指数函数经典例题(答案)
指数函数1．指数函数的定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101的图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且的图象和性质。
a>1 0<a<1图象00性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x+=-，且(0)3f=，则()xf b与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3 求函数y =的定义域和值域．解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤．∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=．解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）．A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度2，曲线分别是指数函数 , 和 的图象,则与1的大小关系是 ( ).( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设 ，求函数 的最大值和最小值．分析：注意到，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设 ，由 知，，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为，因端点 较 距对称轴远，故函数的最大值为．6．（9分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.．解： )1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1(122a t at t y <<-+=，对称轴为1-=t . 当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略解得 a =3 (a = －5舍去)7．已知函数 （ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若，求 的取值范围．．解：（1）， 当 即时， 有最小值为 （2），解得当时， ； 当 时， ． 8（10分）（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？解： （1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
9．若函数是奇函数，求 的值． ．解：为奇函数， ， 即， 则 ，10. 已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值 解：由已知得（3x ）2-10·3x +9≤0 得（3x -9）（3x -1）≤0∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2而y=(41)x-1-4·(21)x +2= 4·（21）2x -4·（21）x +2 令t=（21）x （141≤≤t ） 则y=f （t ）=4t 2-4t+2=4（t-21）2+1 当t=21即x=1时，y min =1 当t=1即x=0时，y max =211．已知，求函数 的值域． 解：由得 ，即 ，解之得 ，于是，即 ，故所求函数的值域为 12. (9分)求函数2222++-=x x y 的定义域，值域和单调区间 定义域为R 值域（0，8〕。
（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔1，+∞）上是减函数。
13 求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调区间.分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y ＝u ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31为减函数 ∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解：设y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减， 当x ∈(-∞，23)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［23，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数. 14 ，已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1). (1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为｛x ｜x ∈R ｝.设y ＝11+-x x a a ,解得a x ＝-11-+y y ①∵a x >0当且仅当-11-+y y >0时，方程①有解.解-11-+y y >0得-1<y<1. ∴f(x)的值域为｛y ｜-1＜y ＜1}.(2)∵f(-x)＝11+---x x a a ＝xxa a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x)是奇函数. (3)f(x)＝12)1(+-+x x a a ＝1-12+x a . 1°当a>1时，∵a x +1为增函数，且a x +1>0. ∴12+x a 为减函数，从而f(x)＝1-12+x a ＝11+-x x a a 为增函数.2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝11+-x x a a 为减函数. 15、已知函数f （x ）=a －122+x （a ∈R ）， （1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．（2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。
（1）证明：设x 1＜x 2f （x 2）－f （x 1）=)21)(21()22(22112x x x x ++-＞0 故对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．（2）x R ∈，又f （x ）为奇函数(0)0f ∴= 得到10a -=。
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
指数函数经典例题(问题详细讲解)
指数函数1．指数函数の定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且の图象和性质。
a>1 0<a<1图象00性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x+=-，且(0)3f=，则()xf b与()x f c の大小关系是_____．分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x の取值围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数の值域是[)01，．评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a の值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后t の取值围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a の值是3或13．评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程の解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+の图象，可以把函数3x y =の图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象の平移规律进解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+の图象，故选（C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若 ，且 ，比较a 与b ． