5第五章 风险资产模型 中央财经大学 张苏

4.均匀分布U(a, b)
1 , a x b, ~ f ( x) b a 0, 其它,
x ab E ( ) dx ; ba 2
b a
8
5.指数分布
e f ( x) 0
0
x
x0 x0

E ( ) xe dx xdex 0 1 xe e dx
E ( ) * E ( ) , 注2：若记 D( ) D( )
*
分别称为 , 的标准化。 易知 E( * ) 0, D( * ) 1, E( * ) 0, D( * ) 1,
cov( * , * ) E( * * ).


（2）对于连续型随机变量 的密度函数 为 f (x) ， g ( ), 若 g ( x) f ( x)dx绝对收敛，则有

i 1
i 1
E ( ) E[ g ( )] g ( x) f ( x)dx

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注意：上述结果还可以推广到两个或两个以上随
即变量的函数的情况：
显然：
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注意： D( ) E( 2 ) [ E( )]2 证明:
D( ) E [ E ( )]
2 2

2

2 2 2
E{ 2E ( ) [ E ( )] } E( ) 2 E ( ) E ( ) [ E ( )] E ( ) [ E ( )]
2
19
方差的性质
1. c为常数,则有 D(c) 0; 2. c为常数， 为随机变量，则有 D(c ) c2 D( ); 证明:
D(c ) E (c 2 2 ) [ E (c )]2 c 2 E ( 2 ) c 2 [ E ( )]2 c E ( ) [ E ( )]
n
令l k 1 np Cnl 1 pl (1 p)n1l
l 0
n 1
np
7
3.泊松分布
k! E ( ) k e e ; k! ( k 1)!
k k 1 k 0 k 1
~ P{ k}

k
e , k 0, 1, 2, ...
风险资产模型
假设：随机变量
定义：随机变量的期望与方差； risk averse;risk neutral;risk loving,risk premium 分析框架：风险与报酬的替代 (均值-方差模型)
Price of risk
风险调整
风险资产市场的均衡 经验研究
结论：资本资产定价CAPM的基本思想

E ( ) xf ( x)dx

即 的数学期望等于它的取值与其相应概率的乘 积之和，不过，此处的“和”是以“微分的无限 积累—积分”的形式出现的。
5
几个重要随机变量的数学期望
1.0-1分布
k 1 0 P( k ) p 1 p
2. 二项分布B(n, p)

E ( ) p
x
x 0 x 0
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6. 正态分布N(, 2)
1 ~ f ( x) e 2

( x )2 2 2
, x
( x )2 2 2
E ( )
令t


x e 2

dx
x

t e dt 2
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2.2随机变量的方差
方差是反映随机变量的取值对其均值偏离程度的一个 数字特征。
2 [ 定义： 设 是一个随机变量，若 E E( )] [ 存在，则称 E E( )]2 为 的方差，记为 D( ) E E( )]2 [
[ xk E ( )]2 P{ xk }, 离散型情形 D( ) k 1 [ x E ( )]2 f ( x)dx, 连续型情形
e
e k 2 ( k 2)!

k
2
e 2 e e 2 k 2 ( k 2)!
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k 2
D( )
3. 均匀分布U(a, b)： 4.指数分布：
(b a) 2 D( ) . 12
i i
若级数 xi pi 绝对收敛，则 的数学期望为： i 1

E ( ) x p
i 1 i

i
即 的数学期望等于它的各取值与其相应概率 的乘积之和。
4
2.1随机变量的期望
定义 . 设连续型随机变量 的密度函数为 f (x) 若积分 xf ( x)dx 绝对收敛，则 的数学期望为：
2 2

2

c 2 D( )
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3. 设 , 是两个相互独立的随机变量，则
D( ) D( ) D( ); D( ) D( ) D( ).
证明: D( ) E{( )2} [ E( )]2
E{ 2 2 2} {[ E( )]2 2[ E( )][E( )] [ E( )]2}
2
再看一个经济生活中的例子
Outcome 1 Prob.
Job 1: Commission
Outcome 2 Prob. .5
.01
Income 2000
1510
Income 1000
510
.5
.99
Job 2: Fixed Salary
3
2.1随机变量的期望
定义 . 设离散型随机变量 的分布律为 P x p , i 1,2,3,
D( ) D( ) 2E ( ) 2E ( ) E ( ) 又与相互独立，所以E ( ) E ( ) E ( )
D( ) D( ) D( )
同理可得： D( ) D( ) D( )
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几个重要随机变量的方差
1. 二项分布 B(n, p) :
A 0, 第i次试验中事件 没有出现 设： i 第i次试验中事件 出现 A 1,
则
D(i ) E(i2 ) E(i ) p p2 p(1 p)
2
i
i 1
n
D( ) D(i ) p(1 p) np(1 p)
t2 2
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（1）对于二维离散型随机变量 ( , ) ， 的边缘分布律 P ( x )实质上就是一维随机 变量 的分布律 pi。于是 .
i
E ( ) x P ( x ) x P( x , y )
i 1 i i i 1 j 1 i i j



同理 E ( ) y P ( y ) y P( x , y )
D ( )
1
2
D( ) 2 .
5. 正态分布N(, 2)：
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协方差和相关系数
协方差是可以表征 , 之间是否线性相关的一个数字特征； 相关系数是可以表征 , 之间线性相关的密切程度的一个数 字特征 定义： 称 E E( )][ E( )]为随机变量 , [
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协方差和相关系数的性质
（1）若 , 相互独立，则 cov( , ) 0 ，从而 0 证明：因为 , 相互独立，所以 E ( ) E ( ) E ( )
cov( , ) E ( ) E ( ) E ( ) 0 cov( , ) 0 D( ) D( )
证明:设 ( , ) ~ f ( x, y)
E ( )


xyf ( x, y)dxdy xyf ( x) f ( y)dxdy
- -

[ xf ( x)dx][ yf ( y )dy E ( ) E ( )
P{ k} C p (1 p)
k k n
n k k 1
nk
k 0.1,...n
nk
n! E ( ) k p (1 p ) k!(n k )!
6
n! k nk p (1 p) k 1 ( k 1)!( n k )!
n
(n 1)! k 1 n 1( k 1) np p (1 p) k 1 ( k 1)!( n k )!
1
1、假设：随机变量
举一个形象的例子说随机变量
对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数 是一个随机变量，设一个学生无家长、 1名家长、名 2 家长来参加会议的概率分别为0.05、 、 若学校 0.8 0.15. 共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互 独立，且服从同一分布.
以随机变量X k (k 1, 2 , 400)记第k 个学生来参加会议 的家长数，则X k的分布律为 Xk pk 0 1 2 0.05 0.8 0.15
的协方差，记作 cov( , ) E[ E( )][ E( )]
如果 D( ) 0, D( ) 0
则称 ( , )
cov( , ) D( ) D( )
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为随机变量 , 的相关系数。
注1：由定义可推得：
cov( , ) E ( ) E ( ) E ( )

E (c ) cxf ( x)dx c xf ( x)dx cE( )

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3. 设 , 是任意两个随机变量，则有 E ( ) E ( ) E ( );
证明:设 ( , ) ~ f ( x, y)

E ( )
E ( ) E[ g ( , )]