4第四章 多元数据图表示法
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计量经济学课程第4章(多元回归分析)
Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
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基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
第四章多元线性回归方程
多元回归模型 三变量线性回归模型 多元线性回归模型的若干假定 多元线性回归模型的估计与假设检验
一、多元回归模型
多元回归模型(Multiple Regression Model)：
包含多个解释变量的回归模型。 多元指有多种因素（即变量）对因变量有影响。
实际上，许多回归模型都是多元回归模型， 因为很少有经济现象能够仅用一个解释变 量能解释清楚。
Y ：进口量；X1:个人消费支出； X2:进口价格/国内价格
美国对酒精饮料的需求
为了解释美国对酒精饮料的需求， T.McGuinness根据20年的年数据得到下 面结果： Y=-0.0140.354X1+0.0018X2+0.657X3+0.0059X4 se=(0.012)(0.2688)(0.0005)(0.266)(0.0034) t=(-1.16)(1.32)(3.39)(2.47)(1.73) R2=0.689
如果p< ， 则p/2</2，
t0落入拒绝域， 应拒绝H0
p／2 ／2 ／2 p／2
0
-t／2
拒绝H0
t／2 t0
拒绝H0
bj
接受H0
P值检验法准则
当P 值小于显著性水平时，系数在显著性 水平下是显著的 当P 值大于显著性水平时，系数在显著性 水平下是不显著的。
解释
p-value： 确切的（或观测的）显著性水平 p-value：零假设H0 被拒绝的最低显著性水 平 在使用上更简单,不用查临界值表
事件，如果该 事件在一次抽 样中就出现， 说明假设H0值 得怀疑，应当 拒绝H0
(整理)第四章 多元线性回归模型
第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。
但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。
当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。
本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。
一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。
为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。
将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。
定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
第四章多元线性回归分析
21
三、离回归标准误 在简单线性回归分析中，我们知道用Sy/x可以用来 反映回归方程估测精确度，在多元线性回归分析中也同 样可用离回归标准误反映回归方程的估测精确度。
Sy/x
Q dfQ
2 ˆ ( y y )
n2
简单线性回归
S y /1, 2,m
多元线性回归方程
一、多元线性回归的数学模型 设有m个自变数，以变数为y，共有n组实际观测数据，则 可以整理为表1。假如y与x1、x2、…… xm之间存在线性关系， 则m元线性回归模型为：
y j y / x1 , x2 xm j
y j 1x1 j 2 x2 j m xmj j
1
16 b1 4 b 2 25 b 3
15
1. 先将相关数据填入表2的算阵A；
2. 计算算阵B的各数值：计算方法分两种： （1）主对角线及其以下各Bij值：
Bij Aij Bi. B. j
(2)主对角线以上各Bij值
7
在回归模型中：α为x1、x2、…xm皆取0时的y总体的
理论值；βi为在其它自变数x固定时xi对y的偏回归系数，
例如β1表示x2、x3、…xm皆保持一定时，x1每增加一个单
位对y总体的的平均效应，叫做x2、x3、…xm固定时,x1对y 的偏回归系数，其余同； y / x1 , x2 ,xm 为y依x1、x2、…xm 的条件总体平均数（简写作 y / 1, 2,m ）；εj为m元随机
依变数依两个或两个以上自变数的回归叫多元回
归或复回归（multiple regression）。
2
多元回归有多种类型（如多元线性回归、
多元非线性回归、正交多元回归等），而其中 最简单、常用、具有基础性质的是多元线性回 归分析。 多元线性回归分析的思想、方法和原理与 简单线性回归分析基本相同，但会涉及一些新 概念及更细致的分析，尤其是计算要繁杂些， 当自变数较多时可借助计算机进行计算。
应用多元统计课件 (1)
3
本课程的特点与教学方式
教学方式 : 授课与实际例题相结合. 本课程的特点是将常用的多元分析方法的 介绍与在计算机上实现这些方法的软件紧 密地结合起来，不仅介绍每种多元分析方 法 的实际背景、统计思想、统计模型、数 学原理和解题的思路，并结合实例介绍应 用编程软件(Matlab)解决问题的步骤和计算 结果的分析。
的考试成绩，可对学生进行分类，如按文、理 科成绩分类，按总成绩分类等。若准备给优秀 学生发奖，那么一等奖、二等奖的比例应该是 多少？应用多元统计分析的方法可以给出公平 合理地确定。
19
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
我在担任学生班主任期间,经常会遇到学 校下达的评选三好生,评选学习奖等任务.另 还有评选各种奖学金的工作;推荐研究生的 工作都要求班主任提出意见.