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线 分别是指数函数 , 和 の图象,则 与1の大小关系是 ( ). (分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应の函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识.3，求下列函数の定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x の定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x の值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1の定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1の值域为｛y ｜y>1｝.4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x の最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
指数函数
值域： 值域： (0,+∞ ) 奇偶性： 奇偶性： 非奇非偶函数 单调性： 单调性：在R上是减函数 上是减函数 x>0时，0<y<1;x<0时,y>1 时 时
过定点 (0,1 即x = 0时，y = 1 过定点(0,1 即x = 0时，y = 1 ) )
1 函数y = a x与y = ( ) x图象关于y轴对称 a
x
叫做指数函数，其中 是自变量 是自变量. 叫做指数函数，其中x是自变量
定义域是R 定义域是R
探究：为什么要规定a > 0且a ≠ 1
探讨:若 探讨 若 a=0, a<0,a=1
y=a
x
会怎么样? 会怎么样
（2）若 a < 0 x 则对于x的某些数值，可使 a 无意义. 如 ( −2) x，这时对于 x = 1 , x = 1 ……等等，
0.8 − 0.1 0.8 − 0.2的底数是0.8，
1.7 2.5 ， 3 的底数是1.7， 1.7
它们可以看成函数 y = 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值； 因为1.7>1，所以函数
x
它们可以看成函数 y = 0.8 x 当x=-0.1和-0.2时的函数值；
x
y = 1.7 因为0<0.8<1，所以函数 y = 0.8
x + x < −x + 3
整理得： 整理得：x 解得： 解得：
2
+ 2x − 3 < 0
−3 < x < 1
原不等式的解集为： ∴ 原不等式的解集为：{x | −3 < x < 1}
练习
(1)0.5 > 0.5
x
高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题单选题1、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A2、已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1D．0<a<1，−1<b<0答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D3、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以lgx >2， 解得x >100. 故选：D.4、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x⩾0时，f(x)=3x+x2+2，又y=3x，y=x2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x−1)>f(3−x)，即|2x−1|>|3−x|，解得x<−2或x>43，所以f(2x−1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选：D.5、已知函f(x)=log2(√1+4x2+2x)+3，且f(m)=−5，则f(−m)=（）A．−1B．−5C．11D．13答案：C分析：令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，则先判断函数g(−x)+g(x)=0，进而可得f(−x)+f(x)=6，即f(m)+f(−m)=6，结合已知条件即可求f(−m)的值.令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，因为g(x)+g(−x)=log2(√1+4x2+2x)+log2(√1+4x2−2x)=log2(1+4x2−4x2)=0，所以f(−x)+f(x)=g(−x)+3+g(x)+3=6，则f(m)+f(−m)=6，又因为f(m)=−5，则f(−m)=11，故选：C.6、设2a=5b=m，且1a +1b=2，则m=（）A．√10B．10C．20D．100 答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m2，1b=log m5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a=5b=m，可得a=log2m，b=log5m，由换底公式得1a =log m2，1b=log m5，所以1a +1b=log m2+log m5=log m10=2，又因为m>0，可得m=√10．故选：A.7、化简√a3b2√ab23(a14b12)4⋅√a3(a>0，b>0)的结果是（）A．ba B．abC．a2bD．b2a答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba=a32b⋅a16b13(a14b12)4⋅a−13⋅b13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab−1=ab故选：B8、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)D．[0,1)答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x−x2>0，得0<x<2，令t=2x−x2，则y=log2t，t=2x−x2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，因为y=log2t在定义域内为增函数，所以y=log2(2x−x2)的单调递减区间为(1,2)，故选：A多选题9、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.10、已知函数f(x)={x2,x∈(−∞,0), lnx,x∈(0,1),−x2+4x−3,x∈[1,+∞),若函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．−1B．0C．1D．2答案：ABC分析：转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象，根据图象可得解.因为函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，所以函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象如图：由图可知，m=1或m≤0，结合选项，因此m可以为-1，0，1．故选：ABC．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.11、已知函数f(x)=1−2x1+2x，g(x)=lg(√x2+1−x)，则（）A．函数f(x)为偶函数B．函数g(x)为奇函数C．函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0D．