连云港数学卷

2013届高三调研测试试卷(连云港)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2013．01一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，6}，则A ∩B ＝__________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝________．3. 某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．4. 正项等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，则log 2a 2＋log 2a 12＝________．5. 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．6. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为__________．(第6题图)7. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，沿AE 、EF 、AF 折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，则这个四面体的体积为__________．8. 如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，则φ＝____________．9. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝4x 的准线交于A 、B 两点，AB ＝3，则C 的实轴长为__________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]，x ，x [0，1].则使f[f(x)]＝2成立的实数x 的集合为__________．11. 二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝______________．(第13题图)12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝4，C 为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP →·CP →的最大值为____________．13. 如图，点A 、B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为____________．14. 关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ccosB ＋bcosC ＝3acosB. (1) 求cosB 的值；(2) 若BA →·BC →＝2，求b 的最小值．16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，点E 为BD 中点，点F 在AC 1上，且AC 1＝4AF.求证：(1) 平面ADF ⊥平面BCC 1B 1； (2) EF ∥平面ABB 1A 1.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R .(1) 求函数y ＝f(x)的单调区间；(2) 若对任意的x 1、x 2∈[－1，1]，都有|f′(x 1)－f′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围； (3) 求函数f(x)的零点个数．已知数列{a n }中，a 2＝a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n （a n －a 1）2(n ∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a ＝2，且14a 2m－S n ＝11，求m 、n 的值；(3) 是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足a n ＋b ≤p 的最大项恰为第3p －2项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由.2013届高三调研测试试卷(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A 、C 重合)，延长BD 至E.求证：AD 的延长线平分∠CDE.B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A(1，0)在矩阵M 对应变换作用下变为A′(1，2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1.C. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋m ，y ＝t(t 是参数)．若l 与C 相交于A 、B 两点，且AB ＝14.求实数m 的值．D. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1、1、1、2、2、3，现从袋中一次随机抽取3个球．(1) 若有放回地抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；(2) 记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．23.在三棱锥SABC中，底面是边长为23的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．(1) 若D为侧棱SB上一点，当SDDB为何值时，CD⊥AB；(2) 求二面角SBCA的余弦值大小．2013届高三调研测试试卷(三)(连云港)数学参考答案及评分标准1. {2}2. 1＋i3. 194. 45. 126. 27. 13 8. π3 9. 1 10. {x|0≤x ≤1，或x ＝2}11. 2πr 412. 4＋22 13. π1214. ⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9 15. 解：(1) 因为ccosB ＋bcosC ＝3acosB ，由正弦定理，得sinCcosB ＋sinBcosC ＝3sinAcosB ， 即sin(B ＋C)＝3sinAcosB.(5分)又sin(B ＋C)＝sinA ≠0，所以cosB ＝13.(7分)(2) 由BA →·BC →＝2，得accosB ＝2，所以ac ＝6.(9分)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ≥2ac －23ac ＝8，当且仅当a ＝c 时取等号，故b 的最小值为2 2.(14分)16. 证明：(1) 因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以CC 1⊥平面ABC.而AD 平面ABC ，所以CC 1⊥AD.(2分) 又AB ＝AC ，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC.因为BC ∩CC 1＝C ，BC 平面BCC 1B 1，CC 1平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(5分) 因为AD 平面ADF ，所以平面ADF ⊥平面BCC 1B 1.(7分)(2) 连结CF 延长交AA 1于点G ，连结GB. 因为AC 1＝4AF ，AA 1∥CC 1，所以CF ＝3FG .因为D 为BC 中点，点E 为BD 中点，所以CE ＝3EB ， 所以EF ∥GB.(11分)而EF 平面ABB 1A 1，GB 平面ABB 1A 1， 所以EF ∥平面ABB 1A 1.(14分)17. 解：(1) 函数y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分) 当x ＝10时，y 有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分) 但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y ≥x2不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2) 对于函数模型y ＝x －2lnx ＋a ，设f(x)＝x －2lnx ＋a ，则f′(x)＝1－2x ＝x －2x ≥0.所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x －2lnx ＋a ≥x 2，即a ≥2lnx －x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx －x 2，则g′(x)＝2x －12＝4－x2x ，由g′(x)>0得x<4，∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴ a ≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a ≤8，解得a ≤2ln10－2.(12分) 另一方面，由x －2lnx ＋a ≤x ，得a ≤2lnx 在x ∈[2，10]上恒成立， ∴ a ≤2ln2，综上所述，a 的取值范围为[4ln2－2，2ln2]， 所以满足条件的整数a 的值为1.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，所以169a 2＋19＝1，解得a 2＝2.(2分) 又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2，所以AF 2⊥F 2P ，即－bc ·b 343－c ＝－1，b 2＝c(4－3c)．(6分)而b 2＝a 2－c 2＝2－c 2，所以c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1， 故椭圆C 的方程是x 22＋y 2＝1.