0.1025X 4 0.2852X12
Z1是12个变量的线性组合，且系数都是正数，
数值有大有小。显然数值大的变量对综合指标
（主成分）的贡献大；数值小的变量对综合指
标（主成分）的贡献小。
24
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
12个原始变量（课程）提供的信息各为多少？用什
么量来表达？最经典的方法是用变量的方差Var(Xi)为
23
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
最简单最直观地综合变量就是12门课的成绩总和
。但这个最简单的综合变量并不是最科学地代表12门
课综合成绩的指标，而用主成分分析得出的第一主成分
（原始变量的线性组合）Z1是最科学地代表12门课综合 成绩的指标。比如
Z1 0.3233X1 0.4525X 2 0.3502X 3
第四章多重共线性
2
x2j VIFj
注意：R2j 是多个解释变量辅助回归的多重可决系数，
而相关系数 r223只是说明两个变量的线性关系 。
（一元回归中可决系数的数值等于相关系数的平方）
17
方差扩大因子的作用
由
R2j 越大
VIFJ 1 (1 R2j ) 多重共线性越严重
VIFj越大
VIFj的大小可以反映解释变量之间存在多重共线性的严重
1 x22i (1
r223 )
2
x22i
1 (1 r223)
2
x22i
VIF2
当 r23 增大时，VIF2 增大， Var(ˆ2 ) 也会增大 ，
思考: 当 r23 0 时 Var(ˆ2) 2
x22i
(与一元回归比较)
当 r23 1 时 Var(ˆ2 )
（见前页结论） 8
三、当多重共线性严重时，甚至可能使估计
在总体中部分或全部解释变量可能没有线性关系，但是 在具体获得的样本中仍可能有共线性关系，因此多重共线 性问题本质上是一种样本现象。
正因为如此，我们无法对多重共线性问题进行统计假设 检验，只能设法评价解释变量之间多重共线性的严重程度。
5
第二节 多重共线性产生的后果
从参数估计看，在完全无多重共线性时，各解释变量都独
Kt
Kt
ln Qt ln A ln Lt ln Kt ln u
（ln Lt 与 ln Kt 有多重共线性） ln Qt ln A ln Lt ln u
Kt
Kt 22
三、截面数据与时间序列数据的结合
有时在时间序列数据中多重共线性严重的变量，在截 面数据中不一定有严重的共线性
假定前提：截面数据估计出的参数在时间序列中变化不大
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
第四章-多元线性回归模型
Var(βˆ K )
下面推导此矩阵的计算公式.