设F(x)=f(x)+g(x)，则F(2a)+F(−1−a)<0的解集为(1,+∞)答案：BCD分析：根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案对于A：f(x)=1−2x1+2x ，定义域为R，f(−x)=1−2−x1+2−x=−1−2x1+2x=−f(x)，则f(x)为奇函数，故A错误；对于B：g(x)=lg(√x2+1−x)，定义域为R，g(−x)=lg(√(−x)2+1−(−x))=−lg(√x2+1−x)=−g(x)，则g(x)为奇函数，故B正确；对于C ：F (x )=f (x )+g (x )，f (x )，g (x )都为奇函数， 则F (x )=f (x )+g (x )为奇函数，F (x )=f (x )+g (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值互为相反数， 必有F (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0，故C 正确； 对于D ：f (x )=1−2x 1+2x =−(2x +1−22x +1)=22x +1−1，则f (x )在R 上为减函数，g (x )=lg(√x 2+1−x)=√x 2+1+x，则g (x )在R 上为减函数，则F (x )=f (x )+g (x )在R 上为减函数， 若F (2a )+F (−1−a )<0即F (2a )<F (1+a )， 则必有2a >1+a ，解得a >1，即F (2a )+F (−1−a )<0的解集为(1,+∞)，故D 正确； 故选：BCD12、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0． 故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.13、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD 填空题14、已知0<a <1，化简：√a 43−2a +a 23=______． 答案：a 13−a 23分析：根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解. 解：√a 43−2a +a 23=√(a 23−a 13)2=|a 23−a 13|，因为0<a <1，23>13，所以a 23<a 13，所以√a 43−2a +a 23=a 13−a 23．所以答案是：a 13−a 23. 15、计算：27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=_______.答案：16分析：根据指数幂的运算性质直接求解即可．27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=(33)−13−(−7)2+(44)34−13+1=13−49+64−13+1=16. 所以答案是：16．16、若f (x )=1+a3x +1(x ∈R )是奇函数，则实数a =___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.解答题17、已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值及f(x)的值域；（2）若f(x)在区间[−3,1]上是减函数，求a的取值范围.答案：（1）a=0，[ln3,+∞)；（2）a∈(−5,−4]解析：（1）根据偶函数的定义，求出a=0，得f(x)=ln(2x2+3)，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu，由条件可得，u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a的不等式，即可求解.解：（1）因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)，所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2−ax+3)，故a=0，此时，f(x)=ln(2x2+3)，定义域为R，符合题意.令t=2x2+3，则t⩾3，所以lnt⩾ln3，故f(x)的值域为[ln3,+∞).（2）设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.因为f(x)在[−3,1]上是减函数，所以u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，故{−a4⩾1,u(x)min =u(1)=5+a >0,解得−5<a ≤−4，即a ∈(−5,−4].小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.18、定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=14x+a 2x+1.(1)当a ＝－1时，求函数f(x)在(－∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 答案：(1)(1,＋∞)，函数f(x)在(－∞,0)上不是有界函数，理由见解析； (2)[－5,1].分析：（1）应用换元法及二次函数的性质求y ＝t 2－t ＋1在(1，+∞)上的值域，即知f(x)的值域，进而判断f(x)是否为有界函数.（2）将问题转化为−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，求a 的取值范围．（1）当a ＝－1时，y ＝f(x)=(12)2x −(12)x +1 (x <0)，令t ＝(12)x ，x <0，∴t >1，y ＝t 2－t ＋1＝(t −12)2+34，∴y >1，即函数f(x)在(－∞,0)上的值域为(1,＋∞)， ∴不存在常数M >0，使得|f(x)|≤M 成立． ∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． （2）由题意知，|f(x)|≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立，即－3≤f(x)≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立， 令t ＝(12)x ，x ≥0，则t ∈(0,1]．∴−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，即[−(t +4t)]max ≤a ≤(2t−t)min .设h (t )＝−(t +4t )，p (t )＝2t −t ，t ∈(0,1]，∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减，∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1. ∴实数a的取值范围为[－5,1]．。
指数函数例题集锦(学生版)
2、指数函数例题集锦一、指数和指数的运算 例1、化简求值（1）1213112364162(8)27---⎡⎤+-⨯-⎣⎦ 3122726141-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛- （2）（2）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ⋅-÷- 2433221---÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅a b b a例2、已知11223a a -+=，求下列各式的值：122(1);(2)a a a a--++（3）2323-+aa拓展提升：1）已知1122112212,9,,x y x y xy x y x y-+==<+且求的值。
2）．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a－b的值等于________．例3、化简计算（1）324+ （2）34-7347++ （3）40-7407++ （4）)0(-3>a ax （5）a1-拓展练习：1、===+24310,310,210yx y x 则2、==x x则若,9323、解方程273291-=⋅--x x二、指数函数的概念例1、下列函数是指数函数的是（ ）例2、1）函数y=(a 2-3a+3)a x是指数函数，求a 的值 2）若有y=(a-4)x 是指数函数,求a 的范围.3）若函数y=(2a+1)x 是一个减函数，求a 的范围例3、函数 y = a x －2 +3 的图象是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由拓展练习：：函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点____________。
