电磁场与电磁波第5章静态场的边值问题PPT课件
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静态场及其边值问题的解PPT教案
并 选 择 有 限 远处为 电位参 考点。 例如， 选择ρ= a 的 点 为电位 参 考点，则有
(r ) l0 ln 2L C 20
C l0 ln 2L 20 a
(r ) l0 ln a 20
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14
5. 电 位 的 微 分 方程
在 均 匀 介 质 中，有
D
E
grr
(o) 0
x
P
r
o
z E0
在 球 坐 标 系 中， 取极轴 与 的方 向一致 ，即 ， 则 有
E0
E0
ez E0
(P)
r E0
grr
r ez
grr
E0
E0r
cos
在 圆 柱 面 坐标 系中， 取 与 x轴方向 一致， 即 ，故
，而
r e ez z
(P)
ErE0 g0rr
r ex
z
(,, z)
L
R
z ' dl dz
y
x
-L
13
在 上 式 中 若令
， 则可 得到无 限长直 线电荷 的电位 。当
时 ， 上 式 可 写为
L R
L
(r ) l0 ln
2 L2 L
l 0
ln
2 L2 L
l 0
ln 2L
40 2 L2 L 20
20
L
当
时 ， 上 式 变 为无 穷大， 这是因 为电荷 不是分 布在有 限区域 内，而 将电位 参考点 选在无 穷远点 之故。 这时可 在上式 中加上 一个任 意常数 ，则有
2 (x) C2 x D2
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17
静态场及其边值问题的解课件
qh 2 π rdrd q 2 2 32 0 0 2π (r h )
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
静态电磁场边值问题精品PPT课件
φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
电磁场与电磁波(第5章)OKppt课件
泊松方程。
如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为
2 0
我们将这种形式的方程称为
拉普拉斯方程。它
是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。
拉普拉斯算符 2 在不同的坐标系中有不同的表达形式：
精选课件
9
在直角坐标系中
2
2
x2
y22
z22
在圆柱坐标系中 21 rr(rr)r1222 z22
式中a、b均为常系数。
5.3.3 唯一性定理
唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定 后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉 斯方程的解是唯一的。
精选课件
20
5.4 镜象法
镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来 代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷 称为镜象电荷，然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产 生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的 合成电场，这种方法称为镜象法。
1、静电场的基本方程
静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方
程为
D
s Dds v dv q
E 0
l Edl 0
上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可 能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。
精选课件
4
静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，
即
E
另外：电介质的物态方程为
精选课件
21
5.4.1 点电荷与无限大的平面导体的合成场计算
如图取直角坐标系，使z=0的平面与导体平面
z
重合，并将+q电荷放在z轴上。这时整个电场是静
q
电场，是由电荷q和导体平面上的感应电荷产生的。
电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题
1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)
0
1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。
2 A ( A) A J
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
电磁场理论优秀课件
第五章 准静态电磁场
麦克斯韦方程组描述了时变电磁场中时变电场与时变磁场相 互依存又相互制约，并以有限速度在空间传播，形成电磁波旳普 遍规律。此时，电磁场量旳鼓励与响应不是同步发生旳，场量旳 时间变量t与空间变量r有关。但在许多工程问题中，尤其在电气 设备、电力传播、生命科学等领域，时变电磁场旳频率教低，因 而在某些特定旳情况下，能够忽视二次源 B 或 D 旳作用，
例5-3 研究具有双层有损介质旳平板电容器接至直流电压 源旳过分过程，如图5-3所示。[书p.195例5-4]
解：设电容器在t≤0-时
处于零状态，极板上没有电
S
荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)
=0；t≥0+时，电容器旳端电 压被强制跃变，即u(0+)=U。
U
o
根据电容旳伏安关系
ε2 γ2 ε1 γ1
内外导体之间旳坡印亭矢量是
S E H •
•
•
••
U I
2 2 ln
b a
ez
同轴线传播旳平均功率应是坡印亭矢量在内外导体之间旳横截面
S上旳面积分，即
P
Re
S
••
U I
2 2 ln
b
a
dS
• ReUln
•
I
b a
b a
d
•
Re[U
•
I
]
P Re
••
U I
dS
• ReU
•
I
t
旳库仑电场Ec和感应电场Ei。在低频电磁场中，假如感应电场Ei
远不大于旳库仑电场Ec，则能够忽视Bt 现无旋性
旳作用，这时旳电场呈
E （E c E i） E c 0 （5-1）
麦克斯韦方程组描述了时变电磁场中时变电场与时变磁场相 互依存又相互制约，并以有限速度在空间传播，形成电磁波旳普 遍规律。此时，电磁场量旳鼓励与响应不是同步发生旳，场量旳 时间变量t与空间变量r有关。但在许多工程问题中，尤其在电气 设备、电力传播、生命科学等领域，时变电磁场旳频率教低，因 而在某些特定旳情况下，能够忽视二次源 B 或 D 旳作用，
例5-3 研究具有双层有损介质旳平板电容器接至直流电压 源旳过分过程，如图5-3所示。[书p.195例5-4]
解：设电容器在t≤0-时
处于零状态，极板上没有电
S
荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)
=0；t≥0+时，电容器旳端电 压被强制跃变，即u(0+)=U。
U
o
根据电容旳伏安关系
ε2 γ2 ε1 γ1
内外导体之间旳坡印亭矢量是
S E H •
•
•
••
U I
2 2 ln
b a
ez
同轴线传播旳平均功率应是坡印亭矢量在内外导体之间旳横截面
S上旳面积分，即
P
Re
S
••
U I
2 2 ln
b
a
dS
• ReUln
•
I
b a
b a
d
•
Re[U
•
I
]
P Re
••
U I
dS
• ReU
•
I
t
旳库仑电场Ec和感应电场Ei。在低频电磁场中，假如感应电场Ei
远不大于旳库仑电场Ec，则能够忽视Bt 现无旋性
旳作用，这时旳电场呈
E （E c E i） E c 0 （5-1）
《静态场的边值问题》PPT课件
nπ a
b
a nπ
sin
0
a
x sin mπ a
xdx
（x,
y)
n1
4U 0 nsh n
b
sin
nπ a
x sh nπ y a
a
(n 1,3,5，)
（2）U
(
x)
U
0
s
in
π a
x
π
U0 sin a
x
n1
Dn
sin
nπ a
x sh nπ b a
D1＝U 0
sh b
a
Dn＝0 (n 0)
双曲函数
例5-1
一长直金属槽的长度方向上平行于Z轴，其横截面如图5-1所示。其侧壁与
底面电位均为0，而顶盖电位 x, b U x。
分别以（1）U
（2）U x U0
sixnxU，求0，槽内电位
a
的解。
解 本例是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系下，位函数
x,
y
的边值问题为
y
2
x
2
2
y 2
（1） （2） （3） （4）
(5）
2) 分离变量 (x, y) 1 (x)2 ( y)
代入式（1）有
1
1
d 21
dx2
1
2
d 22
dy2
设
1
1
d 21
dx2
，
1
2
d 22
dy2
称为分离常数,可以取值 0, 0和 0
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
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15
5.2.1 唯一性定理
在求解静态场问题时,我们希望其 解是唯一的,那么,在什么条件下, 其解才是唯一?