19
由上一段的结果，我们有
ββ ( X X )1 X u
因此，E
β
β
β β
E
X X 1 X u
X X 1 X u
E X X 1 X uuX X X 1
X X 1 X EuuX X X 1
X X 1 X 2 In X X X 1
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D (X X )1 X D X (X X )1 D
(X X )1 X X (X X )1 (X X )1 X D D X (X X )1 DD
由 DX 0从而 X D 0 ，因此上式中间两项为0，我们有
Kn
Yn
(X' X)
β
X' Y
即 ( X ' X )β X 'Y
β ( X X )1 X Y
15
三、 最小二乘估计量 ˆ 的性质
我们的模型为 Y X u
估计式为 Yˆ X ˆ
1．ˆ的均值
β ( X X )1 X Y
(X X )1 X (Xβ u)
(X X )1 X Xβ (X X )1 X u
β0 ,β1,...β k
的过程中，失去了
22
4． 高斯-马尔科夫定理
对于 Y Xβ u 以及标准假设条件（1）-（4），
普通最小二乘估计量 ˆ 是最佳线性无偏估计量（BLUE）
，ˆ 具有无偏性、具有最小方差特性、具有一致性，渐近无偏 性和渐近有效性。
23
我们已在上一段中证明了无偏性，下面证明 最小方差性。证明的思路与双变量模型中类似， 只不过这里我们采用矩阵和向量的形式。
多元数据图表示法
另一类是在尽可能多地保留原数据信息的原则下 进行降维，若能使数据维数降至2或1维，则可在平 面上点图。
第二类分类方法可用后面介绍的主成分分析、因 子分析等去解决。这一章只对第一类方法介绍四种 图表示法，更多的方法可在有关专著中找到。
多元数据图表示法
作图步骤为： (1)作平面坐标系，横坐标取 p 个点表示 p 个变量。 (2)对给定的一次观测值，在 p 个点上的纵 坐标(即高度)和它对应的变量取值成正比。 (3)连接 p 个高度的顶点得一折线，则一次观
例 考察北京、上海、陕西、甘肃四个省市人均生 活消费支出情况，选取以下五项指标，具体数据如下 表：
肉禽及制品 住房 医疗保健 交通和通讯 文娱用品及服务
北京 上海 陕西 甘肃
563.51 678.92 237.38 253.41
227.78 365.07 174.48 156.13
147.76 112.82 119.78 102.96
测值的轮廓为一条多角折线形。n 次观测值可 画出n 条折线，构成轮廓图。
多元数据图表示法
800 700 600 500 400 300 200 100
0
品 制 禽及 肉
北京 上海 陕西 甘肃
房
健
讯
化
住
保
通
文
医疗
交通
教育
轮廓图
乐 娱
由轮廓图可以看出：北京、上海的居民生活 消费较高且相似；陕西、甘肃生活消费较低且相 似。
利用SPSS制作矩阵散点图的步骤如下： （1）在SPSS中按图11.6的形式组织数据，即把支 出指标当成变量，而把不同地区当成观测。
图11.6 作散点图时的数据组织形式
（2）选择菜单项Graphs→Scatter，打开 Scatter plot对话框,如图11.7。该对话框用于 选择散点图的形式。选定Matrix，即矩阵散 点图 ，单击Define按钮，打开Scatter plot Matrix对话框，如图11.8。
第二类分类方法可用后面介绍的主成分分析、因 子分析等去解决。这一章只对第一类方法介绍四种 图表示法，更多的方法可在有关专著中找到。
多元数据图表示法
作图步骤为： (1)作平面坐标系，横坐标取 p 个点表示 p 个变量。 (2)对给定的一次观测值，在 p 个点上的纵 坐标(即高度)和它对应的变量取值成正比。 (3)连接 p 个高度的顶点得一折线，则一次观
例 考察北京、上海、陕西、甘肃四个省市人均生 活消费支出情况，选取以下五项指标，具体数据如下 表：
肉禽及制品 住房 医疗保健 交通和通讯 文娱用品及服务
北京 上海 陕西 甘肃
563.51 678.92 237.38 253.41
227.78 365.07 174.48 156.13
147.76 112.82 119.78 102.96
测值的轮廓为一条多角折线形。n 次观测值可 画出n 条折线，构成轮廓图。
