( )A．①中的X B．②中的XC．③中的X D．④中的X解析：答案:C二、填空题5．下列变量中是离散型随机变量的是____________.①某无线寻呼台1 min内接到的寻呼次数X;②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X；④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X.解析：判断一个变量是否是离散型随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定的，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来．④中X取值为某一范围实数，无法列出，为连续型随机变量．答案：①②③6．袋中有4只红球和3只黑球，从中任取4只球，取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分,设得分为随机变量X，则P(X≤6）＝______________。
高中数学 第2章 概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学
2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。
高中数学 第二章 概率 1 离散型随机变量及其分布列学
§1 离散型随机变量及其分布列1．随机变量(1)我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X ，Y 来表示．实际上，随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射．(2)随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量． 预习交流1随机变量与函数的关系是怎样的？提示：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；随机试验的结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．2．离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作P (X ＝a i )＝p i (i ＝1，2，…)，①或列成表显然p i ＞0，p 1＋p 2＋ (1)预习交流2盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔．从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为ξ，那么ξ可能的取值是什么？当ξ＝2时表示怎样的试验结果？提示：ξ的取值为0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉笔和1支红粉笔．1．随机变量指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．思路分析：利用随机变量的定义去分析相应的实例．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，所以是随机变量．(3)掷一颗骰子可能出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，因此不是随机变量．下列变量中属于离散型随机变量的有__________．①在2 008张已编号的卡片(从1号到2 008号)中任取一张，被取出的编号数为X ； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X ；③从2 008张已编号的卡片(从1号到2 008号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X ； ④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径之差X ；⑤投掷一颗骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X .答案：①②③解析：①②③中变量X 的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，④中的X 的取值为某一范围内的实数，无法列出，不是离散型随机变量．⑤中的X 的取值是确定的，是6，不是随机变量．判断一个变量是否为随机变量，主要是看变量的值的出现是否是随机的，结果是随机的变量为随机变量，如果随机变量能按一定的顺序列举出来，则这种随机变量则是离散型随机变量．2.离散型随机变量的分布列从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．思路分析：要求赢得的钱数X 的概率分布列，需先写出X 的可能取值，然后求出X 中每一个可能值的概率，从而列出分布列．解：从箱中取两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量x ＝－2，此时 P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522； 当取到1白1黄时，结果输1元，随机变量x ＝－1，此时P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211； 当取到1白1黑时，结果赢1元，随机变量x ＝1，此时P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411； 当取到2黄时，结果无输赢，随机变量x ＝0，此时P (X ＝0)＝C 22C 212＝166； 当取到1黑1黄时，结果赢2元，随机变量x ＝2，此时P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433； 当取到2黑时，结果赢4元，随机变量x ＝4，此时P (X ＝4)＝C 24C 212＝111，设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)， (1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35的值． 解：由题意得x(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝1215＝45.解答此类问题的关键有两点：一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率．1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )．A ．取到产品的件数B ．取到正品的概率C ．取到次品的件数D ．取到次品的概率 答案：C解析：对于A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B ，D 也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )．A ．5B ．9C ．10D ．25答案：B解析：两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示试验结果是( )．A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标答案：C解析：ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中，就不一定，因为他只有5发子弹． 4．掷一枚骰子，出现点数X 是一随机变量，则P (X ＞4)的值为__________．答案：13解析：P (x ＞4)＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝16＋16＝13. 5．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件，2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天，两天分别得1分，2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．解：ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．。
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高中数学 第二章 概率 1 离散型随机变量及其分布列同步测控 北
师大版选修2-3
我夯基，我达标
1.如果X 是一个离散型随机变量，那么下列叙述中不正确的是( ) A.X 取的每一个可能值的概率都是非负实数 B.X 取所有可能值的概率之和为1
C.X 取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
解析：X 在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D 项错. 答案：D
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A.0.28
B.0.88
C.0.79
D.0.51 解析：P(射击一次命中环数大于7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79. 答案：C
3.设随机变量X 的分布列为P(X=i)=a(3
1)i
，i=1,2，3，则a 的值为( ) A.1 B.139 C.1311 D.13
27
解析： 由a·
31+a·(31)2+a·(31)3=1，解得a=13
27
. 答案：D
4.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述一次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )
A.0
B.