16
三类边值条件:
1.
给定边界上的位函数,即已知
f1(s)
，
S为边界 上的点。
2. 给定边界上的位函数的法向导数,即已知
n
f 2(s) 。
3. 边界 12 ，即已知
1
f1(s)
这类问题称为边值型问题或简称为边值问题。 2
边值问题的分类：
边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三 种类型。 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数求区域中位 函数的分布，这类问题又称为狄里赫利问题。
第二类边值问题：给定整个边界上位函数的法向导数 求区域中位函数的分布，这类问题又称为纽曼问题。
s Jds 0 cEdl 0
导体中的本构方程为
J 0 E 0
J E
7
3、恒定磁场的基本方程
恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在 磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体
中的传导电流为I，电流密度为 J ,则有
sB ds 0 c H dl I
这是恒定磁场的基本方程。
B 0 H J
2A 0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。
(2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为
H0 B0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，
即标量磁位函数 m
14
即令
H m
注意：标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。
1、静电场的基本方程
静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为
sD ds q
D
c E dl 0
E 0
上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可
能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。
电介质的本构方程为
D E
5
2、恒定电场的基本方程 维持恒定电流的电场为恒定电场
+
A
C
-
B
第三类边值问题：给定一部分边界上的位函数和其余部 分边界上的法向导数，求区域中位函数的分布，这类问 题混场 、恒定磁场的基本方程。 2.静态场的位函数方程。 3.理论依据：唯一性定理、叠加原理。 4.镜像法 、分离变量法。
4
静态场的基本方程
静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是 彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产 生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。
恒定电流的形成 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬 到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。 6
若一闭合路径经过电源，则：
E dl
c
E
即电场强度的E 线积分等于电源的电动势 E
若闭合路径不经过电源，则：
cEdl 0
恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为
()
即
2
静电场的位函数 满足
的方程。
9
上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区
域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式
的方程称为
泊松方程。
如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为
2 0
我们将这种形式的方程称为
拉普拉斯方程。它
是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。
12
3、恒定磁场的位函数分布
(1) 磁场的矢量位函数
恒定磁场是有旋场，即 BJ ,但它却是无散场， 即 B0
引入一个矢量磁位 A 后，由于 B＝A ，可得
A ( A ) 2 A J
人为规定 A0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
13
在没有电流的区域有J 0
11
2、恒定电场的位函数分布
在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有E 0
这时同样可以引入一个标量位函数 使得 E
根据电流连续性方程 J 0 及物态方程 J E 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
J ( E ) ( ) 2 0
则有
2＝ 0
这说明，在无电源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉 斯方程。
1
静电场问题
1. 由场求源：由微分方程求解。
2.由源求场：分布型问题和边值型问题。
(1)分布型 若源的分布具有某种对称性，从而判断场的分布也具有 某种对称性时，可用高斯通量定理求解电场或安培环路 定理来求磁场。
(2)边值型
已知确定区域中的源分布和其边界上的位函数或位函 数的法向导数分布，求解该区域中位函数的分布状况，
拉普拉斯算符 2 在不同的坐标系中有不同的表达形式：
10
在直角坐标系中
2 x22 y22 z22
在圆柱坐标系中 21 rr(rr)r1222 z22
在球坐标系中
2 R 1 2 R (R 2 R ) R 2 1 s in (s in ) R 2 s 1 in 2 2 2
以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用 位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在 无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题 就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两 个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能 完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们 要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解 方程的理论依据。
磁介质中的本构方程为
B H
从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋
涡场的源，电流线是闭合的。
8
静态场的位函数
1、静电场的位函数分布
静电场可以用一个标量函数 的梯度来表示它:
即
E
式中的标量函数 称为
电位函数。
对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数, 0
所以有
D (E ) E
第5章 静态场的边值问题
5.1 引言
数学物理方程是描述物理量随和的变化规律。对于某一 特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与，这 些初始值和边界值分别称为初始条件和，两者又统称为该方 程的定解条件。
静态场是指场量不随时间变化的场，静态场包括：静电场、 恒定电场及恒定磁场。静电场的场量与时间无关，位函数所 满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 静电场的边值问题：给定边界条件下，求泊松方程或拉普拉 斯方程解的问题。