第13章 量 子 论 简 介

第13章 量 子 论 简 介13.1基本要求1. 了解黑体辐射的实验规律。

理解光电效应和康普顿效应的实验规律以及爱因斯坦的光子理论对这两个效应的解释。

2．理解德布罗意的物质波假设及其正确性的实验证实。

理解实物粒子的波粒二象性。

3．理解描述物质波动性的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。

4．理解氢原子光谱的实验规律及玻尔的氢原子理论。

5．理解波函数及其统计解释。

理解一维坐标动量不确定关系。

了解一维定态薛定谔方程。

6．理解一维无限深势阱中粒子的波函数及其能级公式。

了解隧道效应。

13.2基本概念 1 黑体 2黑体辐射3 单色辐出度 ()dM M T dTλλ=（13-1） 4辐出度 ⎰∞=0)()(λλd T M T M （13-2） 5普朗克能量子假设 E h ν= （13-3） 6截止频率 (红限) 0W h ν= （13-4） 7康普顿波长 0c hm cλ= （13-5） 8光的波粒二象性,hE h p νλ==（13-6）9波尔半径2012πh r meε=（13-7）10能级412222018n E me E h n n ε=-⋅= （13-8）11德布罗意物质波 12波函数 2()0(,)iEt px hx t e π--ψ=ψ （13-9）13隧道效应 13.3基本规律1斯特藩——玻耳兹曼定律40()()M T M T d T λλσ∞==⎰ （13-10）2维恩位移定律m T b λ= （13-11）3光电效应方程212h mv W ν=+ （13-12） 4康普顿效应方程20002(1cos )sin 2h h m c m c θλλλθ∆=-=-= （13-13） 5氢原子的玻尔理论 （1）定态假设（2）频率假设 i f h E E ν=- （13-14）（3）轨道角动量量子化假设 2hL mvr n π== （13-15）6海森堡不确定关系 x x p h ∆∆≥ （13-16）7定态薛定谔方程 0)()(8)(2222=-+x E E hmdx x d p ψπψ （13-17） 13.4学习指导 1重点解析（1） 普朗克能量子假设普朗克为了解决黑体辐射理论解释与实验结果不一致的问题，大胆提出了两条与经典物理概念完全不同的新假设：黑体空腔内电子的振动可视为一维谐振子，这些谐振子辐射电磁波，并与周围的电磁场交换能量。

空腔内谐振子吸收或发射能量不能连续变化，只能是基本能量h εν=的整数倍。

nh εν= 1,2,3,n =，式中346.62610h J s -=⨯⋅，称为普朗克常数。

普朗克的能量子概念揭示了微观世界的本质，普朗克常数也成为区分微观世界与宏观世界的特征量。

（2）爱因斯坦光量子假设 光电效应方程为了解决光电效应实验规律与经典物理理论的矛盾，1905年爱因斯坦在普朗克能量子概念的基础上，对光的本性提出新的理论，即光子理论。

光在空间传播时，具有粒子性，光束可以看成是由微粒构成的粒子流，这些粒子称为光量子，以后就称为光子。

频率ν的光子具有的能量为 h εν=。

爱因斯坦的光量子概念是普朗克能量子概念的推广和延伸，光在发射、吸收和传播的整个过程都具有量子化。

根据爱因斯坦光子理论对光电效应的解释：当频率为ν的光束照射到金属表面上，光子的能量被单个电子吸收，使电子的能量增加h ν，如果入射光的频率ν足够高，可以使电子获取足够的能量从金属表面逸出，其能量的一部分用于脱离金属表面时所需的逸出功W ，另一部分则成为电子离开金属表面后的最大初动能。

根据能量守恒定律，光电效应的爱因斯坦方程为 212h mv W ν=+。

（3）康普顿效应1922年康普顿受爱因斯坦光子理论成功解释光电效应的启发，提出按照光子理论，频率为0ν的x 射线可看成是由一些能量为00h εν=的光子组成的，假设光子与受原子束缚较弱的电子或自由电子发生的碰撞可视为完全弹性碰撞。

由此对康普顿效应的定性解释为入射光子与散射物质中的电子发生弹性碰撞，存在以下两种情况。

(1) 当能量为0ε（0h ν）的入射光子与散射物质中束缚微弱的电子弹性碰撞时，将一部分能量传给电子，所以，散射光子能量减少，散射光频率ν小于入射光频率0ν，散射光的波长λ大于入射光波长0λ。

(2)光子与原子中束缚很紧的电子发生碰撞，近似与整个原子发生弹性碰撞时，能量不会显著减小，所以散射光束中出现与入射光波长相同的射线。

根据能量守恒定律和动量守恒定律得到波长的变化量20002(1cos )sin 2h h m c m c θλλλθ∆=-=-= （13-18） 式中0λ为入射光波长，λ为散射光的波长。

上式给出了散射光波长的变化量λ∆与散射角θ之间的函数关系。

当0θ=时，波长不变；θ增加时，λ∆也随之增加。

（4）氢原子的玻尔理论玻尔提出解释氢原子结构的三条假设：①定态假设 电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态(简称定态)，并具有一定的能量，能量只能取不连续的值123,,,E E E 。

②频率假设 当原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态，亦即电子从高能量i E 的轨道跃迁到低能量f E 的轨道上时，要发射频率为ν的光子，且i f h E E ν=- （13-19） 式（13-19）称为频率条件。

③轨道角动量量子化假设 电子以速度v 在半径为r 的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L 等于2hπ的整数倍的那些轨道才是稳定的，即2hL mvr n π== （13-20）1,2,3,n =称为主量子数。