xy D )(.31=13.+=x y C x y B 3.-=x y A )3(.-=例4、在下列图象中，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与函数y =(ab )x的图象可能是（ ） 例5、比较下面各组数的大小 （1）10.332,2； （2）()()10.330.3,0.3； （3）()20.32,0.3 （4）227.0,8.0（5） 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭拓展练习：1）设01a <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．32(1)(1)a a ->+ B ．1(1)1aa +-> C ． 1(1)1a a -+>D ．1132(1)(1)a a ->+2）设10<<<b a ,则下列不等式正确的是（ ）a b a a b a b a a b D b a C b b B b a A <<<<....例5、解不等式（基础训练P40，例题2和变式训练）04211233)1,0()2(22112613132>-⋅-⋅≠>≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++--x x x x x x a a a a）（且）（三、指数函数图像的特点例1、若函数(1)(0,1)xy a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．01>>b a 且B ．010<<<b a 且C ．010><<b a 且D ．11>>b a 且拓展练习：函数21xy k =+-的图像不经过第四象限的条件是例2下图是①y=a x ②y=b x ③y=c x ④y=d x 的图像,则 a,b,c,d 与1的大小关系是 ( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c例3、作出函数||1-2)312)2,2)1x x x y y y =+==1 1Oxy ①③④②x x x x y y y y 2)6|,12|2)52)42|||2|-=-===++ 的图像小结： 拓展训练：1、方程2|x|+x=2的实根的个数为_______2、直线a y 3=与函数)10(1≠>-=a a a y x且的图像有两个公共点,则a 的取值范围是________例4、设f(x)定义域为R ，对任意x 都有f(x)＝f(2－x)，且当x ≥1时，f(x)＝2x －1，则有（） A ．f(13)＜f(32)＜f(23) B ．f(23)＜f(32)＜f(13) C ．f(23)＜f(13)＜f(32) D ．f(32)＜f(23)＜f(13)四、指数函数的定义域值域例1、求下列函数的定义域和值域（1）121x y =- （2）222)31(-=x y （3）xy 121）（= （4） 2221++-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y （5） 1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y （6）xxy 212+=小结:拓展训练：1、设集合2{|3,},{|1,}xS y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则ST 是A 、∅B 、TC 、SD 、有限集 2、函数22811(31)3x x y x --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的值域是4．已知函数f (x )的定义域是(0，1)，那么f (2x)的定义域是（ ） A ．(0，1) B ．(21，1) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)五、指数函数的单调性和奇偶性 例1、 求下列函数的单调区间（1）241()()2x x f x -= （2）211()3x x f x +-=22141)(31+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x x x f ）（ (4))10(,)(232≠>=++-a a a x f x x且小结：拓展练习： 1、已知函数332+-=x xa y 在[0，2]上有最小值8，求正数a 的值2、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （ ）A ．251+ B ．251+- C ．251± D ．215± 例2、函数y ＝3x－(13)x 在区间[－1,1]上的最大值为拓展练习：已知).1(1)(R x a aa x f x x∈>-= (1)判断并证明)(x f 的奇偶性与单调性（2）若0)()32(22>--++-x x m f x x f 对任意的]1,0[∈x 均成立，求实数m 的取值范围例3、已知[]3,2x ∈-，求11()142xx f x =-+的最小值与最大值。
职高求指数函数的定义域的例题及解析
职高求指数函数的定义域的例题及解析
【要点梳理】
1.函数的定义域是自变量x的取值集合，函数的值域是因变量y的取值集合，
2.已知函数解析式，求定义域，其主要依据是使函数的解析式有意义，主要形式有：
(1)分式函数，分母不为0；(2)偶次根式函数，被开方数非负数；(3)一次函数、二次函数的这定义域为R:(4)x”中的底数不等于0：(5)指数函数=“的定义域为R:(6)对数函数y=l吧：x的定义域为{x>0；(7)y=nxJ=csx 的定义装约为，
⑧，-的定义装的因+竖e,o= 的定义域均为{x≠知，kE习
3.求抽象函数的定义域：
(1)由y=fx)的定义域为D,求y=f几g(的定义，须解f(x)eD:
(2)由y=f几g(x]的定义域D,求v=fx)的定，.只须解g(x)在D上的值域就是函数y=fx)的定义域
(3)由y=f几gx的定义域D,术y=力的定义域
4.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意【例题精析】
考点一函数的定义域
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，这里主要帮助考生灵话掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题。
指数函数复习的经典例题讲解和习题练习
指数函数复习的经典例题讲解和习题练习典型例题比较大小例1、比较下列各组数的大小:(1)和 ; (2)和 ;根据条件比较字母的大小例2、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．分析：设均为正数，则，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对；对．用语言叙述即在y轴右侧，底越大其图象越远离x轴；在y轴左侧，底越大，其图象越接近x轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y 轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．根据图象比较底数大小例1、(1)指数函数①②满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.解:由可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是或,进而再判断①②与和的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令,①②对应的函数值分别为和 ,由可知应选 .(2)曲线分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.化简例1、已知 ,试把用含的式子表示出来,并化简.分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用.解: 由可知 ,= ,当时,若 ,则 ,此时 ,若 ,则 ,此时 .当时, .当时, 若 ,则 ,此时 ,若 ,则 ,此时 .小结:此题中涉及对根式的化简,绝对值的概念及指数函数单调性的使用,特别是对和的讨论要分清楚.利用换元法求最值例1、设，求函数的最大值和最小值．分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设，由知，，函数成为，，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为．