21
C.31
D.3
2 解析：P(X=0)表示试验失败，P(X=1)表示试验成功，
∴P(X=0)+P(X=1)=1.又∵P(X=1)=2P(X=0)， 即有3P(X=0)=1.∴P(X=0)=
3
1. 答案：C
5.抛掷两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X=4表示的随机试验的结果是( ) A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点
D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析：掷两颗骰子的点数及和的分布情况如表：
由表知：1+3=4,2+2=4,3+1=4. 答案：D
6.随机变量X 的分布列为P(X=k)=)
1(+k k C
，k=1,2，3，C 为常数，则
P(0.5<X<2.5)=_________.
解析：由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，得
433221⨯+⨯+⨯C C C =1，解得C=3
4.
∴P(0.5<X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=3+9=9
.
答案：9
8
7.从装有3个红球、
2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的解析：P(X=0)=101
252
2=C C =0.1，P(X=1)=2
5
1213C C C =106=0.6， P(X=2)=25
2
3C C =0.3〔或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=0.3〕.
答案：0.1 0.6 0.3
8.袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X 的概率分布列.
解析：直接考虑得分较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分；3红1黑得7分；2红2黑得6分；1红3黑得5分.
故P(X=5)=;354
4
73314=C C C P(X=6)=;3518472
324=C C C P(X=7)=3512471334=C C C ；P(X=8)=.351
4
7
344=C C C ∴X 的分布列为：
9.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： 不放回抽样时，抽到次品数X 的分布列.
解法一：不放回抽样，抽到次品数X=0,1，2，不考虑次序得
P(X=0)=15731038=C C ，P(X=1)=1573
10
2812=C C C ，P(X=2)=151
3102
218
=C C C . 解法二：不放回抽样，抽到次品数X=0，1,2，考虑次序得
P(X=0)=15731038=A A ，P(X=1)=157
310232812=A C C C ，P(X=2)=3
10
3
32218A A C
C =151. 故X 的分布列为：
10.下列表中成为随机变量X 的分布列的是( )
B.
对于A ，由于P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1.1>1，故排除A. 对于B ，由于P(X=3)=-0.1<0，故排除B.
对于D ，由于P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1.2>1，故排除D. 只有C 满足P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1，
且0≤P(X=-1)≤1，0≤P(X=0)≤1，0≤P(X=1)≤1两条性质，故选C. 答案：C
若P(X 2
<x)=
12
，则实数x 的取值范围是 …( ) A.4≤x≤9 B.4<x≤9 C.4≤x<9 D.4<x<9 解析：若P(X 2
<x)=
12
11
，则X 要取遍0，±1，±2各个值. 当x≤4时，X 2
≤3，X 取不到±2；
当x>9时，X 2
=9，X 取到3. 均与已知矛盾. ∴4<x≤9. 答案：B
解析：∵p 1+p 2+…+p 6=1，而p 1+p 2+p 4+p 6=0.6， ∴p 3+p 5=0.4.∴p 3=0.25，p 4=0.15. 答案：2 5
我创新，我超越
13.A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是123
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y.求X ，Y 的概率分布.
解：X ，Y 的可能取值分别为3,2,1，0. P(X=3)=
32×52×52=75
8，
P(X=2)=
32×52×53+31×52×52+32×53×52=7528， P(X=1)=32×53×53+31×52×53+31×53×52=52
，
P(X=0)=31×53×53=25
3
.
根据题意知X+Y=3，所以
P(Y=0)=P(X=3)=758， P(Y=1)=P(X=2)=7528
，
P(Y=2)=P(X=1)=52
，
P(Y=3)=P(X=0)=25
3
.。