(8分)(2) ① 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋4kpx ＋2p 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以 Δ＝16k 2p 2－4(1＋2k 2)(2p 2－2)＝8(1＋2k 2－p 2)＝0， 即1＋2k 2＝p 2.(10分)设在x 轴上存在两点(s ，0)，(t ，0)，使其到直线l 的距离之积为1，则 |ks ＋p|k 2＋1·|kt ＋p|k 2＋1＝|k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2|k 2＋1＝1， 即(st ＋1)k ＋p(s ＋t)＝0(*)，或(st ＋3)k 2＋(s ＋t)kp ＋2＝0 (**)．由(*)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧st ＋1＝0，s ＋t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－1，t ＝1.(14分)而(**)不恒成立．② 当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝±2时，定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1·d 2＝(2－1)(2＋1)＝1.综上，存在两个定点(1，0)，(－1，0)，使其到直线l 的距离之积为定值1.(16分) 19. 解：(1) f′(x)＝x 2－2mx －1，由f′(x)≥0，得x ≤m －m 2＋1，或x ≥m ＋m 2＋1.故函数f(x)的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)，减区间为(m －m 2＋1， m ＋m 2＋1)．(4分)(2) “对任意的x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f′(x 1)－f′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f′(x)，x ∈[－1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”．对于f′(x)＝x 2－2mx －1，对称轴为x ＝m.① 当m<－1时，f′(x)的最大值为f′(1)，最小值为f′(－1)，由f′(1)－f′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；(6分)② 当－1≤m ≤1时，f′(x)的最大值为f′(1)或f′(－1)，最小值为f′(m)，由⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）－f′（m ）≤4，f′（－1）－f′（m ）≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；(8分)③ 当m>1时，f′(x)的最大值为f′(－1)，最小值为f′(1)，由f′(－1)－f′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去．综上，实数m 的取值范围是[－1，1]．(10分) (3) 由f′(x)＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4>0，所以y ＝f(x)既有极大值也有极小值． 设f′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，则f(x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)，(12分) 所以极大值f(m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)>0，极小值f(m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)<0，故函数f(x)有三个零点．(16分)20. 解：(1) 由已知，得a 1＝S 1＝1·（a 1－a 1）2＝0，∴ S n ＝na n2，(2分)则有S n ＋1＝（n ＋1）a n ＋12，∴ 2(S n ＋1－S n )＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即(n －1)a n ＋1＝na n (n ∈N *)， ∴ na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，两式相减，得2a n ＋1＝a n ＋2＋a n (n ∈N *)，(4分) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n (n ∈N *)， 故数列{a n }是等差数列．又a 1＝0，a 2＝a ，∴ a n ＝(n －1)a.(6分)(2) 若a ＝2，则a n ＝2(n －1)，∴ S n ＝n(n －1)．由14a 2m －S n ＝11，得n 2－n ＋11＝(m －1)2，即4(m －1)2－(2n －1)2＝43， ∴ (2m ＋2n －3)(2m －2n －1)＝43.(8分)∵ 43是质数，2m ＋2n －3>2m －2n －1，2m ＋2n －3>0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2m －2n －1＝1，2m ＋2n －3＝43，解得m ＝12，n ＝11.(10分) (3) 由a n ＋b ≤p ，得a(n －1)＋b ≤p.若a<0，则n ≥p －b a ＋1，不合题意，舍去；(11分)若a>0，则n ≤p －ba＋1.∵ 不等式a n ＋b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2， ∴ 3p －2≤p －ba＋1<3p －1，(13分)即2a －b<(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立． ∴ 3a －1＝0，解得a ＝13，(15分)此时，23－b<0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是a ＝13，23<b ≤1.(16分)高三数学附加题试卷(三)参考答案 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2013届高三调研测试试卷(三)(连云港) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：设F 为AD 延长线上一点． ∵ A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴ ∠ABC ＝∠CDF.(3分)又AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB ，(5分)且∠ADB ＝∠ACB ，∴ ∠ADB ＝∠CDF.(7分) 对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF ， 即AD 的延长线平分∠CDF.(10分)B. 解：∵ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，∴ a ＝1，b ＝2.(5分)∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0.∴ M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0121－12.(10分) C. 解：曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4.(3分)直线l 的普通方程方程为y ＝x －m ，(5分) 则圆心到直线l 的距离d ＝4－⎝⎛⎭⎫1422＝22，(7分)所以|2－0－m|2＝22，即|m －2|＝1，解得m ＝1，或m ＝3.(10分)D. 解：∵ (x ＋2y ＋2z)2≤(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)＝9，当且仅当x 1＝y 2＝z2时取等号，(5分)∴ |a －1|≥3，解得a ≥4，或a ≤－2.(10分)22. 解：(1) 一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率P ＝C 25C 36＝12.所以，3次抽取中，恰有2次抽到3号球的概率为C 23P 2(1－P)＝3×⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫12＝38.(4分)(2) 随机变量X 所有可能的取值为1，2，3. P(X ＝1)＝C 33C 36＝120，P(X ＝2)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920， P(X ＝3)＝C 25C 36＝1020，(8分)所以，随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P12092012故随机变量X 的数学期望E(X)＝1×120＋2×920＋3×12＝4920.(10分)23. 解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.∴ O(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)． (1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则BD →＝(1－λ)OB →＋λOS →＝(3(1－λ)，0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB.(5分) (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，(8分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝15. 又显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为55.(10分)。