多元数据图表示法
800 700 600 500 400 300 200 100
0
品 制 禽及 肉
北京 上海 陕西 甘肃
房
健
讯
化
住
保
通
文
医疗
交通
教育
轮廓图
乐 娱
由轮廓图可以看出：北京、上海的居民生活 消费较高且相似；陕西、甘肃生活消费较低且相 似。
利用SPSS制作矩阵散点图的步骤如下： （1）在SPSS中按图11.6的形式组织数据，即把支 出指标当成变量，而把不同地区当成观测。
图11.6 作散点图时的数据组织形式
（2）选择菜单项Graphs→Scatter，打开 Scatter plot对话框,如图11.7。该对话框用于 选择散点图的形式。选定Matrix，即矩阵散 点图 ，单击Define按钮，打开Scatter plot Matrix对话框，如图11.8。
第四章20120322第十二课
F
V
( F V
)T ,n
n( F n
)T ,V
pV n
G F pV
例3 U U (S,V , n)
U
S ( U S
)n,V
V (U V
)S ,n
n( U n
)S ,V
TS pV n
10
例4． S S(U ,V , n)
S
U
的摩尔分数，满足以下关系
k
xi 1
i 1
（4.3.2）
由式（4.3.2）知，k个 xi 中只有k-1个是独立的，加上
T,P ，描述 相共需k+1个强度量变量。
26
如果要确定 相的广延量数值，仅确定k+1个强度量
变量是不够的，还要增加一个变量，例如该相的总摩尔
数 n，共k+2个变量。
11
下面讨论混合理想气体的热力学函数
三.多元系的热力学基本方程
1．均匀系
由于各组元的摩尔数可以改变，必须将单元系的热力学函数
加以推广
求
G G(T , p, n1, nk )的全微分得
dG
( G T
)
p,ni
dT
( G p
)T ,ni
dp
i
G
(
ni
)
T
,
p,n
j
dni
ni 指全部k个组元，n j 指除i组元外的其它全部组元，在所
23
现根据多元系的复相平衡条件讨论多元复相系达到平衡时的独 立参量数。
设多元复相系有 个相，每相有k个组元，它们之间不起化
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由空间点展示为平面曲线主要借助三角多项式来 完成。其基本思想是把高维空间中的一个样品点 对应于二维平面上的一条曲线。
13
设 p 维数据 X (x1, x2 ,, x p ) 对应的曲线是
f x (t)
x1 2
x2
sin t
x3
cos t
x4
sin
2t
x5
cos 2t
上式当t 在区间( ， )上变化时，其轨迹是一条曲线。
237 .38 2
174 .48
sin
t
119 .78
cos t
141
.07
sin
2t
245 .57
cos
2t
f4 (t)
253 .41 2
156 .13 sin t
102 .96
cos t
108.13 sin
2t
212 .20
cos 2t
可用SAS软件编程来做函数的图形：
x=-3.1415:0.05:3.1415; y1=(563.51/1.14)+227.78*sin(x.^1)+147.76*cos(x.^1)+235.99*sin(2*(x.^1))+510.78*cos(2*(x.^1)); y2=(678.92/1.14)+365.07*sin(x.^1)+112.82*cos(x.^1)+301.46*sin(2*(x.^1))+465.88*cos(2*(x.^1)); y3=(237.38/1.14)+174.48*sin(x.^1)+119.78*cos(x.^1)+141.07*sin(2*(x.^1))+245.57*cos(2*(x.^1)); y4=(253.41/1.14)+156.13*sin(x.^1)+102.96*cos(x.^1)+108.13*sin(2*(x.^1))+212.20*cos(2*(x.^1)); plot(x,y1,'b-+',x,y2,'r-+',x,y3,'g-+',x,y4,'c-+')
第4章 多元数据图表示法
图形有助于对所研究数据的直观了解，如果能把一 些多元数据直接显示在平面图上，便可从图形中一 目了然地看出多元数据之间的关系，这样可以帮助 人们积极的思维。