式（13-20）称为量子化条件。

玻尔提出的三条假设解决了氢原子结构的三个问题，假设（1）解决了氢原子结构的稳定性问题，只有假定电子在特定轨道上运动时不辐射能量，才能保证氢原子的稳定；假设（3）给出了电子绕原子核运动轨道的限制性条件，只有电子绕原子核运动的角动量满足2hL mvr n π==量子化条件才是许可的；这是波尔在普朗克能量量子化基础上的进一步发展，提出了角动量量子化；假设（2）解释了氢原子光谱和发光机制，是对普朗克假设的引申。

电子以原子核为中心作圆周运动的轨道半径222012πn h r n r n me ε==和能级412222018n E me E h n nε=-⋅=(1,2,3,)n =以及氢原子光谱的波长423220111(),8i f f ime n n c h c n n νσλε===->。

可见利用玻尔理论可以对氢原子结构和光谱作出很好的解释，但是玻尔氢原子理论仍然存在一定的缺陷。

（5）德布罗意物质波 波函数1924年法国物理学家德布罗意在光的波粒二象性的启发下，根据自然界的对称性思想，提出实物粒子，如电子、质子、中子等应该具有波动性。

德布罗意假设实物粒子具有波动性，一个实物粒子的能量为E 、动量大小为P ，跟它们对应的波的频率ν和波长λ的关系为2E mc h ν==，P mv h λ== （13-21）这种波称为德布罗意波，或物质波用ψ表示概率波的波函数，则2()0(,)iEt px hx t eπ--ψ=ψ。

根据波恩对德布罗意物质波的统计解释，对微观粒子来说，粒子分布多的地方，德布罗意波的强度大，而粒子在空间分布的数目与粒子在该处出现的概率成正比。

因此某时刻出现在空间某处附近体积元dV 中的粒子的概率，与2dV ψ成正比。

由于ψ是复数，2*ψ=ψψ，*ψ是ψ的共轭复数。

2ψ为粒子出现在某点附近单位体积元中的概率，称为概率密度。

微观粒子某时刻在整个空间出现的概率应为1，即21dV ψ=⎰ （13-22） 式（13-22）称为波函数的归一化条件。

（6）薛定谔方程在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程0)()(8)(2222=-+x E E hmdx x d p ψπψ （13-23） 式（13-23）中()x ψ只是x 的函数，与时间无关。

在应用薛定谔方程解决具体问题时，要着重理清解题思路，理解边界条件的含义和使用归一化条件。

2难点释疑本章作为量子物理的基础，难点在于正确理解和掌握在微观领域经典物理的概念和方法已不再适用，必须建立全新的理论—量子理论，并初步掌握运用量子理论处理微观物体运动的基本思想。

解决这个难点的关键是要从整体上把握和认识量子理论提出的历史背景和形成的整个过程，理解量子理论的提出是人们认识微观物体运动的规律的必然要求。

微观物体运动的现象用经典理论得不到解释，物理学家不得不突破传统的理论框架，以假说的形式提出新的观点，对实验现象作出圆满地解释，从而建立新的理论即量子理论。

13.5习题解答 1 选择题13.1 当照射光的波长从400nm 变到300nm 时，对同—金属在光电效应实验中测得的遏止电压将( )(A) 减小0.56V (B) 增大0.165V (C) 减小0.34V (D) 增大1.035V (普朗克常量346.6310h J s -=⨯⋅，基本电荷191.60210e C -=⨯)解：根据光电效应方程212h mv W ν=+，由于照射光的波长变短，频率增大，则电子获得的初动能增加，因此遏止电压将增大。

利用光电效应方程得2221212111()()22h mv mv e U U νν-=-=-， 将c λν=代入21348199911()6.631031011() 1.0351.6103001040010hc U e V λλ----∆=-⨯⨯⨯=-=⨯⨯⨯ 计算得(D)。

13.2 光电效应和康普顿效应都包含有电子和光子的相互作用过程。

对此有以下几种理解，正确的是( )(A) 两种效应中，电子和光子组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律 (B) 两种效应都相当于电子和光子的弹性碰撞过程 (C) 两种效应都属于电子吸收光子的过程(D) 光电效应是电子吸收光子的过程，而康普顿效应相当于光子和电子的弹性碰撞过程 解：光电效应是电子吸收光子的过程，电子和光子组成的系统动量不守恒；而康普顿效应则是光子和电子的弹性碰撞过程，服从动量守恒定律和能量守恒定律，故选(D)。

13.3 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子的能量E 与反冲电子动能k E 之比kEE 为( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2解：设入射光波长为1λ，散射光波长2λ，则211.2λλ=。

根据能量子假设cE h h νλ==，散射光光子的能量2hcE λ=，康普顿效应的能量守恒，反冲电子动能12k E h h νν=-，21211.25111()1 1.2k hcEE hc λλλ===-- 计算得（A ）。

13.4 关于不确定关系x x p h ∆∆≥，有以下几种理解, 其中正确的是( ) (A) 粒子的动量不能准确确定(B) 粒子的坐标不能准确确定(C) 粒子的动量和坐标不能同时准确确定(D) 不确定关系仅适用于电子和光子等微观粒子，不适用于宏观粒子解：不确定关系x x p h ∆∆≥表明微观粒子的动量和坐标不能同时准确确定，选项（A ）、（B ）、（C ）都没有强调是针对微观粒子，故选（D ）。