小结：换元法是一种常用的数学方法，在涉及指数形式的换元时，经常用到诸如，等．二次函数在有界区间上求最值时，可以借助于图形求解．指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[ ]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．【例3】比较大小：(3)4.54.1________3.73.6解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．【例5】作出下列函数的图像：(3)y＝2|x-1| (4)y＝|1－3x|解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)当x＝0时，函数y有最大值为1．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．</PGN0095A.TXT/PGN>∴函数f(x)为奇函数． 即f(x)的值域为(－1，1)． (3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)经典习题集合指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()xf c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意xxb c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321xx ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x<<，∴(3)(2)x xf f >． 综上可得(3)(2)xxf f ≥，即()()xxf c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)xx a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)xy a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数216x y -=-的定义域和值域． 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞． 令26x t -=，则1y t =-，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)xx y aa a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令xt a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤， ∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x⨯-⨯-=，令3(0)xt t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x=，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数935xy =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵293535xx y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy =⨯+的图象，故选（C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较与 ；（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若，且，比较a 与b ．解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故．（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有．因若 ，则 ．又 ，故，这样 ．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2曲线 分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值3 求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y ＝4x+2x+1+1＝(2x )2+2·2x+1＝(2x+1)2>1. ∴y ＝4x+2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（ ）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.7、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （ ）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（ ）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)， 则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数， 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（ ） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确； 对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立， 故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点， 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ， 因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2， 则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果． （2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果． （1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。
指数函数典型例题详细解析
指数函数典型例题详细解析指数函数·例题解析第一课时例1：求下列函数的定义域与值域：1) $y=\frac{3}{2-x}$解：定义域为$x\in R$且$x\neq 2$，值域为$y>0$且$y\neq1$。
2) $y=2x+2-1$解：由$2^{\frac{x+2}{2}-1}\geq 0$，得定义域为$x\geq -2$，值域为$|y|\geq 0$。
3) $y=3-3x-1$解：由$3-3^{\frac{x-1}{2}}\geq 0$，得定义域为$x\leq 2$，由$3-3^{\frac{x-1}{2}}<3$，得值域为$y<3$。
1.指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq 1$）的定义域是$R$，值域是$(0,+\infty)$。
2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为$0$③形如$a^0$，($a\neq 0$)3.求函数的值域：①利用函数$y=a^x$单调性②函数的有界性($x^2\geq 0;a^x>0$)③换元法。
例如：$y=4x+\frac{6}{2x-8}$($1\leq x\leq 2$)，先换元，再利用二次函数图象与性质（注意新元的范围）。
例2：指数函数$y=a^x$，$y=b^x$，$y=c^x$，$y=d^x$的图像如图2.6-2所示，则$a$、$b$、$c$、$d$、$1$之间的大小关系是？解：选$(c)$，在$x$轴上任取一点$(x,0)$，则得$b<a<1<d<c$。
例3：比较大小：1)$2$、$3^2$、$5^4$、$8^8$、$9^{16}$的大小关系是：$2<3^2<5^4<8^8<9^{16}$。
2)$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2$，$2$的大小关系是：$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2<2$。