当只有1、2维数据时，可以使用直角坐标系在平面 上点图。当有3维数据时，虽然可以在三维坐标系里 点图，但已很不方便，而当维数大于3时，用通常的 方法已不能点图。在许多实际问题中，多元数据的 维数都大于3。
2
设变量个数为p ,观测次数为n ，i 第 次观测值记为 X i (xi1 , xi2 ,, xip ) ，i 1,2,, n 。n 次观测数据组成
的矩阵为 X (xij ) n p 。
n 次观测数据组成的矩阵表
变量个数 观测次数
1 2…p
1
x11
x12 … x1p
2
x21Leabharlann x22 … x2p值得注意的是，这里坐标轴只有正半轴， 因而只能表示非负数据，若有负数据，只能 通过合理变换使之非负才行。
12
3、 调和曲线图
调和曲线图是 D．F．Andrewsl972年提出的三 角多项式作图法，所以又称为三角多项式图。
在多变量分析中，三角多项式图把研究对象看作 一个多维空间点，然后把这一空间点展示为平面 上的一条曲线，并使其充分保留研究对象所具有 的全部信息，以便于研究对象之间的比较。
8
2、 雷达图
作图步骤是：
作一圆，并把圆周分为p等分。 连接圆心和各分点，把这p条半径依次定义
为各变量的坐标轴，并标以适当的刻度。 对给定的一次观测值，把它的p个分量值分
别点在相应的坐标轴上，然后连接成一个p 边形，这个p边形就是p元观测值的图示，n 次观测值可画出n个p边形。（此图也可用 Excel软件的图表功能的折线图来实现）
9
将上例数据用雷达图表示如下：
文娱用品及服务
肉禽及制品
800
600 400 200
0
北京 天津 陕西 甘肃
住房
交通和通讯
医疗保健
10
这种图形既象雷达荧光屏上看到的图象， 也象个蜘蛛网，因此有人称为雷达图，也 有人称为蛛网图。
利用雷达图有助于观测多元数据的某些特 点，便于进行分析，例如，从上图不难看 出：北京、上海各项指标都较高，对应着 一个面积较大的五边形。而陕西、甘肃各 种指标都较低，其图形面积也较小。
利用图形和面积大小可对样品进行初始分 类，将北京、上海分为一类，陕西、甘肃 分为另一类。
11
当观测次数n较大时，为使图形清晰，每张 图可以只画少数几次观测数据，甚至每张图 只画一次观测值。为了获得较好的效果，在 雷达图中适当分配变量的坐标轴，并选取合 适的尺度是十分重要的，比如把要进行对比 的指标其坐标轴分别放在左和右或正上方和 正下方，以便根据图形偏左、偏右或偏上、 偏下进行对比和分析。
┇
┇ ┇ ┇┇
n
xn1
xn2 … xnp
3
例1：考察北京、上海、陕西、甘肃四个省市人均生活消费 支出情况，选取以下五项指标，具体数据如下表 (摘自1996年中国统计年鉴)：
北京 上海 陕西 甘肃
肉禽及制品 563.51 678.92 237.38 253.41
住房 227.78 365.07 174.48 156.13
医疗保健 147.76 112.82 119.78 102.96
此例变量个数 p 5 ，观测次数n 4 。
交通和通讯 235.99 301.46 141.07 108.13
娱乐用品及服务 510.78 465.88 245.57 212.2
4
1、 轮廓图（折线图）
作图步骤为： 作平面坐标系，横坐标取p个点表示p个变量。 对给定的一次观测值，在p个点上的纵坐标(即
1
自20世纪70年代以来多元数据的表示法一直是人们所 关注的问题，人们想了不少办法，这些方法大体上分 为两类：
一类是使高维空间的点与平面上的某种图形对应，这 种图形能反映高维数据的某些特点或数据间的某些关 系。这种方法就是本章将介绍的数据图表示法。
另一类是在尽可能多地保留原始数据信息的原则下进 行降维，若能使数据维数降至2或1，则可在平面上点 图。这种方法可用后面几章介绍的主成分法、因子分 析法等去解决。
600
甘肃
500
400
300
200
100
0
肉禽及制品
住房
医疗保健
交通和通讯
文娱用品及服务
6
SPSS 画出的折线图
7
由轮廓图可以看出：北京、上海的 居民生活消费较高且相似。陕西、 甘肃生活消费较低且相似。
如果考察的样品较多，画折线时图 形中可能出现重复点多，不便于区 分哪个样品对应哪条折线，这时最 好多用几种颜色或长短虚实等标志 来画出折线。
高度)和它对应的变量取值成正比。 连接p个高度的顶点得一折线，则一次观测值
的轮廓为一条多角折线形。n次观测值可画出n 条折线，构成轮廓图（此图可用Excel软件的 图表功能的折线图来实现）
5
下图画出四条折线为北京、上海、陕西、甘肃 五项指标的数据，即四个省市五项指标的轮廓。
800
北京
天津
700
陕西
上例数据北京、上海、陕西、甘肃分别对应的曲线为：
f1 (t )
563 .51 2
227 .78
sin
t
147 .76
cos t
235 .99
sin
2t
510
.78
cos 2t
f2
(t)
678 .92 2
365 .07
sin
t
112 .82
cos t
301
.46
sin
2t
465 .88
cos
2t
f3
(t)
13
设 p 维数据 X (x1, x2 ,, x p ) 对应的曲线是
f x (t)
x1 2
x2
sin t
x3
cos t
x4
sin
2t
x5
cos 2t
上式当t 在区间( ， )上变化时，其轨迹是一条曲线。
237 .38 2
174 .48
sin
t
119 .78
cos t
141
.07
sin
2t
245 .57
cos
2t
f4 (t)
253 .41 2
156 .13 sin t
102 .96
cos t
108.13 sin
2t
212 .20
cos 2t
可用SAS软件编程来做函数的图形：
x=-3.1415:0.05:3.1415; y1=(563.51/1.14)+227.78*sin(x.^1)+147.76*cos(x.^1)+235.99*sin(2*(x.^1))+510.78*cos(2*(x.^1)); y2=(678.92/1.14)+365.07*sin(x.^1)+112.82*cos(x.^1)+301.46*sin(2*(x.^1))+465.88*cos(2*(x.^1)); y3=(237.38/1.14)+174.48*sin(x.^1)+119.78*cos(x.^1)+141.07*sin(2*(x.^1))+245.57*cos(2*(x.^1)); y4=(253.41/1.14)+156.13*sin(x.^1)+102.96*cos(x.^1)+108.13*sin(2*(x.^1))+212.20*cos(2*(x.^1)); plot(x,y1,'b-+',x,y2,'r-+',x,y3,'g-+',x,y4,'c-+')
第4章 多元数据图表示法
图形有助于对所研究数据的直观了解，如果能把一 些多元数据直接显示在平面图上，便可从图形中一 目了然地看出多元数据之间的关系，这样可以帮助 人们积极的思维。
当只有1、2维数据时，可以使用直角坐标系在平面 上点图。当有3维数据时，虽然可以在三维坐标系里 点图，但已很不方便，而当维数大于3时，用通常的 方法已不能点图。在许多实际问题中，多元数据的 维数都大于3。
2
设变量个数为p ,观测次数为n ，i 第 次观测值记为 X i (xi1 , xi2 ,, xip ) ，i 1,2,, n 。n 次观测数据组成
的矩阵为 X (xij ) n p 。
n 次观测数据组成的矩阵表
变量个数 观测次数
1 2…p
1
x11
x12 … x1p
2
x21Leabharlann x22 … x2p值得注意的是，这里坐标轴只有正半轴， 因而只能表示非负数据，若有负数据，只能 通过合理变换使之非负才行。
12
3、 调和曲线图
调和曲线图是 D．F．Andrewsl972年提出的三 角多项式作图法，所以又称为三角多项式图。
在多变量分析中，三角多项式图把研究对象看作 一个多维空间点，然后把这一空间点展示为平面 上的一条曲线，并使其充分保留研究对象所具有 的全部信息，以便于研究对象之间的比较。
8
2、 雷达图
作图步骤是：
作一圆，并把圆周分为p等分。 连接圆心和各分点，把这p条半径依次定义
为各变量的坐标轴，并标以适当的刻度。 对给定的一次观测值，把它的p个分量值分
别点在相应的坐标轴上，然后连接成一个p 边形，这个p边形就是p元观测值的图示，n 次观测值可画出n个p边形。（此图也可用 Excel软件的图表功能的折线图来实现）
9
将上例数据用雷达图表示如下：
文娱用品及服务
肉禽及制品
800
600 400 200
0
北京 天津 陕西 甘肃
住房
交通和通讯
医疗保健
10
这种图形既象雷达荧光屏上看到的图象， 也象个蜘蛛网，因此有人称为雷达图，也 有人称为蛛网图。
利用雷达图有助于观测多元数据的某些特 点，便于进行分析，例如，从上图不难看 出：北京、上海各项指标都较高，对应着 一个面积较大的五边形。而陕西、甘肃各 种指标都较低，其图形面积也较小。
利用图形和面积大小可对样品进行初始分 类，将北京、上海分为一类，陕西、甘肃 分为另一类。
11
当观测次数n较大时，为使图形清晰，每张 图可以只画少数几次观测数据，甚至每张图 只画一次观测值。为了获得较好的效果，在 雷达图中适当分配变量的坐标轴，并选取合 适的尺度是十分重要的，比如把要进行对比 的指标其坐标轴分别放在左和右或正上方和 正下方，以便根据图形偏左、偏右或偏上、 偏下进行对比和分析。
┇
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n
xn1
xn2 … xnp
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例1：考察北京、上海、陕西、甘肃四个省市人均生活消费 支出情况，选取以下五项指标，具体数据如下表 (摘自1996年中国统计年鉴)：
北京 上海 陕西 甘肃
肉禽及制品 563.51 678.92 237.38 253.41
住房 227.78 365.07 174.48 156.13
医疗保健 147.76 112.82 119.78 102.96
此例变量个数 p 5 ，观测次数n 4 。
交通和通讯 235.99 301.46 141.07 108.13
娱乐用品及服务 510.78 465.88 245.57 212.2
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1、 轮廓图（折线图）
作图步骤为： 作平面坐标系，横坐标取p个点表示p个变量。 对给定的一次观测值，在p个点上的纵坐标(即
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自20世纪70年代以来多元数据的表示法一直是人们所 关注的问题，人们想了不少办法，这些方法大体上分 为两类：
一类是使高维空间的点与平面上的某种图形对应，这 种图形能反映高维数据的某些特点或数据间的某些关 系。这种方法就是本章将介绍的数据图表示法。
另一类是在尽可能多地保留原始数据信息的原则下进 行降维，若能使数据维数降至2或1，则可在平面上点 图。这种方法可用后面几章介绍的主成分法、因子分 析法等去解决。
600
甘肃
500
400
300
200
100
0
肉禽及制品
住房
医疗保健
交通和通讯
文娱用品及服务
6
SPSS 画出的折线图
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由轮廓图可以看出：北京、上海的 居民生活消费较高且相似。陕西、 甘肃生活消费较低且相似。
如果考察的样品较多，画折线时图 形中可能出现重复点多，不便于区 分哪个样品对应哪条折线，这时最 好多用几种颜色或长短虚实等标志 来画出折线。
高度)和它对应的变量取值成正比。 连接p个高度的顶点得一折线，则一次观测值
的轮廓为一条多角折线形。n次观测值可画出n 条折线，构成轮廓图（此图可用Excel软件的 图表功能的折线图来实现）
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下图画出四条折线为北京、上海、陕西、甘肃 五项指标的数据，即四个省市五项指标的轮廓。
800
北京
天津
700
陕西
上例数据北京、上海、陕西、甘肃分别对应的曲线为：
f1 (t )
563 .51 2
227 .78
sin
t
147 .76
cos t
235 .99
sin
2t
510
.78
cos 2t
f2
(t)
678 .92 2
365 .07
sin
t
112 .82
cos t
301
.46
sin
2t
465 .88
cos
2t
f3
(t)